Chuyen De Cac Phuong Phap Chung Minh Bat Dang ThucTHCS

Caùc phöông phaùp chöùng minh Baát ñaúng thöùc THCS BÊt ®¼ng thøc lµ mét trong nh÷ng kiÕn thøc träng yÕu cña ch¬ng tr×nh To¸n TH... VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh[r]

Caực phửụng phaựp chửựng minh Baỏt ủaỳng thửực THCS Bất đẳng thức kiến thức trọng yếu chơng trình Tốn TH Đối với chơng trình Tốn THCS em học sinh thờng gặp dạng Tốn kì thi “lớn” nh HSG vào trờng chuyên Song trình giãng dạy mình, Tơi nhận thấy rằng, đa số học sinh thờng yếu dạng Tốn Chính mà viết Tơi muốn gửi tới tồn thể em Học Sinh mà Tơi nghĩ gần gũi với em nhất, với mong muốn phần giúp em nắm vững kiến thức, từ giải thành thạo giạng Tốn ny

Phần I : kiến thức cần nhớ. 1) §inhnghÜa

  

   

   

0 0

B A B A

B A B A

2) TÝnh chÊt

+) A > B  B < A

+) A > B vµ B > C  A > C +) A > B  A + C > B + C

+) A > B vµ C > D  A + C > B + D +) A > B vµ C >  A.C > B.C +) A > B vµ C <  A.C < B.C

+) < A < B vµ < C < D  < A.C < B.D +) A > B >  An > Bn Víi giá trị n.

+) A > B  An > Bn víi n lỴ.

+) A  B  An > Bn víi n chẵn.

+) m > n > A >  Am > An

+) m > n > vµ < A <  Am < An

+) A < B vµ A.B > 

B A

1

 3) Một số bất đẳng thức bản.

+) A2  víi A (dÊu = x¶y A = 0)

+) A2n  víi A (dÊu = x¶y A = 0) +) A  víi A (dÊu = x¶y A = 0) +)  A AA

+) AB A  B (dÊu = x¶y A.B > 0) +) A B A  B (dÊu = x¶y A.B < 0)

Phần II : số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Ph

ơng pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B

Ta chøng minh A – B >

Lu ý dùng bất đẳng thức M2  với M

VÝ dơ Víi mäi sè thùc x, y, z chøng minh r»ng : a) x2 + y2 + z2  xy+ yz + zx

b) x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz

c) x

2

+ y2 + z2+3  2(x + y + z)

a) Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx =

.(2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz –

2zx)

=   ( ) ( ) 

1 2

 

  

 y y z z x

x (*)

V× (x – y)2

 víi mäi x ; y DÊu b»ng x¶y x = y

(y – z)2

 víi mäi y ; z DÊu b»ng x¶y y = z

(z – x)2  víi mäi z; x DÊu b»ng x¶y z = x

 Bất đẳng thức (*) với x; y; z R

VËy x2 + y2 + z2  xy + yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y = z

b)Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2 – ( 2xy – 2xz + 2yz ) = x2 + y2 + z2– 2xy + 2xz – 2yz

= (x – y + z)2  với x; y; z R

Vậy x2+ y2+ z2 2xy – 2xz + 2yz với x; y; z R Dấu xảy x = y =

z

c) Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2+ – 2( x + y + z ) = x2– 2x + + y2– 2y + + z2 – 2z +1

= (x – 1)2+ (y – 1)2+(z – 1)2  0

DÊu (=) x¶y x = y = z = VÝ dô 2: Chøng minh r»ng :

a)

2

2

2

2 

      b a b

a b) 2 2

3

3 

 

    



b c a b c

a

c) H·y tæng quát toán

giải a) Ta xét hiệu:

4

) (

2

2

2

2 2

2 b a b a b a ab b

a  

          



= 2 2 2 2 2

4

b ab a

b

a    

=  

1

  b

a víi mäi a; b VËy

2

2

2

2 

      b a b

a DÊu b»ng x¶y a = b.

b)Ta xÐt hiÖu: ( ) ( ) ( ) 

9

3

2

2

2 2

          

    



b c a b c a b b c c a

a víi mäi a; b.

