Thông tin tài liệu
CHƯƠNG TỐ HỢP XÁC SUẤT BÀI QUY TẮC ĐẾM - HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP MỤC TIÊU Kiến thức - Nắm vững quy tắc cộng, quy tắc nhân - Hiểu phân biệt khái niệm: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Kỹ -Vận dụng quy tắc cộng nhân cho toán đếm - Giải dạng toán đếm liên quan đến tổ hợp, chỉnh hợp - Giải phương trình liên quan đến Cơng thức tổ hợp, chỉnh hợp I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Các quy tắc đếm a) Quy tắc cộng Định nghĩa Một công việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B Có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m + n cách thực Công thức Nếu A, B tập hợp khơng giao n( A B) n( A) n( B) Chú ý: Mở rộng: Một cơng việc hồn thành k phương án A1, A2 , A3 ,, Ak Nếu phương án A1 có m2 cách thực hiện, phương án Ak có mk cách thực hiện, , phương án Ak có mk cách thực cách thực phương án không trùng cơng việc có m1 m2 m2 mk cách thực Cho tập A1, A2 ,, An đơi rời Khi đó: A1 A2 An A1 A2 An b) Quy tắc nhân Định nghĩa Một công việc bao gồm hai cơng đoạn A B Nếu cơng đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực Cơng đoạn B Cơng việc Có m.n cách thực Công thức Nếu A, B tập hữu hạn phần tử n( A B) n( A) n( B) Chú ý: Mở rộng: Một cơng việc hồn thành k hành động A1, A2 , A3 ,, Ak , liên tiếp Nếu hành động A1 có m1 cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện, ,hành động Ak Có mk cách thực cơng việc có m1 m2 m3 mk cách hoàn thành Cho tập A1, A2 ,, An hữu hạn phần tử Khi đó: Trang A1 A2 An || A1 | | A2 | | An ∣ Hoán vị Định nghĩa Một tập hợp gồm n phần tử n 1 Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn n! 1.2.3n Chú ý: Quy ước: 0! n! n 1!n n! ( p 1) ( p 2)n p! (với n, p , n p) n! (n p 1) (n p 2)n (n p)! (với n, p , n p) Hoán vị lặp Cho k phần tử khác a1, a2 ,, ak Mỗi cách xếp n phân tử gồm n1 phần tử a1; n2 , phần tử a2 ;; nk phần tử ak n1 n2 nk n theo thứ tự gọi hoán vị lặp cấp n kiểu n1, n2 ,, nk k phần tử Số hoán vị lặp cấp n kiểu n1 , n2 ,, nk k phần tử là: Pn n1 , n2 ,, nk n! n1 !n2 !nk ! Hốn vị vịng quanh Cho tập A gồm n phần tử Mỗi cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vòng quanh n phần tử là: Qn n 1! Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A(1 k n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử A: n! Ank n(n 1)(n 2)(n k 1) (n k )! Chú ý: Công thức cho trường hợp k k n Khi k n Ann Pn n! Chỉnh hợp lặp Trang Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử Có thể lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank nk Tổ hợp Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 k n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử: Cnk Ank n! k ! k !(n k )! Quy ước: Cn0 Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Ank k !Cnk + Chỉnh hợp: Có thứ tự + Tổ hợp: khơng có thứ tự + Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử ta dùng chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n) : + Khơng thứ tự, khơng hồn lại: Cnk + Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank + Có thứ tự, có hồn lại: Ank Tính chất C C 1; Cnk Cnnk ; n n n n k k 1 Cn ; k 1 Cnk Cnk11 ; k 1 n 1 Cnk Cnk11 Cnk1 ; Cnk kCnk nCnk11 ; (k 1)kCnk (n 1)nCnk11 Tổ hợp lặp Cho tập A a1; a2 ;; an số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử tập hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Cnk Cnkk 1 Cnnk11 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Quy tắc đếm Phương pháp giải Để đếm số cách lựa chọn thực công việc A quy tắc cộng, ta thực bước: Bước 1: Phân tích xem có phương án riêng biệt để thực cơng việc A (Có nghĩa cơng việc A hoàn thành phương án A1; A2 ;; Ak Bước 2: Đếm số cách chọn x1; x2 ;; xk phương án A1; A2 ;; Ak Bước 3: Dùng quy tắc cộng, ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A x x1 x2 xk Trang Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc nhân, ta thực bước: Bước 1: Phân tích xem có công đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực công việc A (giả sử A hồn thành sau cơng đoạn A1; A2 ;; Ak hoàn thành) Bước 2: Đếm số cách chọn x1; x2 ;; xk công đoạn A1; A2 ;; Ak Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A x x1 x2 x3 xk Chú ý: Ví dụ Một trường THPT cử học sinh dự trại hè toàn quốc Nhà trường định chọn học sinh tiên tiến lớp 11A lớp 12B Biết lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến Hỏi nhà trường có cách chọn? Hướng dẫn giải Nhà trường chọn học sinh tiên tiến lớp 