Yờu cầu liờn quan tới điểm cực trị của hàm số.. Yờu cầu liờn quan tới tiệm cận của ĐTHS.. Biện luận số nghiệm của PT, BPT bằng đồ thị.. Tương giao của đồ thị hàm số với cỏc đường khỏc..
Trang 1Chuyên đề: Hàm số và các bài toán liên quan
Một số cõu hỏi thường gặp trong bài toỏn hàm số:
1 Khảo sỏt sự biến thiờn, vẽ ĐTHS và vẽ ĐTHS cú dấu giỏ trị tuyệt đối
2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của hàm số
3 Yờu cầu liờn quan tới điểm cực trị của hàm số
4 Yờu cầu liờn quan tới tiệm cận của ĐTHS
5 Biện luận số nghiệm của PT, BPT bằng đồ thị
6 Tương giao của đồ thị hàm số với cỏc đường khỏc
7 Tớnh diện tớch hỡnh phẳng và thể tớch của vật thể trũn xoay
8 Điểm cố định mà họ đường cong đi qua và khụng đi qua
9 Yờu cầu liờn quan đến tỡm điểm thuộc ĐTHS
Hàm số bậc 3.
1 ĐH A-02: Cho hàm số: y = − +x3 3mx2 + 3(1 −m x m2 ) + 3 −m2 (1)
a) Khảo sỏt (1) khi m=1
b) Tỡm k để PT sau cú 3 nghiệm phõn biệt: − +x3 3x2 + −k3 3k2 = 0
c) Viết PT đường thẳng qua 2 điểm cực trị của ĐTHS (1)
2 ĐH B-03: Cho hàm số: y = x3 − 3x2 +m(1)
a) Tỡm m để (1) cú 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ
b) Khảo sỏt (1) khi m =2
3 ĐH B-04: Cho hàm số: 1 3 2
3
y= x − x + x (C)
a) Khảo sỏt (1)
b.Viết PTTT ∆ của (C) tại điểm uốn và CMR ∆ là tiếp tuyến cú hệ số gúc nhỏ nhất
4 ĐH D-04: Cho hàm số: y x= − 3 3mx2 + 9x+ 1 (1)
a) Khảo sỏt (1) khi m = 2
b) Tỡm m để điểm uốn của (1) thuộc đường thẳng y = x+1
5 ĐH D -05: Cho hàm số: 1 3 2 1
(*)
m
y= x − x + (Cm) a) Khảo sỏt khi m=2
b).Gọi M là điểm thuộc (Cm) cú hoành độ bằng 1 Tỡm m để tiếp tuyến của ( )C m tại M song song với đường thẳng 5x - y = 0
6 ĐH A -06:
a) K/s y= 2x3 − 9x2 + 12x− 4
b) Tỡm m để PT sau cú 6 nghiệm phõn biệt :2 x3− 9x2 + 12 x =m
Trang 27 ĐH D -06: Cho h/s y x= − + 3 3x 2
a).K/s (C)
b).Gọi d là đường thẳng qua A(3;20) và cú hệ số gúc là m Tỡm m để d cắt (C) tại 3 điểm phõn biệt
8 ĐH B -07: Cho h/s:y x= + 3 3x2 + 3(m2 − 1)x− 3m2 − 1(1)
a) K/s m=1
b) Tỡm m để hàm số cú CĐ, CT và cỏc điểm CĐ, CT cỏch đều gốc tọa độ
9 ĐH B – 2008: Cho hàm số: y = 4x3 – 6x2 + 1, (1)
1 Khảo sỏt (1)
2. Viết PTTT của ĐTHS (1) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; - 9)
10 ĐH D – 2008: Cho hàm số: y = x3 – 3x2 + 4 (1)
1 Khảo sỏt (1)
