Phương pháp giải hệ đối xứng loại 1- Phạm Thành Luân

79 Bài 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Dạng : f(x,y) 0 (I) g(x,y) 0 = ⎧ ⎨ = ⎩ với f(x,y) f(y,x)= và g(x,y) g(y,x)= 2. Cách giải: Đưa hệ (I) về hệ : F(S,P) 0 (II) G(S,P) 0 = ⎧ ⎨ = ⎩ với S = x + y , P = xy Giải hệ (II) S,P⇒ và x,y là nghiệm của phương trình : 2 tStP0−+= Điều kiện để (I) có nghiệm là hệ (II) có nghiệm thỏa: 2 S4P0 − ≥ . II. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : 22 xyxy7 xyxy5 ⎧ ++= ⎪ ⎨ ++ = ⎪ ⎩ Giải Đặt s = x + y, p = xy, ta có: Hệ 22 s4 sp7 ss120 p9 sp5 p5s ⎧⎧ =− ⎧ −= +− = ⎪⎪ ⇔⇔ ⇔ ⎨⎨ ⎨ = += =− ⎪⎪ ⎩ ⎩⎩ (loại vì không thỏa 2 s4p0− ≥ ) s3 x1 x2 p2 y2 y1 === ⎧⎧⎧ ∨⇔∨ ⎨⎨⎨ === ⎩⎩⎩ vậy nghiệm (1, 2), (2, 1). 80 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : 22 22 11 xy 5 xy 11 xy 9 xy ⎧ ++ + = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ + ++= ⎪ ⎩ (ĐH Ngoại Thương TPHCM, Khối A, D năm 1997) Giải Đặt 22 2 22 2 1 1 xu2 ux xx 11 vy y v 2 y y ⎧ ⎧ + =− =+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ = ++=− ⎪⎪ ⎩ ⎩ Hệ 22 2 uv5 uv5 uv5 uv 6 uv13 (uv)2uv13 += += ⎧⎧ + = ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⇔ ⎨⎨ ⎨ = += + − = ⎪⎪ ⎩ ⎩⎩ u,v ⇒ là nghiệm của phương trình : 2 560α −α+ = u2 u3 3x2 v3 v2 = = ⎧⎧ ⇔α= ∨ = ⇒ ∨ ⎨⎨ = = ⎩⎩ * u = 2, v = 3: 1 x1 x1 x2 x 35 35 1 yy y3 22 y ⎧ == += ⎧⎧ ⎪ ⎪⎪⎪ ⇔⇔ ∨ ⎨⎨⎨ +− == ⎪⎪⎪ += ⎩⎩ ⎪ ⎩ * u = 3, v = 2: 1 x1 x3 35 x x 2 35 1 y y2 y1 2 y ⎧ = += ⎧⎧ − ⎪ ⎪⎪⎪= ⇔⇔ ∨ ⎨⎨⎨ − = ⎪⎪⎪ += = ⎩⎩ ⎪ ⎩ ⇒ nghiệm hệ: 35 35 1, ; 1, 22 ⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 35 35 ,1 ; ,1 22 ⎛⎞⎛⎞ +− ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 81 Ví dụ 3: Tìm các giá trò của a để hệ sau đây có đúng 2 nghiệm. 22 2 xy2(1a) (x y) 4 ⎧ += + ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ (ĐH Y Dược TPHCM năm 1998). Giải Ta có: 22 2 22 x y 2(1 a) (x y) 2xy 2(1 a) (x y) 4 (x y) 4 ⎧⎧ +=+ + − =+ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ += += ⎪⎪ ⎩⎩ xy 1 a xy 1 a xy2 xy 2 =− =− ⎧⎧ ⇔∨ ⎨⎨ += +=− ⎩⎩ Điều kiện hệ có nghiệm là: (x y)h2 4xy 0 4 4(1 a) 0 a 0+−≥⇔−−≥⇔≥ x,y⇒ là nghiệm của phương trình : 2 21a0α−α+− = hoặc 2 21a0α+α+− = Có cùng biệt số: ' 1 (1 a) a∆= − − = Và có 4 nghiệm khác nhau: 1a,'1aα= ± α =− ± khi a > 0 Nên chỉ đúng 2 nghiệm khi a = 0. xy1,⇒α=== 'xy 1α===−. Tóm lại hệ có đúng hai nghiệm: (1, 1); (-1, -1) khi a = 0. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình : 22 22 1 (x y) 1 5 xy 1 (x y ) 1 49 xy ⎧ ⎛⎞ ++= ⎪ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪ ⎨ ⎛⎞ ⎪ ++= ⎜⎟ ⎪ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎩ (ĐH Ngoại Thương Khối A năm 1999). Giải Hệ 2 2 11 xy5 xy 11 xy53 xy ⎧ ⎛⎞ ⎛⎞ +++= ⎪ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎪ ⇔ ⎨ ⎛⎞ ⎪ ⎛⎞ +++= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎩ Đặt 1 xu x 1 yv y ⎧ += ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ += ⎪ ⎩ 82 22 2 uv5 uv5 uv5 uv 14 uv53 (uv)2uv53 += += ⎧⎧ + = ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⇔ ⎨⎨ ⎨ = − += + − = ⎪⎪ ⎩ ⎩⎩ u,v⇒ là nghiệm phương trình: 2 u7 u 2 x5x140 v2v7 = =− ⎧⎧ −−=⇔ ∨ ⎨⎨ = −= ⎩⎩ Với 1 x7 745 745 x xx ; 22 1 y2 y1 y1 y ⎧ += ⎧⎧ +− ⎪ ⎪⎪=⎪= ⇒ ⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪ +=− =− =− ⎩⎩ ⎪ ⎩ Với 1 x1 x1 x2 x ; 745 745 1 yy y7 22 y ⎧ =− =− +=− ⎧⎧ ⎪ ⎪⎪⎪ ⇒ ⎨⎨⎨ +− == ⎪⎪⎪ += ⎩⎩ ⎪ ⎩ III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 2.1. Cho hệ phương trình: 222 xy2a1 xya2a3 += − ⎧ ⎪ ⎨ + =+− ⎪ ⎩ Đònh a để hệ có nghiệm (x, y) và xy nhỏ nhất. 2.2. Cho hệ phương trình: (x 1)(y 1) m 4 xy(x y) 3m + +=+ ⎧ ⎨ += ⎩ 1. Đònh m để hệ có nghiệm 2. Đònh m để hệ có 4 nghiệm phân biệt 2.3. Cho hệ phương trình: 22 xyyxa1 xy yx a + +=+ ⎧ ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Đònh a để hệ có ít nhất một nghiệm (x, y) thỏa điều kiện: x > 0 và y > 0. 2.4. Cho hệ phương trình: 22 xyxya xy xy 3a 8 ++ = ⎧ ⎪ ⎨ + =− ⎪ ⎩ a. Giải hệ với 7 a 2 = b. Với giá trò nào của a thì hệ có nghiệm. 83 Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt. 2.1. Đặt sxy pxy =+ ⎧ ⎨ = ⎩ Hệ 22 2 22 s2a1 s2a1 s2pa2a3 2p3a6a4 s4p s4p =− =− ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔−=+−⇔ =−+ ⎨⎨ ⎪⎪ ≥≥ ⎩⎩ 2 s2a1 2p 3a 6a 4 22 2a2 22 ⎧ ⎪ =− ⎪ ⎪ ⇔=−+ ⎨ ⎪ ⎪ −≤≤+ ⎪ ⎩ Đặt 2 3a f(a) 3a 2, 2 =−+ f'(a) 3a 3,=− f'(a) 0 a 1=⇔= Bảng biến thiên: Từ Bảng biến thiên Min 2 f(a) a 2 2 ⇒⇔=− 2.2. 