Đang tải... (xem toàn văn)
2 Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất 2 để rút gọn phân số + Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của nó với một ước chung của chúng ước chung này khác 1 [r]
(1)Chuyên đề : Sử dụng tính chất: +) Nếu a d và b d thì ma nb d với m, n Z +) Nếu a m thì a md d với m Z a +) b là tối giản (a, b) = Bài 1: CMR với số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng a) 7n +10 và 5n + b) 2n +3 và 4n +8 Hướng dẫn a) Gọi (7n + 10, 5n + 7) = d ⇒ 7n + 10 ⋮ d và 5n + ⋮ d ⇒ 5(7n + 10) – 7(5n + 7) = ⋮ d ⇒ d = Vậy 7n +10 vµ 5n + nguyên tố cùng b) Gọi (2n + 3, 4n + 8) = d ⇒ 2n + ⋮ d và 4n + ⋮ d ⇒ (4n + 8) – 2(2n + 3) = ⋮ d Mặt khác: 2n + là số lẻ ⇒ d là số lẻ ⇒ d = Vậy 2n +3 vµ 4n + nguyên tố cùng n 19 Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > để n là phân số tối giản Hướng dẫn n 19 n 21 21 1 n Ta có: n = n n 19 21 Để n tối giản thì n tối giản Mà 21 chia hết cho và chia hết cho nên n – phải không chia hết cho và không chia hết cho ⇒ n – 3k (k N) và n – 7p (p N) ⇒ n 3k + (k N) và n 7p + (p N) n 19 Vậy với n 3k + (k N) và n 7p + (p N) thì n tối giản 4n Bài 3: Tìm tất các số tự nhiên n > để 5n có thể rút gọn Hướng dẫn 4n Để 5n có thể rút gọn thì 4n + và 5n + có ƯCLN là d > ⇒ 4n + d và 5n + d ⇒ 5(4n + 5) – 4(5n + 4) d hay d ⇒ 4n + và 5n + ⇒ n – ⇒ n – = 3k ⇒ n = 3k + (k N) 4n Vậy với n = 3k + (k N) thì 5n có thể rút gọn (2) n 2n n Bài 4: Tìm tất các số tự nhiên để là số tự nhiên Hướng dẫn n3 2n n2 n n Ta có: = n3 2n ⇒ n Vì n N nên n2 N Để là số tự nhiên thì n – Ư(3) ⇒ 1; 3 ⇒ 3; 5 n–2 n n 2n n Vậy với n 3; 5 thì là số tự nhiên 12n Bài 5: Chứng tỏ 30n là phân số tối giản Hướng dẫn Gọi d là ước chung 12n + 1và 30n + 12n + d và 30n + d 5(12n +1) - 2(30n + 2) =1 d Vậy d =1 nên 12n+1 và 30n + nguyên tố cùng 12n Do đó 30n là phân số tối giản A 8n 193 4n Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số a) Có giá trị là số tự nhiên b) Là phân số tối giản c) Với giá trị nào n khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn Hướng dẫn Ta cú: A 8n 193 2( 4n 3) 187 187 2 4n 4n 4n 1; 17; 11; 187 a) Để A N thì 187 4n + 4n +3 +) 4n + = không có n N +) 4n + = 11 n = +) 4n +3 = 187 n = 46 +) 4n + = 17 4n = 14 không có n N 2; 46 Vậy n b) A là tối giản 187 và 4n + có UCLN 4n + 11k (k N) và 4n + 17m (m N) 4n + - 11 11k (k N) và 4n + - 51 17m (m N) 4(n – 2) 11k (k N) và 4(n – 12) 17m (m N) n 11k + (k N) và n 17m +12 (m N) c) A rút gọn n =11k + n =17m +12 156; 165 Vỡ 150 < n < 170 n Bài 7: Cho phân số A n 1 n ( n z; n 3 ) (3) a) Tìm n để A có giá trị nguyên b) Tìm n để A là phân số tối giản Hướng dẫn a) Ta cú: A n 1 n 4 1 n n n A có gá trị nguyên n-3 1; 2; 4 n-3 n Vậy n -1 2 -2 -4 -1 4; 2; 5; 1; 7; 1 n 1 b) Muốn cho n là phân số tối giản thì ƯCLN(n+1; n-3) = Ta có : (n+1; n-3) = (n-3; 4) = n-3 n là số chẵn 21n Bài 8: Cho phân số: 14n Chứng minh phân số tối giản với số nguyên Hướng dẫn Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3) Khi đó 21n + d và 14n + d Suy 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1 d d = 21n Vậy 14n là phõn số tối giản a 2a A a a 2a Bài 9: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh a là số nguyên thì giá trị biểu thức tìm câu a là phân số tối giản Hướng dẫn (a 1)(a a 1) a a a 2a A 2 ( a )( a a ) a a (a ≠ -1) a a a a) Ta có: = b) Gọi d là ước chung lớn a2 + a – và a2+a +1 Vì a2 + a – = a(a+1) – là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác: = [a2+a +1 – (a2 + a – 1)] d Nên d = tức là a2 + a + và a2 + a – nguyên tố cùng Vậy biểu thức A là phân số tối giản ******************* CÁC CHUYÊN ĐỀ VỀ PHÂN SỐ A) Tóm tắt kiến thức cần nắm: Chuyên đề 1: Khái niệm phân số a + Ta gọi b với a ; b ; b 0 là phân số a + Chú ý : số nguyên