Phương pháp giải hệ đẳng cấp - Phạm Thành Luân

91 Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Dạng: f(x,y) a g(x,y) b = ⎧ ⎨ = ⎩ với 2 2 f(tx,ty) t f(x,y) g(tx,ty) t g(x,y) ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ 2. Cách giải: * Tìm nghiệm thỏa x = 0 (hay y = 0) * với x0≠ ( hay y0≠ ), đặt ytx= (hay xty= ) * Đối với hệ 22 22 1111 ax bxy cy d 0 ax bxy cy d 0 ⎧ +++= ⎪ ⎨ +++= ⎪ ⎩ Ta có thể khử y 2 (hay x 2 ) rồi tính y theo x ( hay x theo y) rồi thay vào một trong 2 phương trình của hệ. II. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: 22 22 3x 2xy y 11 x 2xy 3y 17 m ⎧ ++= ⎪ ⎨ ++=+ ⎪ ⎩ 1. Giải hệ phương trình với m = 0 2. Với những giá trò nào của m thì hệ có nghiệm ? (ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1998, Khối A) Giải 1. m = 0 : Hệ 22 22 3x 2xy y 11 (I) x 2xy 3y 17 ⎧ ++= ⎪ ⇔ ⎨ ++= ⎪ ⎩ Nhận xét x = 0 không là nghiệm của hệ . Đặt y = tx Hệ 2222 2222 3x 2tx t x 11 (I) x2tx3tx17 ⎧ ++= ⎪ ⇔ ⎨ ++ = ⎪ ⎩ 22 22 x(3 2t t) 11 (1) x(1 2t 3t) 17 (2) ⎧ ++ = ⎪ ⇔ ⎨ ++ = ⎪ ⎩ 92 (1) chia (2): 2 2 32tt 11 17 12tt ++ = ++ 2 5 16t 12t 40 0 t 2 t 4 ⇔ −−=⇔=∨=− . 22 t 2 : (2) x .11 11 x 1 x 1= ⇔=⇔=⇔=±y2x 2⇒= =± . 2 543 t:(2)3x16x 43 =− ⇔ = ⇔ =± 553 yx 43 ⇒=− =∓ Tóm lại có 4 nghiệm: (1, 2), (-1, -2), 43 53 4353 ,,, 33 33 ⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 2. Đặt 17 + m = k. Hệ 22 22 3x 2xy y 11 x2xy3yk ⎧ + += ⎪ ⇔ ⎨ + += ⎪ ⎩ Đặt y = tx ⇒ Hệ: 22 22 x(3 2t t) 11 (4) x(1 2t 2t) k (5) ⎧ ++ = ⎪ ⎨ ++ = ⎪ ⎩ 2 2 2 (4) 3 2t t 11 : (k 33)t 2(k 11)t 3k 11 (5) k 12t3t ++ =⇔− + − +−= ++ * k = 33: m16,⇒= phương trình (6) có nghiệm t = - 2 * k33:(6)≠ có nghiệm: 2 ' (k 11) (k 33)(3k 11) 0⇔ ∆= − − − − ≥ 2 k44k1210= −+≤ 22 11 3 k 22 11 3 ⇔− ≤≤+ với k = m + 17. 22 11 3 m 17 22 11 3 5113 m 5113 ⇔− ≤+≤+ ⇔− ≤ ≤+ Ví dụ 2: Với giá trò nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm. 2 2 xy y 12 xxym26 ⎧ −= ⎪ ⎨ − =+ ⎪ ⎩ Giải Hệ y(x y) 12 (1) x(x y) m 26 (2) −= ⎧ ⇔ ⎨ −=+ ⎩ 93 (2) chia (1) 2 (m 26)y (m 26)y x x 12 12 y(x y) 12 y(m 14) 144 + ⎧ + ⎧ = = ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ −= += ⎩ ⎩ Vậy hệ có nghiệm khi m140 m 14+>⇔>− . III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 4.1. Đònh m để phương trình sau có nghiệm: 22 22 xmxyym x(m1)xymym ⎧ ++= ⎪ ⎨ + −+ = ⎪ ⎩ 4.2. Đònh m để hệ phương trình: 33 2 32 2 1 xmy (m1) 2 xmxyxy1 ⎧ −= + ⎪ ⎨ ⎪ ++= ⎩ Có nghiệm và mọi nghiệm đều thỏa: x + y = 0 4.3. Cho hệ phương trình: 22 2 x4xyym y3xy4 ⎧ −+= ⎪ ⎨ −= ⎪ ⎩ a. Giải hệ khi m = 1 b. chứng minh hệ luôn có nghiệm. 