VËy

2

2

3

3 

 

    



b c a b c

a DÊu b»ng x¶y a = b =c

c)Tỉng qu¸t

2

1 2

2

1

   



   

   

n a a

a n

a a

a n n

Tóm lại bớc để chứng minh A  B theo định nghĩa

Bíc 1: Ta xÐt hiƯu H = A – B

Bớc 2: Biến đổi H = (C  D)2 H =(C  D)2+….+ (E  F)2

Bớc 3: Tìm ĐK để dấu “=” xãy Bớc 4: Kết luận A  B

Ví dụ: Chứng minh Với số thực m, n, p, q ta có m2+ n2+ p2+ q2+1 m.(n + p + q + 1)

(Chuyªn Nga- Pháp 98-99)

Giải:

Xét hiệu: H = 2 2 ( 1)       

n p q m n p q

= m n  p q  m.n m.p m.q m

4

4 2 2

= 

  

 

      

 

      

 

      

 





4

4

4

4

2

2

2

2

m m q

q m m p

p m m n

n m m

=

2

2

2

2

      

       

       

       

 n m p m q m

m Víi mäi sè thùc m, n, p, q.

DÊu b»ng x¶y khi:

  

 

   

    

 

   



   

    

 

   

1 2

2 2 2 2

01 2

0 2

0 2

0 2

qpn m Hay

m m q

m p

m n

m q m

p m

n m

Ph

ơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng.

Lu ý: Nguyên tắc để chứng minh Bất đẳng thức A  B ta phải biến đổi bất đẳng thức đã cho tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đợc chứng

minh đúng.

Chú ý: Các đẳng thức sau: AB2 A2 2ABB2

ABC2 A2 B2 C2 2AB2AC2BC AB3 A3 3A2B3AB2 B3

VÝ dô 1: Cho a, b, c, d, e số thực chứng minh rằng: a) a b ab

4

2

b) a2b21abab

c) a2 b2 c2 d2 e2 a(b c d e)         Gi¶i:

a) Ta cã: a b ab 4a b 4ab

4

2 2

2     

2   

 a b ab

(2 )2  

 a b (bất đẳng thức với số thực a; b) Vậy a b ab

4

2

b) Ta cã: a2 b2 ab a b 2.(a2 b2 1) 2.(ab a b)      

    

2 2 2 2      

 a b ab a b

( 2 2) ( 2 1) ( 2 1)         

 a ab b a a b b

( )2 ( 1)2 ( 1)2      

 a b a b (Bất đẳng đúng)

VËy a2b21abab DÊu b»ng x¶y a = b =

c) Ta cã: a2 b2 c2 d2 e2 a(b c d e)        

 4.(a2 b2 c2 d2 e2 4.a(b c d e)        

4a2 4b2 4c2 4d2 4e2) 4ab 4ac 4ad 4ae

    

   

 4a2 4b2 4c2 4d24e2  4ab 4ac 4ad 4ae0

( 4 2) ( 4 2) ( 4 2) ( 4 2)  

         

 a ab b a ac c a ad d a ae e

( )2 ( )2 ( )2 ( )2  

 

 

 

 a b a c a d a e (Bất đẳng thức đúng)

VËy a2 b2 c2 d2 e2 a(b c d e)        

VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: (a10 b10).(a2 b2) (a8 b8).(a4 b4)  

  

Gi¶i: Ta cã:

12 4 12 12 10 2 10 12

4 8 2 10

10 ).( ) ( ).( ) . . . .