11A lớp 12B Chọn học sinh tiên tiến lớp 11A có 31 cách chọn Chọn học sinh tiên tiến lớp 12B có 22 cách chọn Theo quy tắc cộng, số cách cử học sinh dự trại hè là: 31 22 53 (cách) Ví dụ Một bó hoa có hoa hồng trắng, hoa hồng đỏ bơng hoa hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy ba bơng hoa có đủ ba màu? Hướng dẫn giải Để lấy ba bơng hoa có đủ ba màu ta lấy loại Số cách lấy hoa hồng trắng cách Số cách lấy hoa hồng đỏ cách Số cách lấy hoa hồng vàng cách Theo quy tắc nhân ta có số cách lấy ba bơng có đủ ba màu là: 5.6.7 210 Ví dụ mẫu Ví dụ Một người có quần khác nhau, áo khác nhau, cà vạt khác a) Để chọn quần áo cà vạt số cách chọn A 13 B 72 C 12 D 30 Hướng dẫn giải Số cách chọn quần cách Số cách chọn áo cách Số cách chọn cà vạt cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn là: 13 (cách) Chọn A b) Số cách chọn gồm quần, áo cà vạt A 13 B 72 C 12 D 30 Hướng dẫn giải Số cách chọn quần cách Số cách chọn áo cách Số cách chọn cà vạt cách Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn là: 4.6.3 72 (cách) Chọn B Ví dụ Trên giá sách có 10 sách Văn khác nhau, sách Toản khác sách Tiếng Anh khác Hỏi có cách chọn hai sách khác môn? Hướng dẫn giải Theo quy tắc nhân, ta có: Có 10.8 80 cách chọn sách Văn sách Toán khác Trang 10.6 60 cách chọn sách Văn sách Tiếng Anh khác 8.6 48 cách chọn sách Toán sách Tiếng Anh khác Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai sách khác môn 80 60 48 188 (cách) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trên bàn có bút chì khác nhau, bút bị khác 10 tập khác Một học sinh muốn chọn đồ vật bút chì bút bi tập số cách chọn khác A 480 B 24 C 48 D 60 Câu 2: An muốn qua nhà Bình để Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có đường Hỏi An có cách chọn đường đến nhà Cường? A B C 10 D 24 Câu 3: Các thành phố A, B, C , D nối với đường hình vẽ Hỏi có cách từ A đến D mà qua B C lần? A B 10 C 18 D 24 Câu 4: Có cách cắm bơng hoa vào lọ khác (mỗi lọ cắm không một bông)? A 60 B 10 C 15 D 720 Câu 5: Một thi có 15 người tham dự, giả thiết khơng có hai người có điểm Nếu kết thi việc chọn giải nhất, nhì, ba có kết có thể? A 2730 B 2703 C 2073 D 2370 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-B 2-D 3-D 4-A 5-A Câu Theo quy tắc cộng, ta có số cách chọn khác là: 10 24 (cách) Câu Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn đường để An đến nhà Cường 4.6 24 (cách) Câu Theo quy tắc nhân, số cách từ A đến D mà qua B C lần 4.2.3 24 (cách) Câu Theo quy tắc nhân ta có số cách cắm bơng hoa vào lọ khác 5.4.3 60 (cách) Câu Có 15 cách chọn giải nhất, 14 cách chọn giải nhì, 13 cách chọn giải ba Theo quy tắc nhân, số cách cách chọn giải nhất, nhì, ba 15.14.13 2730 (cách) Dạng 2, Các toán hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp Phương pháp giải Hoán vị: Một tập hợp gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoản vị n phần tử Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử tập A(1 k n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Trang Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 k n) phần tử tập A gọi tổ hợp chập k n phần tử Ví dụ mẫu Ví dụ Từ số tự nhiên 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? Hướng dẫn giải Mỗi cách xếp thứ tự bốn chữ số 1, 2, 3, ta số tự nhiên theo yêu cầu đề Do số số tự nhiên có bốn chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, là: 24 Ví dụ Có cách xếp học sinh có An Bình vào hàng ghế dài gồm ghế cho An Bình ngồi hai ghế đầu? Hướng dẫn giải An Bình ngồi đầu ngồi cuối, hốn đổi cho nên có 2! cách xếp Xếp vị trí cho bạn cịn lại, ta có 5! cách xếp Vậy ta có 2!.5! 240 cách xếp Ví dụ Có học sinh thầy giáo xếp thành hàng ngang Hỏi có bao nhiều cách xếp cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau? Hướng dẫn giải Có 8! cách xếp người Có 2! cách xếp hai giáo viên đứng cạnh Khi có 2!.7! cách xếp người cho hai giáo viên đứng cạnh Mà hai giáo viên không đứng cạnh nên sổ cách xếp 8!-2!.7!=30240 cách xếp Ví dụ Có số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, ,9? A 15120 B C 59 Hướng dẫn giải Số số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, , Số cách xếp thứ tự chữ số khác từ chữ số cho Do số số thỏa mãn là: A95 15120 D 126 Chọn A Ví dụ Có cách xếp học sinh ngồi xung quanh bàn trịn có ghế? Hướng dẫn giải Xếp học sinh theo hình trịn nên ta phải cố định vị trí bạn, sau xếp vị trí cho bạn cịn lại có 7! cách Vậy có 7!