Câu 20 Cho hàm số , m là tham số thực Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số 1 tại điểm có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng có phương trình... Viết phương trình tiếp tuyến của đồ[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Câu 1) Cho hàm số y = x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối x−1 xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến đó là lớn x 2mx 3m x m Câu 2) (A/2005) Cho y = Tìm m để hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Câu 3) (A/2013) y x 3x 3mx (1) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; + ) y=2 x +(m+1 )x −2(m+ ) x+1 Câu 4) Cho hàm số: (C m ) Với giá tri nào m thì (C m ) đạt cực x , x cho: x + x Câu 5) (B/2013) Cho hàm số y 2 x 3(m 1) x 6mx (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) đại, cực tiểu có hai điểm cực trị A và B cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x +2 Câu 6) Cho haøm soá : y = -x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – (1), m laø tham soá Tìm M để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc toạ độ Câu 7) Với tham số m, gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y x (3m 1) x 2m( m 1) x m (1) y mx m Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (m): luôn cắt (Cm) điểm A có hoành độ không đổi Tìm m để (m) còn cắt (Cm) hai điểm khác A, mà các tiếp tuyến (Cm) hai điểm đó song song với y 2x x 1 Câu 8) Cho hàm số Chứng minh đường thẳng d: y = - x + là truc đối xứng (C) Câu 9) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị là (Cm); ( m là tham số Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho các tiếp tuyến (C m) D và E vuông góc với Câu 10) Cho hàm số: y 2x x (1) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang A, B cho AB IB , với I (2, 2) y= mx +(m−1 )x +(4−3 m) x +1 Câu 11) Cho hàm số có đồ thị là (Cm) Tìm tất các giá trị m cho trên đồ thị (Cm) tồn điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (L): x+2y-3=0 (2) y x m 1 x 2m C m Câu 12) Cho hàm số có đồ thị Xác định tham số m để hàm số có cực trị tạo thành đỉnh tam giác Câu 13) (TT Chuyên Armsterdam lần / 2014) 2 Cho hàm số y x 3mx 3( m 1) x m m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O √2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O Câu 14) Cho hàm số y = 2x 1 x 1 Tìm m để đường thẳng d: y = mx + m + ( với m là tham số ) cắt (C) hai điểm phân biệt nằm phía tiệm cận đứng (C) x3 Câu 15) Cho hàm số y = 11 + x2 + 3x Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung Câu 16) (Dự Bị Khối A / 2009) y x 4x x Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số đến Cho hàm số các đường tiệm cận nó là số Câu 17) Cho hàm số y x 2mx x (1) và đường thẳng ( ) : y 2mx (với m là tham số) 1/ Khi m 0 Gọi đồ thị hàm số đã cho là (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung 2/ Tìm m để đường thẳng ( ) và đồ thị hàm số (1) cắt ba điểm phân biệt A, B, C cho diện tích tam giác OBC (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ Câu 18) Cho hàm số y x 3x m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho góc AOB = 1200 Câu 19) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (3m2 – 3)x + m2 + (1), với m là tham số Định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cách trục Ox y x (1 2m) x (m m) x m 1 Câu 20) Cho hàm số , m là tham số thực Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) điểm có hoành độ song song với đường thẳng có phương trình y 12 x 20 (3) Câu 21) Tìm trên đồ thị hàm số y 2x x hai điểm A, B phân biệt đối xứng với qua đường thẳng y = 3x + Câu 22) Cho hàm số y f ( x) x x Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ là a và b Tìm điều kiện a và b để hai tiếp tuyến (C) A và B song song với Câu 23) Cho hàm số : y = x4 – 5x2 + (C) Tìm tất các điểm M trên đồ thị (C) hàm số cho tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M Câu 24) Cho hàm số y x x Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A và B song song với và độ dài đoạn thẳng AB Câu 25) Cho y x2 x có đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với y x 5 đường thẳng y x3 x 3x Câu 26) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến này qua gốc tọa độ O Câu 27) Cho hàm số: y 2x x có đồ thị ( C ).Xác định m để đường thẳng (d): y x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (với O là gốc tọa độ) 2 Câu 28) Cho hàm số y x 3mx 3( m 1) x m m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại , điểm cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc toạ độ O lần khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc toạ độ O m R Câu 29) Cho hàm số y 2 x 3mx (m 1) x (1) với đồ thị (Cm) Tìm m để đường thẳng (d): y 2 x cắt đồ thị (Cm) ba điểm A, B, C phân biệt cho điểm C(0;1) nằm A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài y 55 2x x 1 Câu 30) Cho hàm số Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) hai điểm A, B phân biệt cho A và B đối xứng qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= Câu 31) Cho hàm số y 2 x 3(m 1) x 6mx (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x +2 (4) Câu 32) (THPT Chuyên Vinh – Nghệ An) y=x − (m−2)x −3(m−1)x +1 Cho hàm số (1), m là tham số Tìm m>0 để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu là y CĐ , y CT thỏa mãn yCĐ + y CT =4 y x 2( x 1) (C) Tìm điểm M trên (C) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục Câu 33) Cho hàm số: tọa độ tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = Câu 34) Cho hàm số y x x (1) Tìm m để đường thẳng : y (2 m 1) x m cắt đồ thị (C) đúng hai điểm M, N phân biệt và M, N cùng với điểm P ( 1;6) tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm Câu 35) Cho hàm số y 4 x x mx (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng x y 0 Câu 36) (TT Chuyên Vĩnh Phúc – KB / 2013) Cho hàm số y 1 x x 3 có đồ thị là C Gọi M là điểm thuộc đồ thị C có hoành độ x 2 Tìm các C tuyến với giá trị tham số m để tiếp M song song với đường thẳng Câu 37) (TT Chuyên LTV – ĐN / KA/ 2013) d : y m2 x 9m 2x - x + Chứng minh với m, đường thẳng y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Cho hàm số M (6;0), N (- 2;4) Tìm các giá trị m cho hai tam giác AMN và BMN có diện tích với y= Câu 38) (TT Chuyên LTV – ĐN / KD / 2013) 2x 1 y x (C).Với điểm M thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến M cắt tiệm cận Avà B Cho hàm số Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Câu 39) Cho hàm số y x 2mx m (1) , với m là tham số thực Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Câu 40) Cho hàm số : y = x3 – 3x + Định m để phương trình : x3 – 3x + = log ∜ (m2+1) có nghiệm thực phân biệt _LỚI GIẢI VÀ ĐÁP SỐ (5) Câu 1) y0 Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) y x0 x0 Khi đó tiếp tuyến với đồ thị (C) M có phương trình là : x0 ( x x0 ) ( ) x0 x0 1 x0 1 Ta có d(I ; ) = ( x0 1)4 2t Xét hàm số f(t) = (1 t )(1 t )(1 t ) (t 0) 1 t4 ta có f’(t) = f’(t) = t = Bảng biến thiên từ bảng biến thiên ta có d(I ; ) lớn và t = hay (1 t ) t x + f'(t) + - f(t) x0 2 x0 1 x0 0 + Với x0 = ta có tiếp tuyến là y = -x + Với x0 = ta có tiếp tuyến là y = -x+4 y' x 2mx m x m Câu 2) Ta coù Hàm số (*) có cực trị nằm phía trục tung y ' 0 coù nghieäm traùi daáu x1x P m m Câu 3) y’ = -3x + 6x+3m, y’ = m= x x =g(x) đó yêu cầu bài toán y’ 0, x 0; x 0; m x x m min x x , x 0; x 0 m g 1 (6) Câu 4) Để hàm số có điểm cực trị phương trình y' = có nghiệm phân biệt 3x + (m + 1)x - (m + 4) = (1) có nghiệm phân biệt >0 (m + 1) + 12(m + 4) > m + 14m + 49 > (m + 7) > (m ¿−7) (*) Theo hệ thức Vi-et phương trình (1) , ta có x + x = \f(m+1,3 và x.x = - \f(m+4,3 Yêu cầu bài toán x + x \f(,9 + \f(,3 -7 m -1 So điều kiện (*), ta nhận Vậy −7<m≤−1 −7<m≤−1 thỏa yêu cầu bài toán Câu 5) y’ = 6(x2 – (m + 1)x + m)) y có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt (m + 1)2 – 4m > m 1 (2 x m 1) y ' Ta có: y = - (m – 1)2x + m2 + m Phương trình đường thẳng AB: y = -(m – 1)2x + m2 + m Để AB vuông góc với đường thẳng y = x +2 và tích hai hệ số góc -1 -(m – 1)2 = -1 m = hay m = (Thỏa mãn m 1) Vậy có hai giá trị m cần tìm thỏa mãn bài toán là: m = và m = Câu 6) Δ ’ = m2 > ⇔ m ¿ A(1 – m ; -2 – 2m3), B(1 + m;– + 2m3) O cách A và B Câu 7) ⇔ OA = OB ⇔ 8m = 2m ⇔ m= ± Phương trình hoành độ giao điểm (m) và (Cm) viết thành: ( x 1)( x 3mx 2m ) 0 ( x 1)( x m)( x 2m) 0 2 giao điểm (m) và (Cm) gồm A( 1; m m ), B (m;0) và C (2m; m ); số đó, A là điểm có hoành độ không đổi (khi m thay đổi) Đặt f m ( x) x3 (3m 1) x 2m(m 1) x m2 Các tiếp tuyến (C ) B và C là các đường thẳng: m ( B ) : y f m '( xB ) x y B f m '( xB ) xB , ( C ) : y f m '( xC ) x yC f m '( xC ) xC Ta cần tìm m để B và C cùng khác A và B / / C ; tức là: (7) m xB x A x x C m A m f m '( xB ) f m '( xC ) m 2m 2m yB f m '( xB ) xB yC f m '( xC ) xC m3 4m3 3m x X y Y Câu 8) Giao điểm hai tiệm cận I(- 1;2) Chuyển hệ trục toạ độ Oxy > IXY: Hàm số đã cho trở thành : Y = Hay y – = - x – y = - x + Câu 9) X hàm số đồng biến nê (C) đối xứng qua đường thẳng Y = - X Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và