2 CMR mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số gúc k ( k > - 3) đều cắt ĐTHS (1) tại 3 điểm phõn biệt A, B, I đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB
11.CĐSP Cà Mau-05: Cho h/s y= 2 3 2
1(1)
a.K/s m=1, viết pttt tại điểm uốn
b.Tìm m để (1) tiếp xúc với trục Ox
c.Tìm m để (1) nhận điểm có hoành độ x=1 làm điểm uốn
12.CĐSP Hà Nam 04: Cho h/s y=x3 +mx2 − −x m(1) (C m)
a.K/s (1) m=1
b.Tìm m để ( )C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và các hoành độ giao điểm lập thành một cấp số cộng
c.Tìm các điểm ( )C m luôn đi qua với mọi giá trị của m
13.CĐY Tế Nghệ An-04:Cho h/s y= x3 −mx m+ − 2
a.K/s m=3
b.Gọi (Cm) là đồ thị của h/s đã cho Chứng tỏ rằngtt của (Cm) tại điểm uốn của nó luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi
14.CĐSP Lai ChâuKb-05: Cho h/s y=x3 − 3(m+ 1)x2 + 3(2m+ 1)x− 4
a.K/s m=1
b.Tìm m để h/s đã cho đồng biến trên :[0; +∞)
15.CĐSP MG TW1-04:
a.K/s:y= − +x3 3x
b.Tìm GTLN,GTNN của hs y x= 4 − 4x2 + 1/ 1; 2[− ]
16.CĐSP MG TW3-04: Cho h/s y=x3 − 3x2 + 4m
a.Cmr đồ thị h/s luôn có điểm hai cực trị Khi đó xđ m để một trong hai cực trị thuộc trục Ox b.K/s m=1 (C)
c.Viết pttt của (C) đi qua điểm (2;0)
d.Tính diện tích hình phẳng g/h bởi (C) trục Ox và đờng thẵng x=1 ,x=3
17.CĐSP Nha Trang-02: Cho h/s y=x3 −mx2 + 1 (C m)
a.Khi m=3: +)K/s Tìm trên đồ thị h/s tất cả các cặp điểm dối xứng nhau qua gốc toạ độ
Trang 3b.Xđ m để đờng cong ( )C m tiếp xúc với đờng thẳng (d):y=5.Khi đó tìm giao điểm còn lại của (d) với đờng cong
18.CĐ Truyền hình 07: Cho h/s y=2x3 − 9x2 + 12x− 4
a.Ks
b.Tìm m để pt có 6 nghiệm phân biệt 3 2
2 x − 9x + 12 x =m
19.CĐKT Đối Ngoại -05: Cho h/s y=(x-1)(x2-2mx-m-1)(1)
a.K/s m=1
b.Tìm m để đồ thị h/s (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -1
20.CĐ Nông Lâm -06: Cho h/s y=x3 + 3mx2 + 1(1)
a.K/s m=1
b.Tìm quỹ tích các điểm cực đại của h/s (1) khi m thay đổi
21.CĐ SP Trà Vinh -06: Cho h/s y=2x3 − 3x2 − 1(1),( )C
a.K/s
b.Tìm k để (d):y= kx-1 cắt (C) tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dơng 22).CĐSP Hà Nam Ka-05:Cho h/s y= − +x3 3x− 2
a.K/s gọi (C) là đồ thị
b.Viết pttt của â biết tt đi qua A(-2;0)
c.Biện luận theo m số nghiệm của pt 3
2
x − + +x m=
Hàm số bậc 4.
1 .ĐH-CĐ Kb-02:Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 (1)
a.Khảo sát ,vẽ đồ thị m =1
b)Tìm m để (1) có ba điểm cực trị
2.Tham khảo -04: Cho h/s y=x4 − 2m x2 2 + 1(1)
a.K/s m=1
b.Tìm m để đồ thị (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân
3 Cho hàm số y = x4 – (m + 1)x2 + m, (1)
a Khảo sỏt kho m = 2
b CMR ĐTHS (1) luụn đi qua 2 điểm cố định với mọi giỏ trị của m
4 Cho hàm số: y = x4 – 2mx2 + 2m, (1)
a Tỡm m để hàm số (1) cú 3 điểm cực trị
b Khảo sỏt và vẽ (C) khi m = ẵ
5 Cho hàm số: y = x4 – mx2 + m - 1, (1)
a Khảo sỏt khi m = 8
b Xỏc định m để ĐTHS (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phõn biệt
Hàm số phõn thức bậc 1/1
1 .ĐH-CĐ Kd-02:Cho hàm số : (2 1) 2 (1)
1
m x m y
x
− −
=
− a.K/s và vẽ đồ thị (C) khi m=-1
b.Tính diện tích hình phẳng gh bởi (C) và hai trục toạ độ
Trang 4c.Tìm m để (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x
2 ĐH-CĐ Kd-07: Cho h/s: 2
1
x y x
= + a.K/s gọi đồ thị là (C)
b.Tìm điểm M thuộc (C) biết tt của (C) tại M cắt Ox,Oy tại A,B sao cho 1
4
OAB
S∆ = 3.CĐ SP Trà Vinh Ka05: Cho h/s y=2 4(1) ( )
1
x
co dt C x
+ + a.K/s(1)
b.Cmr (d):y= 2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m Tìm m để đoạn AB ngắn nhất
4.CĐSP Trà VinhKb,m -05: Cho h/s y=2 1 (1)
1
x x
−
− a.K/s (1) có đồ thị (C)
b.Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận của (C).Viết pt đờng thẳng ∆ qua I có hệ số góc k Cmr không có giá trị nào của k để ∆ là tt của (C)
5.CĐ GT –VT III-07: Cho h/s y=2 1
1
x x
+
− a.K/s ,gọi đồ thị (C)
b.Viết pttt của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
c.Tìm các điểm M trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) bằng 4
6.CĐ Bến Tre -06: Cho h/s y=2 1(1)
1
x x
−
− a.K/s ,gọi đồ thị là (C)
b.Tìm trên (C) những điểm có toạ độ là những số nguyên
c.Gọi I là giao điểm hai đờng tiệm cận của (C) Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M vuong góc với IM
7 CĐKT-KT CN1Ka:Cho hàm số 3
2
x y x
+
= + (*) a.K/s (*)
b.Gọi (C) là đồ thị (*) CMr đờng thẳng 1
2
y= x-m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệtA,B.Xđ
m sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Trang 5Hàm số bậc 2/1.
1 .ĐH-CĐ Ka-03:Cho hàm số 2 (1)
1
mx x m y
x
+ +
=
− a.K/s vẽ m==-1
b.Tìm m để (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dơng
2 ĐH-CĐ Kd-03:Cho h/s: 2 2 4(1)
2
x x y
x
− +
=
− a.K/s vẽ
b.Tìm m để d m: y= mx+2-2m cắt đồ thị (1) tại hai điểm phân biệt
3 ĐH-CĐ Ka-04:Cho h/s : ( )
2 3 3
(1)
x x y
x
− + −
=
− a.K/s vẽ
b.Tìm m để đờng thẳng y = m cắt (1) tại hai điểm A,B sao cho AB =1
4.ĐH-CĐ Ka-05:Gọi ( )C m là đồ thị của h/s :y mx 1(*)
x
= + a.K/s m=1
4
b.Tìm m để (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên bằng 1
2
5.ĐH-CĐ Kb-05:Cho h/s: 2 ( 1) 1(*)
1
x m x m y
x
+ + + +
=
+ a.K/s m=1
b.CMR ∀m (*) luôn có điểm cực đại ,cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20
6 .ĐH-CĐ Kb-06: Cho h/s : 2 1
2
x x y
x
+ −
= + a.K/s
b.Viết pt tt của (C) biết tt vuông góc với tiệm cận xiên
7 .ĐH-CĐ Ka-07: Cho h/s 2 2( 1) 2 4 (1)
2
x m x m m y
x
+ + + +
=
+ a.K/s m=-1
b.Tìm m để (1) có cực đại và cực tiểu ,đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác vuông tại O
8 Khối A – 2008: Cho hàm số
m x
x m mx
y
3
2 ) 2 3 ( 2 2
+
−
− +
1 Khảo sỏt (1) khi m = 1
2. Tỡm m để gúc giữa 2 đường tiệm cận của ĐTHS (1) bằng 450
9.CĐ SP Hà Nam 05:Cho h/s 1 1 ( )
1
x
= + +
− a.K/s
b.Tiếp tuyến tuỳ ý của (C) cắt hai tiệm cận tại A,B,gọi I là giao của hai tiệm cận.CMR tam giỏc IAB có diện tích không đổi khi tiếp tuyến thay đổi
Trang 610.CĐSP Hà Nam KD1-05: Cho hs 2 2(1)
2
x x y
x
+ −
=
− a.K/s
b.Tìm các điểm M trên (1) sao cho tt với đồ thị tại M cắt các trục toạ độ tại A,B tạo thành một tam giác vuông cân OAB (O là gốc toạ độ)
11.CĐSP Hà Nam Kh-05:Cho h/s 2 1
1
x x y
x
− +
=
− a.K/s
b.Tìm m để đờng thẳng y= mx-2m+2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị 12.CĐ SP Quảng NinhKa-05:Cho h/s y= 2 2 2
1
x x x
+ + + a.K/s
b.Biện luận theo k số nghiệm của pt 2 2 2 0
1
x x
kx k x
+ + − − = +
13.CĐ SP Quảng Ninh Kb-05: Cho h/s y=x3 − (m+ 1)x2 + (m− 1) (*)x có đồ thị là ( )C m
a.K/s m=1
b.CMr khi m≠ 0 đồ thị cắt Ox tại ba điểm phân biệt
14 CĐSP Điện biên Ka,b-05: Cho h/s y= 2 (1)
1
x x m x
− +
− a.K/s m=1
b.Tìm m để (1) có cực đại ,cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu nằm về hai phía của trục tung 15.CĐSP Sơn La-05: Cho h/s y= 2 ( 2) 2( 1)
1
x m x m
x
+ + + +
+ a.K/s m=0
b.Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8
16.CĐSP Bắc Ninh 04: Cho h/s y= x2 1
x
+ a.K/s
b.Biện luận theo m số nghiệm của pt x2 1 m2 1
+ = + 17.CĐSP Bình phớc-04: Cho h/s y= 2 ( 2) (1)
1
x m x m x
+ + − + a.K/s m=-1
b.XĐ m để hs có cực đại cực tiểu
c.Tìm m để đờng thẳng y=-x-4 cắt đồ thị h/s tại hai điểm đx nhau qua đờng thẳng y= x
18.CĐGT-04:CĐGT -04: Cho h/s y=x2 2x 1
x
+ + a.K/s
1
x
+ + = có đúng ba nghiệm phân biệt
19.CĐGT II-04: Cho h/s y= 2 2 2(1)
1
x x x
− +
−
Trang 7b.Gọi I là giao của hai đờng tiệm cận của (C) của (1).Viết pt hai đờng thẳng qua I sao cho chúng có hệ số góc nguyên và cắt (C) tại 4 điểm phân biệt là bốn đỉnh của một hình chữ nhật 20.CĐ GT III-04: Cho h/s y= 2 2 5(1)
1
x x x
+ −
− a.K/s
b.Xđ m để đờng thẳng y=mx cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho gốc toạ
độ O là trung điểm của AB
21.CĐ KT-KT CN II-04: Cho h/s y= 2 3(1);( )
x mx m
C x
− + + + a.K/s m=1
b.Tìm tất cả những điểm thuộc đồ thị trên có toạ độ là những số nguyên
c.Với điều kiện nào của m thì (Cm) suy biến thành đờng thẳng Viết pt đờng thẳng đó và nhận xét đờng thẳng có gì đặc biệt ?
