sáng kiến kinh nghiệm : Một số phương pháp tỉnh tổng của dãy số.

A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quá trình học Toán ở THCS học sinh cần phải biết tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo , vì vậy người giáo viên cần rèn luyện , hướng dẫn cho học sinh kĩ năng độc lập tư duy , sáng tạo sâu sắc . Do đó đòi hỏi người giáo viên phải lao động sáng tạo tìm tòi những phương pháp để học sinh trau dồi và tư duy lôgíc giải các bài toán. Là một giáo viên ở trường THCS trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy việc giải toán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức sách giáo khoa , mà đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ. Muốn giải toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các dạng bài toán đa dạng , giải các bài toán tỉ mỉ khoa học , kiên nhẫn để tự tìm ra đáp số của chúng. Muốn vậy người giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau để tạo ra hứng thú học tập cho học sinh. phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản đó, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu. Một bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán thường nằm trong một dạng toán khác nhau đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực , nhiều mặt một cách sáng tạo , vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp. Trong chương trình Toán THCS nói chung và phần Số Học nói riêng có rất nhiều dạng toán hay. Các dạng toán Số Học ở chương trình THCS thật đa dạng và phong phú như : Toán chia hết; phép chia có dư; số nguyên tố; số chính phương; luỹ thừa; dãy số viết theo quy luật … v . v …. Đặc biệt với dạng toán “tỉnh tổng của dãy số” có trong chương trình số học 6 có rất nhiều trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh , cấp huyện , trên cuộc thi giải toán trên mạng internet …. Song khi gặp các bài toán này không ít khó khăn phức tạp . Từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 tôi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng và thường vướng mắc không giải quyết được những bài toán dạng này. Từ những thuận lợi, khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm : Một số phương pháp tỉnh tổng của dãy số.

A T VN Trong quỏ trỡnh hc Toỏn THCS hc sinh cn phi bit t chc cụng vic ca mỡnh mt cỏch sỏng to , vỡ vy ngi giỏo viờn cn rốn luyn , hng dn cho hc sinh k nng c lp t , sỏng to sõu sc Do ú ũi hi ngi giỏo viờn phi lao ng sỏng to tỡm tũi nhng phng phỏp hc sinh trau di v t lụgớc gii cỏc bi toỏn L mt giỏo viờn trng THCS trc tip bi dng hc sinh gii tụi nhn thy vic gii toỏn chng trỡnh THCS khụng ch n gin l m bo kin thc sỏch giỏo khoa , m ú mi ch l nhng iu kin cn nhng cha Mun gii toỏn cn phi luyn nhiu thụng qua vic gii cỏc dng bi toỏn a dng , gii cỏc bi toỏn t m khoa hc , kiờn nhn t tỡm ỏp s ca chỳng Mun vy ngi giỏo viờn phi bit dng linh hot kin thc nhiu tỡnh khỏc to hng thỳ hc cho hc sinh phi cung cp cho hc sinh nm chc cỏc kin thc c bn sau ú cung cp cho hc sinh cỏch nhỡn, cỏch dng linh hot cỏc kin thc c bn ú, phõn tớch tỡm hng gii, bt u t õu v bt u nh th no l rt quan trng hc sinh khụng s ng trc mt bi toỏn khú m dn to s t tin, gõy hng thỳ say mờ mụn toỏn, t ú to cho hc sinh tỏc phong t hc, t nghiờn cu Mt bi toỏn cú th cú nhiu cỏch gii, mi bi toỏn thng nm mt dng toỏn khỏc ũi hi phi bit dng kin thc nhiu lnh vc , nhiu mt mt cỏch sỏng to , vỡ vy hc sinh phi bit s dng phng phỏp no cho phự hp Trong chng trỡnh Toỏn THCS núi chung v phn S Hc núi riờng