đường thẳng y = là: x 0 x3 + 3x2 + mx + = x(x2 + 3x + m) = x 3x m 0 (2) * (Cm) cắt đường thẳng y = C(0;1), D, E phân biệt: Phöông trình (2) coù nghieäm xD, xE 9 4m 0 m 0 m 0 m (*) Lúc đó tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: kD=y’(xD)= 3x2D 6x D m (3x D 2m); kE=y’(xE)= 3x E 6x E m (3x E 2m) Caùc tieáp tuyeán taïi D, E vuoâng goùc vaø chæ khi: kDkE = –1 (3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo ñònh lý Vi-ét) 65 m 65 m Câu 10) 9 So s¸nhÑk (*): m = 65 4m2 – 9m + = (8) 2x M x0 ; (C ) x0 Gọi y PTTT (C) M: x0 x x02 x0 x0 AB IB và tam giác AIB vuông I IA = IB nên hệ số góc tiếp tuyến k = k = -1 vì 1 y/ 0 x 2 Do nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = -1 1 x0 1 x0 1 x0 3 có hai phương trình tiếp tuyến: y x ; y x Câu 11) Phương trình đường thẳng (L) có hệ số góc là hoành độ tiếp điểm thì nên hệ số góc tiếp tuyến cần tìm là k=2 Lúc đó x là f '(x) 2 mx 2(m 1)x (4 3m) 2 mx 2(m 1)x 3m 0 (1) Bài toán trở thành tìm tất các m cho phương trình (1) có đúng nghiệm âm Nếu m=0 thì (1) x x 1 loại Nếu m 0 thì dễ thấy phương trình (1) có nghiệm là x 1 hay x= 3m m m0 3m 0 m m đó để có nghiệm âm thì Vậy m hay m thì trên (C) có đúng tiếp điểm có hoành độ âm thỏa yêu cầu đề bài Câu 12) Ta có y 4 x m 1 x 4 x x m 1 x0 y02 xm21 nên hàm số có cực trị m > Với đk m > hàm số có điểm cực trị là: (9) A 0; 2m 1 ,B AB AC 2 m 1 16 m 1 Ta có: m 1 ; 4m 10m ,B m 1 ; 4m2 10m BC 8 m 1 So sánh với điều kiện có cực trị ta suy m 1 Câu 13) Ta có y , 3 x 6mx 3(m 1) y , 0 có nghiệm phân biệt Để hàm số có cực trị thì PT xm210 có nhiệm phân biệt 1 0, m Cực đại đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu đồ thị hàm số là B(m+1;-2-2m) Theo giả thiết ta có m 2 OA 2OB m 6m 0 m 2 Vậy có giá trị m là m 2 và m 2 Câu 14) 2x 1 Pt hoành độ giao điểm (C) và d là: x = mx+ m+ 2mx x 2m 0 x 1 2mx2 -3x-2m-3=0 (1) Ycbt (1) có nghiệm phân biệt x1,x2 < x1,x2 > m 0 2m 0 3 m (4m 3) (*) (1) có nghiệm phân biệt Khi đó nghiệm (1) là : x1 = -1 và x2 = 1+ 2m Do x1 = -1 < nên ycbt Câu 15) 1+ 2m < m < (10) Hai điểm M(x1; y1), N(x2; y2) (C) đối xứng qua Oy và khi: x =− x 1≠ { − x =−x ≠0 y1= y { x1 x 11 11 + x 21 +3 x 1− =− + x 32 +3 x 2− 3 3 x 1=3 x =−3 { x =−3 x =3 { 16 16 Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M(3; ),N(-3; ) Câu 16) Gọi (C ) là đồ thị hàm số M(x,y) ( C ) y x x Phương trình tiệm cận xiên y x x y 0 x y 2 Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1d Ta có 7 x x 2 d1 x d2 x : số Câu 17) M x0 ; x03 x0 y x x m Khi , hàm số là (C) Gọi Tiếp tuyến (d) M có phương trình: y 3x0 3 x x0 x0 3x0 (1) Khoảng cách từ M đến trục tung x0 2 x0 2 x0 2 , phương trình (1) có dạng: y 9 x 16 (d1 ) x , phương trình (1) có dạng: y 9 x 16 (d ) + Nếu (d ) (d ) Vậy có hai tiếp tuyến là và thoả mãn yêu cầu + Nếu Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) và ( ) là nghiệm phương trình: x3 2mx x 2mx x 2mx (2m 3) x 0 x 1 ( x 1) x (2m 1) x 0 x (2m 1) x 0(2) Vậy ( ) và đồ thị hàm số (1) cắt