a là phân số : a = (4) 2n 15 Bài tập áp dụng: Tìm số nguyên n cho phân số n là số nguyên Chuyên đề 2: Phân số a c + Hai phân số b d a.d = b.c Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm số nguyên x biết x a) 12 72 x 3 b) 15 12 x 21 z y 80 Bài 2: Tìm các số nguyên x ; y ; z biết 16 3 x y và x + y = 20 Bài 3* : Tìm các số nguyên x ; y biết n6 n5 ; đồng thời nhận Bài 4*: Có hay không số nguyên n để các phân số giá trị nguyên Chuyên đề 3: Tính chất phân số - Rút gọn phân số 1) Tính chất phân số + Nếu ta nhân tử và mẫu phân số với cùng số nguyên khác thì phân số phân số đã cho a a.m b b.m ( với m ; m 0 ) + Nếu ta chia tử và mẫu phân số với ước chung chúng thì đươc phân số phân số đã cho a a:n b b : n ( với n ƯC(a ; b ) ) 2) Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất để rút gọn phân số + Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia tử và mẫu nó với ước chung chúng ( ước chung này khác và – 1) + Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn Ưóc chung tử và mẫu có thể là – + Muốn rút gọn phân số đến tối giản ta chia tử và mẫu chúng với ước chung lớn chúng Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng tỏ các phân số sau đây 23 2323 232323 ; ; a) 99 9999 999999 9909 29727 39636 ; ; b) 8808 26424 35232 11 Bài 2: Tìm phân số phân số 15 biết tổng tử và mẫu nó 2002 2 Bài 3: Tìm phân số phân số cho a) Tử nó ; 24 ; 14 (5) b) Mẫu nó ; 21 ; 60 a Bài 4: Tìm phân số tối giản b biết a) Cộng tử với , cộng mẫu với 10 thì giá trị phân số không đổi b) Cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu phân số thì phân số hai lần phân số đã cho B) Bài tập tổng hợp 4 Bài 1: Cho biểu thức A = n ( với n Z ) a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số b) Tìm các số nguyên n để A có giá trị nguyên n Bài 2: Cho phân số B = n ( với n Z ) a) Tìm số nguyên n để B là phân số b) Tìm tất các số nguyên n để B có giá trị nguyên Bài 3: Chứng minh các phân số sau có giá trị là số tự nhiên 102011 a) 102010 b) Bài 4: Tìm các số nguyên x ; y biết x 15 a) 15 25 36 44 b) y 77 Bài 5: Tìm các số nguyên x ; y biết x a) y y b) x Bài 6: Tìm các số nguyên x ; y biết x y a) x y b) Bài 7: Lập các phân số từ số - ; - ; và Bài 8: Rút gọn các phân số sau 1999 a) 9999 95 ( có 10 chữ số tử và 10 chữ số mẫu ) 121212 3.7.13.37.39 10101 b) 424242 c) 505050 70707 a Bài 9*: Tìm các phân số b có giá trị 36 21 a) 45 và BCNN (a ; b ) = 300 b) 35 và ƯCLN( a;b ) = 30 15 c) 35 biết ƯCLN( a ; b ) x BCNN (a ; b ) = 3549 Bài 10: Cho phân số 11 12 13 19 a) Rút gọn phân số đó (6) b) Hãy xóa số hạng tử và xóa số hạng mẫu để phân số có giá trị phân số đã cho Bài 11*: 21n a) Chứng minh với số tự nhiên n thì phân số 14n là phân số tối giản n 3 b) Tìm tất các số tự nhiên n để phân số n 12 là phân số tối giản 21n c) Tìm các số tự nhiên n để phân số 6n rút gọn n4 Bài 12*Cho p = 2n ( với n Z ) Tìm các giá trị n để p là số nguyên tố Bài 13: Tìm các số nguyên n để các phân số sau nhận giá trị nguyên 12 a) 3n 2n b*) n 3 c) 2n Bài 14*: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau tối giản 2n a) 4n 3n b) 7n 2n c) 5n Bài 15: Chứng minh số phân số có dạng : n 1 a) 2n ( với n là số tụ nhiên ) 2n b) 3n ( với n là số tụ nhiên ) là phân số tối giản Bài 16: Rút gọn cá phân số sau: 22 a) 36 147 b) 234 143 c) 363 Bài 17: Rút gọn cá phân số sau: 4.7.22 a) 33.14 35.24 b) 8.3 9.6 9.2 c) 18 y 42 Bài 18: Tìm các số nguyên x ; y biết x 21 54 8n 193 Bài 19*: Tìm số tự nhiên n cho phân số A = 4n a) Có giá trị là số tự nhiên b) Là phân số tối giản c) Với giá trị nào n ( 150 n 170 ) thì phân số A rút gọn Bài 20* : Tìm số tự nhiên n nhỏ cho các phân số sau là phân số tối giản 17 ; ; ; .; n n n 10 n 20 ab abab Bài 21 : So sánh các phân số cd và cdcd (7) (8)