cú rt nhiu dng toỏn hay Cỏc dng toỏn S Hc chng trỡnh THCS tht a dng v phong phỳ nh : Toỏn chia ht; phộp chia cú d; s nguyờn t; s chớnh phng; lu tha; dóy s vit theo quy lut v v c bit vi dng toỏn tnh tng ca dóy s cú chng trỡnh s hc cú rt nhiu cỏc thi hc sinh gii cp tnh , cp huyn , trờn cuc thi gii toỏn trờn mng internet Song gp cỏc bi toỏn ny khụng ớt khú khn phc T thc tin ging dy bi dng hc sinh gii Toỏn tụi thy hc sinh hay b tc, lỳng tỳng v thng vng mc khụng gii quyt c nhng bi toỏn dng ny T nhng thun li, khú khn v yờu cu thc tin ging dy tụi vit sỏng kin kinh nghim : Mt s phng phỏp tnh tng ca dóy s B GII QUYT VN I C S L LUN : Trong thc t cú nhiu bi toỏn tớnh tng ca dóy s rt phc Nhng nu chỳng ta tỡm quy lut ca nú thỡ vic tớnh tng tr nờn thun li v r rang hn Chớnh vỡ vy õy tụi a cho cỏc bn c nhng dng toỏn liờn quan ti vic tớnh tng ca dóy s v cỏc bi toỏn liờn quan nhm mc ớch rốn luyn cho hc sinh t sỏng to hc v gii toỏn; giỳp hc sinh bit cỏch nh hng v gii bi liờn quan ngn gn phỏt huy trớ lc hc sinh v lm hc sinh t tin gii toỏn v thi c II THC TRNG CA VN Khi tụi c nh trng phõn cụng dy bi dng hc sinh gii Toỏn lp v hng dn hc sinh tham gia gii toỏn trờn mng internet thỡ tụi ó chn 10 em cú hc lc khỏ gii lp thnh i tuyn hc sinh gii cho nh trng Trong quỏ trỡnh ging dy i tuyn tụi nhn thy i tuyn ụn thi hc sinh gii ca tụi gp nhng bi toỏn dng tnh tng ca dóy s thỡ hu nh cỏc em b tc v gii c rt ớt T thc t ú tụi ó cho 10 em hc sinh i tuyn ca tụi lm mt toỏn vi dng tnh tng ca dóy s tụi cú th ỏnh giỏ kh nng thc s ca cỏc em vi dng toỏn trờn nh th no KIM TRA :(120 phỳt ) Tớnh tng A = + + + + + 100 A = + + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 A= + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 A = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 A = 12 + 32 + 52 + 72 + + 992 A = 22 + 42 + 62 + + 1002 A = 12 + 22 + 32 + + 992 A = 12 + 22 + 32 + + 1002 10 A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 11 A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 12 A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 13 A = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99 14 A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100 15 A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + + 99.100.101 16 A = + + + + + + 100 17 A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + + 99.1002 18 A = 1 + + + 1.2 2.3 99.100 19 A = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + 100.100! 20 A = 99 + + + 2! 3! 100! Kt qu : SL 10 im di im t - SL SL % 70 % 30 im t trờn - 10 SL % T kt qu trờn v ỏnh giỏ bi lm ca cỏc em hc sinh tụi nhn thy hc sinh cha cú cỏch tớnh tng cỏc dóy s t hiu qu , li gii di dũng khụng chớnh xỏc ụi cũn ng nhn v cha hiu bi Cng vi nhng bi toỏn trờn nu hc sinh c trang b kin thc v phng phỏp Tớnh tng ca dóy s thỡ chc chn s cho ta kt qu cao hn III GII PHP V T CHC THC HIN T thc trng ca trờn v cựng vi mt chỳt hiu bit , kinh nghim ging dy mt s nm tụi ó h thng c mt s kin thc c bn liờn quan, hng dn cho hc sinh ca tụi phng phỏp tớnh tng ca cỏc dóy s, cỏc bi toỏn liờn quan tớnh chớa ht v su tm tớch lu mt s bi phự hp mc nhn thc ca hc sinh giỳp cho hc sinh phỏt trin t duy, nng lc tt nht Xõy dng cỏc cụng thc tng quỏt 1.1 Tớnh tng ca dóy s: A = + + + + + 100 Gii A = 100(100 + 1):2 = 5050 * Cụng thc tng quỏt: A = + + + + + n = n(n + 1) : 1.2 Tớnh tng ca dóy s: A = + + 22 + 23 + 24 + + 210 Gii 2A = + 22 + 23 + 24 + + 210 + 211 Khi ú 2A A = A = 211 *Cụng thc tng quỏt: A = + a + a2 + a3 + a4 + + an Nhõn c hai v ca A vi a ta cú a.A = a + a2 + a3 + a4 + + an + an+1 aA A = ( a 1)A = an+1 Vy A = (an + 1): (a 1) ; (a 2) T ú ta cú cụng thc : an+1 = ( a 1)( + a + a2 + a3 + + an) * Bi dng: Tớnh tng a ) A = + + + 73 + + 2007 b) B = + + + 43 + + 4100 c) Chng minh rng : 1414 Chia ht cho d) Chng minh rng: 20152015 Chia ht cho 2014 1.3 Tớnh tng ca dóy s: A= + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 Gii Vn t l nhõn c hai v ca A vi s no tr cho A thỡ mt lot cỏc ly tha b trit tiờu ? Ta thy cỏc s m lin cỏch n v nờn ta nhõn hai v vi 32 Ta cú: 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102 A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 32A - A = 3102 - Hay A( 32 - 1) = 3102 - * Cụng thc tng quỏt: A= + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n Ta cú: a2A = a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n + a2n + A = + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n a2A - A = a2n+2 - Hay A( a2 - 1) = a2n +2 - Hay A = (a2n +2 1):( a2 - 1) *Bi ỏp dng: Tớnh tng B = + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + + 2200 1.4 Tớnh tng ca dóy s: A = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 Gii Tng t nh trờn ta cú: 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101 B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 72B - B = 7101 - , hay B( 72 - 1) = 7101 * Cụng thc tng quỏt: A= + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 Ta cú: a2A = a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 + a2n + A = + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 a2A - A = a2n+3 - Hay A( a2 - 1) = a2n +3 - Hay A = (a2n + 1):( a2 - 1) *Bi ỏp dng: tớnh tng C = + 53 + 55 + 57 + 59 + + 5101 D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + + 1399 1.5 Tớnh tng ca dóy s: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + + 8.9 Gii Nhn xột : dng 1.1 ch cú tha s mi s hng nờn ta nhõn hai v ca a vi Khong cỏch gia tha s mi s hng dng ny l 1.Nờn ta nhõn v ca A vi ln khong cỏch ny ta c : 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 A = 990:3 = 330 Ta chỳ ý ti ỏp s 990 = 9.10.11, ú 9.10 l s hng cui cựng ca A v 11 l s t nhiờn k sau ca 10, to thnh tớch ba s t nhiờn liờn tip *Cụng thc tng quỏt: A = 1.2 + 2.3 + + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1) : * Bi ỏp dng: Tớnh tng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 B = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 (Gi ý: Bi B v C khong cỏch gia cỏc tha s mi s hng l 2) 1.6 Tớnh tng ca dóy s: B = 12 + 32 + 52 + 72 + + 992 Gii *Nhn xột: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 A = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 A = 1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + + 99.(98 + 100) A = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + +99.99.2 = (12 + 32 + 52 + + 92).2 A = (12 + 32 + 52 + + 992).2 Theo cỏch gii dng 1.1.5 ta cú A = (12 + 32 + 52 + + 992).2 = 99.100.101 :3 Vy ta cú: B = 12 + 32 + 52 + + 992 = 99.100.101 :6 * Cụng thc tng quỏt: A = 12 + 32 + 52 + 72 + + (2n + 1)2 = = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3) : *Bi ỏp dng Tớnh tng: Q = 112 + 132 + 152 + + 20092 1.7 Tớnh tng ca dóy s: B = 22 + 42 + 62 + + 1002 Gii * Nhn xột : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + + 100.101 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (99.100 + 100.101) = 2( + 3) + 4( + 5) + 6( + 7) + + 100( 99 + 101) = 2.4 + 4.8 + 6.12 + + 100.200 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + + 2.100.100 = 2.22 + 2.42 + 2.62 + + 2.1002 = 2.