ba điểm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt (11) (2m 1) x 1 m 0 1 2m 0 B( x1; 2mx1 2), C( x2 ;2mx2 2) , đó x1; x là nghiệm x x 2m 1, x1x phương trình (2) nên d = d(O; ) = S BC.d 1+4m 2 Tam giác OBC có diện tích Trong đó Khi đó, ba giao điểm là A có hoành độ là và BC ( x2 x1 ) (2mx2 2mx1 ) ( x1 x2 ) x1 x2 4m 1 BC 2m 1 8 4m 1 S 2m 1 m 0 S 3 4m 4m m Đối chiếu ĐK, Kết luận: m Vậy Câu 18) x y m x 0 y m Ta có: y’ = 3x2 + 6x; y' = Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(2 ; m + 4) cos AOB AOB 1200 OA (0; m ), OB ( 2; m 4) Ta có: Để thì m(m 4) m (m 4) m 12 12 2 m m Câu 19) y' = 3x2 – 6mx + 3m – y' = x2 – 2mx + m2 – x m y m m 3m x m y m m 3m d(A, Ox) = d(B, Ox) (m3 + m2 – 3m – 1)2 = (m3 + m2 – 3m + 3)2 – 8(m3 + m2 – 3m) – = 8m3 + 8m2 – 24m + = m = hay m = –1 ± Câu 20) y ' 3 x 2(1 2m) x m m ;y'(2) = m 9m ; Để tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) điểm có hoành độ song song với đường thẳng có phương trình (12) y 12 x 20 y '(2) 12 m 9m 12 m 4 m 5 +)Với m 4 Ta có phương trình tiếp tuyến là y 12 x 20 (Thoả mãn ) +)Với m = Ta có phương trình tiếp tuyến là y 12 x 34 (Thoả mãn ) Câu 21) Giả sử A(x1; y1), B(x2; y2) (x1< x2 và (x1,x2≠-1) k Hệ số góc đường thẳng qua A, B là y1 y x1 x (x1 1)(x 1) x1 x 3(x1 x 2) ;2 2(x1 1)(x 1) ) Trung điểm I đoạn thẳng A, B là I( Điều kiện cần và đủ để A, B đối xứng với qua đường thẳng d: y = 3x + là: AB d (x1 1)(x 1) I D 2 3(x1 x 2) 3 x1 x 2(x1 1)(x 2) (x 1)(x 1) x x1 x x 2 Kết luận: Hai điểm cần tìm là (-4; 3), (2; 1) Câu 22) Ta có f '( x) 4 x x Gọi a, b là hoành độ A và B Hệ số góc tiếp tuyến (C) A và B là k A f '(a) 4a 4a, k B f '(b) 4b3 4b Tiếp tuyến A, B có phương trình là: y f ' a x a f a f ' a x f (a) af' a ; y f ' b x b f b f ' b x f (b) bf' b Hai tiếp tuyến (C) A và B song song trùng và khi: k A k B 4a 4a = 4b3 4b a b a ab b 1 0 (1) Vì A và B phân biệt nên a b , đó (1) tương đương với phương trình: a ab b 0 (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A và B trùng (13) 2 a ab b 0 a ab b 0 a b 4 3a 2a 3b 2b , f a af ' a f b bf ' b Giải hệ này ta nghiệm là (a;b) = (-1;1), (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này tương ứng với cùng cặp điểm trên đồ thị là 1; 1 và 1; 1 Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến (C) A và B song song với là a ab b 0 a 1 a b Câu 23) LÊy M(m ; m4 – 5m2 + 4) (C) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M : y = (4m3 – 10m)(x – m) + m4 – 5m2 + (d) Hoành độ (d) & (C) là nghiệm phơng trình: x4 – 5x2 + = (4m3 – 10m)(x – m) + m4 – 5m2 + (x – m)2(x2 + 2mx + 3m2 – 5) = (1) Cần tìm m để x2 + 2mx + 3m2 – = có hai nghiệm phân biệt khác m §iÒu kiÖn lµ 5−2m2 >0 m2 −5≠0 { Các điểm M(m ;m4 – 5m2 + 4) (C) với hoành độ m 10 10 30 ; \ 2 Câu 24) Đặt A a; a 3a ; B b; b 3b với a b Hệ số góc tiếp tuyến với (C) A, B là: k A y ' x A 3a 6a; k B y ' xB 3b 6b Tiếp tuyến (C) A và B song song với và k A k B 3a 6a 3b 6b a b a b 0 b 2 a (14) Độ dài đoạn AB là: AB a b a b3 a b a b a b a ab b2 a b 2 2 