CHUYÊN ĐỀ Một số phương pháp tính tổng của dãy số (số học 6)

Ở dạng toán 1.5mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó.. a n (1)[r]

CHUYÊN ĐỀ

Một số phương pháp tỉnh tổng dãy số (số học 6) 1 Xây dựng cơng thức tổng qt

1.1 Tính tổng dãy số: A = + + + + … + 100 Giải

A = 100(100 + 1):2 = 5050

* Công thức tổng quát: A = + + + + … + n = n(n + 1) : 1.2 Tính tổng dãy số: A = + + 22 + 23 + 24 + … + 210

Giải

2A = + 22 + 23 + 24 + … + 210 + 211 Khi 2A – A = A = 211 – 1

*Công thức tổng quát: A = + a + a2 + a3 + a4 + … + an

Nhân hai vế A với a ta có a.A = a + a2 + a3 + a4 + + an + an+1

aA – A = ( a – 1)A = an+1 – Vậy A = (an + 1 – 1): (a – 1) ; (a ≥ 2) Từ ta có cơng thức : an+1 – = ( a – 1)( + a + a2 + a3 + + an) * Bài tập vận dụng: Tính tổng

2 2007

2 100

) 7

) 4

a A b B

     

     

c) Chứng minh : 1414 – Chia hết cho

d) Chứng minh rằng: 20152015 – Chia hết cho 2014

1.3 Tính tổng dãy số: A= + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100

Giải

Ta có: 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102

A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100

32A - A = 3102 - Hay A( 32 - 1) = 3102 -

* Công thức tổng quát: A= + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n

Ta có: a2A = a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n + a2n + 2

A = + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n

a2A - A = a2n+2 - Hay A( a2 - 1) = a2n +2 -

Hay A = (a2n +2 – 1):( a2 - 1)

*Bài tập áp dụng: Tính tổng B = + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + + 2200 1.4 Tính tổng dãy số: A = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799

Giải

Tương tự ta có:

72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101

B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799

72B - B = 7101 - , hay B( 72 - 1) = 7101 – 7

* Công thức tổng quát: A= + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1

Ta có: a2A = a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 + a2n + 3

A = + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1

a2A - A = a2n+3 - Hay A( a2 - 1) = a2n +3 -

Hay A = (a2n + 3 – 1):( a2 - 1)

*Bài tập áp dụng: tính tổng C = + 53 + 55 + 57 + 59 + + 5101

D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + + 1399

1.5 Tính tổng dãy số: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + 8.9 Giải

3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8)

= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990

A = 990:3 = 330

Ta ý tới đáp số 990 = 9.10.11, 9.10 số hạng cuối A 11 số tự nhiên kề sau 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp

*Công thức tổng quát:

A = 1.2 + 2.3 + … + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1) : 3

* Bài tập áp dụng: Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 B = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + 98.100

(Gợi ý: Bài B C khoảng cách thừa số số hạng 2)

1.6 Tính tổng dãy số: B = 12 + 32 + 52 + 72 + … + 992

Giải

*Nhận xét: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 A = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100

A = 1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + … + 99.(98 + 100)

A = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + … +99.99.2 = (12 + 32 + 52 + …9 + 92).2 A = (12 + 32 + 52 + …+ 992).2

Theo cách giải dạng 1.1.5 ta có A = (12 + 32 + 52 + …+ 992).2 = 99.100.101 :3 Vậy ta có: B = 12 + 32 + 52 + …+ 992 = 99.100.101 :6

* Công thức tổng quát:

A = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 =

= (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3) : 6

*Bài tập áp dụng Tính tổng: Q = 112 + 132 + 152 + … + 20092.

