NW359 360 DẠNG 01 HOÁN vị CHỈNH hợp tổ hợp

DẠNG TOÁN 1: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Giai thừa  Định nghĩa:  Với số tự nhiên dương n , tích 1.2.3 n gọi n - giai thừa kí hiệu n ! Vậy n !  1.2.3 n Ta quy ước 0!   Tính chất: * n !  n( n -1)! * n !  n( n  1)(n  2) (n  k  1).k ! Hoán vị  Định nghĩa:  Cho tập A gồm n phần tử ( n �1 ) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự ta hoán vị phần tử tập A  Kí hiệu số hốn vị n phần tử Pn  Số hoán vị tập n phần tử:  Định lí: Ta có Pn  n ! Chỉnh hợp  Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử số nguyên k với �k �n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A  Số chỉnh hợp k Kí hiệu An số chỉnh hợp chập k n phần tử  Định lí: Ta có Ank  n! (n  k )! Tổ hợp  Định nghĩa:  Cho tập A có n phần tử số nguyên k với �k �n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A  Số tổ hợp k  Kí hiệu Cn số tổ hợp chập k n phần tử  Định lí: Ta có: Cnk  n! ( n  k )!k ! Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Đếm số hoán vị  Đếm số chỉnh hợp  Đếm số tổ hợp  Các toán liên quan … BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Có cách chọn học sinh từ nhóm có học sinh? 3 A 5! B A5 C C5 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn quy tắc đếm, cụ thể quy tắc tổ hợp HƯỚNG GIẢI: B1: Số cách chọn k phần tử từ tập hợp có n phần tử tổ hợp chập k n , ( �k �n ) n! Cnk  k ! n  k  ! B2: Số cách chọn Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn C Số cách chọn học sinh từ nhóm có học sinh tổ hợp chập Số cách chọn C5 Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cần chọn người cơng tác từ tổ có 30 người, số cách chọn 3 30 A A30 B C 10 D C30 Lời giải Chọn D Số cách chọn người 30 người C30 Câu Cho tập hợp A có 20 phần tử, số tập có hai phần tử A A 2C20 B 2A20 C C20 Lời giải D A20 Chọn C Câu Số tập số cách chọn phần tử 20 phần tử Vậy có C20 tập Có đoạn thẳng tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác khơng có điểm thẳng hàng A 45 B 90 C 35 Lời giải D 55 Chọn A Giả sử ta có hai điểm A , B phân biệt cho ta đoạn thẳng AB (đoạn AB đoạn BA Trang giống nhau) Câu Vậy số đoạn thẳng tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác C10  45 Từ số , , , , lập số tự nhiên gồm năm chữ số đôi khác A 60 B 10 C 120 Lời giải D 125 Chọn C Số số tự nhiên lập số hoán vị phần tử Vậy có 5!  120 số Câu  n  3 Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cho Cho đa giác lồi n đỉnh Cn3 3 A An B Cn C 3! D n ! Lời giải Chọn B Câu Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cho số tổ hợp chập n phần tử C3 Số tam giác lập n Một tổ có 10 học sinh Hỏi có cách chọn học sinh từ tổ để giữ hai chức vụ tổ trưởng tổ phó A A10 B C10 C A10 Lời giải D 10 Chọn A Chọn học sinh từ tổ có 10 học sinh phân cơng giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó Câu chỉnh hợp chập 10 phần tử Số cách chọn A10 cách Từ số , , , , lập số tự nhiên gồm ba chữ số đôi khác A 60 B 10 C 120 Lời giải D 125 Chọn A Câu Có thể lập A5  60 số tự nhiên gồm ba chữ số đôi khác Giải bóng đá V-LEAGUE 2021 có tất 14 đội bóng tham gia, đội bóng thi đấu vịng trịn lượt Hỏi giải đấu có tất trận đấu? A 182 B 91 C 196 D 140 Lời giải Chọn A Số trận đấu A14  182 Câu 11 m Có cách chọn cầu thủ từ 11 đội bóng để thực đá luân lưu , theo thứ tự thứ đến thứ năm 5 A A11 B C11 C A11.5! D C10 Lời giải Chọn A Trang Số cách chọn cầu thủ từ 11 đội bóng để thực đá luân lưu 11m , theo thứ tự thứ đến thứ năm số chỉnh hợp chập 11 phần tử Nên số cách chọn A11 r Câu 10 Số vectơ khác có điểm đầu, điểm cuối hai đỉnh lục giác ABCDEF là: 2 A P6 B C6 C A6 D 36 Lời giải Chọn C r Số vectơ khác có điểm đầu, điểm cuối hai đỉnh lục giác ABCDEF A6  Mức độ Câu Cho chữ số , , , , , Từ chữ số cho lập số chẵn có bốn chữ số chữ số phải khác A 160 B 156 C 752 D 240 Lời giải Chọn B Gọi số có bốn chữ số khác abcd  a, b, c, d   0,1, 2,3, 4,5 , a 0  1, 2,3, 4,5 Suy + TH1: d  Số cách chọn số abc số chỉnh hợp chập phần tử có A5  60 d � 2, 4 + TH2: d có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn Suy có 2.4.4.3  96 Câu Áp dụng quy tắc cộng ta có tất 60  96  156 Từ chữ số , , lập số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần? A 1260 B 40320 C 120 D 1728 Lời giải Chọn A Chọn vị trí cho chữ số có C9 cách Chọn vị trí cho chữ số có C7 cách Chọn vị trí cho chữ số có C4 cách Câu 3 Vậy số số tự nhiên thỏa yêu cầu toán C9 C7 C4  1260 số Một tổ có học sịnh nam học sinh nữ Hỏi có cách chọn học sinh lao động, có học sinh nam? 4 4 A C6  C9 B C6 C13 C A6 A9 D C6 C9 Lời giải Chọn D Trang Chọn học sinh nam có C6 cách Chọn học sinh nữ có C9 cách Câu 4 Vậy có C6 C9 cách chọn thỏa yêu cầu tốn Tính số cách chọn nhóm người từ 20 người cho nhóm có tổ trưởng, tổ phó thành viên cịn lại có vai trị A 310080 B 930240 C 1860480 Lời giải D 15505 Chọn A Có 20 cách để chọn tổ trưởng từ 20 người Sau chọn tổ trưởng có 19 cách để chọn tổ phó Sau có C18 cách để chọn thành viên cịn lại Câu Vậy có 20.19.C18  310080 cách chọn nhóm người thỏa yêu cầu toán Ngân hàng đề thi gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm khác câu hỏi tự luận khác Hỏi lập đề thi cho đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác câu hỏi tự luận khác 10 A C15 C8 10 B C15  C8 10 C A15 A8 Lời giải 10 D A15  A8 Chọn A C10 Chọn 10 câu hỏi trắc nghiệm khác từ 15 câu hỏi trắc nghiệm khác có 15 cách chọn Chọn câu hỏi tự luận khác từ câu hỏi tự luận khác có C8 cách chọn 10 Theo quy tắc nhân có C15 C8 cách lập đề thi Câu Đội văn nghệ nhà trường gồm học sinh lớp 12A , học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn lễ bế giảng Hỏi có cách chọn cho lớp có học sinh chọn? A 120 B 98 C 150 D 360 Lời giải Chọn B Số cách chọn ngẫu nhiên học sinh C9 cách 5 Số cách chọn học sinh có lớp: C7  C6  C5 Câu C   C75  C65  C55   98 