a 1 a 1 a 1 3 2 Đặt t = ( a – )2 a 2 AB 4 t t t 3 8 t t 2t 0 t 4 a 2 A 3; , B 1; Với a 3 b A 1; , B 3; Với a b 3 Vậy A 3; , B 1; A 1; , B 3; Câu 25) x 5 Gọi tiếp tuyến là d vuông góc với đường thẳng y= phương trình d có dạng: y=-4x+b x2 x x b 4 ( x 2) * d là tiếp tuyến (C) ta có: * Với d: y=-4x+1 thì tiếp điểm M1(1;-3) d: y=-4x+17 thì tiếp điểm là M2(3;5) x 1 b 1 x 3 b 17 Câu 26) M x ;y Phương trình tiếp tuyến điểm 0 là : y x02 x0 x x0 x03 x02 3x0 x0 0, x0 3 qua O x0 0 thì : y 3x x 3 thì : y 0 Khi: Khi: Câu 27) 2 PT hoành độ giao điểm: x (m 4) x m 0 (*) có hai nghiệm PT m 28 m R +) Gọi A(x1; x1+ m), B(x2; x2+ m), với x1, x2 là các nghiệm PT (*) (15) m SOAB d (O; d ) AB m 28 2 +) +) SOAB 2 m m 28 2 Câu 28) 2 Ta có y ' 3 x 6mx 3( m 1) Đồ thị hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và y ' 0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm 2 2 x 6mx 3(m 1) 0 có hai nghiệm phân biệt ' 9m 9(m 1) 9 m x m y ' 0 x m 1 Vậy m đồ thị hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và Điểm A(m-1;2-2m);B(1+m,-2-2m) là điểm cực đại ,điểm cực tiểu đồ thị hàm số theo giả thiết ta OB 9OA2 (m+1)2 ( 2m) (m-1) (2 2m) có OB=3 OA m 2 2m 5m 0 m 1 2 m 2 m 1 thì đồ thị hàm số cóđiểm cực đại , điểm cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm Vậy với số đến gốc toạ độ O lần khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc toạ độ O Câu 29) Hoành độ giao điểm (d) và đồ thị (Cm) hàm số: y 2 x 3mx (m 1) x là nghiệm phương trình: (16) x 3mx (m 1) x 1 2 x 1 x 0 x(2 x 3mx m 3) 0 x 3mx m 0 (*) Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) điểm C, A, B phân biệt và C nằm A và B và PT (*) có nghiệm trái dấu 2.(m 3) m 3m x A xB y A 2 x A 1 x x m A B và yB 2 xB 1 (Trong đó xA ; xB là nghiệm phương trình Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn (*)) AB = 55 ( xB xA ) ( yB y A ) 55 ( xB x A ) 11 ( xB x A ) xB x A 11 m 2 9m 8m 20 0 m 10 9m m 11 t / m Vậy m 2; m 10 là giá trị cần tìm Câu 30) Đường thẳng d cần tìm vuông góc với : x + 2y +3= nên có phương trình y = 2x +m D cắt (C) điểm A, B phân biệt 2x 2 x m x 1 có nghiệm phân biệt x mx m 0 có nghiệm phân biệt khác - m 8m 32 (1) x A xB m xI y 2 x m m I I Gọi I là trung điểm AB có Do AB vuông góc với nên A, B đối xứng qua đường thẳng : x + 2y +3= I m (17) m = - thỏa mãn (1) đường thẳng d có phương trình y = 2x - Câu 31) y’ = 6(x2 – (m + 1)x + m)) y có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt (m + 1)2 – 4m > m 1 (2 x m 1) y ' Ta có: y = - (m – 1)2x + m2 + m Phương trình đường thẳng AB: y = -(m – 1)2x + m2 + m Để AB vuông góc với đường thẳng y = x +2 và tích hai hệ số góc -1 -(m – 1)2 = -1 hay m = (Thỏa mãn m 1) Vậy có hai giá trị m cần tìm thỏa mãn bài toán là: m = và m = m=0 Câu 32) Ta có y'=3 x −3(m−2)x−3(m−1), ∀ x∈R2 y ' =0 ⇔ x −( m− ) x −m+1 =0 ⇔ ¿ [ x = x =−1 [¿ [ x = x 2= m−1 m>0 thì x <x Khi đó hàm số đạt cực đại x 1=−1 và đạt cực tiểu x 2=m−1 3m y CĐ= y (−1 )= , y CT = y (m−1)=− (m+2)(m−1 )2 +1 2 3m − (m+2 )(m−1)2 +1=4 ⇔ m−6−(m+2 )( m−1)2 =0 2 )( m +m− )=0 ⇔ Từ giả thiết ta có ⇔ ( m−1 Chú ý với Do đó ¿ Đối chiếu với yêu cầu [ m=1 −1± √ 33 [ ¿ [ m= m>0 ta có giá trị m là m=1 , m= −1+ √ 33 Câu 33) x0 ; Gọi M( x0 2( x0 1) ) (C ) là điểm cần tìm y f ' ( x0 )( x x0 ) Gọi tiếp tuyến với (C) M ta có phương trình : y x0 1 ( x x0 ) x0 2( x0 1) x0 2( x0 1) (18) x02 x0 Gọi A = ox A( ;0) x02 x0 2( x0 1) ) Khi đó tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm là: G B = oy B(0; x02 x0 x02 x0 ; 6( x0 1) Do G đường thẳng:4x + y = 4 x02 x0 x02 x0 0 6( x0 1) x0 1 x x0 0 ) (vì A, B O nên x x x x 13 3 xM0(;) x0 M ( ; ) 2 Với ; với Câu 34) Phương trình hoành độ giao (C) và (): x x (2m 1) x 4m 0 x 2 f ( x ) x x 2m 0 (1) ( x 2)( x x 2m 1) 0 x1 x2 x 2 x x,x () cắt (C) đúng điểm phân biệt M,N (1) phải có nghiệm thỏa mãn: (19) 0 b 2 2a f (2) 0 Với Với m m 8m 0 1 2 2 8m 2m 0 m m 1 M ( ; ); N (2; 3) 8 ta có (loại) ta có M ( 1; 2); N (2; 2) (loại) Vậy không có giá trị m thỏa mãn MNP nhận O làm trọng tâm Câu 35) y ' f ' x 12 x 12 x m Hàm số có hai cực trị ' 36 12m m Gọi hai điểm cực trị đths là A x1 , y1 ; B x2 , y2 x1 , x2 2m 1 y f x f ' x x Có: Do f ' x1 f ' x2 0 ( là hai nghiệm pt y ' 0 ) m 2 x m m 2m 2m y1 x1 y2 x2 và nên 2m y Vậy pt đt AB là m 2 x AB d 1 (I là trung điểm AB) I d A, B đối xứng qua d: 2x – 4y – = 2m m 0 (thoả mãn m < 3) 1 x1 x2 xI yI 2m I có toạ độ: m xI 1 0 (đúng) Vậy A, B đối xứng qua d và m = (20) Câu 36) 4 4 M 2; C M y (2) Ta có Tiếp tuyến với có phương trình : 4 14 y x y x 3 m // d 9m 14 y y '(2). x Ta có m 1 m m Vậy m Câu 37) 2x - = - x + m (x ¹ - 1) PT hoành độ giao điểm (C) và (d) : x + Û 2x - = (x + 1)(- x + m) (do x = - không thỏa PT) Û x2 + (3- m)x - m - = (*).Ta có D = (3- m)2 - 4(- m - 1) = (m - 1)2 + 12 > 0, " m Chứng tỏ PT (*) có hai nghiệm phân biệt với m hay (d) cắt (C) hai điểm phân biệt với m Gọi A(x1;- x1 + m), B (x2;- x2 + m) đó x1, x2 là hai nghiệm PT (*) nên theo định lí Viet ta có ìï x + x = m - ï í ïï x1x2 = - m - î Đường thẳng MN có PT x + 2y - = SVAMN = SVBMN Û d(A,(MN )) = d(B,(MN )) Û x1 + 2(- x1 + m) - = x2 + 2(- x2 + m) - é- x + 2m - = - x + 2m - Û ê ê- x + 2m - = x - 2m + Û ê ë Û m - 3- 4m + 12 = Û m = Câu 38) Û - x1 + 2m - = - x2 + 2m - éx = x (loai) ê1 êx + x - 4m + 12 = ê ë1 (21) x0 ;2 x0 Gọi M 1 (C) y Tiếp tuyến (d)tại M có dạng: 3 ( x x0 ) ( x0 1) x0 1;2 x0 Các giao điểm d với tiệm cận: A , B(2x0 –1; 2) C IA IB AB IA IB SIAB =1/2.IA.IB= (không đổi) IAB chu vi IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB x0 1 2 x0 x 1 x0 1 M1( 3;2 ); M2( IA IB 3;2 2IA.IB 3) Câu 39) x 0 y ' 4 x3 4mx 4 x x m 0 x m (1 điểm) ' ' Hàm số đã cho có ba điểm cực trị pt y 0 có ba nghiệm phân biệt và y đổi dấu x qua các nghiệm đó m Khi đó ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: A 0; m 1 , B m ; m m , C SABC m ; m2 m 1 yB y A xC xB m m ; AB AC m m , BC 2 m m 1 m4 m m AB AC.BC R 1 1 m 2m 0 m SABC 4m m Câu 40) (Đ/S : m <1;m ≠ 0) (Bạn đọc tự giải) (Biên soạn : Đỗ Thái Sơn / 12ª1 / THPT Phước Thiền) (22) (23)