Giải * Nhận xét :

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + + 100.101

= (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (99.100 + 100.101) = 2( + 3) + 4( + 5) + 6( + 7) + + 100( 99 + 101)

= 2.4 + 4.8 + 6.12 + + 100.200 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + + 2.100.100 = 2.22 + 2.42 + 2.62 + + 2.1002 = 2.( 22 + 42 + 62 + + 1002)

A = 2.(22 + 42 + 62 + + 1002) Theo cách giải dạng 1.5 ta có:

A = 2.(22 + 42 + 62 + + 1002) = 100.101.102 :3

Vậy ta có : B = 22 + 42 + 62 + …+ 1002 = 100.101.102 : 6

*Công thức tổng quát : A = 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2) :6 *Bài tập áp dụng :

1 Tính tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502

2 Cho n thuộc N* Tính tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + …+ (n + 100)2 1.8 Tính tổng dãy số: A = 12 + 22 + 32 + … + 1002

B = 12 + 22 + 32 + … + 992

Giải

* A = 12 + 22 + 32 + … + 1002

Cách 1: A = 12 + 22 + 32 + … + 1002

A = (12 + 32 + 52 + … + 992) + (22 + 42 + 62 + … + 1002) A = (99.100.101 + 100.101.102) :

A = 100.101.(99 + 102):6 = 100.101.(2.100 + 1):6

Cách 2:

A = 1² + 2² + 3² + 4² +…+ 100²

A = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + 100.100

A = 1.2 – 1+ 2.3 – + 3.4 – + 4.5 – +…+ 100(100 + ) – 100

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 100( 100 + ) – ( + + +4 + … + 100 ) A = 100.101.102:3 – 100.101: =100.101.(102:3 – 1:2) =100.101.(2.100 + 1):6 * B = 12 + 22 + 32 + … + 992

Cách 1: B = 12 + 22 + 32 + … + 992

B = (12 + 32 + 52 + … + 992) + (22 + 42 + 62 + … + 982) B = (99.100.101 + 98.99.100) :

B = 99.100.(98 + 101):6 = 99.100.(2.99 + 1):6

Cách 2:

B = 1² + 2² + 3² + 4² +…+ 99²

B = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + 99.99

B = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + … + …99[(99+1)-1]

B = 1.2 – 1+ 2.3 – + 3.4 – + 4.5 – +…+ 99(99 + ) – 99

B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 99( 99 + ) – ( + + +4 + … + 99 ) B = 99.100.101:3 – 99.100: =99.100.(101:3 – 1:2) =99.100.(2.99 + 1):6 *Công thức tổng quát: A = 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1):6 *Bài tập áp dụng Tính tổng: M = + 22 + 32 + 42 + 52 + …+ 992

P = + + + 16 + 25 + 36 + + 10000 Q = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202 1.9 Tính tổng dãy số: A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 7.8.9 + 8.9.10 Giải

*Nhận xét: Ở dạng toán 1.1 hạng tử của tổng A có thừa số ta nhận với 2 lần khoảng cách Ở dạng tốn 1.5mỗi hạng tử tổng A có hai thừa số ta nhân A với lần khoảng cách hai thừa số Theo cách , ta nhân hai vế A với lần khoảng cách hạng tử có thừa số Ta giải tốn sau :

4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4 4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)]

4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + …– 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 Vậy A = 8.9.10.11 : = 1980 :

*Công thức tổng quát:

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2) *Bài tập áp dụng Tính tổng: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 99.100.101

B = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 *Gợi ý:

Ở câu B khoảng cách thừa số số hạng tổng B 2, ta có:

8B = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8

8B= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93)

8B = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99

8B = 15 + 95.97.99.101

1.10 Tính tổng dãy số sau: A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + 100³ Giải

Trước hết ta chứng minh kêt sau : với n số tự nhiên ta có n2 – n = (n – 1)(n + 1) Thật : n2 – n = n( n2 – 1) = n( n2 – n + n – 1) =

n(n2 – n) + ( n – 1) = nn(n – 1) + ( n – 1) = (n – 1)n( n + 1) đpcm

Áp dụng kết để ta tính A

Ta có A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + 100³

A = + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (100 – ).100.( 100 + ) + ( + + + + … + 100)

A =

(100−1).100.(100+1).(100+2)

4 +

100 (100+1)

2 = =(

100(100+1)

2 )

2

*Công thức tổng quát: A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³

A = 13 – + 23 – + 33 – + 43 – + 53 – +…+ n3 – n + ( + + + …+ n )

A = + 2( 22 – ) + 3( 32 – ) + 4( 42 – ) + …+ n( n2 – ) + ( + + + + …+ n ) A = + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – )n( n + ) + ( + + + + … + n ) A = (n−1)n(n4+1)(n+2)+n(n+1)

2 =n(n+1)[

(n−1)(n+2)