(a b a b a b a b  a a b a b b a a b a b b

2( 2) 8( 2)   



 a b a b a b b a 2( 2)( 6)

  

 a b a b a b

2( 2)( 2)3 ( 2)3  



 a b a b a b

2( 2)2 2 4   



 a b a b a a b b (*) Bất đẳng thức (*) ln ta có điều phải chứng minh

VÝ dô 3: Cho x.y =1 vµ x > y Chøng minh r»ng 2 2

  

y x

y x

Gi¶i:

Ta cã: 2 2

  

y x

y x

Vì: x > y nên x – y > 2 2 x2 y2 2.(x y)

y x

y x

 

      2 2 2

 

 

 x y x y

2 2 2 2   

  

 x y x y

2 ( 2)2 2 2   

 



 x y x y xy (vì x.y =1 nên = 2xy)

( 2)2  



 x y (*)

BĐT (*) ln Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4:

a) Chøng minh: P(x,y) = 2    

y xy y

y

x x;yR

b) Chøng minh: a2b2c2 a b c (Gợi ý: Bình phơng vế)

c) Cho ba số thực khác không x, y, z tháa m·n ®iỊu kiƯn:

    

    



z y x z y x

z y x

1 1 1

1 . .

Chứng minh rằng: Có ba số x, y, z lớn

(Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Lam Sơn Thanh Hoá năm học 96 - 97)

Gi¶i:

c) XÐt (x 1)(y1)(z1)xyz(xyyzzx)x yz1 

  

 

  

    

z y x xyz z y x

xyz 1) ( ) 1

(

( ) 1 10   

 

     

z y x z y

x (v× x y z

z y

x    

1 1

 số (x – 1), (y – 1), (z – 1) âm, số(x – 1), (y – 1), (z – 1) dơng

Nếu số(x – 1), (y – 1), (z – 1) dơng x, y, z >1  x.y.z > (trái với giả thiết x.y.z =1) Vì thế, bắt buộc phải xảy trờng hợp số (x – 1), (y – 1), (z – 1) âm, tức có ba số x, y, z số lớn (đpcm)

Ph

ơng pháp 3 : Dùng bất đẳng thức quen thuộc (Bất đẳng thức phụ) A Một số bất đẳng thức hay sử dụng.

1) Các bất đẳng thức a) x2 y2 2xy 2xy

 

 DÊu “=” x·y x = y

b) x2y2 xy DÊu “=” x·y x = y =

c) (x y)2 4xy



 DÊu “=” x·y x = y d) NÕu a.b > th×  2

a b b a

DÊu “=” x·y x = y

2) Bất đẳng thức Cô sy: n

n n a a a a

n

a a

a a

3

2

    

(Trong a1,a2,a3, ,an 0) Dấu “=” xãy khi: a1 a2 a3  an

3) Bất đẳng thức Bunhiacopski

    

2

2 1 2

2 2

2

2 a an x x n a x a x anxn

a          

4) Bất đẳng thức Trê - b - sép: a) Nếu

  

 

 

C B A

c b a

th×

3 3

.A bB cC a b c A B C

a    

  

DÊu “=” x·y

  

 

 

C B A

c b a

b) NÕu

  

 

 

C B A

c b a

th×

3 3

.A bB cC a b c A B C

a    

  

DÊu “=” x·y

  

 

 

C B A

c b a

B C¸c vÝ dô

VÝ dô Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a + b)(b + c)(c + a)  8abc

Giải: Cách 1: (Dùng bất đẳng thức phụ: (x y)2 4xy



 )

Tacã: (a b)2 4ab



 ; (bc)2 4bc; (ca)2 4ca (a b)2.(b c)2.(c a)2 4ab.4bc.4ca (8abc)2

 

 

 

 (a + b)(b + c)(c + a)  8abc DÊu “=” x¶y a = b = c VÝ dô 2

1) Cho a, b, c > vµ a + b + c = CMR: 1119

c b a

2) Cho x, y, z > vµ x + y + z = CMR: x2yz4(1 x)(1 y)(1 z) 3) Cho a > 0, b > 0, c > CMR:

2     

 a b

c a c

b c b

a

4) Cho x  0,y thỏa mÃn điều kiện: x y 1 CMR:

5   y

x VÝ dô 3: Cho a > b > c > vµ 2

  b c

a

Chøng minh r»ng:

2

3 3

    

 a b

c a c

b c b

a

Do a, b, c đối xứng, giả sử a  b  c

    

    

  

b a

c a c

b c b

a c b

a2 2

¸p dơng BĐT Trê- b-sép ta có:

 

 