=5040 cách Chú ý: Hốn vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vòng quanh n phần tử Qn n 1! Ví dụ Trong túi đựng 10 viên bị đỏ, 20 viên bi xanh, 15 viên bi vàng Các viên bị khác có kích cỡ Tính số cách lấy viên bi xếp chúng vào ô cho ô bị có viên bi đỏ Hướng dẫn giải Số cách chọn viên bi C45 cách Trang Số cách chọn viên bị khơng có viên bị đỏ C35 cách Số cách chọn viên bi có viên bi đỏ C45 C355 cách Chú ý: Bước 1: chọn bi Số cách xếp viên bị vào ô 5! 5 Theo quy tắc nhân ta có 5! C45 C35 107655240 (cách) Chú ý: Bước 2: Sắp xếp viên bi Ví dụ Một thầy giáo có 10 sách khác có sách Tốn, sách Lí, sách Hóa Thầy muốn lấy tặng cho em học sinh A, B, C , D, E em Hỏi thầy giáo có cách tặng cho em học sinh cho số sách cịn lại có đủ ba loại? Hướng dẫn giải Trường hợp 1: Tặng hết sách Toán Số cách chọn sách Toán cách Số cách chọn lại cách Vậy có cách chọn sách Số cách tặng sách cho em học sinh A55 120 cách Vậy có 6.120 = 720 cách Chú ý: Tìm tốn đội tìm số cách cho sau tặng sách xong có mơn hết sách Trường hợp 2: Tặng hết sách Lí Số cách chọn sách Lí cách Số cách chọn lại C72 cách Vậy có 21 cách chọn sách Số cách tặng sách cho em học sinh A55 120 cách Vậy có 21.120 2520 cách Trường hợp 3: Tặng hết sách Hóa: Tương tự trường hợp có 2520 cách Số cách chọn 10 tặng cho em C105 A55 30240 cách Vậy số cách chọn cho sau tặng xong, loại sách cịn lại 30240 – 720 – 2520 – 2520 24480 (cách) Ví dụ Có cách xếp người vào toa tàu cho Còn trống toa? Hướng dẫn giải Ta thực bước sau: Chọn toa toa để xếp người, ta có C74 cách chọn Chọn toa chọn người lên toa có C52 C41 cách chọn Xếp người vào toa cịn lại chọn, có 3! cách chọn Vậy số cách xếp thỏa mãn đầu là: C74 C52 C41 3! 8400 (cách) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tập A có n phần tử n * , khẳng định sau sai? A Số hoán vị n 1 phần tử Pn 1.2.3(n 2)(n 1)n n! với k n, k * (n k )! n! C Số tổ hợp chập k n phần tử Cnk với k n, k k !(n k )! B Số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank Trang D Mỗi hốn vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì Pn Ann Câu 2: Một tổ gồm có bạn học sinh nam học sinh nữ Có cách chọn bạn cho ln có bạn nam nữ? A 120 (cách) B 126 (cách) C (cách) D 60 (cách) Câu 3: Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam 10 nữ, có cách chọn nhóm người cho có năm có nữ? A 12900 (cách) B 450 (cách) C 633600 (cách) D 15494 (cách) Câu 4: Có cách xếp bạn nam, bạn nữ cô giáo ngồi vào bàn trịn có chỗ cho giáo ngồi bạn nữ? A (cách) B 72 (cách) C 12 (cách) D 36 (cách) Câu 5: Một trường cấp có giáo viên tốn gồm nữ nam, giáo viên vật lý có giáo viên nam Có cách chọn đồn tra có người có đủ hai mơn tốn lý có đủ giáo viên nam giáo viên nữ? A 90 (cách) B 60 (cách) C 12960 (cách) D 120 (cách) Câu 6: Một hộp chứa 10 cầu đỏ đánh số từ tới 10 20 cầu xanh đánh số từ 11 tới 30 Lấy hai hộp Có cách lấy hai cầu có số chẵn? A 210 (cách) B 55 (cách) C 50 (cách) D 105 (cách) Câu 7: Cho hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa cầu xanh, cầu đỏ Hộp thứ hai có chứa cầu xanh, cầu vàng Lấy hộp cầu Có cách lấy tổng cộng mà có đủ màu? A 981 (cách) B 2184 (cách) C 1944 (cách) D 630 (cách) Câu 8: Có cách chia quà khác cho người cho người có quà, người quà, người có quà? A 381024 (cách) B 30240 (cách) C 5040 (cách) D 7560 (cách) Câu 9: Có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B bốn học sinh lớp C xếp thành hàng ngang cho hai học sinh lớp A khơng có học sinh lớp B Hỏi có cách xếp hàng vậy? A 80640 (cách) B 108864 (cách) C 145152 (cách) D 217728 (cách) Câu 10: Một đề ơn tập mơn Tốn chia thành loại dễ, trung bình khó Số câu dễ 10 câu, số câu trung bình 15 câu số câu khó câu Thầy giáo chọn câu để làm thành đề thi Hỏi có bao nhiều cách chọn? A C530 (cách chọn) B C30 (cách chọn) D C105 C155 C55 (cách chọn) C C105 C155 C55 (cách chọn) HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-A 2-A 3-A 4-C 5-A 6-D 7-A 8-D 9-C 10-B Câu Số hoán vị n 1 phần tử pn1 1.2.3 n 2 n 1 n n 1 nên A sai Câu Có C94 cách chọn bạn bạn Có C94 cách chọn bạn nam Có C94 cách chọn bạn nữ Vậy ta có số cách chọn bạn ln có bạn nam nữ là: C94 C54 C44 120 (cách) Câu Trang + Chọn nam, nữ có: C102 C103 cách + Chọn nam, nữ có: C102 C103 cách + Chọn nam, nữ có: C102 C103 cách Áp dụng quy tắc cộng ta có C102 C103 C103 C102 C104 C10 12900 (cách) Câu Chọn vị trí cho giáo bàn trịn, có cách chọn bạn nữ ngồi hai bên giáo hốn vị 2, có 2! cách xếp Cịn lại bạn nam xếp vào chỗ cịn lại, có 3! cách Áp dụng quy tắc nhân ta có 1.2!.3! 