4 +

1 2]

A = n( n + 1) n²+n4−2+2 = n( n + ) n(n4+1)=n²(n+1)²

2² =[

n(n+1)

2 ]²

Nhận xét : Với n(n+1)

2 = + + + + … + n , nên ta có cơng thức tổng qt

sau:

A =1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ = ( + + + + + … + n )²

2 Phương pháp dự đoán quy nạp

Trong số trường hợp gặp toán dạng tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an (1)

Bằng cách ta biết kết (dự đốn, toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp để giải tốn

Ví dụ : Tính tổng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Giải

Thử trực tiếp ta thấy : S1 = S2 = + =22

S3 = 1+ 3+ = = 32

Với n = 1;2;3… ta thấy kết đúng, giả sử với n= k ( k ¿ 1) ta cã:

Sk = k (2) Ta cần chứng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3) Thật ; cộng hai vế (2) với 2k +1 ta có 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức S

k+1 = ( k +1) Theo ngun lí quy nạp tốn đực chứng minh

Vậy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2

Tương tự ta chứng minh kết sau phương pháp quy nạp toán học 1, + 2+3 + + n =

n(n+1)

2

2, 12 + 2 2 + + n 2 =

n(n+1)(2n+1)

6

3, 13+23 + + n3 = [

n(n+1)

2 ]

2

4, 15 + 25 + + n5 =

1

12 .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – ) 3 Phương pháp khử liên tiếp

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta biểu diễn , I = 1,2,3,4…, qua hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số khác, xác hơn,

giả sử: a1 = b1 - b2 , a2 = b2 - b3 , ., an = bn – bn+ Khi ta có

Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn +

Ví dụ 1: Tính tổng S =

1 10.11+

1 11.12+

1

12.13+ + 99 100

Giải Ta có :

1

10.11=

1 10−

1

11 ,

11.12=

1 11−

1

12 , 99 100=

1

99−

Do : S = 10− 11+ 11−

12+ + 99− 100= 10− 100= 100

* Dạng tổng quát: Sn =

1 1.2+

1

2.3+ +

n(n+1) = 1-

n+1=

n

n+1 ( n > )

Ví dụ 2: Tính tổng Sn = 1.2.3+

1 2.3.4+

1

3.4.5+ +

1

n(n+1)(n+2)

Giải Ta có: Sn =

1 2(

1 1.2−

1 2.3)+

1 2(

1 2.3−

1

3.4)+ + 2(

1

n(n+1)−

1

(n+1)(n+2))

Sn = 2( 1.2− 2.3+ 2.3−

3.4+ +

n(n+1)−

1

(n+1)(n+2))

Sn = 2(

1 1.2−

1

(n+1)(n+2))=

n(n+3)

4(n+1)(n+2)

Ví dụ 3: Tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Giải

Ta có : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3!

n.n! = (n + 1) –n!

Vậy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! -

Ví dụ 4: TÍnh tổng Sn =

3

(1 2)2+

5

(2 3)2+ +

2n+1

[n(n+1)]2

Giải Ta có :

2i+1

[i(i+1)]2

=1

i2−

1

Do Sn = ( 1- 22)+(

1 22−

1

32)+ +(

n2−

1

(n+1)2) = 1-

(n+1)2=

n(n+2) (n+1)2

Ví dụ : Chứng minh :

k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) Áp dụng tính tổng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2)

Giải

Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) [(k+3)−(k−1)]

= k( k+1) ( k +2 ) Rút : k(k+1) (k+2) =

k(k+1)(k+2)(k+3)

4 −

(k−1)k(k+1)(k+2)

4

Áp dụng : 1.2.3 =

1.2.3.4 − 0.1.2.3 2.3.4 = 2.3 4.5 − 1.2.3.4 n(n+1) (n+2) =

n(n+1)(n+2)(n+3)

4 −

(n−1)n(n+1)(n+2)

4

Cộng vế với vế ta đợc S =

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

*Bài tập áp dụng Tính tổng A =

1 2!+

2

3!+ +

99 100! 4 Phương pháp tính qua tổng biết * Các kí hiệu: ∑i=1

n

ai=a1+a2+a3+ .+an * Các tính chất :