                  

b a

c a c

b c b

a b

a c a c

b c b

a c b a b a

c c a c

b b c b

a a

9

3

2 2

2

(V× 2   b c

a theo gi¶ thiÕt) 

2

3

3

     

 a b

c a c

b c b

a (®pcm)

(Vì theo Ví dụ ta chứng minh đợc

2     

 a b

c a c

b c b

a

) VËy

2

3 3

    

 a b

c a c

b c b

a

DÊu b»ng x¶y a = b = c =

VÝ dô 4: Cho a, b, c, d > vµ a.b.c.d = Chøng minh r»ng:

      10

2 2

        

b c d ab c bc d d c a

a

Gi¶i:

Ta cã: a2 b2 2ab



 vµ c2 d2 2cd

2 2 2 2.( )

cd ab cd

ab d

c b

a       



V×: a.b.c.d =1 nªn

ab

cd   2 2  22.(  )4

ab ab d

c b

a (1) (áp dụng BĐT:

x

x )

Mặt khác ta l¹i cã:

a(bc)b(cd)d(ca)(abcd)(acbd)(bcad)

1  2226 

 

 

     

 

     

 

 

bc bc ac ac ab

ab (2)

Tõ (1) vµ (2) 2 2 ( ) ( ) ( ) 10

         

 a b c d a b c b c d d c a

VÝ dô 5: Cho sè a, b, c, d bÊt kú Chøng minh r»ng: (ac)2 (bd)2  a2 b2  c2 d2

Gi¶i: Ta cã: 2 2 2

) (

2 )

( )

(ac  bd a b  acbd c d

áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski ta đợc: a.c b.d a2 b2. c2 d2  

 

(a c)2 (b d)2   

 (a2 b2) a2 b2 c2 d2 (c2 d2)    

  

Hay (a c)2 (b d)2 ( a2 b2 c2 d2)2       

 (ac)2 (bd)2  a2 b2  c2 d2

VÝ dô 6: Chøng minh r»ng: a2b2c2 abbcca

Giải:

áp dụng BĐT Bunhiacopski cho cặp số (1, 1, 1) (a, b, c) ta cã: 12 12 12(a2 b2 c2)1.a1.b1.c2

3( 2 2) 2 2( )

ca bc ab c

b a c b

a         

2(a2 b2 c2) 2(ab bc ca)      

 a2b2c2abbcca(đpcm) Dấu xảy a = b = c

Ph

ơng pháp 4 : Sử dụng tính chất bắc cầu 1 L u ý : A > B vµ B > C th× A > C

< x < x2< x

Giải:

Tacã

  

 

     

 

0 0

cdb dca dcb dca

 (a – c)(b – d) > cd

 ab – ad – bc + cd > cd

 ab > ad + bc (điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho a, b, c > tháa m·n ®iỊu kiƯn

3

2 2b c 

a

Chøng minh r»ng:

abc c b a

1 1

   Gi¶i:

Ta cã : (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)



 ac + bc – ab 

2

(a2 + b2 + c2)

 ac + bc – ab

 < Chia hai vế cho abc > ta đợc

abc c b a

1 1

 

 (®pcm)

VÝ dô Cho < a, b, c, d < 1.

Chøng minh r»ng (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > – a – b – c – d Gi¶i:

Ta cã: (1 – a).(1 – b) = – a – b + ab

Do a > 0, b > nªn ab >  (1 – a).(1 – b) > – a b (1) Mặt khác: Vì c < nên – c >

 (1 – a).(1 – b).(1 – c) > – a – b – c

 (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > (1 – a – b – c).(1 – d)

= – a – b – c – d + ad + bd + cd

 (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > – a b c d (Điều phải chứng minh)

VÝ dô 4

a) Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng: 2a32b32c3 3a2bb2cc2a

b) Chøng minh r»ng : NÕu 2 2 1998    b c d

a th× acbd 1998

(Chuyên Anh năm học 1998 1999)

a) Gi¶i:

Do 1     

 a a

a b1 1 b0 Từ suy ra: (1 2)(1 ) 2

      

 a b a b a b

1a2ba2b (*)