1. Hệ xyxym3 xy(x y) 3m ++ = + ⎧ ⇔ ⎨ += ⎩ Đặt S = x + y, P = xy SPm3 PS 3m + =+ ⎧ ⇔ ⎨ = ⎩ s⇒ và p là nghiệm của phương trình: 2 (m 3)x 3m 0α− + + = 2 Sm S3 (m 3) 0 P3 Pm == ⎧⎧ ∆= − ≥ ⇒ ∨ ⎨⎨ == ⎩⎩ * Sm P3 = ⎧ ⎨ = ⎩ thì x và y là nghiệm phương trình: 2 tmt30− += Phương trình có nghiệm 2 1 m120 m 23m23⇔∆ = − ≥ ⇔ ≤− ∨ ≥ 84 * S3 Pm = ⎧ ⎨ = ⎩ thì x và y là nghiệm phương trình: 2 t3tm0− += Phương trình có nghiệm 2 9 94m0 m . 4 ⇔ ∆=− ≥ ⇔ ≤ Tóm lại hệ có nghiệm 9 m23m23m 4 ⇔ ≤− ∨≥ ∨≤ 2. Để hệ có 4 nghiệm phân biệt 1 2 0 m23 0 ∆> ⎧ ⇔⇔<− ⎨ ∆> ⎩ 2.3. Hệ SPa1 Sa S1 SP a P 1 P a +=+ = = ⎧⎧⎧ ⇔⇔∨ ⎨⎨⎨ === ⎩⎩⎩ * Với Sa P1 = ⎧ ⎨ = ⎩ Điều kiện x > 0, y > 0 là: 2 S0 P0 a2 S40 ⎧ > ⎪ >⇔≥ ⎨ ⎪ −≥ ⎩ * Với S1 Pa = ⎧ ⎨ = ⎩ Điều kiện x > 0, y > 0 là: 2 S0 1 P0 0a 4 S4P0 ⎧ > ⎪ >⇔<≤ ⎨ ⎪ −≥ ⎩ Đáp số: 1 a20a 4 ≥∨<≤ 2.4. 22 xyxya SPa SP 3a 8 xy xy 3a 8 ++ = ⎧ += ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ = − +=− ⎪ ⎩ ⎩ với Sxy Pxy = + ⎧ ⎨ = ⎩ a. S1 (loại) 5 7 P SP 7 2 2 a: 5 2 5 SP S (nhận) 2 2 P1 ⎡ = ⎧ ⎪ ⎢ ⎨ ⎧ ⎢ = += ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩ =⇔ ⎨ ⎢ ⎧ ⎪ ⎢ = = ⎪ ⎪ ⎢ ⎩ ⎨ ⎢ ⎪ = ⎢ ⎩ ⎣ x, y là nghiệm phương trình: 2 51 10 2x 22 α −α+=⇔α=∨= 85 x2 1 x 2 1 y y2 2 = ⎧⎧ = ⎪⎪ ⇒∨ ⎨⎨ = ⎪⎪ = ⎩⎩ b. SP a SP 3a 8 += ⎧ ⎨ =− ⎩ thì s, p là 2 nghiệm của phương trình: 2 a3a80 (1)α−α+ − = Phương trình có nghiệm 2 a4(3a8)0 a4a8⇔∆= − − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ Với điều kiện đó, phương trình (1) có nghiệm: 2 1 aa12a32 , 2 −−+ α= 2 2 a a 12a 32 2 +−+ α= . Chọn 2 aa12a32 S, 2 −−+ = 2 a a 12a 32 P 2 +−+ = thì hệ sẽ có nghiệm 2 s 4p 0 (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (2)⇔− ≥⇔− −≥+ − − . Chọn 2 aa12a32 S, 2 +−+ = 2 aa12a32 P 2 −−+ = thì hệ có nghiệm 2 s4p (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (3)⇔≥ ⇔− −≥−+ − − Từ (2) và (3) (a 2)(a 8) a 4 (a 4)(a 8) (4)⇒− −≥−+ − − Vì a2 (a 2)(a 8) 0 a8 ≤ ⎡ −−≥⇔ ⎢ ≥ ⎣ thì (4) thỏa. Khi ( ] a2,4∈ thì (a 2)(a 8) 0−−< 22 2 (4) (a2)(a8) (a4)(a4)(a8)⇔− − ≤+ − − 2 13 3 33 13 3 33 4a 13a 8 0 a 88 −+ ⇔−−≤⇔ ≤≤ Kết hợp với các điều kiện trên, ta thấy hệ có nghiệm khi 13 3 33 a 8 + ≤ hay a 8≥ . . Bài 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Dạng : f(x,y) 0 (I) g(x,y) 0 = ⎧ ⎨ = ⎩ với f(x,y) f(y,x)= và g(x,y) g(y,x)= 2. Cách giải: . 2.4. Cho hệ phương trình: 22 xyxya xy xy 3a 8 ++ = ⎧ ⎪ ⎨ + =− ⎪ ⎩ a. Giải hệ với 7 a 2 = b. Với giá trò nào của a thì hệ có nghiệm. 83 Hướng Dẫn Và Giải Tóm