1, ∑i=1

n

(ai+bi)=∑

i=1

n

ai+∑

i=1

n

bi

2, ∑i=1

n

a.ai=a∑

i=1

n

Ví dụ 1: Tính tổng: C = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.100.101 Giải

C = 1.3.( – 3) + 3.5.( – 3) + 5.7.( - 3) + … + 99.101.( 103 – 3)

C = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) C = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – 3( 1.3 + 3.5 + … + 99.101)

Ví dụ 2: Tính tổng: A = 1.2 + 3.4 + … + 99.100 Giải

Trong tốn ta khơng nhân A với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính đợc

Cách 1:

A = + ( 2+ 1).4 + ( + 1)6 + … + (98 + 1).100 = + 2.4 + + 4.6 + + … + 98.100 + 100

= (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + + + + … + 100)

Cách 2:

A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - + 3.5 - + 5.7 - + … + 99.101 - 99

= (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + + + + … + 99) Ví dụ 3: Tính tổng : A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002

Giải

A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) *Bài tập áp dụng : Tính tổng

1. A = 12 + 42 + 72 + … +1002.

5 C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51

7 E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 Ví dụ 4: Tính tổng:

Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) Giải

Ta có : Sn =

∑

i=1

n

i(i+1)=∑

i=1

n

(i2+i)=∑

i=1

n

i2+∑

i=1

n

i Vậy:

∑

i=1

n

i=1+2+3+ +n=n(n+1)

2

∑

i=1

n i2

=n(n+1)(2n+1)

6

Cho nên Sn =

n(n+1)

2 +

n(n+1)(2n+1)

6 =

n(n+1)(n+2)

3

Ví dụ 5: Tính tổng: Sn =1.2 + 2.5 + 3.8 + +n(3n - 1) Giải

ta có : Sn =

∑

i=1

n

i(3i−1)=∑

i=1

n

(3i2−i)

= 3∑i=1

n i2 −∑ i==1 n i

Ta có : Sn =

3n(n+1)(2n+1)

6 −

n(n+1)

2 =n

2(n+1)

Ví dụ 6: Tính tổng Sn = 13+ +33 +53 + + (2n +1 )3 Giải

Ta có :

Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3]

= [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 ) Sn =

(2n+1)2(2n+2)2

4 −

8n2(n+1)2

= (n +1 )2 (2n2 +4n +1) 5 Bài tập đề nghị: Tính tổng

1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2 b, S = + 52 + 53 + + 5 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76

3, D = 49 +64 + 81+ + 169

4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 5, S =

1 2+

1 2.3+

1

3 4+ .+ 99.100

6, S =

4 5.7+

4

7.9+ + 59 61

7, A =

5

11.16+

5 16 21+

5

21.26+ + 61 66

8, M =

1 30+

1 31+

1

32+ + 32005

9, Sn = 1.2.3.+

1

2.3.4+ +

1

n(n+1)(n+2)

10, Sn =

2 1.2.3+

2

2.3.4+ + 98.99.100

11, Sn = 1.2.3.4+

1

2.3 4.5+ +

1

n(n+1)(n+2)(n+3)

12, M = + 99 + 999 + + 99

50 chữ số 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9

S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 tính S100 =?

14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820

c, +

1 3+

1 6+

1

10+ +

x(x+1)=1

1989 1991

15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 lũy thừa 2 b, B =2 + 22 + 2 3 + + 2 60 ⋮ ; 7; 15

c, C = + 33 +35 + + 31991 ⋮ 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 ⋮ Đề kiểm tra :

Câu 1: Chứng minh : 20152014 – Chia hết cho 2014 Câu 2: Tính tổng C = + 53 + 55 + 57 + 59 + + 5101 Câu 3: Tính tổng P = 12 + 32 + 52 + 72 + + 992

Câu 4: Tính tổng B = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202. Câu 5: Tính tổng A = 12 + 42 + 72 + … +1002.

Câu 6: Tính tổng E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 Câu 7: Tính tổng A = + 99 + 999 + 9999 + + 999⏟…9

10chữsố9

Câu 8: Tính tổng P = 15 + 25 + + n5 =

1

12 .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – ) Câu 9: Tính tổng A =

1 2!+

2

3!+ +

99 100! Câu 10: Tính tổng Sn =

1 1.2.3.4+

1

2.3 4.5+ +

1