Vậy số cách chọn học sinh có lớp Có cách chia đồ vật khác cho người cho có người đồ vật hai người lại người ba đồ vật? 3 A 3!C8 C6 B C8 C6 C A8 A6 Lời giải D 3C8 C6 Chọn A Việc chia đồ vật toán tiến hành theo bước sau 3 - Bước : Chia đồ vật thành nhóm đồ vật nhỏ, có C8 C6 C3  C8 C6 cách Trang Câu - Bước : Chia nhóm đồ bước cho người, có 3! cách Vậy có 3!C8 C6 cách 3Cn31  An2  52  n  1 Cho số tự nhiên n thỏa mãn Hỏi n gần với giá trị nhất: A 11 B 12 C 10 D Lời giải Chọn B n �2 Điều kiện n ��  n  1 !  n !  52 n  �3   3C  An  52  n  1 3! n   !  n   ! Ta có n 1  n  1 n  n  1  3n n   52 n  �     �  n  1 n  6n  104 � n  5n  104   Câu � n  13  t / m  �� n  8  loai  � Vậy n  13 x 2 Giải phương trình Ax  C x  14 x A Một số khác B x  C x  Lời giải D x  Chọn C Điều kiện: x  Z; x A C x x 2 x � x  x  1  x     14 x x  x  1 �  x  1  x     x  1  28 � x  x  25  � x  5; x    14 x Kết hợp điều kiện x   n �4  Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh? Câu 10 Cho đa giác có n cạnh A n  B n  16 C n  D n  Lời giải Chọn A 2 Tổng số đường chéo cạnh đa giác là: Cn � Số đường chéo đa giác Cn  n Ta có: Số đường chéo bằng số cạnh n! �  2n � n  n  1  4n � n   � n  2! n   ! � Cn  n  n  Mức độ Câu Có số tự nhiên có chữ số đơi khác chứa chữ số , , chữ số đứng cạnh chữ số chữ số ? A 1470 B 750 C 2940 D 1500 Lời giải Chọn D Trang aa aa a a Giả sử số thỏa mãn yêu cầu tốn có dạng Các chữ số , , đứng cạnh chữ số đứng hai chữ số cịn lại có cách xếp 345 543 Trường hợp 1: a2  , ta có: A7  420 số Trường hợp 2: a3  hoặc a4  hoặc a5  có 3.2 A6  1080 số Vậy có 420  1080  1500 số thỏa mãn yêu cầu tốn Câu Có số tự nhiên có bảy chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền hai chữ số A 3204 số B 249 số C 2942 số D 7440 số Lời giải Chọn D Vì chữ số đứng liền hai chữ số nên số cần lập có ba số 123 hoặc 321 TH1: Số cần lập có ba số 123 Nếu ba số 123 đứng đầu số có dạng 123abcd 4 Có A7  840 cách chọn bốn số a , b , c , d nên có A7  840 số Nếu ba số 123 không đứng đầu số có vị trí đặt ba số 123 Có cách chọn số đứng đầu có A6  120 cách chọn ba số b , c , d Theo quy tắc nhân có 6.4 A6  2880 số Theo quy tắc cộng có 840  2880  3720 số TH2: Số cần lập có ba số 321 Câu  840  2880   7440 Do vai trò ba số 123 321 nên có Từ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 lập số tự nhiên mà số có chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng A 1300 B 1440 C 1500 D 1600 Lời giải Chọn B n  a1a2a3a4 a5 a6 số thỏa u cầu tốn Gọi a3  a4  a5  Có hai số có tổng bằng số 1,2,…,8,9 là:  1; 2;5  1;3; 4 a ; a ; a � 1; 2;5 Nếu a3 , a4 , a5 có 3! cách chọn a1 , a2 , a6 có A6 cách chọn suy có 3! A63  720 số thỏa yêu cầu a ; a ; a � 1;3; 4 Nếu có 720 số thỏa yêu cầu Vậy có 720  720  1440 số thỏa yêu cầu Câu Trong số nguyên từ 100 đến 999 , số số mà chữ số tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái qua phải) bằng: A 204 B 120 C 168 D 240 