( 22 + 42 + 62 + + 1002) A = 2.(22 + 42 + 62 + + 1002) Theo cỏch gii dng 1.5 ta cú: A = 2.(22 + 42 + 62 + + 1002) = 100.101.102 :3 Vy ta cú : B = 22 + 42 + 62 + + 1002 = 100.101.102 : *Cụng thc tng quỏt : A = 22 + 42 + 62 + + (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2) :6 *Bi ỏp dng : Tớnh tng : 202 + 222 + + 482 + 502 Cho n thuc N* Tớnh tng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + + (n + 100)2 1.8 Tớnh tng ca dóy s: A = 12 + 22 + 32 + + 1002 B = 12 + 22 + 32 + + 992 Gii * A = 12 + 22 + 32 + + 1002 Cỏch 1: A = 12 + 22 + 32 + + 1002 A = (12 + 32 + 52 + + 992) + (22 + 42 + 62 + + 1002) A = (99.100.101 + 100.101.102) : A = 100.101.(99 + 102):6 = 100.101.(2.100 + 1):6 Cỏch 2: A = + + + ++ 100 A = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + + 100.100 A = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + + 100[(100+1)-1] A = 1.2 1+ 2.3 + 3.4 + 4.5 ++ 100(100 + ) 100 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 100( 100 + ) ( + + +4 + + 100 ) A = 100.101.102:3 100.101: =100.101.(102:3 1:2) =100.101.(2.100 + 1):6 * B = 12 + 22 + 32 + + 992 Cỏch 1: B = 12 + 22 + 32 + + 992 B = (12 + 32 + 52 + + 992) + (22 + 42 + 62 + + 982) B = (99.100.101 + 98.99.100) : B = 99.100.(98 + 101):6 = 99.100.(2.99 + 1):6 Cỏch 2: B = + + + ++ 99 B = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + + 99.99 B = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + + 99[(99+1)-1] B = 1.2 1+ 2.3 + 3.4 + 4.5 ++ 99(99 + ) 99 B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99( 99 + ) ( + + +4 + + 99 ) B = 99.100.101:3 99.100: =99.100.(101:3 1:2) =99.100.(2.99 + 1):6 *Cụng thc tng quỏt: A = 12 + 22 + 32 + + n2 = n.(n + 1)(2n + 1):6 *Bi ỏp dng Tớnh tng: M = + 22 + 32 + 42 + 52 + + 992 P = + + + 16 + 25 + 36 + + 10000 Q = - 12 + 22 32 + 42 - - 192 + 202 1.9 Tớnh tng ca dóy s: A = 1.2.3 + 2.3.4 + + 7.8.9 + 8.9.10 Gii *Nhn xột: dng toỏn 1.1 mi hng t ca ca tng A cú tha s thỡ ta nhn vi ln khong cỏch dng toỏn 1.5mi hng t ca tng A cú hai tha s thỡ ta nhõn A vi ln khong cỏch gia hai tha s ú Theo cỏch ú , bi ny ta nhõn hai v ca A vi ln khong cỏch ú vỡ õy mi hng t cú tha s Ta gii c bi toỏn nh sau : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4 4A = [1.2.3.(4 0) + 2.3.4.(5 1) + + 8.9.10.(11 7)] 4A = (1.2.3.4 1.2.3.4 + 2.3.4.5 2.3.4.5 + 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 Vy A = 8.9.10.11 : = 1980 : *Cụng thc tng quỏt: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2) *Bi ỏp dng Tớnh tng: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 99.100.101 B = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99 *Gi ý: cõu B õy khong cỏch gia cỏc tha s mi s hng ca tng B l 2, ta cú: 8B = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + + 95.97.99.8 8B= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + + 95.97.99(101 - 93) 8B = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 8B = 15 + 95.97.99.101 1.10 Tớnh tng ca dóy s sau: A = + + + + + + 100 Gii Trc ht ta chng minh mt kờt qu sau õy : vi n l s t nhiờn thỡ ta cú n2 n = (n 1)(n + 1) Tht vy : n2 n = n( n2 1) = n( n2 n + n 1) = n[(n2 n) + ( n 1)] = n[n(n 1) + ( n 1)] = (n 1)n( n + 1) pcm p dng kt qu trờn ta tớnh A Ta cú A = + + + + + + 100 A = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 ++ 1003 100 + ( + + + + 100 ) A = + 2( 22 ) + 3( 32 ) + 4( 42 ) + + 100( 1002 ) + ( + + + + + 100 ) A = + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + (100 ).100.