94 Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt 4.1. 22 22 x mxy y m (1) x (m 1)xy my m (2) ⎧ ++= ⎪ ⎨ +− + = ⎪ ⎩ (1) – (2) : 2 xy (1 m)y 0 y 0 x (m 1)y+− =⇔=∨= − Hệ phương trình: 2222 y0 x(m1)y xmxyymxmxyym ==− ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ + += + += ⎪⎪ ⎩⎩ 2 2 2 x(m1)y y0 m y (4) xm(3) 2m 3m 2 =− ⎧ = ⎧ ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ = ⎪ ⎪ ⎩ −+ ⎩ Hệ đã cho có nghiệm (3)co ù nghiệm m0 (4)co ù nghiệm ⎡ ⇔ ⇔≥ ⎢ ⎣ 4.2. Giả sử 00 (x ,y ) là nghiệm. Từ x + y = 0 ta có: 00 yx= − Thế vào hệ : 32 0 3 0 1 x(m1) (m1) (1) 2 x (2 m) 1 (2) ⎧ += + ⎪ ⎨ ⎪ −= ⎩ Vế phải (2)khác 0 ⇒ vế trái của (2) cũng khác 0. 2 (1) m 1 1 :(m1)m0m1 (2) 2 m 2 + =+⇔=∨=± − Thử lại: a/ Với m = 0: hệ cho x và y không thỏa: x + y = 0 m0⇒= (loại) b/ Với m = - 1: Hệ đã cho trở thành: 33 32 2 xy0 xxyxy1 ⎧ += ⎪ ⎨ − += ⎪ ⎩ 32 2 1 x yx 33 1 xxyxy1 y 33 ⎧ = ⎪ =− ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ −+= ⎪ ⎪ ⎩ =− ⎪ ⎩ thỏa x + y = 0. 95 c/ Với m = 1. Hệ trở thành: 33 32 2 xy2 xxyxy1 ⎧ −= ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ Đặt y = tx 33 32 x(1 t) 2 x(t t 1) 1 ⎧ −= ⎪ ⇒ ⎨ ++ = ⎪ ⎩ t1 2 t 1 y x,⇒−=−⇔=−⇒ =− 3 x1x1⇒=⇔= xy0⇒+= Vậy m 1=± nhận. 4.3. y = 0 không thỏa phương trình: 2 y 3xy 4−= . Đặt x = ty Hệ 22 22 2 2 2 y(t 4t 1) m y(t 4t 1) m 4 y(1 3t) y(1 3t) 4 y(1 3t) 4 ⎧ −+ ⎧ = ⎪ −+= ⎪ ⇔⇔ − ⎨⎨ −= ⎪ ⎪ ⎩ −= ⎩ a. Với m = 1: ta có hệ: 2 2 t4t11 (1) 13t 4 y(1 3t) 4 (2) ⎧ −+ = ⎪ − ⎨ ⎪ −= ⎩ (1) cho 1 t3t 4 =∨= . 2 t3:(2) 8y 4VN=⇔−= . 2 11 t:(2) y4y4 44 =⇔=⇔=± x = ty = 1± b. Hệ 22 2 42 x4xy 1 m y 4 x 3y y4 x 3y 11y (49 9m)y 16 0 (*) ⎧⎧ += − = ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ − ⎪⎪ −− −= ⎩⎩ (*) luôn có nghiệm ⇒ ĐPCM. . trong 2 phương trình của hệ. II. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: 22 22 3x 2xy y 11 x 2xy 3y 17 m ⎧ ++= ⎪ ⎨ ++=+ ⎪ ⎩ 1. Giải hệ phương trình với m =. 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Dạng: f(x,y) a g(x,y) b = ⎧ ⎨ = ⎩ với 2 2 f(tx,ty) t f(x,y) g(tx,ty) t g(x,y) ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ 2. Cách giải: