PP giai HPT doi xung Pham Hung Vuong

PP giai HPT doi xung Pham Hung Vuong tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...

Diễn đàn Tốn học VMF CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phạm Hùng Vương Học sinh lớp 12C1 trường THPT Phan Đăng Lưu, Nghệ An I Lời nói đầu Chuyên đề kết thu qua thời gian học tập nghiên cứu thân hệ phương trình Tuy nhiên nói rằng, kết tinh qua nhiều hệ, giúp đỡ, học hỏi từ người bạn nhiều yếu tố khác Để đạt hiệu cao tham khảo chuyên đề này, xin trích dẫn lời nhà giáo G.Polya: " [ ] Một số tốn có nêu lời giải đầy đủ (tuy vắn tắt), số khác, vạch bước giải đầu tiên, đưa kết cuối Một số tốn có kèm thêm dẫn để giúp người đọc giải dễ dàng Chỉ dẫn nằm toán khác gần toán xét Nên đặc biệt lưu ý đến nhận xét mở đầu trước tập hay nhóm tập gặp thấy chương Nếu chịu khó, gắng sức giải tốn dù không giải nữa, bạn đọc thu hoạch nhiều điều bổ ích Chẳng hạn, bạn đọc giở xem (ở sách) phần đầu lời giải, đem đối chiếu với suy nghĩ thân mình, gấp sách lại thử gắng tự lực tìm phần lại lời giải Có lẽ thời gian tốt để suy nghĩ, nghiền ngẫm phương pháp giải toán lúc bạn vừa tự lực giải xong toán hay vừa đọc xong lời giải toán sách, hay đọc xong phần trình bày phương pháp giải sách Khi vừa hoàn thành xong nhiệm vụ, ấn tượng "nóng hổi", nhìn lại nổ lực vừa qua mình, bạn đọc phân tích sâu sắc tính chất khó khăn vượt qua Bạn đọc đọc tự đặt cho nhiều câu hỏi bổ ích: "Khâu q trình giải quan trọng nhất? Khó khăn chủ yếu chỗ nào? Ta làm cho tốt hơn? Chi tiết liếc qua mà khơng ý đến muốn "nhìn thấy" chi tiết đầu óc phải có tư chất sao? Liệu có cách đáng lưu ý để sau gặp tình tương tự, ta áp dụng khơng?" Tất câu hỏi hay cả, nhiều câu hỏi bổ ích khác nữa, câu hỏi hay câu hỏi tự nhiên nảy óc, khơng cần gợi ý cả!" (trích "Mấy lời khun dẫn" -G.Polya "Sáng tạo toán học") Do thời gian số vấn đề khác kiến thức, trình bày, mà chun đề nhiều khiếm khuyết Rất mong bạn quan tâm chia sẻ đề hoàn thiện chuyên đề Hi vọng tài liệu bổ ích giúp vượt qua chẳng nhỏ chặng đường chinh phục toán học II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CŨ Hệ phương trình đối xứng kiểu I Nhận dạng: Hệ đối xứng kiểu I: gồm phương trình ẩn x,y mà vai trò x,y phương trình a(x + y) + bx y = c S =x+y Và phương pháp giải đặt ẩn phụ: Giải tìm S, P 2 x +y =c P = xy sau sử dụng định lí Vi-et, dễ thấy x, y nghiệm phương trình: X − S.X + P = Ví dụ: Cùng xem xét vài ví dụ (cách giải số hướng giải mới) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Diễn đàn Toán học VMF Ví dụ 1— (Đề thi HSG lớp Tỉnh Bến Tre năm 2009-2010) Giải hệ phương trình: x + y − 2x − 2y = x + y −xy = Lời giải: Đặt S = x + y, P = x y , ta thu hệ tương đương: S − 2P − 2S = ⇔ S −P = S − 4S + = ⇔ P = S −2 S =2 P = −3 Như vậy, theo định lí Vi-ét, x, y nghiệm phương trình: X − 2X − = ⇔ (X − 3)(X + 1) = ⇒ x = 3, y = −1 x = −1, y = Vậy hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn là: (−1; 3) (3; −1) Những giải trở nên quen thuộc, khơng lạ Tuy nhiện, có số hệ, dù biết đối xứng kiểu I, lại phải làm để sử dụng được? Hãy xem ví dụ: Ví dụ 2— (ĐH-CĐ Khối A năm 2006) Giải hệ phương trình: x + y − xy = x +1+ y +1 = Lời giải: Ý tưởng 1: Bình phương hai vế pt hệ thành x + y − xy = x + y + + x y + x + y + = 16 Thử đặt cũ: S = x + y, P = x y , hệ trở thành: S− P =3 ⇔ S + P + S + = 14    S = P +3 S = P +3 ⇔ 3P − 26 P − 105 =  P + P + = 11 − P  ≤ P ≤ 121 Đến đây, giải tìm P , sau quay lại giải tìm nghiệm x, y ( ý điều kiện) Hơn nữa, nhớ: S ≥ 4P để loại bớt nghiệm Ý tưởng 2: Đặt ẩn a = x + 1, b = y + nhằm làm đơn giản phương trình hệ (kĩ thuật đặt ẩn làm gọn rát có ý nghĩa, đặc biệt bất đẳng thức (BĐT) có giả thiết rườm rà, với phương trình hay hệ vậy) Khi đó: HPT ⇔ a +b = a2 + b2 − − (a − 1)(b − 1) = ⇔ S =4 S − 2P − − P − S + 2P + = ⇔ S =4 P + 2P − 15 = 11 − 2P Trong S = a + b, P = ab Đến đây, ta giải tương tự Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Diễn đàn Toán học VMF Ví dụ 3— Giải hệ phương trình: (Thi thử ĐH-CĐ, THPT chuyên Nguyễn Huệ 2011) x +1+ x +6+ y −1 = y +4 = Ví dụ 4— (Đề thi HSG lớp tỉnh Nghệ An năm 2009-2010)  1    + + =2 x y z Giải hệ phương trình:   − =4  xy z Ví dụ 5— Giải hệ phương trình: (x + y)(1 + x y) = 4x y (x + y )(1 + x y ) = 4x y Thực ra, dạng hệ đối xứng kiểu I có hướng giải đơn giản, rõ ràng với việc đặt ẩn sử dụng định lí Vi-ét Chính mà hệ đối xứng kiểu I thường gắn với việc giải biện luận, sở trường phương pháp này! Chúng ta xét số ví dụ sau Ví dụ 6— Tìm a để hệ phương trình (Đề thi HSG lớp tỉnh Hà Nội năm 2009-2010) ay + x + y = a +1 có nghiệm x2 y + x y = a S +P = a +1 SP = a Theo Vi-ét, S P nghiệm phương trình: X − (a + 1)X + a = (1) Hơn nữa, theo Vi-ét x, y lại nghiệm phương trình: X − S.X + P = (2) Do đó, để hệ có nghiệm (2) có nghiệm nhất, tức ∆(2) = ⇔ S = 4P ⇔ x = y Hoặc dùng nhận xét: vai trò x, y phương trình hệ nên hệ có nghiệm (m; n) có nghiệm (n; m) Như để hệ có nghiệm cần có x = y Thế vào được: Lời giải: Đặt : S = x + y, P = x y , ta có hệ mới: x + 2x = a + ⇔ 2x = a x + 2x − (a + 1) = (∗) x= a Để hệ có nghiệm (∗) có nghiệm x = −2 = −1 ⇒ 2.1 a = −1 ⇔ a = −2 Thử lại thấy thỏa mãn Kết ln giá trị cần tìm a = −2 Ví dụ 7— (Đề thi HSG lớp Tỉnh Hưng Yên năm 2009-2010) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: Ví dụ 8— x+ y =m x + y − xy = m (Thi thử ĐH-CĐ THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên 2011) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm: Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x +1+ y +1 = a x + y = 2a + Diễn đàn Toán học VMF Nếu đơn hệ đối xứng kiểu I chắn nhanh chóng giải Chính vậy, mà sau ví dụ cần dùng kĩ thuật nhỏ chuyển hệ đối xứng kiểu I (Phần kĩ trình bày rõ mục sau) Ví dụ 9— Giải hệ phương trình: (x − 1)2 + 6(x − 1)y + 4y = 20 x + (2y + 1)2 = Nhận xét: Quan sát thấy hệ đối xứng kiểu I Nhưng! Hãy xem Lời giải: Đặt a = x − 1, b = 2y hệ trở thành: a + 3ab + b = 20 (a + 1)2 + (b + 1)2 = Đúng hệ đối xứng kiểu I! Bây giờ, phương pháp Có thể nói rằng, vấn đề đặt gọn ln ẩn điều thú vị ta tinh ý biểu thức nhìn có vấn đề Như ví dụ chẳng hạn, phải biết nghi ngờ (x − 1), đặt ngoặc Hãy tiếp tục với hệ sau: Ví dụ 10— Giải hệ phương trình: x + 6x y + 4y = 19 + 2y + 6y (1) x + 4y = − 4y (2) Có thể thấy, ví dụ 10 ví dụ 11 Nhưng nghiệm theo cách đặt ẩn gọn đặt Nếu đặt a = x − 1, b = 2y lại biết mà đặt Đây vấn đề cần bàn Nếu theo phân tích phương trình (1) có nhiều phương án: chẳng hạn nghĩ đến đẳng thức: (1) ⇔ (x + 3y)2 − 5y2 = 19 + 2(x + 3y), v.v Có nhiều đẳng thức nghĩ tới để đặt Nhưng với phương trình (2) lại khác: có đằng thức cần ý: (2) ⇔ x +(2y + 1)2 = Như vậy, ý tưởng đặt làm gọn (2) mở ra: a = 2y + 1, thấy phương trình (1) hệ số y ln chẵn, thế 2y = a − (đây trùng hợp ngẫu nhiên Hãy nghĩ vậy) Việc làm lại rõ rồi, ta thu hệ đối xứng kiểu I tiếp tục giải Hãy thử với ví dụ: Ví dụ 11— Giải hệ phương trình: x − 4x + (y − 3)2 = x y + x + 2y − 22 = Ví dụ 12— Giải hệ phương trình: (x − y)2 = − x y x(x y + y + 1) = y(x y + 1) + Thậm chí có có cách đặt đưa hệ đối xứng thú vị, khó mà thấy khơng qua chút biến đổi Vì vậy, cố gắng quan sát đặt gọn phù hợp Ví dụ 13— Giải hệ phương trình: Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x + y = + 4x − 4y 3x + x y − y = 15 Diễn đàn Tốn học VMF Ví dụ 14— Giải hệ phương trình: (THTT số 379 năm 2009) x y − 3x − 2y = 16 x + y − 2x − 4y = 33 Ví dụ 15— Giải hệ phương trình: Lời giải: x2 + y = 2x + 3x y − 2y + 3x + y = (xem giải mục II phương pháp 02) Hơn nữa, dạng hệ đối xứng kiểu I hay vận dụng đẳng thức (đang có xu hương lớn đề thi thử): rõ 1 y + y = ( + y)2 − Tiếp tục với ví dụ sau, bạn thấy x x x    y + y =6 x2 x Ví dụ 16— Giải hệ phương trình:   + y2 = x2 Ví dụ 17— Giải hệ phương trình: x y + y + x − 7y = x y + x − 12y =   2   (x + y ) + =9 xy Ví dụ 18— Giải hệ phương trình:    (x + y )(1 + ) =4 xy   x y(2x + y − 6) + 2x + y = Ví dụ 19— Giải hệ phương trình:  (x + y ) + =8 xy Và dạng (ở phần cuối chuyên đề) Hệ phương trình đối xứng kiểu II Nhận dạng: Cũng loại I, loại II “đối xứng” đối xứng phương trình khơng khơng phải đối xứng phương trình kiểu I Một cách nhận dạng khác cho x = y phương trình hệ Hay nói cách khác x = y nghiệm hệ Đây đặc điểm khai thác hệ Phương pháp: Thông thường, ta trừ theo vế ta thu nghiệm x = y , số nghiệm khác Sau thay lại tìm nghiệm (x; y) Cùng xem xét số ví dụ đơn giản Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Diễn đàn Tốn học VMF Ví dụ 20— Giải hệ phương trình: x + y = 5x + y + x = 5y + Lời giải: Trừ theo hệ thu đươc: x − y = 6(x − y) ⇔ (x − y)(x + y − 6) = Do đó, hệ phương trình cho tương đương với:      x=y x − 4x + = x+y =6 x + x − (6 − x) = −3  x =y =1 x =y =3 x = 3, y = x = −9, y = 15   ⇔   x =y =1 ⇔ x =y =3 x = −9, y = 15 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y = {(−9; 15) , (1; 1) , (3; 3)} Ví dụ 21— Giải hệ phương trình: x = 2y + y = 2x + Lời giải: Trừ theo vế hệ ta thu được: x − y = 2(y − x) ⇔ (x − y)(x + x y + y + 2) = ⇔ x = y y Vì x + x y + y + = (x + )2 + y + > Như x = y vào hệ, ta cần giải phương trình:  x =1 x =1  ⇔ −1 ± x2 + x − = x= x − 2x + = ⇔ (x − 1) x + x − = ⇔ −1 ± ;1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x = • Chú ý: Khi trừ theo vế, ta thu đươc: x + 2x = y + 2y Nếu khơng dùng phân tích trên, ta tính đạo hàm: f (t ) = t + 2t có f (t ) = 3t + > nên suy ra: x = y • Nhận xét: Đơn giản trừ vế theo vế, với khác lại cần thêm kĩ thuật khai thác khác để xuất (x–y) Hãy xem: Ví dụ 22— (Thử sức trước kì thi, THTT số 407, 2011) Giải hệ phương trình: x + 10 + y − = 11 y + 10 + x − = 11 Lời giải: Điều kiện phân thức có nghĩa: x, y ≥ Chú ý x = y = không nghiệm hệ nên trừ theo vế phương trình hệ nhân lượng liên hợp ta có: x + 10 − ⇔ x−y y + 10 + x + 10 + y + 10 − y −1− x −1 = x −1 + y −1 =0⇔x =y (Vì x + 10 + y + 10 > x − + y − nên biểu thức lại vơ nghiệm) Thế x = y vào ta dễ dàng giải phương trình hệ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Diễn đàn Toán học VMF • Mở rộng cách nhìn hệ đối xứng kiểu II Trước hết, xem xét cách giải hệ phương trình sau: x3 + y = y + x2 = Ví dụ 23— Giải hệ phương trình: Lời giải: Trừ theo vế phương trình hệ ta thu được: x3 − y + y − x2 = ⇔ x − y ⇔ x2 + x y + y − x + y =0 x=y x2 + x y + y = x + y Trường hợp: x = y giải phương trình:   x3 + x2 − = ⇔ x = y =  25 69 − + 2 25 69 + − 1 2 Cộng theo vế phương trình kết hợp với x + x y + y = x + y ta hệ đối xứng loại I: x2 + x y + y = x + y x3 + y + x2 + y = ⇔ (x + y)2 − x y = (x + y) (x + y)3 − 3x y(x + y) + (x + y)2 − 2x y = Đặt S = x + y , P = x y , hệ trở thành: S2 − P = S ⇔ S − 3SP + S − 2P = S + S − − (3S + 2)(S − S) = P = S2 − S (S − 1)(S + 1) = ⇔ P = S2 − S S =1 ⇔ P =0 x = 1, y = x = 0, y = Vậy hệ cho có nghiệm • Qua giải trên, hẳn nhận rõ vai trò việc kết hợp “cộng” “trừ” để đưa đến hpt đối xứng kiểu I (đây hướng nhìn mới) Việc làm hồn tồn có sở Hãy xem lại câu nói: “Cũng loại I, loại II có “đối xứng” đối xứng phương trình khơng phải đối xứng phương trình kiểu I” Như vậy, cộng theo vế cho hai phương trình đối xứng kiểu I Và việc lấy nghiệm (x − y) sau trừ để lại cho ta phương trình đối xứng x3 + y = y3 + x = Ví dụ 24— Giải hệ phương trình: • Và đơi lúc việc cộng trừ không đem lại cho ta kết khả quan: Ví dụ 25— Giải hệ phương trình:     x+    y+ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2x y x − 2x + 2x y y − 2y + = x2 + y = y2 + x Diễn đàn Toán học VMF Nhận xét: Quả đúng, cộng hay trừ ta làm với khủng khiếp Tuy nhiên, số điểm ta lại thấy rõ đáng phải nghĩ bậc kia, có đẳng thức: (x − 1)2 + = x − 2x + Nhẩm nghiệm x = y = = (căn đẹp!) Phải liên kết sử dụng chúng nào? 2x y Lời giải: Cộng theo vế hệ phương trình: x − 2x + + 2x y y − 2y + = x + y Sử dụng đánh giá: x − 2x + = (x − 1)2 + ≥ ⇒ 2x y x − 2x + ≤ 2x y = xy Tương tự ta có: 2x y y − 2y + ≤ xy ⇒ 2x y x − 2x + + 2x y y − 2y + ≤ 2x y = x + y − (x − y)2 ≤ x + y Vậy hệ có nghiệm x = y = 1, thử lại thấy đúng, kết luận nghiệm • kiểu hệ đối xứng I II dạng Tuy nhiên, qua “chế biến” người đề khơng thể nói trước điều Vì vậy, cần có nhìn tổng quan, nhìn nhiều khía cạnh, khơng nên biết nhìn hình thức rập khuôn lời giải dạng Một số ví dụ thêm: Ví dụ 26— (Thi thử ĐH CĐ THPT Lê Văn Hưu, Thanh Hóa năm 2011)   2x + x − = Giải hệ phương trình: y  y − y x − 2y = −2 Ví dụ 27— Giải hệ phương trình: Ví dụ 28— Giải hệ phương trình: x (2 + 3y) = (y − 2)x = (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Phan Bội Châu 2009-2010) x (2 + 3y) = (y − 2)x = Ví dụ 29— (Thi ĐH - CĐ khối B 2003)  y2 +    3y = x2 Giải hệ phương trình: x   3x = +  y2 Ví dụ 30— Giải hệ phương trình: (Olympic 30-4-2010) x + 2x + 22 − y + 2y + 22 − Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com y = y + 2y + x = x + 2x + Diễn đàn Toán học VMF Ví dụ 31— (Thi thử ĐH năm 2011, THTT số 379, 2009) Giải hệ phương trình: x+ y+ x − 2x + = y−1 + y − 2y + = 3x−1 + Ví dụ 32— Giải hệ phương trình: x + x − 2x + = y−1 + y + y − 2y + = 3x−1 + III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỚI Phương pháp 01: Hằng số = t = ẩn số: Xem xét cách giải số ví dụ sau: Ví dụ 33— (Hệ phương trình TST Nghệ An 2009-2010)    x2 + y = Giải hệ phương trình: 57   = −y(3x + 1) 4x + 3x − 25 Lời giải: Nhân phương trình sau hệ với cộng theo vế với phương trình đầu ta được: 12 144  3x + y + = 119 ⇔ (3x + y + 1) = ⇔ 9x + y + 6x y + 6x + 2y = 12 25 25 3x + y + = −  