Chuyên đề : hàm số

Hàm số bậc nhất y = ax + b và hàm số y = ax 2 A.Tóm tắt lí thuyết: 1.Hàm số y = ax + b. - Tính chất: + Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. + Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0. - Đồ thị: Đồ thị là một đờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0). -Các vẽ đồ thị: Tìm hai điểm thuộc đồ thị hàm số(thờng toạ độ nguyên). Kẻ đờng thẳng đi qua hai điểm đó. 2.Hàm số y = ax 2 (a 0) - Tính chất: + Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. + Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. - Đồ thị: Đồ thị là một đờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0). + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành. 3.Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d') +(d) và (d') cắt nhau a a' +(d) // (d') a = a' và b b' +(d) (d') a = a' và b = b' +(d) vuông góc với (d') <=> aa' = -1 4.Một số phơng trình đờng thẳng đặc biệt: Đờng thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 )có hệ số góc k: y = k(x x 0 ) + y 0 Đờng thẳng đi qua điểm A(x 0 , 0) và B(0; y 0 ) với x 0 .y 0 0 là 0 0 1 x y x y + = 5.Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng cong. Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a'x 2 (P) +(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm, phơng trình: a'x 2 = ax + b có hai nghiệm phân biệt. +(d) tiếp xúc với (P) tại một điểml, phơng trình: a'x 2 = ax + b có nghiệm kép. +(d) và (P) không có điểm chung, phơng trình: a'x 2 = ax + b vô nghiệm. 6.Kiến thức bổ sung *Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x 1 , y 1 ) và B(x 2 , y 2 ). Khi đó Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức: 2 2 ( ) ( ) B A B A AB x x y y= + Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức: ; 2 2 A B A B M M x x y y x y + + = = *Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox: Gọi là góc cần tìm: +Nếu a > 0 thì tg = a +Nếu a < 0 thì tg(180 0 - ) = a B.Các dạng bài tập cơ bản thờng gặp: Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số, xác định góc tạo bởi đ ờng thẳng và trục Ox, góc tạo bởi các đ ờng thẳng, tính diện tích hình tạo bởi các đ ờng. Dạng 2: Điểm thuộc đ ờng, đ ờng đi qua điểm. Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(x A ;y A ). Hỏi (C) có đi qua A không? Đồ thị (C) đi qua A(x A ;y A ) khi và chỉ khi toạ độ của A là nghiệm đúng phơng trình của (C): A(C) y A = f(x A ) Do đó: +Nếu f(x A ) = y A thì (C) đi qua A. +Nếu f(x A ) y A thì (C) không đi qua A. Dạng 3:S ự t ơng giao của hai đồ thị Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số y = f(x) và y = g(x).Hãy khảo sát sự tơng giao của hai đồ thị Hoành độ giao điểm của (C) và (L) là nghiệm của phơng trình: f(x) = g(x) (*) +Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung. +Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau. +Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung. +Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung. Dạng 4:lập ph ơng trình đ ờng thẳng Bài toán 1: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x A ;y A ) và có hệ số góc bằng k. Giải: Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b (*) Xác định b: (D) đi qua A(x A ;y A ) nên ta có y A = kx A + b b = y A - kx A. . Thay b = y A - kx A vào (*) ta có phơng trình của (D) Bài toán 2: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x A ;y A ); B(x B ;y B ) Giải; Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b . (D) đi qua A và B nên ta có: += += b ax y b ax y BB AA Giải hệ ta tìm đợc a và b suy ra phơng trình của (D) Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x) Giải: Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b ; Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đợc b và suy ra phơng trình của (D) Bài toán 4: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x A ;y A ) và tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x) Giải: Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b ; Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:f(x) = ax + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đợc hệ thức liên hệ giữa a và b (1) Mặt khác: (D) qua A(x A ;y A ) do đó ta có y A = ax A + b (2) Từ (1) và (2) a và b Phơng trình đờng thẳng (D). Dạng 5: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua. Dạng 6: Viết ph ơng trình đ ờng thẳng đối xứng với đ ờng thẳng y = ax + b qua trục Ox, Oy. Hệ thống bài tập: *Bài 1. Cho hai hàm số: y = x và y = 3x Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy Đờng thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đờng thẳng: y = x và y = 3x lần lợt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB Bài 2: Cho hàm số y = - 2x và 1 2 y x= . Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên; Qua điểm (0; 2) vẽ đờng thẳng song song với trục Ox cắt đờngthẳng 1 2 y x= và y= - 2x lần lợt tại A và B. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện tích của tam giác đó. *Bài 3: Cho hàm số y x= . Vẽ đồ thị hàm số; Vẽ đờng thẳng y = 2, cắt đồ thị hàm số y x= ở A và B. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao? Tính chu vi và diện tích của tam giác đó. *Bài 4: Cho hàm số: y = (m + 4)x m + 6 (d). Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm đợc của m. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. *Bài 5: Cho hàm số: y = (3m 2)x 2m. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ứng với giá trị của m tìm đợc ở câu a, b. Bài 6: Cho ba đờng thẳng y = -x + 1, y = x + 1 và y = -1. Vẽ ba đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. Gọi giao điểm của đờng thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 là A, giao điểm của đờng thẳng y = -1 với hai đờng thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 theo thứ tự là B và C. Tìm tọa độ các điểm A, B, C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC. *Bài 7: Cho đờng thẳng (d): ;y = - 2x + 3. Xác định tọa độ giao điểm A và B của đờng thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng d. Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đờng thẳng d. *Bài 8: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1y x= + 1y x= 4x y = , (x < -1,5) 3x +2, (-1,5 x 1) x + 4, (x >1) 1 2y x x = + *Bài 9: Tìm giá trị của k để ba đờng thẳng: y = 2x + 7 (d 1 ) 1 7 3 3 y x= + (d 2 ) 2 1 y x k k = (d 3 ) đồng quy trong mặt phẳng tọa độ. Bài 10: Cho hai đờng thẳng: y = (m + 1)x 3 và y = (2m 1)x + 4. a. Chứng minh rằng khi 1 2 m = thì hai đờng thẳng đã cho vuông góc với nhau. b. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đờng thẳng đã cho vuông góc với nhau. Bài 11: Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau: a. Khi 3a = , đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 . b. Khi a = - 5, đồ thị hàm số đi qua điểm A(- 2; 3). c. Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(1; 3) và N(- 2; 6). d. Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng 7y x = và đi qua điểm ( ) 1;7 7 + . Bài 12: Cho đờng thẳng: y = 4x (d). a. Viết phơng trình đờng thẳng (d 1 ) song song với đờng thẳng (d) và có tung độ gốc bằng 10. b. Viết phơng trình đờng thẳng (d 2 ) vuông góc với đờng thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 8. c. Viết phơng trình đờng thẳng (d 3 ) song song với đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8. Bài 13: Cho hàm số: y = 2x + 2 (d 1 ) 1 2 2 y x= (d 2 ). a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b. Gọi giao điểm của đờng thẳng (d 1 ) với trục Oy là A, giao điểm của đờng thẳng (d 2 ) với trục Ox là B, còn giao điểm của đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) là C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C. c. Tính diện tích tam giác ABC. Bài 14: Cho các hàm số sau: y = - x 5 (d 1 ) ; 1 4 y x= (d 2 ) ; y = 4x (d 3 ) a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b. Gọi giao điểm của đờng thẳng (d 1 ) với đờng thẳng (d 2 ) và (d 3 ) lần lợt là A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B. c. Tam giác AOB là tam giác gì? Vì sao? d. Tính diện tích tam giác AOB. Bài 15: Cho hai đờng thẳng: y = x + 3 (d 1 ) và y = 3x + 7 (d 2 ). a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b. Gọi giao điểm của đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) với trục Oy lần lợt là A và B. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. c. Gọi J là giao điểm của hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ). Chứng minh tam giác OIJ là tam giác vuông. Tính diện tích của tam giác đó. *Bài 16: Cho hai đờng thẳng: y = (k 3)x 3k + 3 (d 1 ) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d 2 ). Tìm các giá trị của k để: a. (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau. b. (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. c. (d 1 ) và (d 2 ) song song với nhau. d. (d 1 ) và (d 2 ) vuông góc với nhau. e. (d 1 ) và (d 2 ) trùng nhau. Bài 17: Cho hàm số y = (m + 3)x + n (m - 3) (d). Tìm các giá trị của m, n để đờng thẳng (d): a. Đi qua điểm A(1; - 3) và B(- 2; 3). b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 3 , cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3 3+ . c. Cắt đờng thẳng 3y x 4 = 0. d. Song song với đờng thẳng 2x + 5y = - 1. e. Trùng với đờng thẳng y 3x 7 = 0. Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm 1 (0; ) 4 F a và đờng thẳng (d): 1 4 y a = (a 0). Gọi M(x; y) là một điểm thuộc mặt phẳng, H là hình chiếu của điểm M trên đờng thẳng (d). a. Tính MF 2 và MH 2 theo x, y là tọa độ của điểm M. b. Biết MF = MH, hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y. Bài 19: Cho hàm số: y = (m 2 6m + 12)x 2 . a. Chứng tỏ rằng hàm số nghịch biến trong khoảng (-2005; 0), đồng biến trong khoảng (0; 2005). b. Khi m = 2, hãy tìm x để y = 8; y = 2 và y = - 2. c. Khi m = 5, hãy tìm giá trị của y, biết 1 2,x = + x = 1- 2 và 1 2 1 2 x + = . Bài 20: Cho hàm số: y = - (k 2 2k + 3)x 2 . a. Chứng tỏ rằng hàm số đồng biến trong khoảng (0; +), hàm số nghịch biến trong khoảng (-; 0). b. Khi k = 1, tính giá trị của y, biết 2 3x = , 2 3x = + và 2 3 2 3 x = + . c. Tìm các giá trị của k khi x = 2, y = 10. Bài 21: Cho hàm số: y = (2m + 1)x 2 . a. Tìm m, biết rằng đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 4x 2 tại điểm A có hoành độ 1. b. Với giá trị tìm đợc của m hãy vẽ đồ thị hàm số y = (2m + 1)x 2 và đồ thị y = 4x 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. c. Bằng đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị vẽ trong ý b. Bài 22. Cho hàm số y = ax2 + bx + c (a 0). Tìm các giá trị của a, b, c biết đồ thị của hàm số thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a. Hàm số nhận giá trị 1 khi x = 0, x = 1 và nhận giá trị bằng 1 khi x = -1 b. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1/2 và 1 c. Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(-1, 0), B(1, 3) và C(3, 2). Bài 23. Cho đờng thẳng (d): y = (k 2)x + q. Tìm các giá trị của k và q biết rằng đờng thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a. Đi qua điểm A(-1; 2) và B(3; 4) b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 2+ c. Cắt đờng thẳng -2y + x 3 = 0 d. Song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1 Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng (d): y = -2x 2. a. Chứng minh A (d) b. Tìm các giá trị của a để Parabol: y = ax2 đi qua A c. Tìm đờng thẳng đi qua A và vuông góc với đờng thẳng (d) d. Gọi A và B là giao điểm của (P) với đờng thẳng tìm đợc trong câu c, và C là giao điểm của đờng thẳng (d) với trục Oy. Tìm tọa độ các điểm B, C và tính diện tích tam giác ABC. *Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x 2 /4 và đờng thẳng (d): y = mx + n. Tìm các giá trị của m và n biết đờng thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a. Song song với đờng thẳng y = x và tiếp xúc với (P) b. Đi qua điểm A(1,5; -1) và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) trong mỗi trờng hợp trên. *Bài 26. Cho hàm số: 2 1 2 y x= . 1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 2. Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phong trình đờng thẳng MN. 3. Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và giao với (P) tại 1 điểm. *Bài 27. Cho hàm số 2 1 2 y x= . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 2. Lập phong trình đờng thẳng (D) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P). Bài 28. Cho hàm số: 2 ( ) 2 2 1y f x x x = = + . 1. Vẽ đồ thị hàm số trên. 2. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) 1. Bài 29. Cho hàm số: y = x 2 và y = x + m (m là tham số). 1. Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x 2 và đồ thị (D) của y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B. 2. Tìm phong trình của đờng thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P). 3. a). Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy. b). áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu 1) là 3 3 . Bài 30. Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax 2 và (D) là đồ thị hàm số y = - x + m. 1. Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm đợc. 2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm. 3. Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu 2) với tung độ. C là điểm đối xứng của A qua trục tung. Chứng tỏ rằng C nằm trên (P) và tam giác ABC vuông cân. Bài 31. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đờng thẳng: (D 1 ): y = x + 1; (D 2 ): x + 2y + 4 = 0 1. Tìm tọa độ giao điểm A của (D1) và (D2) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép toán. 2. Tìm a trong hàm số y = ax 2 có đồ thị (P) qua A. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc. 3. Tìm phong trình của đờng thẳng tiếp xúc với (P) tại A. Bài 32. Cho (P) là đồ thị của hàm số y = ax 2 và điểm A(- 2; -1) trong cùng hệ trục. 1. Tìm a sao cho A thuộc (P). Vẽ (P) với a tìm đợc. 2. Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4. Viết phong trình đờng thẳng AB. 3. Viết phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB. Bài 33. Cho parabol (P): 2 1 4 y x= và đờng thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là - 2 và 4. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 2. Viết phong trình của (D). 3. Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tơng ứng hoành độ) [ ] 2; 4x sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. *Bài 34. Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): 2 1 4 y x= và đờng thẳng (D): y = mx 2m 1. 1. Vẽ (P). 2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P). 3. Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P). Bài 35.Trong cùng hệ trục vuông góc có parabol (P): 2 1 4 y x= và đờng thẳng (D) qua điểm 3 ( ; 1) 2 I có hệ số góc m. 1. Vẽ (P) và viết phong trình của (D). 2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P). 3. Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt. Bài 36. Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P): 2 1 4 y x= và đờng thẳng (D): 1 2 2 y x= + . 1. Vẽ (P) và (D). 2. Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D). 3. Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (D). Bài 37. Cho họ đờng thẳng có phong trình: mx + (2m 1)y + 3 = 0 (1). 1. Viết phong trình đờng thẳng đi qua A(2; 1). 2. Chứng minh rằng các đờng thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm tọa độ của M. Bài 38. Cho hàm số: 3 2 2 2 2 8 8 ( ) 4 x x x y f x x + = = . 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Vẽ đồ thị (D) của hàm số. 3. Qua điểm M(2; 2) có thể vẽ đợc mấy đờng thẳng không cắt đồ thị (D) của hàm số? Bài 39. Cho parabol (P): y = x 2 4x + 3. 1. Chứng minh đờng thẳng y = 2x 6 tiếp xúc với (P). 2. Giải bằng đồ thị bất phong trình: x 2 4x + 3 > 2x 4. Bài 40. 1. Cho đờng thẳng (d 1 ): y = kx + 5. Tìm k để đờng thẳng (d 1 ) song song với đờng thẳng (d 2 ); biết rằng (d 2 ) qua hai điểm A(1; 2) và B(-3; -2). 2. Giải bằng đồ thị bất phong trình: x + 1 x 2 1. Bài 41. Cho parabol 2 1 2 y x= (P), điểm I(0; 2) và điểm M(m; 0) với m 0. 1. Vẽ (P). 2. Viết phong trình đờng thẳng (D) đi qua hai điểm M, I. 3. Chứng minh rằng đờng thẳng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m 0. 4. Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK là tam giác vuông. 5. Chứng minh rằng độ dài đoạn AB > 4 với mọi m 0. Bài 42. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho parbol (P): 2 1 4 y x= và điểm I(0; -2). Gọi (D) là đờng thẳng đi qua I và có hệ số góc m. 1. Vẽ đồ thị (P). 2. Chứng tỏ rằng với mọi m, (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm M của AB. 3. Với giá trị nào của m thì AB ngắn nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 43. Cho hàm số y = 2x 2 có đồ thị (P). 1. Vẽ đồ thị (P). 2. Tìm quỹ tích những điểm M qua đó có thể vẽ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau và cùng tiếp xúc với (P). Bài 44. Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax 2 (a 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b. 1. Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; -1). 2. Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1). 3. Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và 2). 4. Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm 3 ; 1 2 C ữ và có hệ số góc m. a. Viết phong trình đờng thẳng của (d). b. Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau. Bài 45. Cho hàm số y = x 2 có đồ thị (P) trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 1. Vẽ (P). 2. Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lợt có hoành độ -1 và 2. Chứng minh rằng; tam giác OAB vuông. 3. Viết phong trình đờng thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P). 4. Cho đờng thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số). a. Chứng minh rằng; (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. b. Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x 1 , x 2 thỏa mãn: 2 2 1 2 1 1 11 x x + = . Vẽ (d) với m tìm đợc. Bài 46. Cho hàm số: 2 2 2 1 6 9y x x x x = + + + . 1. Vẽ đồ thị của hàm số. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị của x tơng ứng. 3. Với giá trị nào của x thì y 4. Bài 47. Cho hàm số: 2 4 4 x x y = có đồ thị (P). 1. Vẽ (P). 2. Viết phong trình các đờng tiếp tuyến từ điểm A(2; - 2) đến (P). 3. Tìm tập hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyến vuông góc đến (P). Bài 48. Cho hàm số: y = 2x 2 (P). 1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số. 2. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc và cùng tiếp xúc với (P). Bài 49. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): y = - x 2 + 4x 3 và đờng thẳng (D); 2y + 4x 17 = 0. 1. Vẽ (P) và (D). 2. Tìm vị trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. Bài 50. Cho parabol (P): y = - x 2 + 6x 5. Gọi (d) là đờng thẳng đi qua A(3; 2) và có hệ số góc m. 1. Chứng tỏ rằng với mọi m, đờng thẳng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B, C. 2. Xác định đờng thẳng (d) sao cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 51. Cho parabol (P): 2 1 2 y x= và đờng thẳng (d) có phong trình: 1 2 y mx= + . 1. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. 2. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN. Bài 52. Cho hai đờng thẳng (d 1 ): y = (m 2 + 2m)x và (d 2 ): y = ax (a 0). 1. Định a để (d 2 ) đi qua A(3; -1). 2. Tìm các giá trị m để cho (d 1 ) vuông góc với (d 2 ) ở câu 1). Bài 53. Cho hàm số: y = ax + b. 1. Tìm a và b cho biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(- 1; 1) và N(2; 4). Vẽ đồ thị (d 1 ) của hàm số với a, b tìm đợc. 2. Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m 2 m)x + m 2 + m là một đờng thẳng song song với (d 1 ). Vẽ (d 2 ) vừa tìm đợc. 3. Gọi A là điểm trên đờng thẳng (d 1 ) có hoành độ x = 2. Tìm phong trình đờng thẳng (d 3 ) đi qua A vuông góc với cả hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ). Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ). Bài 54. Cho hàm số: y = mx 2m 1 (1) (m 0). 1. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. Vẽ đồ thị (d 1 ) vừa tìm đợc. 2. Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lợt với các trục Ox và Oy. Xác định m để tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đ.v.d.t). 3. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Bài 55. Cho parabol (P): y = ax 2 và hai điểm A(2; 3), B(- 1; 0). 1. Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm M(1; 2). Khảo sát và vẽ (P) với a tìm đợc. 2. Tìm phong trình đờng thẳng AB rồi tìm giao điểm của đờng thẳng này với (P) (ở câu 1). 3. Gọi C là giao điểm có hoành độ dơng. Viết phong trình đờng thẳng qua C và có với (P) một điểm chung duy nhất. Bài 56. 1. Cho parabol (P): y = ax 2 ; cho biết A(1; -1) (P). Xác định a và vẽ (P) với a tìm đợc. 2. Biện luận số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d): y = 2mx m + 2. 3. Chứng tỏ rằng, 1 ; 2 2 I ữ thuộc (d) với mọi m. Tìm phong trình các đờng thẳng đi qua I và có với (P) điểm chung duy nhất. Bài 57. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số 2 2 x y = và đờng thẳng (d): 1 2 y x= . 2. Chứng minh rằng (d) là một tiếp tuyến của (P). 3. Biện luận số giao điểm của (P) và (d): y = x m bằng hai cách (đồ thị và phép toán). Bài 58. Cho parabol (P): 2 1 4 y x= và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P). 2. Viết phong trình đờng thẳng (d). 3. Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. 4. Tìm trên trục Ox điểm N sao cho NA + NB nhỏ nhất. Bài 59. Cho parabol (P): y = ax 2 và hai điểm A(- 2; - 5) và B(3; 5). 1. Viết phong trình đờng thẳng AB. Xác định a để đờng thẳng AB tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. 2. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc. 3. Một đờng thẳng (D) di động luôn luôn vuông góc với AB và cắt (P) tại hai điểm M và N. Xác định vị trí của (D) để 5 2 MN = . Bài 60. Cho hàm số: y = x 2 2x + m 1 có đồ thị (P). 1. Vẽ đồ thị (P) khi m = 1. 2. Xác định m để đồ thị (P) của hàm số tiếp xúc với trục hoành. 3. Xác định m để đồ thị (P) của hàm số cắt đờng thẳng (d) có phong trình: y = x + 1 tại hai điểm phân biệt. Bài 61. Cho đờng thẳng (D 1 ): y = mx 3. (D 2 ): y = 2mx + 1 m. 1. Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy các đờng thẳng (D 1 ) và (D 2 ) ứng với m = 1. Tìm tọa độ giao điểm B của chúng. Qua O viết phong trình đờng thẳng vuông góc với (D 1 ) tại A. Xác định A và tính diện tích tam giác AOB. 2. Chứng tỏ rằng các đờng thẳng (D 1 ) và (D 2 ) đều đi qua những điểm cố định. Tìm tọa độ của điểm cố định. Bài 62. Cho hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phong trình: (d 1 ): 3 2 3 2 m y x m = + và (d 2 ): 1 2 ( 2) 3 m y m x = + + . 1. Chứng minh rằng (d 1 ) và (d 2 ) đi qua các điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định. 2. Viết phong trình các đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ); cho biết (d 1 ) thẳng góc với (d 2 ). 3. Viết phong trình các đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ); cho biết (d 1 ) song song với (d 2 ). Bài 63. Cho parabol (P): 2 1 2 y x= . 1. Viết phong trình đờng thẳng có hệ số góc m và đi qua điểm A trên trục hoành có hoành độ là 1, đờng thẳng này gọi là (D). 2. Biện luận theo m số giao điểm của (P) và (D). 3. Viết phong trình đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. 4. Trong trờng hợp (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. 5. Tìm trên (P) các điểm mà đờng thẳng (D) không đi qua với mọi m. Bài 64. Cho parabol (P): y = x 2 4x + 3 và điểm A(2; 1). Gọi (D) là đờng thẳng đi qua A và có hệ số góc m. 1. Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. 2. Xác định m để MN ngắn nhất. Bài 65. Cho hàm số: y = x 2 2mx + m 2 1 có đồ thị là (P). 1. Chứng minh rằng; với mọi m, đồ thị (P) luôn luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đỉnh của parabol luôn luôn chạy trên một đờng thẳng song song với trục hoành. Bài 66. Cho hàm số: 2 2 4 4 4 4 1 .y x x x x a x = + + + + + 1. Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến. 2. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1; 6). Vẽ đồ thị (C) với a tìm đợc. 3. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phong trình: 2 2 4 4 4 4 1x x x x x m + + + + = + . Bài 67. Cho parabol (P): y = ax 2 + bx 1 ( 1 2 a _. 1. Xác định a và b để cho đỉnh của parabol nằm trên đờng thẳng (d) có phong trình y = 2x + 1. 2. Vẽ (P) với a, b vừa tìm đợc và vẽ (d) trong cùng một hệ trục tọa độ Oxy. Bài 68. 1. Vẽ đồ thị hàm số: 2 2 2 4 4 2 6 9 3 2 1y x x x x x x = + + + + (C) 2. Dùng đồ thị (C) giải và biện luận số nghiệm của phong trình: 2 2 2 4 4 2 6 9 3 2 1x x x x m x x + + = + + + tùy theo giá trị của m. Bài 69. Trong hệ trục tọa độ vuông góc xOy. 1. Vẽ tập hợp các điểm M(x; y) mà tọa độ (x; y) thỏa mãn: 1 2 1x y + = 2. Tìm m sao cho hệ phơng trình sau đây có nghiệm: 2 1 2 1 ( ) ( 1) 0 x y x y m x y x y + = + + = Bài 70. 1. Vẽ tập hợp các điểm M(x; y) mà tọa độ (x; y) thỏa mãn: 1x y = (C) 2. Từ (C) suy ra số nghiệm của hệ phơng trình: 1 1 y x y m = + = + (m là tham số) Bài 71. 1. Vẽ đồ thị hàm số: 2 2 4 1 6 9 1y x x x x x = + + + + + (C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phong trình: 2 2 4 1 6 9 1x x x x x m + + + = + + . Hàm số bậc nhất y = ax + b và hàm số y = ax 2 A.Tóm tắt lí thuyết: 1 .Hàm số y = ax + b. - Tính chất: + Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. + Hàm số. và 1 2 1 2 x + = . Bài 2 0: Cho hàm s : y = - (k 2 2k + 3)x 2 . a. Chứng tỏ rằng hàm số đồng biến trong khoảng (0; +), hàm số nghịch biến trong khoảng