12 cách xếp Câu + Chọn nam toán, nữ tốn, nam lý có C51.C31.C41 cách + Chọn nữ toán, nam lý: C31.C42 cách + Chọn nữ toán, nam lý: C32 C41 cách Áp dụng quy tắc cộng ta có C51.C31.C41 C31.C42 C32 C41 90 (cách chọn) Câu Trong 30 cầu ta có 15 cầu có số chẵn Do chọn 15 tổ hợp chập 15, ta có C152 105 cách chọn Câu + Ở hộp thứ chọn đỏ, hộp thứ hai chọn xanh, vàng: có C32 C71.C61 có cách chọn + Ở hộp thứ chọn xanh, đỏ hộp thứ hai chọn xanh, vàng: có C61.C31.C71.C61 cách chọn + Ở hộp thứ chọn xanh, đỏ hộp thứ hai chọn vàng: Có C51.C31.C62 cách chọn Áp dụng quy tắc cộng, ta có C32 C71.C61 C51.C31.C71.C61 C51.C31.C62 981 (cách chọn) Câu Số cách chọn quà là: C92 cách Chọn người để nhận quà có C31 cách Do có C92 C31 108 cách chia người nhận quà Chọn q q cịn lại có C73 cách Chọn người cịn lại để nhận quà có cách Do có C73.2 70 cách chia người nhận quà Cịn lại q người nên có cách chọn Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu toán là: 108.70 1=7560 cách Câu Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh có 2!.8! cách Trường hợp 2: Giữa hai học sinh lớp A Có học sinh lớp C có 2!.4.7! cách Trường hợp 3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có 2! A4.6! cách Trường hợp 4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có 2! A.5! cách Trường hợp 5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có 2! A.4! cách Vậy theo quy tắc cộng có 2!8! A41 7! A42 6! A43 5! A44 4! 145152 (cách) Trang 10 Ví dụ Tìm x thỏa mãn C1x 6Cx2 6Cx3 9x2 14x Hướng dẫn giải Điều kiện: x Ta có C1x 6Cx2 6Cx3 9x2 14x x! x! x! 6 6 x2 14 x ( x 1)! 2! ( x 2)! 3! ( x 3)! x 3x 3x x3 3x x x 14 x x x x x 14 x x 7( x 3) x Vậy x thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ Tính tích P tất giá trị n thỏa mãn Pn An2 72 An2 Pn A P 12 Hướng dẫn giải Điều kiện: n , n B P C P 10 D P Pn An2 72 An2 2Pn Pn An2 12 P n n2 (thõa mãn) n An 12 Vậy P 3.4 12 Chọn A Ví dụ Tìm n thỏa mãn Cnn41 Cnn3 7(n 3) Hướng dẫn giải Điều kiện: n * (n 4)! (n 3)! 7(n 3) 3!(n 1)! 3!n! (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 7(n 3) 3! 3! Cnn41 Cnn3 7(n 3) (n 4)(n 2) (n 2)(n 1) 42 n2 6n n2 3n 42 3n 36 n 12 (thỏa mãn) Vậy n 12 Ví dụ Có số tự nhiên n thỏa mãn 2Cn21 An2 30? A Hướng dẫn giải Điều kiện: n , n 2Cn21 An2 30 B C D Vô số (n 1)! n! 3 30 2!(n 1)! (n 2)! n(n 1) 3n(n 1) 30 n(n 1) 3n(n 1) 30 Trang 12 Mà n , n nên n Chon A ► Bài tập tự luyện dạng x ! ( x 1)! với x * ( x 1)! B x {2;3} C x {3} Câu 1: Các giá trị x thỏa mãn A x {1;3} D x {2} Câu 2: Nếu A n! n bao nhiêu? n B A n1 n Câu 3: Tìm n thỏa mãn: A C n A n D C {2; 3} 48 B n C n 193 D Câu 4: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn An2 Cnn11 A n B n C n k k 2 k 1 Câu 5: Tìm k cho k thỏa mãn: C14 C14 2C14 D n B k A k 4, k C k D Khơng có giá trị k Câu 6: Tập nghiệm bất phương trình: A A 21x x A S 3;4 B S 2;4 x C S 2;3;4 D S 4 Câu 7: Có giá trị n thỏa mãn phương trình: 2Pn An2 12 Pn An2 ? A Câu 8: Bất phương trình A S 3;5 C B D A2 x Ax2 Cx3 10 có tập nghiệm x B S 3;4 C S 3;4; Câu 9: Tìm tập hợp số âm dãy số x1; x2 ;; xn với xn 54 23 A H ; 63 23 C H ; D S 3;4 An4 143 Pn Pn B H 1;2 D H Câu 10: Cho phương trình Ax3 2Cxx11 3Cxx13 3x2 P6 159 Giả sử x x0 nghiệm phương trình A x0 (10;13) B x0 (12;14) C x0 (10;12) D x0 (14;16) 2 Axy Cxy 50 Câu 11: Giải hệ phương trình y ta nghiệm x; y y A C 80 x x A (5; 2) B (3; 4) C 4;3 Câu 12: Giải bất phương trình Cn41 Cn31 D 2;5 An với n ta Trang 13 A n {6;7;8;9;10;11} B n {7;8;9;10;11;12} C n {4;5;6;7;8;9} D n {5;6;7;8;9;10} HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-B 2-C 3-A 4-B 11-A 5-A 6-A 7-B 8-D 9-C 10-A 12-D Câu x ! ( x 1)! x! ( x 1)! 1 1 ( x 1)! ( x 1)! ( x 1)! x x( x 1) x x2 5x x Vậy tập nghiệm phương trình S 2;3 Câu n * Điều kiện: n Ta có An2 n ! n n n! n! (n 2)! (n 2)! (n 2)! n n Vậy n n Câu Điều kiện: n Ta có: An2Cnn1 48 n! n 48 n(n 1)n 48 n3 n2 48 n (n 2)! (n 1)! Vậy n Câu Điều kiện: n , n An2 Cnn11 n! (n 1)! (n 1)n n(n 1) n (n 2)! 2!(n 1)! Câu Điều kiện: k 12, k 14! 14! 14! 2 (14 k )!k ! (12 k )!(k 2)! (13 k )!(k 1)! 1 (14 k )(13 k ) (k 1)(k 2) (13 k )(k 1) (k 1)(k 2) (14 k )(13 k ) 2(14 k )(k 2) Phương trình trở thành: k 4k 48k 128 k Vậy k {4;8} Câu Điều kiện: x 3, x Trang 14 Bất phương trình trở thành x! x! 5 21x x( x 1)( x 2) 5x( x 1) 21x ( x 3)! ( x 2)! ( x 1)( x 2) 5( x 1) 21( x 0) x2 2x 24 6 x Vì x 3, x nên x {3; 4} Vậy tập nghiệm bất phương trình S {3;4) Câu Điều kiện: n 2, n 2Pn An2 12 Pn An2 Pn An2 An2 An2 Pn n n! An2 n ( n 1) n (n 2)! n 1 n n Pn n n ! Vậy có giá trị n thoả phương trình Câu Điều kiện: x 3, x 2x! x! x! A2 x Ax2 Cx3 10 10 x (2 x 2)! ( x 2)! x 3!( x 3)! x(2 x 1) x( x 1) ( x 1)( x 2) 10 x x x x x 3x 10 3x 12 x Kết hợp với điều kiện xác định, ta có x Vậy S 3;4 tập nghiệm bất phương trình Câu Theo đề ta có: xn với n Khi * An4 143 n! 143 (n 4)! 143 0 0 Pn Pn (n 2)! 4.n ! (n 2)! 143 95 19 n 7n n n {1; 2} 2 63 23 Vậy xn ; Câu 10 Điều kiện: x 3, x Phương trình cho trở thành: (n 4)(n 3) x! 2( x 1)! 3( x 1)! 3x 6! 159 ( x 3)! 2!( x 1)! 2!( x 3)! x( x 1)( x 2) x( x 1) ( x 1)( x 2) 3x 879 x 12 Câu 11 Điều kiện: y x y y Axy 20 2 Ax Cx 50 Ta có y y y 5 Ax 2.Cx 80 Cx 10 Trang 15 Từ Cxy Axy Ay suy y ! xy 2! y Cx y! x Từ Ax2 20 x( x 1) 20 x x 20 x x 4 Vậy x 5; y Câu 12 Điều kiện: n n (n 1)! (n 1)! (n 2)! Ta có Cn41 Cn31 An22 0 4!(n 5)! 3!(n 4)! (n 4)! (n 1)(n 2)(n 3)(n 4) (n 1)(n 2)(n 3) 5(n 2)(n 3) 0 4! 3! n2 9n 22 2 n 11 Kết hợp điều kiện suy n {5;6;7;8;9;10} Dạng Các toán liên quan đến chọn số ► Phương pháp giải • Chú ý cấu tạo Số dấu hiệu chia hết • Khi lập số tự nhiên x a1 an ta cần lưu ý: {0;1;2;;9} a1 Một số dấu hiệu chia hết: +) x chia hết cho an số chẵn Khi giải tốn tìm số chẵn tốn chứa chữ số ta nên chia hai trường hợp: an 0, an +) x số lẻ an số lẻ +) x chia hết cho a1 a2 an chia hết cho +) x chia hết cho an1an chia hết cho +) x chia hết cho an {0,5} +) x chia hết cho x số chẵn chia hết cho +) x chia hết cho an2 an1an chia hết cho +) x chia hết cho a1 a2 an chia hết cho +) x chia hết cho 11 tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hà ng chắn số chia hết cho 11 +) x chia hết cho 25 Hai chữ số tận 00, 25, 50, 75 ► Ví dụ mẫu Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho 9? A 16 Hướng dẫn giải B 18 C 20 D 14 Gọi số cần tìm có dạng abc với a, b, c {0; 1; 2; 3; 4; 5} Vì abc nên tổng chữ số a b c Khi a, b, c {(0; 4;5), (2;3; 4), (1;3;5)} Trường hợp Với a, b, c {0; 4;5} Do a nên a có cách chọn Suy có 2.2 số thỏa mãn yêu cầu Trang 16 Trường hợp Với a, b, c {2;3; 4} có 3! số thỏa mãn yêu cầu Trường hợp Với a, b, c {1;3;5}, có 3! số thỏa mãn yêu cầu Vậy lập 16 số tự nhiên thỏa mãn tốn Chọn A Ví dụ Có số chẵn có chữ số đội khác lớn 5000? A 1232 B 1120 C 1250 D 1288 Hướng dẫn giải Giả sử số cần tìm có dạng x a1a2 a3a4 , a j ; i, j 1, a1 {5;6;7;8;9} Vì x 5000 x số chẵn nên a4 {0; 2; 4;6;8} Trường hợp 1: Nếu a1 5;7;9 a1 có cách chọn Khi a4 có cách chọn Các số cịn lại có A82 cách chọn Do có 3.5.A82 840 số 1 Trường hợp 2: Nếu a1 {6;8} a1 có cách chọn a4 có cách chọn Các số cịn lại có A82 cách chọn Tất có 2.4.A82 448 số 2 Từ (1) (2) ta có 840 448 1288 số Chọn D Ví dụ Cho ba số 1, 2, Có thể lập số tự nhiên có chữ số cho chữ số giống không đứng kề nhau? A 72 B 66 C 30 D 32 Hướng dẫn giải Gọi số cần tìm abcdef Chọn a có cách Chọn b a có cách Chọn c b có cách Chọn d c có cách Chọn e d có cách Chọn f e có cách Vậy số cách chọn thỏa mãn 3.25 66 cách Chọn B Ví dụ Có số có chữ số tận chia hết cho 7? A 12855 B 12856 C 1285 Hướng dẫn giải D 1286 Gọi số cần tìm có dạng: abcd1 Ta có abcd1 10.abcd 3.abcd abcd Vì abcd1 chia hết 3.abcd chia hết cho hay k 1 3.abcd 7k abcd 2k ,k Ta có abcd số nguyên k 3l 1, l Suy abcd I Do 1000 7l 9999 998 9997 l 7 Suy có 1286 giá trị l Vậy Có 1286 số thỏa mãn tốn Trang 17 Chọn D Ví dụ Cho tập hợp A {1; 2;3; 4;; 2018} số a, b, c A Hỏi có số tự nhiên có dạng abc cho a b c a b c 2016 ? A 337681 B 2027080 Hướng dẫn giải Nhận xét 2016 gồm 2015 dấu + C 2027090 D 337690 Chọn dấu + 2015 dấu + để hình thành số a, b, c co C2015 cách Suy C2015 Cơng cách chọn số có tổng 2016 (tính hốn vị) Ta xét trường hợp: Trường hợp 1: a b c 672 , có số Trường hợp 2: Có số nhau, chẳng hạn a b c 2a c 2016 Khi c chẵn c 1008 a Vì a nên c 2014 Do c {2; 4;6;; 2014} \{672} Vậy có 1006 cách chọn c Bộ a; a; c có hoán vị Vậy số cách chọn trường hợp 1006.3 3018 cách a b c Vậy có C2015 1 3018 2026086 số abc thỏa mãn a b c 2016 Mỗi số {a; b; c} lập có 3! cách hốn đổi vị trí Do số cách lập số a; b; c thỏa yêu cầu a b c 2026086 337681 Chọn A ► Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số gồm chữ số khác không chia hết cho 5? A 72 B 120 C 54 D 69 Câu 2: Có số tự nhiên có sáu chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền chữ số 4? A 249 B 1500 C 3204 D 2942 Câu 3: Có số tự nhiên nhỏ 1000 lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, ? A 125 B 120 C 100 D 69 Câu 4: Lập số tự nhiên có chữ số khác chọn từ tập A 1; 2; 3; 