2 Đến vào phương trình ban đầu ta giải phương trình bậc xong Ví dụ 34— Giải hệ phương trình: (x − y)2 + y = x + 2x y − 5y − 5x + 13y = Lời giải: Nhân vào phương trình đầu trừ theo vế với phương trình sau ta được: 2x + 8y − 8x y + 5x − 10y = ⇔ 2(x − 2y)2 + 5(x − 2y) − = ⇔ (x − 2y + 3)(2x − 4y − 1) = ⇔ x − 2y = −3 2x − 4y = Đến đây, trường hợp thay vào phương trình ban đầu xong • Nhận xét: Hai giải thật hay, đơn giản với cơng việc nhân thêm cộng lại, sau phân tích thành nhân tử Nhưng! Điều băn khoăn thắc mắc việc biết phải nhân với số Đây sở để đến phương pháp ẩn số = t = số • Như biết, chưa biết ẩn số Đây vậy, để biết cần nhân với bao nhiêu, ta đưa thêm ẩn t vào Do đó, hpt có đến tận ẩn với giả Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Diễn đàn Tốn học VMF thuyết Như vậy, phải có thêm ràng buộc Nó gì? Quan sát lại ví dụ lần • Phương pháp: Hằng số = t = ẩn số: - Phạm vi ứng dụng: hệ phương trình ẩn x , y có bậc khơng q - Cơ sở phương pháp: giải phương trình bậc Xét phương trình: ax + bx + c = Có: ∆ = b − 4ac Nếu: ∆ < phương trình vơ nghiệm thực Nếu ∆ > phương trình có nghiệm phân biệt Đặc biệt: ∆ = phương trình có nghiệm nhất, tức phương trình tương đương với: a x+ b 2a =0 Đây sở phương pháp (Bài viết khơng trình bày giải hệ phương trình tổng quát mà thực giải chi tiết ví dụ cụ thể nhằm tạo cho bạn tu duy, suy nghĩ tự hình thành cho phương pháp kĩ Hơn việc trình bày tổng quát phức tạp) Hãy xem xét lại ví dụ trên: Thay nhân vào số Ví dụ 1, số Ví dụ mà dường ta biết, ta nhân vào số t Ví dụ 35— (Hệ phương trình TST Nghệ An 2009-2010)    x2 + y = Giải hệ phương trình: 57   4x + 3x − = −y(3x + 1) 25 Lời giải: Nhân t vào phương trình đầu cộng theo vế với phương trình sau ta có: t y + y(3x + 1) + (t + 4)x + 3x − 5t + 57 =0 25 Xem phương trình bậc ẩn y , xét: ∆ y = (3x + 1)2 − 4t (t + 4)x + 3x − = (9 − 4t − 16t )x + 6x(1 − 2t ) + + 5t + 57 25 4t (5t + 57) 25 Để xuất nhân tử ∆ y = f (x) thì: (9 − 4t − 16t )x + 6x(1 − 2t ) + + 4t (5t + 57) = f (x) 25 ⇔ ∆x = ⇔ 9(1 − 2t )2 − 4(9 − 16t − 4t ) + ⇔ (1 − 2t ) − 2t − 4(9 + 2t ) + Dễ thấy t = 4t (5t + 57) =0 25 4t (5t + 57) 25 =0 giá trị thỏa mãn • Để có lời giải gọn đẹp trình bày giải, nhân thêm vào phương trình sau thay nhân vào phương trình đầu Từ ta có lời giải gọn đẹp Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Diễn đàn Tốn học VMF Ví dụ 36— Giải hệ phương trình: (x − y)2 + y = x + 2x y − 5y − 5x + 13y = Lời giải: Chúng ta thực công việc nhân t trên: Nhân t vào phương trình đầu cộng theo vế phương trình ta được: (t − 5)y + y [2x(t − 1) + t + 13] + (t + 1)x − 5x − 3(t + 2) ∆ y = [2x(t − 1) + t + 13]2 − 4(t − 5) (t + 1)x − 5x − 3(t + 2) = 8(3 + t )x − 4x(t + 7t + 12) + 9t + 2t + 249 = f (x) Khi xem xét phương trình nhận thấy t = −3 cho ta f (x) = 182 để ý t + 7t + 12 = (t + 3)(t + 4) Từ ta có lời giải Một số ví dụ thêm: Ví dụ 37— Giải hệ phương trình: x2 + y = x y + x + y x2 − y = Ví dụ 38— Giải hệ phương trình: x + 2y = 3x − 2(x + y − 1) = 2x y Ví dụ 39— (THTT số 379, tháng năm 2011) Giải hệ phương trình: y = (5x + 4)(4 − x) y − 5x − 4x y + 16x y − 8y + 16 = Ví dụ 40— (ĐH CĐ khối A, năm 2008)    x2 + y + x3 y + x y + x y = − Giải hệ phương trình:   x + y + x y(1 + 2x) = − Ví dụ 41— Giải hệ phương trình: x2 − y = x2 + y = x y + x + y • Một số lưu ý sử dụng phương pháp (Xem phần tản mạn) Cần linh hoạt việc chọn lựa nhân t phương trình để thuận lợi việc phân tích • Mở rộng phương pháp: • Cở sở suy luận: bạn có nghĩ, liệu có bắt buộc bậc x y hệ phải bậc Đúng, để ln giải thiết phải yêu cầu bậc Tuy nhiên, hay Tốn đa dạng, muôn màu muôn vẻ, bắt buộc phải tinh tế, sáng tạo phương pháp suy nghĩ Biết chưa giải 10 Trước hết, xem hệ sau Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Diễn đàn Toán học VMF Ví dụ 42— Giải hệ phương trình: (Thi thử ĐH CĐ năm 2011) x + 2x y + x y = 2x + x + 2x y = 6x + Bậc cao x 4, bậc y lại Hơn nữa, quan sát tinh ý hơn: x + 2x (x y) + (x y)2 = 2x + x + 2x y = 6x + (thì nên gom xem x y ẩn) Nhân thêm số t vào phương trình sau cộng theo vế với phương trình đầu, ta được: x y + 2x y(t + x ) + x + t x − 2x(1 + 3t ) − − 6t = ∆x y = (t + x )2 − x − t x + 2x(1 + 3t ) + + 6t = t x + 2x(1 + 3t ) + (t + 3)2 = f (x) ⇔ ∆x = (1 + 3t )2 − 4t (t + 3)2 = Dễ thấy t = nghiệm phương trình nên hệ số cần nhân Việc trình bày lời giải lại xin dành cho bạn đọc • Hệ đặc biệt rút gọn ta thu ∆x y tam thức bậc Qua sở phương pháp áp dụng Nhưng Ví dụ sau sao? Ví dụ 43— Giải hệ phương trình: + x y = 19x x y + y = −6x • Nhận xét: ý bậc cao y bậc Nhưng có vấn đề cần bàn đây? Nháp: Nhân t vào phương trình sau cộng lại Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ... nghĩa, đặc biệt bất đẳng thức (BĐT) có giả thiết rườm rà, với phương trình hay hệ vậy) Khi đó: HPT ⇔ a +b = a2 + b2 − − (a − 1)(b − 1) = ⇔ S =4 S − 2P − − P − S + 2P + = ⇔ S =4 P + 2P − 15 =... Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Diễn đàn Tốn học VMF Ví dụ 3— Giải hệ phương trình: (Thi thử ĐH-CĐ, THPT chuyên Nguyễn Huệ 2011) x +1+ x +6+ y −1 = y +4 = Ví dụ 4— (Đề thi HSG lớp tỉnh Nghệ An năm... 2009-2010) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: Ví dụ 8— x+ y =m x + y − xy = m (Thi thử ĐH-CĐ THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên 2011) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm: Tìm tài liệu Toán