Mặt khác: 0 a;b 1 a2 a3; b b2 b3

  

 

 (**)

Tõ (*) vµ (**) 1a2ba3b3

Hay a3 b3 1a2b



 (1)

T¬ng tù : b3 c3 1b2c



 (2)

Vµ c3a3 1c2a (3)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta có : 2a3 2b3 2c3 3a2bb2cc2a b) Giải:

Ta cã: (ac bd)2 (ad bc)2 a2c2 b2d2 2abcd a2d2 b2c2 2abcd

   

  

 

2( 2) 2( 2)

d c b d c

a   

(a2 b2).(c2 d2)  

 19982



MỈt kh¸c: ( )2 ( )2 ( )2 19982  

  

bd ac bd ad bc

ac

 acbd 1998 2) Bµi tËp:

a) Cho c¸c sè thùc: a1; a2; a3; …; a2003 tháa m·n: a1 + a2 + a3 + … + a2003 =1

Chøng minh r»ng: 2003

2003

3 2

1 a a  a a

(Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Nga Pháp 2003- 2004 Thanh Hóa)

b) Cho a; b; c  tháa m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: 1 1 1 8

    

      

      



c b

a

. Phơng pháp 5: Dùng tÝnh chÊt cña tû sè

KiÕn thøc

1) Cho a, b, c số dơng th× a) NÕu 1

b a

th×

c b

c a b a

  

b) NÕu 1

b a

th×

c b

c a b a

  

2) NÕu b, d > vµ

d c b a

 th×

d c d b

c a b a

  



VÝ dô 1: Cho a, b, c, d > Chøng minh r»ng: 1aabcbbcdcdcaddab2 Gi¶i :

Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã

d c b a

d a c b a

a c

b a

a

  

      

 (1)

MỈt kh¸c:

d c b a

a c

b a

a

    

 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã:

d c b a

d a c b a

a d

c b a

a

  

      

 (3)

T¬ng tù ta cã:

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

b

  

      

 (4)

d c b a

c b a d c

c d

c b a

c

  

      

 (5)

d c b a

c d b a d

d d

c b a

d

  

      

 (6)

Céng vÕ theo vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã:

2

           

b a d

d a d c

c d c b

b c b a

a

(điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho

d c b a

 vµ b, d > Chøng minh r»ng

d c d b

cd ab b a

  

 2 2

Gi¶i: Tõ 2 2

d cd b ab d c b a

  

d c d cd d b

cd ab b ab b a

     

 2 2 2 2

VËy

d c d b

cd ab b a

  

 2 2 (điều phải chứng minh)

Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: P =

d b c a

Giải : Không tính tổng quát ta giả sử:

d b c a

 ¸p dơng tÝnh chÊt “NÕu

n m b a

 th×

n m n b

m a b a

  

 ” ta cã:

d b d c

b a c a

 



  1

c a

(v× a + b = c + d) a) NÕu: b 998 th× 998

d b

999   

d b c a

b) NÕu: b = 998 th× a =

d c d b c

a 999

 

Đạt giá trị lớn d = 1; c = 999 Vậy giá trị lớn cña P =

999 999   

d b c a

a = d = 1; c = b = 999 Phơng pháp 6: Phơng pháp làm trội

L u ý:

Dùng tính bất đẳng thức để đa vế bất đẳng thức dạng tính đợc tổng hữu hạn tích hữu hạn

(*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn: S u1u2 u3 un

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau:

uk ak  ak1

Khi đó: S u1u2u3 un

(a1 a2)(a2 a3)(a3 a4) (an  an1) a1 an1

(*) Phơng pháp chung tính tích hữu hạn Pu1.u2.u3 un

Bin i cỏc s hng uk thơng hai số hạng liên tiếp nhau:

1  

k k k

a a

u

Khi đó:

1 1

3 2

2

1

 

 



n n

n n

a a a

a a a a a a a u u u u P

VÝ dơ 1: Víi mäi sè tù nhiªn n > chøng minh r»ng:

2

1 1

      

 n n n

n

Gi¶i: Ta cã

n n n k

n

1 1

  

 với k = 1, 2, 3, …, n – Do đó:

2 2

1

1

1

1

1 1

            

 n

n n n

n n n n

n n

VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: 2( 1)

1

1      n

n (Với n số nguyên)

Giải :

Ta cã: 2( )

1 2

2

k k

k k k

k        Khi cho k chạy từ đến n ta có

12( 2 1)

2( 2)

1

 

2( 3)

1

 

2( n n)

n   

Cộng vế bất đẳng thức ta có 2( 1)

1      n 

n

VÝ dô 3: Chøng minh r»ng:

1    n k k

n Z

Gi¶i: Ta cã: k k k k k 1 ) ( 1     

Cho k chạy từ đến n ta có: 1

2  

3

2  

4

2  

n n n 1 1    1 1 1 3 2 1 2 2

2   

                                      n n n n

VËy

1    n k k

n Z

Ví dụ 4: Chứng minh BĐT sau : a) ) )( ( 5 1        n n

b)

1 1 1 1

1     

n

Gi¶i :

a) Ta cã: 

               



1 ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( k k k k k k k k

Cho k chạy từ đến n Sau cộng lại ta có

11.2 31.5 51.7 (2 1)(12 1) 21.1 2 1 21               n n

n (®pcm)

b) Ta cã:

n n

n ( 1)

1 3 2 1 1 1 1 1            

2

1 3 2 1

1   

                                  n n

n (®pcm)

P

h ơng pháp 7 : Dùng bất đẳng thức tam giác

Lu ý: Nếu a; b; c độ dài cạnh tam giác : a; b; c >

Vµ b c abc; a c bac; a b cab

Ví dụ1: Cho a; b; c độ dài cạnh tam giác chứng minh rằng: a) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)

b) abc > (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) Gi¶i

(2 )

)( )( )( 0

0 0

2 2 2 2

2 2

cabc ab cb a bac c

acb b

cba a ba c

ac b

cb a

        

 

 

       

 

 

 

b) b) Ta cã:

0 )

(

2

     

 b c a a b c

a

2 ( )2      

 c a b b c a

b

2 ( )2      

 a b c c a b

c

Nhân vế theo vế bất đẳng thức ta đợc:

a2.b2.c2 a2 (b c)2 .b2 (c a)2 .c2 (a b)2   

 

 

2 2 2

) (

) (

) (

.b c a b c b c a c a b

a       



 a.bc(ab c).(bc a).(ca b) VÝ dô 2:

1) Cho a, b, c chiều dài ba cạnh tam giác

Chøng minh r»ng ab bc ca a2 b2 c2 2(ab bc ca)        

2) Cho a, b, c lµ chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi b»ng Chøng minh r»ng 2 2

  

b c abc

a

Phơng pháp 8: Đổi biến số (phơng pháp đặt ẩn phụ) Ví dụ1: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:

2     

 a b

c a c

b c b

a

(1) Giải :

Đặt x = b + c; y = c + a; z = a + b ta cã: a =

x z y 

; b =

y x z 

; c =

z y x 

    

 

 

  

z b a

y a c

x c b

Khi đó: (1)  2   2   2  23

z z y x y

y x z x

x z y

         3

z z y x y

y x z x

x z y

  1  1  13

z y z x y x y z x z x y

6     

       

       

 

z y y z z x x z y x x y

V×: 2   

 



y x x y

; 2     



z x x z

vµ 2   

 



z y y z

6

    

       

       

 

z y y z z x x z y x x y

DÊu b»ng x¶y x = y = z (®pcm) VÝ dơ2: Cho a, b, c > vµ a + b + c < Chøng minh r»ng:

2

1

1

2

2 

   

 bc b ac c ab

Giải:

Đặt x = 2   bc

a ; y = 2

  ac

b ; z = 2

  ab

c

Ta cã: ( )2     

y z a b c

x (*)

L¹i cã: ( ) 1 19   

 

   

z y x z y

x (**)