( 100 + ) + ( + + + + + 100) (100 1).100.(100 + 1).(100 + 2) 100.(100 + 1) 100(100 + 1) + = = A= 2 *Cụng thc tng quỏt: A = + + + + + + n A = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 ++ n3 n + ( + + + + n ) A = + 2( 22 ) + 3( 32 ) + 4( 42 ) + + n( n2 ) + ( + + + + + n ) 10 A = + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + (n )n( n + ) + ( + + + ++n) A= A = n( n + 1) = n( n + ) Nhn xột : Vi = + + + + + n , nờn ta cú cụng thc tng quỏt sau: A =1 + + + + + + n = ( + + + + + + n ) Phng phỏp d oỏn v quy np Trong mt s trng hp gp bi toỏn dng tng hu hn Sn = a1 + a2 + an (1) Bng cỏch no ú ta bit c kt qu (d oỏn, hoc bi toỏn chng minh ó cho bit kt qu) Thỡ ta nờn s dng phng phỏp ny gii quyt bi toỏn Vớ d : Tớnh tng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Gii Th trc tip ta thy : S1 = S2 = + =22 S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta d oỏn Sn = n2 Vi n = 1;2;3 ta u thy kt qu ỳng, gi s vi n= k ( k 1) ta có: Sk = k (2) Ta cn chng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3) 11 Tht vy ; cng hai v ca (2) vi 2k +1 ta cú 1+3+5 + + (2k 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) k2 + ( 2k +1) = ( k +1) nờn ta cú (3) tc l Sk+1 = ( k +1) Theo nguyờn lớ quy np bi toỏn c chng minh Vy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2 Tng t ta cú th chng minh cỏc kt qu sau õy bng phng phỏp quy np toỏn hc 1, + 2+3 + + n = n(n + 1) 2, 12 + 2 + + n = n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) 3, +2 + + n = 3 4, 15 + 25 + + n5 = n (n + 1) 12 ( 2n2 + 2n ) Phng phỏp kh liờn tip Gi s ta cn tớnh tng (1) m ta cú th biu din a i , I = 1,2,3,4, qua hiu hai s hng liờn tip ca mt dóy s khỏc, chớnh xỏc hn, gi s: a1 = b1 - b2 , a2 = b2 - b3 , , an = bn bn+ Khi ú ta cú Sn = ( b1 b2 ) + ( b2 b3 ) + + ( bn bn + ) = b1 bn + 1 1 + + + + 10.11 11 12 12.13 99.100 Vớ d 1: Tớnh tng S = Gii Ta cú : 1 = 10.11 10 11 Do ú : S = 1 = 11 12 11 12 , , 1 = 99.100 99 100 1 1 1 1 + + + = = 10 11 11 12 99 100 10 100 100 1 1 n = * Dng tng quỏt: Sn = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) = 1n +1 n +1 Vớ d 2: Tớnh tng 1 1 Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) 12 (n> 1) Gii Ta cú: Sn = 1 1 1 + + + 1.2 2.3 2.3 3.4 n( n + 1) (n + 1)(n + 2) Sn = Sn = 1 1 1 + + + 1.2 2.3 2.3 3.4 n( n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 n(n + 3) = 1.2 ( n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) Vớ d 3: Tớnh tng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Gii Ta cú : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) n! Vy Sn = 2! - 1! +3! ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 2n + Vớ d 4: Tnh tng Sn = (1.2) + (2.3) + + [ n(n + 1)] Gii 2i + 1 Ta cú : [ i(i + 1)] = i (i + 1) ; Do ú Sn = ( 1- i = ; ; 3; ; n n( n + 2) 1 1 = ) + + + = 12 n (n + 1) (n + 1) ( n + 1) 2 22 32 Vớ d : Chng minh rng : k (k+1) (k+2) (k+3) (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) p dng tớnh tng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Gii Chng minh : VT = k( k+1) (k+2) [ (k + 3) (k 1)] = k( k+1) ( k +2 ) 13 Rỳt : k(k+1) (k+2) = p dng : 1.2.3 = k (k + 1)(k + 2)(k + 3) (k 1)k (k + 1)(k + 2) 4 1.2.3.4 0.1.2.3 4 2.3.4.5 1.2.3.4 4 2.3.4 = n(n+1) (n+2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (n 1)n(n + 1)(n + 2) 4 Cộng vế với vế ta đợc S = n (n + 1)(n + 2)(n + 3) *Bi ỏp dng Tớnh tng A = 99 + + + 2! 3! 