Trang Lời giải Chọn A Số nguyên cần lập có chữ số đôi khác Xét hai trường hợp: TH1: Các chữ số tăng dần từ trái qua phải A   1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9 Khi chữ số chọn từ tập Với cách chọn chữ số từ tập ta có cách xếp chúng theo thứ tự tăng dần Do số số lập trường hợp là: C9 TH2: Các chữ số giảm dần từ trái qua phải B   0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 Khi chữ số chọn từ tập Với cách chọn chữ số từ tập ta có cách xếp chúng theo thứ tự giảm dần Do số số lập trường hợp là: C10 3 Vậy số số cần tìm là: C9  C10  204 số Câu Có số tự nhiên gồm chữ số, biết rằng chữ số có mặt hai lần, chữ số ba có mặt ba lần chữ số cịn lại có mặt nhiều lần? A 26460 B 27901 C 11340 D 26802 Lời giải Chọn C �Ta đếm số có chữ số chọn từ số  2, 2,3,3,3, a, b với a, b � 0,1, 4,5, 6, 7,8,9 , kể số đứng đầu Ta có được: 7! số Tuy nhiên hoán vị hai số cho hoặc số cho ta số khơng đổi có tất 7!  420 2!.3! số 2 Vì có C8 cách chọn a, b nên ta có: 420.C8  11760 số �Ta đếm số có chữ số chọn từ số  2, 2,3,3,3, x với x � 1, 4,5, 6, 7,8,9 6! C7  420 Tương tự ta tìm 2!.3! số Câu Vậy số số thỏa yêu cầu toán: 11760  420  11340 số  O  Tính số hình chữ nhật có Cho đa giác A1 A2 A3 � A30 nội tiếp đường tròn đỉnh 30 đỉnh đa giác A 105 B 27405 C 27406 Lời giải D 106 Chọn A  O  điểm A1 có điểm Trong đa giác A1 A2 A3 � A30 nội tiếp đường tròn Ai đối xứng với A1 qua O  A1 �Ai  ta đường kính, tương tự với A2 , A3 , , A30 Có tất 15 đường kính mà điểm đỉnh đa giác A1 A2 A3 � A30 Cứ hai đường kính ta hình chữ nhật mà bốn điểm đỉnh đa giác đều: có C15  105 hình chữ nhật tất Trang Câu Có 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn lượt, thắng điểm, hòa điểm, thua điểm Kết thúc giải đấu, tổng cộng số điểm tất 10 đội 130 Hỏi có trận hịa? A B C Lời giải D Chọn C Vì 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn lượt nên số trận đấu C10  45 (trận) Gọi số trận hịa x , số khơng hịa 45  x (trận)  45  x  Tổng số điểm trận hòa , tổng số điểm trận khơng hịa x   45  x   130 � x  Theo đề ta có phương trình Vậy có trận hịa Câu Trong giải cờ vua gồm nam nữ vận động viên Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với động viên cịn lại Cho biết có vận động viên nữ cho biết số ván vận động viên nam chơi với số ván họ chơi với hai vận động viên nữ 84 Hỏi số ván tất vận động viên chơi? A 168 B 156 C 132 D 182 Lời giải Chọn D Gọi số vận động viên nam n Số ván vận động viên nam chơi với 2.Cn2  n  n  1 Số ván vận động viên nam chơi với vận động viên nữ 2.2.n  4n n  n  1  4n  84 � n  12 Vậy ta có Vậy số ván vận động viên chơi 2C14  182 Câu Hai nhóm người cần mua nhà, nhóm thứ có người họ muốn mua kề nhau, nhóm thứ hai có người họ muốn mua kề Họ tìm lô đất chia thành rao bán (các chưa có người mua) Tính số cách chọn người thỏa yêu cầu A 144 B 288 C 140 D 132 Lời giải Chọn B Xem lơ đất có vị trí gồm vị trí nền, vị trí vị trí Bước 1: nhóm thứ chọn vị trí cho có cách cách có 2!  