4; 5 cho số lập ln có mặt chữ số 3? A 72 B 36 C 32 D 48 Câu 5: Cho tập A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; từ tập A lập số tự nhiên có chữ số chia hết cho 2? A 1230 B 2880 C 1260 D 8232 Câu 6: Có số tự nhiên có chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền hai chữ SỐ 3? A 3204 số B 249 số C 2942 số D 7440 số Trang 18 Câu 7: Có số có chữ số viết từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; cho Số chia hết cho 15? A 234 B 243 C 132 D 432 Câu 8: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; lập số tự nhiên chẵn có sáu chữ số thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số số khác chữ số hàng nghìn lớn 2? A 720 số B 360 số C 288 số D 240 số Câu 9: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số 5; 6; 7; 8; Tính tổng tất số thuộc tập S A 9333420 B 46666200 C 9333240 D 46666240 Câu 10: Từ chữ số 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số Có mặt lần, chữ số Có mặt lần? A 1260 B 40320 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-C 2-A 3-A 4-B 5-D C 120 6-D D 1728 7-B 8-D 9-C 10-A Câu Gọi số cần tìm dạng abcd với a Số số tự nhiên có chữ số khác nhau: 4.A43 96 số Các số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho 5: • Trường hợp 1: d số a, b, c có A43 cách chọn Do có A43 số • Trường hợp 2: d số a, b, c có 3A32 cách chọn Do có 3A32 số Vậy có A43 A32 42 số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho Vậy số số tự nhiên có chữ số khác khơng chia hết cho là: 96 – 42 54 số Câu Chữ số đứng liền hai chữ số nên ta có 154 451 Xét số abc (các chữ số khác đôi a, b, c thuộc 0;2;3;6;7;8;9), sau ta chèn thêm 154 451 để có SX gồm chữ số cần tìm Trường hợp 1: a số cách chọn a 6, số cách chọn b c A62 sau chèn 154 451 vào vị trí cịn lại nên có A62 4.2 cách Trường hợp 2: a 0, số cách chọn a 1, số cách chọn b c A62 sau chèn 154 451 vào vị trí trước a Có cách nên có A62 cách Vậy có 6.A62 4.2 A62 1500 (số) Câu Các số tự nhiên nhỏ 1000 bao gồm số tự nhiên có 1, 2,3 chữ số Gọi số cần tìm abc(a, b, c {0;1;2;3;4}) (không thiết chữ số phải khác 0) a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn Vậy có 5.5.5 =125 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán Câu Trang 19 Gọi số tạo thành có dạng x abc với a, b, c đơi khác lấy từ A Chọn vị trí a,b c cho số có cách chọn Chọn hai chữ số khác từ A xếp vào hai vị trí cịn lại x có A42 cách Theo quy tắc nhân có 3.A42 36 cách Mỗi cách xếp cho ta số thỏa yêu cầu Vậy có 36 số cần tìm Câu Gọi số có chữ số cần tìm x a1a2a3a4a5 ; a1 , a2 , a3 , a4 , a5 A; a1 0; a5 {0;2;4;6} Công việc thành lập sổ x chia thành bước: Chọn chữ số a1 có lựa chọn a1 khác Chọn chữ số a2 , a3 , a4 chữ số có lựa chọn Chọn chữ số a5 có lựa chọn số tạo thành chia hết cho Số số thỏa mãn yêu cầu toán là: 6.73.4 8232 (số) Câu Vì chữ số đứng liền hai chữ số nên số cần lập Có ba số 123 321 Xét số abcd (các chữ số khác đôi a, b, c, d thuộc 0;4;5;6;7;8;9), sau ta chèn thêm 123 321 để có số gồm chữ số cần tìm Trường hợp 1: Số cần lập Có ba số 123 +) Nếu ba số 123 đứng đầu số có dạng 123abcd Có A74 840 cách chọn bốn số a, b, c, d nên có A74 840 số +) Nếu ba số 123 khơng đứng đầu có vị trí đặt ba số 123 Có cách chọn số đứng đầu có A83 120 cách chọn ba số b, c, d Theo quy tắc nhân có 6.4.A63 2880 số Theo quy tắc cộng có 840+2880 = 3720 số Trường hợp 2: Số cần lập có ba số 321 Do vai trò ba số 123 321 nên có 3720 số Từ hai trường hợp, ta có 2.3720 7440 số Câu Đặt tập E 1;2;3;4;5;6;7;8;9 x d hay d có cách chọn Gọi số cần tìm có dạng x abcd Ta có x 15 x Chọn a có cách (a E ) Chọn b có cách (b E ) Khi tổng a b d chia hết cho chia dư chia dư nên tương ứng trường hợp c chia hết cho chia dư chia dư Nhận xét: Các số chia hết cho 3;6;9 Các số chia dư 1; 4;9 Các Số chia dư 2;5;7 Mỗi tính chất có số nên c có cách chọn từ số Vậy Có 1.9.9.3 243 số thỏa yêu cầu Câu Trang 20 Gọi số có sáu chữ số cần tìm n abcdef ,trong sáu chữ số khác đôi một, c f số chẵn Trường hợp 1: Nếu f n abcde2 Có cách chọn c nên có 4.4! = 96 số Trường hợp 2: Nếu f n abcde4 Có cách chọn c nên có 3.4! 72 số Trường hợp 3: Nếu f n abcde6 Có cách chọn c nên có 3.4! = 72 số Vậy số số cần tìm 96 72 72 240 số Câu Số số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập tư 5;6;7;8;9 5!=120 số Vì vai trò chữ số nên chữ số 5;6;7;8;9 xuất hàng đơn vị 4!