22.CĐSP Ka-02: Cho h/s y= 2 1(*)
1
x mx x
+ −
− a.K/s m=1
b.Tìm những điểm thuộc (C) có toạ độ là những số nguyên
c.Xđ m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị (*) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho OA⊥AB
23.CĐSP Hải DơngKa-05: Cho h/s y= 2 1(1)
1
x mx x
+ + + a.K/s m=1
b.Tìm tất cả các giá trị m để h/s (1) có cực đại ,cực tiểu đồng thời giá trị cực đại cực tiểu trái dấu
c.Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị h/s (1) tiếp xúc với trục Ox
24.CĐSP Hải Dơng Kb-05: Cho h/s y= 2 1
1
x x x
+ −
− a.K/s
b.Tìm m để đờng thẳng y= mx-2m+2 cắt đồ thị tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị
25.CĐKT –KT CN Ka-04: Cho h/s y= 2 2(1)
2
x x x
− − + a.K/s (1)
b.Gọi (C) là đồ thị (1).G/s tt của đồ thị tại M∈ ( )C cắt hai tiệm cận tại P,Q.Cmr :MP=MQ
26.CĐKhí tợng Thuỷ VănKa-03: Cho h/s y= 2 ( 1) 1(1)
1
x m x m
x
− + + +
− a.K/s m=1
b.CMr (1) luôn đạt CĐ ,CT ∀m.Tìm m để ( )2
2
y = y
27.CĐ KT –KT Hải Dơng-02: Cho h/s y= 2
1
x
x− a.K/s
b.Biện luận theo m số nghiệm của pt :
2
1
x m
x =
−
Trang 828.CĐGT-VT -07: Cho h/s y= 2 3 3(1)
x x x
− +
− a.K/s
b.Tìm m để đờng thẳng y=m cắt đồ thị h/s (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=2
29.CĐ Nông nghiệp-07: Cho h/s y= 2 2( 1) 1(1)
1
x m x m
x
+ + + +
− a.K/s m=-1
b.Xđ tất cả các giá trị của m sao cho ĐTHS (1)có điểm cực đại cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
30.CĐ KT-KT CN1-07: Cho h/s y= 2 2 1(1),( )
x mx m
C mx
− + −
− a.K/s m=1
b.Xđ m để tiệm cận xiên của ( )C m đi qua gốc toạ độ và h/s (1) có cực trị
31.CĐKT Cao thắng-07: Cho h/s y= 2 1(1)
1
x mx x
+ + + a.Tìm m để (1) có hai giá trị cực trị trái dấu
b.Tìm để h/s (1) đạt cực đại tại x=2
32.CĐ TC-Hải Quan -07: Cho h/s y= 2 4 7
1
x x x
+ + + (C) a.K/s
b.Tìm trên (C) hai điểm A,B đối xứng nhau qua đờng thẳng (d):x-y+6=0
33.CĐ Y tế1-06: Cho h/s y= 2 1
1
x x x
+ −
− a.K/s
b.Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà TT tại mỗi điểm ấy với đồ thị (C) vuông góc với đờng thẳng
đi qua hai điểm cực đại ,cực tiểu
34.CĐ SP Hải D ơng -06 : Cho h/s y= 2 1
2
x
x
+ +
+ a.K/s ,gọi đồ thị là (C)
b.Tìm m để y= m cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa chúng bằng 12
35.CĐ SP Tây Ninh-06: Cho h/s y=2 2 (1)
1
x mx m x
+ + + a.K/s m= 1
b.Tìm m để đồ thị hs (1) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt sao cho TT với đồ thị tại hai điểm
đó vuông góc với nhau
36 CĐCN-HN 05:Cho h/s 2 1(1)
1
x x y
x
− +
=
− a.K/s (1)
b.Dựa vào đồ thị h/s(1) vẽ đồ thị hàm số
1
x x y
x
− +
=
−