cách chọn cho người Suy có 4.2  cách chọn Bước 2: nhóm thứ hai chọn vị trí cịn lại cho có cách cách có 3!  cách chọn cho người Suy có 3.6  18 cách chọn Bước 3: cịn lại có cách chọn Vậy có 8.18.2  288 cách chọn cho người Câu 10 Một nhóm học sinh gồm 15 nam nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người để lập thành đội cờ đỏ cho phải có đội trưởng nam, đội phó nam có nữ Hỏi có cách lập đội cờ đỏ A 131444 B 141666 C 241561 D 111300 Trang Lời giải Chọn D Vì người chọn phải có nữ phải có nam nên số học sinh nữ gồm hoặc hoặc nên ta có trường hợp sau: �chọn nữ nam +) Số cách chọn nữ: cách +) Số cách chọn nam làm đội trưởng đội phó: A15 +) Số cách chọn nam lại: C13 2 Suy có A15 C13 cách chọn cho trường hợp �Chọn nữ nam +) Số cách chọn nữ: C5 cách +) Số cách chọn nam làm đội trưởng đội phó: A15 cách +) Số cách chọn cịn lại: 13 cách 2 Suy có 13 A15 C5 cách chọn cho trường hợp �Chọn nữ nam +) Số cách chọn nữ: C5 cách +) Số cách chọn làm đội trưởng đội phó: A15 cách Suy có A15 C5 cách chọn cho trường hợp 2 2 Vậy có A15 C13  13 A15 C5  A15 C5  111300 cách  Mức độ Câu Bé Minh có bảng hình chữ nhật gồm hình vng đơn vị, cố định khơng xoay hình vẽ Bé muốn dùng màu để tô tất cạnh hình vng đơn vị, cạnh tơ lần cho hình vng đơn vị tơ màu, màu tơ cạnh Hỏi bé Minh có tất cách tô màu bảng? A 4374 B 139968 C 576 Lời giải D 15552 Chọn D Tô màu theo nguyên tắc: Tô ô vuông cạnh: chọn màu, ứng với màu chọn có cách tơ Do đó, có 6.C32 cách tơ Tơ vng cạnh (có cạnh tơ trước đó): ứng với vng có cách tơ màu , cạnh theo màu cạnh tơ trước đó, chọn màu cịn lại tơ cạnh cịn lại, có 3.C2  cách tơ Do có cách tơ Trang 10 Tơ vng cạnh (có cạnh tơ trước đó): ứng với vng có cách tơ màu 2 cạnh (2 cạnh tô trước màu hay khác khơng ảnh hưởng số cách tơ) Do có cách tơ Vậy có: 6.C3  15552 cách tô Câu Trong mặt phẳng cho n điểm, khơng có điểm thẳng hàng tất đường thẳng nối hai điểm bất kì, khơng có hai đường thẳng song song, trùng hoặc vng góc Qua điểm vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng xác định n  điểm cịn lại Số giao điểm đường thẳng vng góc giao bao nhiêu? 2C n2( n 1)( n  2)  � n(Cn21  1)  5Cn3 � � � A 2 3C n ( n 1)( n  2)  � n(Cn1  1)  5Cn � � � C C n2( n 1)( n  2)  � n(Cn21  1)  5Cn3 � � � B 2 C n ( n 1)( n 2)  � n(Cn 1  1)  5Cn � � � D Lời giải Chọn D Gọi n điểm cho A1 , A2 , , An Xét điểm cố định, có Cn 1 đường thẳng nên có Cn 1 đường thẳng vng góc qua điểm cố định n(n  1)(n  2) nCn21  Do có đường thẳng vng góc nên có C n2( n 1)( n  2) giao điểm (tính giao điểm trùng nhau) Ta chia điểm trùng thành loại: (n  1)(n  2) Cn21  n  Cn21  1 * Qua điểm có nên ta phải trừ điểm A1 , A2 , A3 có đường thẳng vng góc với A4 A5 đường thẳng song song * Qua với nhau, nên ta giao điểm, TH ta phải loại đi: 3Cn * Trong tam giác ba đường cao có giao điểm, nên ta điểm cho tam giác, trường