Vaø neáu (x, y) laø nghieäm cuûa heä thì (y, x) cuõng laø nghieäm cuûa heä.. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ.[r]
(1)86
Bài 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Dạng: f(x,y)
f(y,x) = ⎧
⎨ =
⎩
2 Cách giải: Ta thường biến đổi hệ tương đương: f(x,y) f(y,x) f(x,y) f(y,x) f(x,y) f(x,y) f(y,x)
− = − =
⎧ ∨⎧
⎨ = ⎨ + =
⎩ ⎩
II CAÙC VÍ DỤ Ví dụ 1:
Hãy xác định a để hệ sau có nghiệm nhất:
2
2
y x 4x ax (1) x y 4y ay (2) ⎧ = − + ⎪
⎨
= − + ⎪⎩
(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1996) (1) - (2): (x y) x− ⎡ 2+y2+xy 4(x y) a y x− + + + + ⎤=0
⎣ ⎦
2
y x x y xy 3(x y) a ⇔ = ∨ + + − + + =
* x y : (1)= ⇔x3−5x2+ax 0= ⇔x(x2−5x a) 0+ =
x f(x) x 5x a (1) ⇔ = ∨ = − + =
Để có nghiệm nhất, (1) phải có: 0 f(0)
∆ =
⎧ ∨ ∆ < ⎨ =
⎩
f(0) 0VN ∆ = ⎧ ⎨ = ⎩
25 25 4a a
4 ∆ < ⇔ − < ⇔ >
* x2+y2+xy 3(x y) a 0− + + = ⇔y2+(x 3)y (x− + 2−3x a) 0+ =
2 2
2
(x 3) 4(x 3x a) 3x 6x 4a 3(x 1) (12 4a)
∆ = − − − + = − + + −
= − − + − <
87
Khi a 25
> Vậy a 25
> hệ có nghiệm nhất: x = y = Ví dụ 2:
Chứng minh hệ phương trình sau có nghiệm nhất:
2
2
a 2x y
y (I) (a 0)
a 2y x
x ⎧
= + ⎪
⎪ ≠
⎨
⎪ = + ⎪⎩
Giải Điều kiện x > 0, y >
Heä (I) 2x y y22 22 a22 2x y y2 a2
(x y)(2xy x y) 2y x x a
⎧ = + ⎧ = +
⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨
− + + = ⎪
= +
⎪ ⎩
⎩
3 2
x y
(*) 2x x a
= ⎧⎪ ⇔ ⎨
− = ⎪⎩
Đặt f(x) 2x= 3−x2⇒f '(x) 6x= 2−2x ; f '(x) x x = ⇔ = ∨ = Bảng biến thiên:
(2)88
Ví dụ 3:
Định m để hệ phương trình: x33 y22 7x22 mx y x 7y my ⎧ = + − ⎪
⎨
= + −
⎪⎩
Có nghiệm nhất:
Giải Ta nhận thấy x = 0, y = nghiệm hệ
Và (x, y) nghiệm hệ (y, x) nghiệm hệ Vậy để hệ có nghiệm x = y
⇒phương trình : x3−x2−7x2+mx 0= ⇔x3−8x2+mx 0= có nghiệm
3 2
x −8x +mx 0= ⇔x(x −8x m) 0+ = (*)
x
x 8x m (**) =
⎡ ⇔ ⎢
− + = ⎢⎣
Để (*) có nghiệm ⇔(*)có nghiệm x = (**) VN ' 16 m m 16
⇔ ∆ = − < ⇔ > III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
3.1 Giải hệ phương trình: x33 2x y y 2y x ⎧ = + ⎪
⎨
= + ⎪⎩
3.2 Định m để hệ phương trình sau có nghiệm :
2
x y m y x m ⎧ + + = ⎪
⎨
⎪ + + = ⎩
3.3 Giaûi biện luận hệ : x(3 4y ) m(3 4m )22 22 y(3 4x ) m(3 4m )
⎧ − = −
⎪ ⎨
− = −
⎪⎩
89
Hướng dẫn giải tóm tắt 3.1 x33 2x y (1)
y 2y x (2) ⎧ = + ⎪
⎨
= + ⎪⎩
(1) – (2): x3−y3= − ⇔x y (x y)(x− 2+y2+xy 1) 0− = 2
x y
x y xy =
⎡ ⇔ ⎢
+ + − = ⎢⎣
Hệ cho tương đương với:
2
3 3
x y x y xy
(I) (II)
x 2x y x y 3(x y) ⎧
=
⎧ + + − =
⎪ ∨ ⎪
⎨ ⎨
= +
⎪ ⎪ + = +
⎩ ⎩
Giaûi (I) : x x x
y y 3 y 3
⎧ ⎧
= = = −
⎧ ∨⎪ ∨⎪
⎨ = ⎨ ⎨
= = −
⎩ ⎪⎩ ⎪⎩ Giaûi
2 (x y) xy (II) : (II)
(x y) (x y) 3xy 3(x y) ⎧ + − − =
⎪
⇔ ⎨ + ⎡ + − ⎤= +
⎪ ⎣ ⎦
⎩
2
2
2
s
s p s p s x y
VN
p xy s p
s(s 3p) 3s s 3p
⎧ − − = ⎧ = ⎧ = + ⎛ = + ⎞
⎪ ⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨ ∨⎨ ⎜ ⎟
= − =
⎪ ⎝ ⎠
− = = +
⎪ ⎩ ⎪
⎩ ⎩
s x x
p y y
= = = −
⎧ ⎧ ⎧
⇔⎨ ⇔⎨ ∨⎨
= − = − =
⎩ ⎩ ⎩
Đáp Số: (0,0) , ( 3, 3), (1, 1),( 1,1),( 3,− − − − 3)
3.2
0
0 0 0
x y m Neáu he äco ùnghiệm (x ,y )thì có y x m nghieäm( x , y ),(y ,x ),( y , x ) ⎧ + + =
⎪ ⎨
⎪ + + = − − − −
⎩
Vậy điều kiện để hệ có nghiệm x0=y0=0 vào hệ ta m= Thử lại: m=
2
x y x x ⎧ + + = ⎪
⎨
(3)90
Neáu x : x2 2 VN y
⎧ + > ⎪
≠ ⎨ ≥ ⎪⎩
Neáu y : y2 2 x ⎧ + > ⎪
≠ ⎨ ≥
⎪⎩ VN
Vậy x = y = nghieäm m= 3.3 x(3 4y ) m(3 4m ) (1)22 22
y(3 4x ) m(3 4m ) (2)
⎧ − = −
⎪ ⎨
− = −
⎪⎩
(1) – (2): (x - y) (3 + 4xy) =
TH 1: x = y : (1)⇔4x2−3x 3m 4m+ − 3=0
2
(x m)(4x 4mx 4m) 0
x m
4x 4m 3 4m (3)
⇔ − + − + =
= ⎡
⇔ ⎢ + − + =
⎣
' 4(m 4m 3)
∆ = − +
m m :≤ ∨ ≥ phương trình (3) có nghiệm x ,x1 2⇒hệ có nghieäm m m := ∨ = Phương trình (3) có nghiệm kép: x1 x2 m
2
= = − ⇒hệ có nghiệm
TH 2: 4yx xy + = ⇔ = −
Mặt khác (1) + (2): 3(x y) 4xy+ − 2−4x y 2m(3 4m )2 = − 2
2
(x y)(3 4xy) 2m(3 4m ) m(3 4m )
x y
3
⇔ + − = −
− ⇒ + =
x,y
⇒ nghiệm phương trình: t2 m(3 4m )2 t 0
3
−
− − =