100! Phng phỏp tớnh qua cỏc tng ó bit n * Cỏc kớ hiu: a i =1 i = a1 + a + a3 + + a n * Cỏc tớnh cht : 1, n n n i =1 i =1 i =1 (ai + bi ) = + bi n n i =1 i =1 2, a.ai = a Vớ d 1: Tớnh tng: C = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + + 99.100.101 Gii C = 1.3.( 3) + 3.5.( 3) + 5.7.( - 3) + + 99.101.( 103 3) C = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + + 99.101.103 ) ( 1.3.3 + 3.5.3 + + 99.101.3 ) C = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + + 99.101.103 ) 3( 1.3 + 3.5 + + 99.101) Vớ d 2: Tớnh tng: A = 1.2 + 3.4 + + 99.100 Gii Trong toán ta không nhân A với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính đợc 14 Cỏch 1: A = + ( 2+ 1).4 + ( + 1)6 + + (98 + 1).100 = + 2.4 + + 4.6 + + + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + + 98.100 ) + (2 + + + + + 100) Cỏch 2: A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + + 99(101 - 1) = 1.3 - + 3.5 - + 5.7 - + + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) - (1 + + + + + 99) Vớ d 3: Tớnh tng : A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + + 99.1002 Gii A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) *Bi ỏp dng : Tớnh tng A = 12 + 42 + 72 + +1002 B = 1.32 + 3.52 + 5.72 + + 97.992 A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 49.51+ 50.50 B = 1.3 + 5.7 + 9.11 + + 97.101 C = 1.3.5 3.5.7 + 5.7.9 7.9.11 + - 97.99.101 D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + + 49.51 E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + + 49.513 F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + + 49.512 Vớ d 4: Tớnh tng: Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) Gii n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 2 Ta cú : Sn = i(i + 1) = (i + i ) = i + i Vy: n i = + + + + n = i =1 n( n + 1) n(n + 1)(2n + 1) i =1 n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(n + 2) + = Cho nờn Sn = n i = 15 Vớ d 5: Tớnh tng: Sn =1.2 + 2.5 + 3.8 + .+n(3n - 1) Gii ta cú : Sn = Ta cú : Sn = n n i =1 i =1 i(3i 1) = (3i n n i =1 i = =1 i ) = i i 3n(n + 1)(2n + 1) n( n + 1) = n (n + 1) Vớ d 6: Tớnh tng Sn = 13+ +33 +53 + + (2n +1 )3 Gii Ta cú : Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] [23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 ) (2n + 1) (2n + 2) 8n (n + 1) Sn = 4 =( n+1) 2(2n+1) 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) Bi ngh: Tớnh tng 1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + b, S = + 52 + 53 + + 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , 5, S = 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 6, S = 4 + + + 5.7 7.9 59.61 7, A = 5 5 + + + + 11 16 16.21 21.26 61.66 8, M = 1 1 + + + + 2005 3 3 1 9, Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) 16 n = 1,2,3 , 10, Sn = 2 + + + 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 11, Sn = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 12, M = + 99 + 999 + + 99 .9 50 ch s 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 tớnh S100 =? * Tỡm x 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820 1 1989 c, + + + 10 + + x( x + 1) = 1991 15, Chng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 l ly tha ca 2 b, B =2 + 22 + + + 60 ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 IV KIM NGHIM : Kt qu chung : Sau ỏp dng chuyờn vo ging dy a s hc sinh ca tụi khụng nhng nm vng cỏch gii cỏc bi toỏn cú liờn quan tớnh chia ht v tớnh tng cỏc dóy s m cũn linh hot cỏc dng toỏn khỏc Kt qu c th : Sau tụi ging dy hc sinh chuyờn Mt