hợp ta phải trừ Câu 2Cn3 C n2( n 1)( n  2)  � n(Cn21  1)  5Cn3 � � � Vậy số giao điểm nhiều có là: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , góc phần tư thứ ta lấy điểm phân biệt; góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư lấy 3, 4,5 điểm phân biệt ( điểm không nằm trục toạ độ) Trong 14 điểm ta lấy điểm nối chúng lại, hỏi có đoạn thẳng cắt hai trục toạ độ, biết đoạn thẳng nối điểm không qua O A 91 B 42 C 29 Lời giải D 23 Chọn D Trang 11 Để chọn điểm 14 điểm cho nối lại cắt hai trục toạ độ hai điểm phải thuộc hai góc phần tư đối đỉnh với TH1: Chọn điểm góc phần tư thứ I điểm góc phần tư thứ III Số đoạn thẳng tạo thành: 2.4  TH2: Chọn điểm góc phần tư thứ II điểm góc phần tư thứ IV Số đoạn thẳng tạo thành: 3.5  15 Theo quy tắc cộng ta có  15  23 đoạn thẳng Câu Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số gồm 2011 chữ số có hai chữ số ? 2010 2008 A 10  16151.9 2010 2008 C 10  16148.9 2010 2008 B 10  16153.9 2010 2008 D 10  16161.9 Lời giải Chọn D A   0;9 ; A2   1 ; A3   2 ; A4   3 ; A5   4 ; A6   5 ; A7   6 ; A8   7 ; A9   8 Đặt n  a1a2 a2010 a2011  a1 �0  Gọi số cần tìm + Xét số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số: Mỗi vị trí từ a2 đến a2011 có 10 cách chọn a1 phụ thuộc vào tổng  a2  a3   a2011  nên có cách chọn 2010 Vậy có 10 số + Xét số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số khơng có mặt chữ số 9: a1 có cách chọn Từ a2 đến a2010 , vị trí có cách chọn a2011 có cách chọn 2009 Vậy có 8.9 số + Xét số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số có chữ số 9: - Trường hợp a1  ta có: Từ a2 đến a2010 , vị trí có cách chọn a2011 có cách chọn 2009 Do có số Trang 12 - Trường hợp a1 �9 ta có: a1 có cách chọn Có 2010 cách xếp chữ số Ở 2008 vị trí cịn lại, vị trí có cách chọn Vị trí cuối có cách chọn 2008 Do có 8.2010.9 số Vậy số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán là: 102010   8.92009  92009  8.2010.9 2008   102010  16161.9 2008 Câu số Có số tự nhiên có 2018 chữ số cho số tổng chữ số bằng ? A 2 3  A2018   C2017  A2017  A2017    C2017   C2017 B  C  2C  C  C C  A2018  A2018  A2018  C2017 2018 D 2018 2018 2018 2 2  C2017   C2017  A2017  A2016  C2016    C2017   C2017 Lời giải Chọn D Vì                    nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Số tự nhiên có chữ số đứng đầu 2017 số đứng sau: Có số Trường hợp 2: Số tự nhiên có chữ số , chữ số 2016 số Khả 1: Nếu số đứng đầu số đứng 2017 vị trí cịn lại nên ta có C2017 số Khả 2: Nếu số đứng đầu số đứng 2017 vị trí cịn lại nên ta có C2017 số Trường hợp 3: Số tự nhiên có chữ số , chữ số 2016 số Khả 1: Nếu số đứng đầu số đứng 2017 vị trí cịn lại nên ta có C2017 số Khả 2: Nếu số đứng đầu số đứng 2017 vị trí cịn lại nên ta có C2017 số Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số , chữ số 2015 số Khả 1: Nếu số đứng đầu số số lại đứng hai 2017 vị trí cịn lại nên ta