Phương pháp trên đã tỏ ra rất hữu ích trong việc giải toán hình, chắc chắn các bạn sẽ lại gặp lại phương pháp này ở một số bài toán khác. Chúc các bạn thành công.[r]
(1)1 | P a g e
PHƯƠNG PHÁP LẤY ĐỐI XỨNG ĐỂ CHỨNG MINH VNG GĨC
Nguyễn Đăng Khoa – THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ
Giới thiệu.Trong tốn hình học chứng minh hai đường thẳng hay đoạn thẳng vng góc ln tốn phổ biến Đặc biệt tác giả gặp dạng chứng minh vng góc xuất nhiều, nội dung khái quát sau:
“Cho …, lấy M trung điểm CD, chứng minh AMB 90.”
Phương pháp chứng minh đơn giản lấy A' đối xứng với A qua M điều cần chứng minh tương đương với chứng minh tam giác cân
Chúng ta đến với phần tập để hiểu rõ phương pháp
Bài toán (Hong Kong 2017) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O Lấy hai điểm P Q, điểm nằm tia AD CD, thỏa mãn AP BC
CQ BA Gọi I trung điểm PQ Chứng minh AIC 90 Lời giải
Lấy A' đối xứng với A qua M Khi ta có QA'AP CB ta có
CQA' 180 DQA' 180 ADQ ABC
Kết hợp với điều kiện AB CQ ta rút ABC CQA'
A' I P
Q O
C A
B
(2)2 | P a g e
Từ đó, ta có CA CA ' hay AIC 90 (đpcm)
Nhận xét Bài toán P Q, nằm ngồi đoạn DA DC Ngồi tốn cịn ta lấy P Q, nằm tia đối tia AD CD, Một tốn khác có hình thức giống xuất đề thi MYTS giải cách lấy đối xứng Bạn đọc tự chứng minh
Bài toán (MYTS 2017) Cho tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn ( )O Lấy hai điểm E F, điểm nằm cạnh AB AC, thỏa mãn BD BE
CD CF Gọi G trung điểm EF Chứng minh BGD 90
Bài toán (Thanos Kalogerakis) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên đoạn AM lấy điểm D cho AD MB MC Gọi K L N, , trung điểm AB DM, AC Chứng minh KL LN
Lời giải
Lấy điểm N' đối xứng với N qua L Khi ta dễ có
'
MN ND, KM AN DNA N MK' nên ta có
KN M' ADN KN' AD BM KN hay ta có đpcm
Bài tốn (Tạp chí Pi) Cho tam giác ABC có M N, trung điểm
,
AB AC Dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác BMX tam giác
ANY Gọi Z trung điểm XY Chứng minh MZN 90
N'
L N K
D
M A
(3)3 | P a g e
Bạn đọc tự chứng minh
Sau tiếp tục dựng tam giác tác giả phát toán sau
Bài toán (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC có M N, trung điểm AB AC, Dựng phía ngồi tam giác ABC hình bình hành MBXX' NAYY' cho MBX NAY 60 Gọi Z Z' trung điểm
, ' '
XY X Y Chứng minh MZN MZ N' 90 ZZ' BC
Z
Y
X
N M
A
B C
Z'
Y' X'
Z
Y
X
N M
A
(4)4 | P a g e
Bài toán Cho điểm A nằm ngồi đường trịn ( )O Từ A kẻ hai tiếp tuyến
,
AB AC tới ( )O Kẻ dây cung BE song song với AC BV song song với AO
Lấy điểm G F, thuộc đoạn BE BV cho GF EV|| Gọi K trung điểm
GE Chứng minh FKC 90
Lời giải Lấy L đối xứng với F qua K Khi EL FG VE|| || V E L, , thẳng hàng
Bằng biến đổi góc ta dễ có CB CE CV đường kính ( )O Từ ta có
,
BF FG EL CB CE FBC LEC CBF CEL CF CL Mà K trung điểm FL nên ta có FKC 90 (đpcm)
Kết luận Trên đây, tác giả trình bày số tốn chứng minh vng góc sử dụng phép lấy đối xứng, không giả thiết rời rạc Phương pháp tỏ hữu ích việc giải tốn hình, chắn bạn lại gặp lại phương pháp số toán khác Chúc bạn thành công
~Thân tặng em dự thi HSG tỉnh lớp huyện Lâm Thao~
L
K
F
E V
A O
C B