s phng phỏp tnh tng ca dóy s tụi ó cho 10 hc sinh ca tụi lm bi kim tra ỏnh giỏ kt qu tip thu chuyờn trờn nh sau : kim tra : ( thi gian 120 phỳt ) Cõu 1: Chng minh rng : 20152014 Chia ht cho 2014 Cõu 2: Tớnh tng C = + 53 + 55 + 57 + 59 + + 5101 17 Cõu 3: Tớnh tng P = 12 + 32 + 52 + 72 + + 992 Cõu 4: Tớnh tng B = - 12 + 22 32 + 42 - - 192 + 202 Cõu 5: Tớnh tng A = 12 + 42 + 72 + +1002 Cõu 6: Tớnh tng E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + + 49.513 Cõu 7: Tớnh tng A = + 99 + 999 + 9999 + + Cõu 8: Tớnh tng P = 15 + 25 + + n5 = Cõu 9: Tớnh tng A = n (n + 1) 12 ( 2n2 + 2n ) 99 + + + 2! 3! 100! 1 Cõu 10: Tớnh tng Sn = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) KT QU : im di im t - SL SL im t trờn - 10 SL 10 % 20 % 30 SL % 50 Vi kt qu kim tra ỏnh giỏ trờn, cựng vi quỏ trỡnh hc v tip thu sỏng kin tụi nhn thy hc sinh ca tụi ó cú nhiu tin b nhn thc cng nh t duy, sỏng to gii cỏc bi toỏn liờn quan m khụng lỳng tỳng v a s cỏc em u tin b v t kt qu tt hc 18 C KT LUN - XUT Kt lun : Vi sỏng kin kinh nghim Mt s phng phỏp tnh tng ca dóy s ny chỳng ta cn phi nm vng kin thc c bn v bit dng linh hot cỏc kin thc c bn ú vo vic gii cỏc bi toỏn v tớnh chia ht, v k nng bin i toỏn hc Hn th na hc sinh cn phi bit dng cỏc kin thc v phng phỏp tnh tng ca dóy s vo cỏc dng toỏn khỏc nhm giỳp hc sinh phỏt trin t duy, sỏng to, t ú giỳp cho hc sinh cú tỏc phong t hc t nghiờn cu Sau hc xong chuyờn ny hc sinh thy t tin hn gii toỏn, c bit l cỏc bi toỏn bi dng hc sinh gii Chuyờn ny ó to cho hc sinh nim am mờ, yờu thớch mụn toỏn, m cỏch nhỡn nhn mi v mụn toỏn c bit hc sinh ó bit dng linh hot dng toỏn Mt s phng phỏp tnh tng ca dóy s ny gii cỏc bi toỏn cỏc dng khỏc nhau, cỏc bi nõng cao phự hp vi tng i tng hc sinh xut : Nh trng cn h tr nhiu hn cỏc ti liu v bi dng hc sinh gii cú cht lng v st vi c im ca hc sinh a phng Tng cng cụng tỏc sinh hot chuyờn chuyờn mụn, giao lu hc hi kinh nghim v bi dng hc sinh gii Tụi xin cam oan SKKN ny l tụi cựng cỏc ng nghip tỡm tũi, trao i, tham kho cỏc ti liu hin cú v cỏc chuyờn qua mng Internet v t kinh nghim ging dy mụn toỏn hc nm hc 2014 2015 vit thnh SKKN ny Nu cú coppy li SKKN ca tỏc gi khỏc tụi xin hon ton chu trỏch nhiờm Tụi xin chõn thnh cm n ! Yờn Trung , Ngy 20 thỏng 03 nm 2015 Ngi thc hin 19 Ph lc TT 10 11 12 Tiờu A t B Gii quyt I C s lớ lun II Thc trng ca III Gii phỏp ca Xõy dng cỏc cụng thc tng quỏt Phng phỏp d oỏn v quy np Phng phỏp kh liờn tip Phng phỏp tớnh qua cỏc tng ó bit Bi ngh IV Kim nghim C Kt lun chung Trang 3 11 12 14 16 17 19 TI LIU THAM KHO Chuyờn bi dng hc sinh gii THCS - S hc Tỏc gi : Nguyn V Thanh Nõng cao v phỏt trin toỏn - Tp Tỏc gi : V Hu Bỡnh Bi nõng cao v mt s chuyờn toỏn Tỏc gi : Bựi Tuyờn 4.Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn toỏn Tỏc gi : V Dng Thu - Nguyn Ngc m Toỏn bi dng hc sinh lp Tỏc gi : V Hu Bỡnh - Tụn Thõn - Quang Thiu 20 ... +4 + + 99 ) B = 99.100.10 1:3 99.10 0: =99.100.(10 1:3 1:2 ) =99.100.(2.99 + 1 ):6 *Cụng thc tng quỏt: A = 12 + 22 + 32 + + n2 = n.(n + 1)(2n + 1 ):6 *Bi ỏp dng Tớnh tng: M = + 22 + 32 + 42 + 52... 99.101) Vớ d 2: Tớnh tng: A = 1.2 + 3.4 + + 99.100 Gii Trong toán ta không nhân A với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính đợc 14 Cỏch 1: A = + ( 2+ 1).4... c : A = 2.(22 + 42 + 62 + + 1002) = 100.101.102 :3 Vy ta cú : B = 22 + 42 + 62 + + 1002 = 100.101.102 : *Cụng thc tng quỏt : A = 22 + 42 + 62 + + (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2) :6 *Bi ỏp dng :