có A2017 số Khả 2: Nếu số đứng đầu hai chữ số đứng hai 2017 vị trí cịn lại nên ta có C2017 số Trường hợp 5: Số tự nhiên có chữ số , chữ số tương tự trường hợp ta có 2 A2017  C2017 số Trường hợp 6: Số tự nhiên có chữ số , ba chữ số 2014 số Trang 13 Khả 1: Nếu số đứng đầu ba chữ số đứng ba 2017 vị trí cịn lại nên ta có C2017 số Khả 2: Nếu số đứng đầu số đứng vị trí mà khơng có số khác đứng trước hai số cịn lại đứng 2016 vị trí cịn lại nên ta có C2016 số Khả 3: Nếu số đứng đầu số đứng vị trí mà đứng trước có hai số hai số lại đứng 2016 vị trí cịn lại nên ta có A2016 số Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 2013 số , chữ số đứng đầu nên bốn chữ số lại đứng bốn 2017 vị trí cịn lại nên ta có C2017 số Áp dụng quy tắc cộng ta có tìm Câu 2 2  C2017   C2017  A2017  A2016  C2016    C2017   C2017 số cần A   1; 2;3; ; 2018 số a, b, c �A Hỏi có số tự nhiên có dạng abc cho a  b  c a  b  c  2016 A 2027070 B 2026086 C 337681 D 20270100 Cho tập Lời giải Chọn C Xét phương trình a  b  c  2016 Ta biết phương trình có C2015 nghiệm nguyên dương  TH1: Xét cặp nghiệm số trùng nhau: a  b  c  672  TH2: Xét cặp nghiệm có a  b , c �a � 2a  c  2016 Suy c số chẵn thỏa  c  2016 nên có 1007 giá trị c Do có 1007 cặp, mà có cặp trừ cặp  672,672,672  (loại) Do có 1006 cặp  Tương tự ta suy có 1006.3 cặp nghiệm có số trùng C2015  3.1006   337681 2016 3! Do số tập hợp gồm ba phần tử có tổng bằng  a, b, c  3! abc (Chia cho Câu nên khơng tính hốn vị ba ) Cho đa giác 2018 đỉnh Hỏi có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác có góc lớn 100�? A 2018.C897 B C1009 C Lời giải 2018.C895 D 2018.C896 Chọn D Gọi Gọi A1 A2 ,  O ,…, A2018 đỉnh đa giác 2018 đỉnh đường tròn ngoại tiếp đa giác Các đỉnh đa giác chia  O A1 A2 A2018 thành 2018 cung trịn bằng nhau, cung trịn có số đo 360� 2018 bằng Trang 14 Vì tam giác cần đếm có đỉnh đỉnh đa giác nên góc tam giác góc nội tiếp  O Suy góc lớn 100�sẽ chắn cung có số đo lớn 200� Ai Cố định đỉnh Có 2018 cách chọn Ai A A A Gọi i , j , k đỉnh thứ tự theo chiều kim đồng hồ cho � AA A Ai Aj Ak  100� tam giác i j k tam giác cần đếm � Ai Ak  160� � � �160 � �360 � 896 � � � AA Khi i k hợp liên tiếp nhiều �2018 � cung trịn nói 896 cung trịn có 897 đỉnh Trừ đỉnh Ai cịn 896 đỉnh Do có C896 cách chọn hai đỉnh Aj Ak , Vậy có tất Câu 2018.C896 n Tìm số tự nhiên A n  101 tam giác thỏa mãn yêu cầu toán Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2100  n       1.2 2.3 3.4 n  1  n    n  1  n    thỏa mãn n  98 n  99 n  100 B C D Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có:  n  2 ! Cnk Cnk22 n!     k  1  k   k ! n  k  ! k  1  k    n  k  ! k   ! n  1  n    n  1  n   n C k n n C k 2 n2 � k  1  k    � n  1  n   k 0 Suy ra: k 0 C C1 C Cnn C  Cn3  Cn4   Cnn22 � n  n  n    n2 1.2 2.3 3.4  n  1  n    n  1  n   Ta xét khai triển sau: Chọn  1 x n  Cn0  x.Cn1  x Cn2  x Cn3   x n  Cnn22 x  �� � 2n   Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn22   � n 2 C C n3   n  1  n    n  1  n   100 n n � 2100  2n  � n  98 Do đó: Cách 2: Ta có: S   Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 1 � �1 � �1 � �n � �1      � � Cn  �  � Cn  �  � Cn   �  Cn � 1.2 2.3 3.4  n  1  n   �1 � �2 � �3 � �n  n  � 1 1 n � �1 1 � � Cn � � Cn  Cn  Cn  Cnn � � Cn  Cn  Cn  n  � �2 n2 � =� Lại có:  1 x � n 1 dx  � x   x  dx  �   x  dx  � 1 x n n n 1 dx Trang 15 1 1 � � �1 1 � � � Cn0  Cn1  Cn2  Cnn �  � Cn  Cn  Cn  Cnn � n  � �2 n2 � � 1 n 1 n   1 x   1 x n 1 n2 0 �S 2.2n 1  2n   n  n    n 1 n2  n  1  n   2n   n  2100  n   n  1  n    n  1  n   � n  98 Kết hợp giả thiết có  Câu Với n số tự nhiên lớn , đặt B A Chọn B Cn3  Ta có 1 1     3 C3 C4 C5 Cn Tính lim Sn D C Lời giải  n  3 ! n    n  1 n n  n  1  n   �  n!   Cn n  n  1  n   3! n  3 !  n  3 !�6 Sn  Vậy ta có Sn  6 6     1.2.3 2.3.4 3.4.5 n  n  1  n   1 1 1       n    n  1 n  n    n  1  n  1 n  1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4 Nhận xét ; ;; 1 1 1 � �1 � �n  � 3n  �1 � Sn  �         � �  � � � n  n  n  n � �2 n � �2n � 2n �1.2 2.3 2.3 3.4 � 6� �3  n � �3n  � lim Sn  lim � � � lim � � 2n � �2 � � � Vậy Câu 10 Xét bảng ô vuông gồm �4 ô vuông Người ta điền vào ô vuông hai số hoặc 1 cho tổng số hàng tổng số cột bằng Hỏi có cách? A 72 B 90 C 80 D 144 Lời giải Chọn B Nhận xét 1: Trên hàng có số số 1 , cột có số số 1 Nhận xét 2: Để tổng số hàng cột bằng đồng thời có khơng q hai số bằng ba hàng xếp số ta có cách xếp hàng thứ tư Do ta tìm số cách xếp ba hàng Phương pháp giải xếp theo hàng (Hình vẽ) Các hàng đánh số sau: Hàng Hàng Hàng Trang 16 Hàng 4! 6 Nếu xếp tự hàng có 2!.2! cách điền số mà tổng số bằng 0, cách xếp sau (Ta gọi số từ  1 đến   ): 11    1 ,   11   , 1  111  3 , 11  11   ,  11    , 111    Giả sử hàng xếp  1 Số cách xếp hàng có khả sau  1 KN1: Hàng xếp giống hàng 1: Có cách xếp ( )  3 ) Hàng có cách Vậy có 1.1.1.1  cách xếp Hàng có cách (  3 ) KN2: Hàng xếp đối xứng với hàng 1: Có cách xếp (bộ Hàng có cách ( lấy thoải mái từ tổng hai hàng bằng ) Hàng có cách Vậy có 1.1.6.1  cách xếp KN3: Hàng xếp trùng với cách xếp hàng vị trí: Có cách xếp ( cịn lại) Khi đó, với cách xếp hàng thứ , hàng có cách.Hàng có cách Vậy có 1.4.2.1  cách xếp Vì vai trị số nên số cách xếp thỏa mãn ycbt      90 cách Trang 17 ... có 2018 chữ số cho số tổng chữ số bằng ? A 2 3  A 2018   C 2017  A 2017  A 2017    C 2017   C 2017 B  C  2C  C  C C  A 2018  A 2018  A 2018  C 2017 2018 D 2018 2018 2018 2 2  C 2017 ... ta có C 2017 số Áp dụng quy tắc cộng ta có tìm Câu 2 2  C 2017   C 2017  A 2017  A 2016  C 2016    C 2017   C 2017 số cần A   1; 2;3; ; 2018  số a, b, c �A Hỏi có số tự nhiên có dạng abc...   C 2017  A 2017  A 2016  C 2016    C 2017   C 2017 Lời giải Chọn D Vì                    nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Số tự nhiên có chữ số đứng đầu 2017 số