= 24 lần Tổng chữ số hàng đơn vị 24 9 840 Tương tự số lần xuất hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn chữ số 24 lần Vậy tổng số thuộc tập S 840 1 10 102 103 104 9333240 Câu 10 Chọn vị trí cho chữ số có C92 cách Chọn vị trí cho chữ số có C73 cách Chọn vị trí cho chữ SỐ có C44 cách Vậy số số tự nhiên thỏa yêu cầu toán C92C73C44 1260 số Dạng Các toán liên quan đến hinh học ► Phương pháp giải Một số kết thường gặp • Cho n điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng n(n 1) + Số đường thẳng qua điểm: Cn2 + Số vectơ nối hai điểm bất kì: n + Số vectơ khác nối hai điểm bất kì: An2 n(n 1) + Số tam giác tạo thành: Cn3 n(n 1)(n 2) Nếu n điểm khơng có điểm đồng phẳng số tứ diện tạo thành: Cn4 • Cho đa giác lồi n đỉnh: n(n 3) + Sổ đường chéo qua đỉnh đa giác: n – + Nếu khơng có đường chéo đồng quy số giao điểm đường chéo n(n 1)(n 2)(n 3) Cn4 24 n(n 1)(n 2) + Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác: Cn3 + Số đường chéo đa giác: Cn2 n Trang 21 + Số tam giác có cạnh đa giác cạnh lại đường chéo: nCn14 n(n 4) + Số tam giác có cạnh đa giác cạnh lại đường chéo: n + Số tam giác có cạnh đường chéo đa giác: C n n(n 4) n n n2 9n 20 + Sổ tam giác vuông: Khi n chẵn: số tam giác vuông n C n2 Khi n lẻ: số tam giác vuông + Số tam giác tù: Khi n chẵn: số tam giác tù n C n2 Khi n lẻ: số tam giác tù n C n 1 + Số tam giác nhọn = số tam giác - (số tam giác vuông + số tam giác tù) Khi n chăn: số tam giác nhọn Cn3 n C n2 C n2 2 Khi n lẻ: số tam giác nhọn Cn3 n C n21 • Cho đa giác 2n đỉnh n : + Số đường chéo xuyên qua tâm n số hình chữ nhật: Cn2 n(n 1) + Số tam giác vuông: 2n – n MỘT SỐ KẾT QUẢ HAY GẶP VỀ TAM GIÁC ► Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai đường thẳng song song d1 , d2 Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, d lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác mà ba đỉnh chọn từ 25 điểm nói trên? Hướng dẫn giải Số tam giác lập thuộc hai loại sau: Loại 1: Hai đỉnh thuộc d1 định thuộc vào d Số cách chọn hai điểm 10 điểm thuộc d C102 Số cách chọn điểm 15 điểm thuộc d C15 Trang 22 Loại có C10 C152 tam giác Loại 2: Một đỉnh thuộc d1 hai đỉnh thuộc d Số cách chọn điểm 10 điểm thuộc d1 C10 Số cách chọn hai điểm 15 điểm thuộc d C152 Loại có: C10 C152 tam giác 1 Vậy có tất cả: C102 C15 C10 C152 tam giác thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Một đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh Hỏi đa giác có cạnh? Hướng dẫn giải Đa giác có n cạnh (n , n 3) Số đường chéo đa giác là: Cn2 n Ta có: Cn2 n 2n n n! 3n n(n 1) 6n n (vì n ) (n 2)!.2! n Vậy đa giác có cạnh Ví dụ Cho hai đường thẳng d1 d song song với Trên d1 có 10 điểm phân biệt, d có n điểm phân biệt (n 2) Biết có 1725 tam giác có đỉnh ba số điểm thuộc d1 d nói Tìm n Hướng dẫn giải Để tạo thành tam giác có hai khả năng: Lấy điểm thuộc d1 điểm thuộc d lấy điểm thuộc d1 điểm thuộc d Tổng số tam giác tạo thành là: S C10 Cn2 C102 Cn1 Theo giả thiết có S 1725 Ta có phương trình C10 Cn2 C102 Cn1 1725 10 n! n! 45 1725 2! (n 2)! (n 1)! 5n(n 1) 45n 1725 5n2 40n 1725 n 15 n 15 (vì n ) n 23 Vậy n 15 Ví dụ Trong mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với 2018 đường thẳng song song khác cắt nhóm 2017 đường thẳng Tính số hình bình hành nhiều tạo thành có đỉnh giao điểm nói Hướng dẫn giải Mỗi hình bình hành tạo thành từ hai cặp cạnh song song Vì số hình bình hành tạo thành số cách chọn cặp đường thẳng song song hai nhóm đường thẳng Chọn đường thẳng song song từ 2017 đường thẳng song song có C2017 (cách) Chọn đường thẳng song song từ 2018 đường thẳng song song có C2018 (cách) 2 Vậy có C2017 (hình bình hành) C2018 ► Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Đa giác lồi 20 đỉnh Có tất đường chéo? A 40 B 360 C 190 D 170 Câu 2: Trong mặt phẳng có 30 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Có vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu điểm cuối lấy từ 30 điểm trên? Trang 23 A 870 B 435 C 302 D 230 Câu 3: Tính số giao điểm tối đa 10 đường thẳng phân biệt khơng có ba đường đồng quy hai đường song song? A 90 B 35 C 45 D 19 Câu 4: Cho hai đường thẳng song song d , d ' Trên d lấy 10 điểm phân biệt, d ' lấy 15 điểm phân biệt Hỏi Có tam giác mà đỉnh chọn từ 25 đỉnh nói trên? A 1050 B 675 C 1725 D 708750 Câu 5: Từ điểm A, B, C , D, E khơng thẳng hàng, ta lập tam giác? A C53 10 (tam giác) B A53 60 (tam giác) C P5 120 (tam giác) D P3 (tam giác) Câu 6: Trong mặt phẳng cho đường thẳng song song với đường thẳng khác song song với cắt đường cho Hỏi có hình bình hành tạo nên từ 14 đường thẳng cho? A C62 C82 (hình) B A62 A82 (hình) C C144 (hình) D A144 (hình) Câu 7: Cho đa giác có n đỉnh, n n Giá trị n biết đa giác có 90 đường chéo? A 15 B –12 15 C 18 D Câu 8: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt cho ba điểm khơng thẳng hàng Hỏi có vectơ khác vectơ – khơng có điểm đầu điểm cuối thuộc 2010 điểm cho? A 4039137 B 4038090 C 4167114 D 167541284 Câu 9: Cho 20 đường thẳng có nhiều giao điểm? A 40 B 380 C 190 D 144 Câu 10: Cho hai đường thẳng d1 d song song với Trên d1 có 10 điểm phân biệt, d có n điểm phân biệt n Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm nói Giá trị n A 20 B 21 C 30 D 32 Câu 11: Cho hai đường thẳng d1 d song song với Trên d1 có 10 điểm phân biệt, d có n điểm phân biệt n Biết có 1725 tam giác có định ba số điểm thuộc d1 d nói Giá trị n A 13 B 15 C 14 D 16 Câu 12: Cho đa giác 2018 đỉnh Hỏi có tam giác có định đỉnh đa giác có góc lớn 1000 ? A 2018.C89 B C1009 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-D 2-A 3-C 4-C 11-B C 2018.C895 5-A 6-A 7-A D 2018.C896 8-B 9-C 10-A 12-D Câu Số cách lấy điểm 20 điểm C20 190 Trang 24 Lấy điểm kề ta cạnh, điểm không kề ta đường chéo Mà đa giác 20 đỉnh có 20 cạnh Vậy số đường chéo 190 – 20 170 Câu Điểm thứ vectơ có 30 cách chọn Điểm thứ hai vectơ có 29 cách chọn Vậy theo quy tắc nhận có 30.29 870 cách chọn Câu Đường thẳng thứ giao với đường lại nên có giao điểm Đường thẳng thứ hai giao với đường cịn lại nên có thêm giao điểm (đã tính giao điểm với đường thẳng thứ trên) Đường thẳng thứ giao với đường lại nên có thêm giao điểm Vậy có 45 giao điểm Câu Trường hợp 1: Lấy hai điểm thuộc d, điểm thuộc d’ Lấy điểm thứ thuộc d có 10 cách, lấy điểm thứ hai thuộc d có cách Lấy điểm thuộc d’ có 15 cách Vì thay đổi đỉnh tam giác không tạo thành tam giác nên hai đỉnh lấy d đổi thứ tự lấy không tạo thành tam giác 10.9 15 675 tam giác Do có Trường hợp 2: Lấy hai điểm thuộc d ' , điểm thuộc d: 15.14 10 1050 tam giác Tương tự có Vậy có 675 1050 1725 tam giác Câu Số tam giác lập từ điểm A, B, C , D, E số tổ hợp chập nên ta có C53 10 (tam giác) Câu Một hình bình hành tạo từ cặp cạnh song song Chọn đường từ đường song song có C62 cách Chọn đường từ đường song song có C82 cách Áp dụng quy tắc nhân ta có C62 C82 hình bình hành Câu Tổng số cạnh đường chéo đa giác cho Cn2 Đa giác có n đỉnh có n cạnh nên số đường chéo đa giác n! n(n 1) Cn2 n 90 n 90 n 90 (n 2)!.2! n 15 n2 3n 18 n 15 n 12 Vậy n 15 Câu Mỗi vectơ thỏa yêu cầu toán ứng với chỉnh hợp chập 2010 nên số vectơ cần tìm là: A2010 4038090 Câu Trang 25 Để nhiều giao điểm 20 đường thẳng phải đổi cắt điểm phân biệt Vậy có C20 190 giao điểm Câu 10 Tam giác cần lập thuộc hai loại Loại 1: Tam giác có đỉnh thuộc d1 hai đỉnh thuộc d2 Loại có C10 Cn2 tam giác Loại 2: Tam giác có đỉnh thuộc d2 hai đỉnh thuộc d1 Loại có C102 Cn1 tam giác Theo ta có: C10 Cn2 C102 Cn1 2800 n(n 1) 45n 2800 n 8n 560 n 20 Câu 11 Để tạo thành tam giác có hai khả năng: Lấy điểm thuộc d1 điểm thuộc d lấy điểm thuộc d1 điểm thuộc d 10 Tổng số tam giác tạo thành là: S C10 Cn2 C102 Cn1 Theo giả thiết ta có S 1725 Ta có phương trình C10 Cn2 C102 Cn1 1725 10 n! n! 45 1725 2! (n 2)! (n 1)! n 15 5n(n 1) 45n 1725 5n2 40n 1725 n 15 n 23 Câu 12 Gọi A1, A2 ,, A2018 đỉnh đa giác 2018 đỉnh nội tiếp đường tròn (O) Các đỉnh đa giác chia (O) thành 2018 cung tròn nhau, cung trịn có số đo 3600 2018 Vì tam giác cần đếm có đỉnh đa giác nên góc tam giác góc nội tiếp (O) Suy góc lớn 1000 chắn cung có số đo lớn 2000 Cố định đỉnh A1 Có 2018 cách chọn A1 Gọi Ai Aj Ak đỉnh thứ tự theo chiều kim đồng hồ cho số đo cung nhỏ Ai Ak nhỏ 1000 số đo cung lớn Ai Ak lớn 2000 Suy Ai Aj Ak 1000 Ai Aj Ak tam giác cần đếm 160 Khi cung Ai Ak hợp liên tiếp nhiều 896 cung trịn nói 360 2018 896 cung trịn có 897 đỉnh Trừ đỉnh Ai cịn 896 đỉnh Do có C896 cách chọn hai đỉnh Aj Ak Vậy có tất 2018.C896 tam giác thỏa mãn Trang 26 ... chất C C 1; Cnk Cnnk ; n n n n k k ? ?1 Cn ; k 1 Cnk Cnk? ?11 ; k ? ?1 n ? ?1 Cnk Cnk? ?11 Cnk? ?1 ; Cnk kCnk nCnk? ?11 ; (k ? ?1) kCnk (n ? ?1) nCnk? ?11 Tổ hợp lặp Cho tập A a1; a2 ;;... 2!(n 1) ! Câu Điều kiện: k 12 , k 14 ! 14 ! 14 ! 2 (14 k )!k ! (12 k )!(k 2)! (13 k )!(k 1) ! 1 (14 k ) (13 k ) (k 1) (k 2) (13 k )(k 1) (k 1) (k 2) (14 ... nam, nữ có: C102 C103 cách + Chọn nam, nữ có: C102 C103 cách + Chọn nam, nữ có: C102 C103 cách Áp dụng quy tắc cộng ta có C102 C103 C103 C102 C104 C10 12 900 (cách) Câu Chọn vị trí cho giáo
Ngày đăng: 21/02/2022, 15:00
Xem thêm:
