phương pháp chọn điểm biên trong chứng minh bts đửng thức

phương pháp chọn điểm biên trong chứng minh bts đửng thức

Chương 2: Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số . 2.5 Kĩ thuật đổi biến trong việc áp dụng bất đẳng thức kinh điển . Nhận xét :Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc khó nhận biết được phương hướng giải, ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi về trang thái dễ biến đổi hơn bằng kĩ năng đổi biến để có thể áp dụng được các bất đẳng thức kinh điển dễ dàng hơn . Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng 1 1 192 2 22 2 2a bc b ac c ab+ + ≥+ + + (1)Giải: Đặt x = 22a bc+ ; y = 22b ac+ ; z = abc 22+. Ta có ( )12<++=++ cbazyx (1) 9111≥++⇔zyx Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: ≥++ zyx3.3xyz, và: ≥++zyx1113.31xyz ⇒ ( )9111. ≥++++zyxzyx. Mà x+y+z < 1. Vậy 9111≥++zyx (đpcm) Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 32c a ba b b c c a+ + ≥+ + + , , 0a b c∀ >(BĐT Nesbit)Giải Đặt : 00 ; ; 2 2 20b c xy z x z x y x y zc a y a b ca b z⇔+ = >+ − + − + −+ = > = = =+ = >.Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:⇔ 62 2 2y z x z x y x y z y x z x y zx y z x y x z z y    + + + + + + +        + − + − + −≥ ≥Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = y = z ⇔ a = b = cVí dụ 3. Cho ∆ ABC. Chứng minh rằng : 2 2 2a b ca b cb c a c a b a b c++ ≥ + ++ − + − + −Giải Đặt : 00 ; ; 2 2 20b c a xy z z x x yc a b y a b ca b c z⇔+ − = >+ + ++ − = > = = =+ − = >.Học viên : Phùng Đức Thành .Pptoán sơ cấp 2009 - 201141 Chương 2: Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số . Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:⇔ ( ) ( ) ( )2 2 2 4 4 4y z z x x yx y zx y z+ + ++ + ≥ + +(2)Ta có : VT (2) ≥ 1 1 1 2 2 2yz zx xy yz zx zx xy yz xyx y z x y y z x z            + + ≥ + + + + + ôsi . . .Cyz zx zx xy yz xyx y zx y y z x z+ + = + +≥Ví dụ 4. Cho ∆ ABC. CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≥ abc (1)Giải Đặt : 00 ; ; 2 2 20b c a xy z z x x yc a b y a b ca b c z⇔+ − = >+ + ++ − = > = = =+ − = >.Khi đó ta có BĐT (1) tương đương với bất đẳng thức sau : . .2 2 2x y y z z xxyz+ + +≤ Áp dụng BĐT Côsi, ta có : . . . . x2 2 2x y y z z xxy yz z xyz+ + +≥ = (đpcm)Ví dụ 5. Cho ∆ ABC. CMR: ( )( )( )( )( )( )2 2 2 1 1 1pp a p b p cp a p cp b− − −− −−+ + ≥ (1) GiảiĐặt : 000p a xp b yp c z− = >− = >− = > , (1) ⇔ 2 2 2 1 1 1x y zxyzx y z+ ++ + ≥ (2)Ta có:VT (2) = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. . . 1 1 12 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y y z x z x y y z x z    + + + +        + + + ≥1 1 1x x y zxy yz z xyz+ += + + =Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c ⇔ ∆ ABC đều.Ví dụ 6 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: .ab bc ca abc+ + = Chứng minh BĐT: 2 2 2 2 2 22 2 23b a c b a cSab cb ac+ + += + + ≥.Giải: Học viên : Phùng Đức Thành .Pptoán sơ cấp 2009 - 201142 Chương 2: Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số . Đặt 1 1 1, ,x y za b c= = =thì điều kiện trở thành: 1x y z+ + = và ta có :2 2 2 2 2 22 2 2 3S x y y z z x= + + + + + ≥ . Theo BĐT Buniacovski ta có:2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )3 33 3 33x y y z z x x y zS+ + + + +≥ + + = = (đpcm).Dấu bằng xảy ra khi 13x y z= = = hay 3.a b c= = =Ví dụ 7 .Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh BĐT: 3 3 31 1 1 3( ) ( ) ( ) 2Sx y z y x z z y x= + + ≥+ + +Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: abc=1 và BĐT trở thành: 2 2 232a b cSb c a c b a= + + ≥+ + +.Áp dụng BĐT (5) ta có: 2( ) 32( ) 2 2a b c a b cSa b c+ + + +≥ = ≥+ +Dấu bằng xảy ra khi 1a b c= = = hay 1.x y z= = =Ví dụ 8. Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 1 1 11.x y z+ + = Chứng minh BĐT:x yz y xz z yx xyz x y z+ + + + + ≥ + + +.Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: 1a b c+ + = và BĐT trở thành: 1a bc b ac c ab ab bc ca+ + + + + ≥ + + +. Ta có: 2 2( ) 2 ( )a bc a a b c bc a a bc bc a bc a bc+ = + + + ≥ + + = + = + Tương tự ta cũng có: b ac b acc ab c ab+ ≥ ++ ≥ + Cộng các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra khi 13a b c= = = hay 3.x y z= = =Ví dụ 9 . Cho 1=++ cba.Chứng minh rằng: 31222≥++ cba.Giải:Đặt zcybxa +=+=+=31;31;31. Do .01 =++⇒=++ zyxcbaHọc viên : Phùng Đức Thành .Pptoán sơ cấp 2009 - 201143 Chng 2: Cỏc k nng mi chng minh v sang to bt ng thc i s . Ta cú: 222222)31()31()31( +++++=++ zyxcba 3131)(3231222222+++=++++++=zyxzyxzyxDu " = " xy ra 310 ====== cbazyx. Vớ d 10. Cho a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc. Chng minh rng: 3+++++ cbacbacbacba.Gii:t x = b + c - a; y = a + c - b; z = a + b - c.Vỡ a ,b, c l di ba cnh ca tam giỏc nờn x, y, z > 0.Suy ra .2;2;2yxczxbzya+=+=+= Vy zyxyxzxzycbacbacbacba222+++++=+++++.= ++++++ )2()2()2(621xzzxyzzyxyyx36.21)()()(621222=+++zxxzyzzyxyyx.Bi tp:Bi tp 1. Cho x,y,z l cỏc s thc dng. Chng minh: 3 2 3 2 3 2 2 2 222 2 1 1 1yx zx y y z z x x y z+ + + ++ + +Li gii :+t 0; 0; 0a x b y c z= > = > = >+VT=6 4 6 4 6 4 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 12 2 2a b c a b ca b b c c a a b b c c a a b b c c a+ + + + = + ++ + + (Theo BT CụSi)+VP=4 4 4 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1a b c a b b c c a+ + + + (p dng BT CụSi cho tng cp)PCM. Du bng xy ra khi v ch khi a = b = c =1 hay x = y = z = 1Bi tp 2: Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 1 1 111 1 1x y y z z x+ + + + + + + +Li gii :Đặt x=a3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta cóHc viờn : Phựng c Thnh .Pptoỏn s cp 2009 - 201144 Chng 2: Cỏc k nng mi chng minh v sang to bt ng thc i s . a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-abab a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 ( )3 31 1a b 1 ab a b c+ + + +Tng t ta cú ( )3 31 1 c 1 bc a b cb+ + + +, ( )3 31 1 a 1 ca a b cc+ + + +Cộng theo vế ta có1 1 11 1 1x y y z z x+ ++ + + + + +=3 31a b 1+ ++3 31 c 1b+ ++3 31 a 1c+ + ( )1 1 1 1a b c ab bc ca + + + + =( )( )11a b cc a b+ + =+ + (pcm) Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 .Bài tp 3 :Cho x, y, z > 0 t/m đk :xyz = 1 .Tỡm min ca biu thc sau : 3 3 31 1 1( ) ( ) ( )Ex y z y x z z x y= + ++ + +Li giải: Đặt2 2 21 1 1 1a ;b ;c abc 1x y z xyzx y c(a b); y z a(b c); z x b(a c)a b cEb c a c a b= = = = = + = + + = + + = + = + ++ + +Dễ dàng CM đợc : a b c 3b c a c a b 2+ + + + +Nhân 2 vế với a + b +c 0( ) ( ) ( )( )2 2 23a a b c b a b c c a b c3a b cb c a c a b 2a b c a b c 3 abc 3b c a c a b 2 2 23 3min E a b c2 2E 1+ + + + + + + + + ++ + ++ + + + =+ + + = = = =Hc viờn : Phựng c Thnh .Pptoỏn s cp 2009 - 201145 . Chương 2: Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số . 2.5 Kĩ thuật đổi biến trong việc áp dụng bất đẳng thức kinh điển . Nhận xét. 201141 Chương 2: Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số . Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:⇔ ( ) ( ) ( )2 2