Tõ (*) vµ (**)  11 1 9

z y

x DÊu b»ng x¶y x = y = z

Hay

2

1

1

2

2 

   

 bc b ac c ab

a DÊu b»ng x¶y a = b = c (®pcm)

VÝ dơ3: Cho x  0, y  tháa m·n ®iỊu kiƯn x  y 1 CMR:

5  y

x

Gợi ý:

Đặt x a0, y b0

Từ Bài Tốn trở thành: Cho 2a b 1 CMR:

5

2 2b 

a Thế (1) vào(2) Ta có đpcm

Bài tập

1) Cho a > 0, b > 0, c > CMR: 25 16 8    

 a b

c a c

b c b

a

2) Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b > Chøng minh r»ng:

( ) ( )

2

1 m n p m n p b

a pc a c

nb c b

ma

     

=============================================================== Phơng pháp 9: Dïng tam thøc bËc hai

L

u ý : Cho tam thøc bËc hai: f(x)ax2 bxc

NÕu  < th× a.f(x) > x R NÕu  = th× a.f(x) >

a b x 

 (x R) NÕu  > th× a.f(x) > 

 

  

2

x x

x x

Vµ a.f(x) <  x1xx2

(Trong x1; x2 hai nghiệm đa thức f(x) x1 > x2) Ví dụ 1: Chứng minh : f(x, y) =

    

 y xy x y

x (1)

Gi¶i:

Ta cã: (1) 2(2 1)      

 x y x y y

2y12 5y26y

 1

3 4

2

2

    

     

y

y y y

y

VËy f(x, y) > víi mäi x, y

VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: f(x, y) = x2y4 2(x2 2).y2 4xy x2 4xy3    

 Gi¶i:

Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với 2( 2) 4

 

  

 x y xy x xy

y x

( 1)2 (1 )2   

 

 y x y y x y

Ta cã: ' 2(1 )2 2( 1)2 16  

  

 

 y y y y y

V× a = ( 1)2  

y vËy f(x, y) > x,yR (đpcm)

=============================================================== Phơng pháp 10: Dùng quy nạp toán học

Để chứng minh bất đẳng thức với n n0ta thực bớc sau :

1) Kiểm tra bất đẳng thức với n n0

2) Giả sử BĐT với n = k (thay n = k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi giả thiết quy nạp)

3) Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + (thay n = k + 1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

4) Kết luận BĐT với n n0

VÝ dô1: Chøng minh r»ng:

n n

1

1

1

1

2

2

2       (1) nN,n1

Gi¶i :

Víi n = ta cã:

2

1   (đúng) Vậy BĐT (1) với n =

Giả sử BĐT (1) với n = k Tức

k k

1

1

1

1

2

2

2      

Bây ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k + Thật n = k + thì: (1)

1 ) (

1

1

1

1

2

2

2   

     

k k

Theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã:

1 1 ) (

1

1

1

1

2

2

2  

    

       

 

   

k k k

k (*)

V×:

1 ) (

1 1

             



k k

k k

k (**)

Tõ (*) vµ (**) 112 212 312 ( 11)2 2 11

     

k

k  BĐT (1) cung với n = k +

Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh

VÝ dô2: Cho n N vµ a + b > Chøng minh r»ng:

2

n n n

b a b

a 

     

  (1)

Gi¶i:

Ta thấy BĐT (1) với n =

Giả sử BĐT (1) với n = k Tức ta có:

2

k k k

b a b

a 

       

Bây Ta phải chứng minh BĐT (1) củng với n = k + Thật với n = k + ta có:

(1)

2

1

1  



         

k k k

b a b

a

2

1  

                

k k k

b a b a b

a (2)

V×: VT

2

2 2

1 1

1   



                       

k k k k k k k

k k

b a b b a ab a b a b a b a b

a = VP

 BĐT (1) với n = k +

Vậy BĐT (1) Ta cú (pcm)

=============================================================== Ph

ơng pháp 11: Chøng minh ph¶n chøng L

u ý :

1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức đúng, ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vô lý , điều vơ lý điều trái với giả thiết , điều trái ngợc Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh

2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G  K” phép toán mệnh đề cho ta :

Ta thờng dùng hình thức chứng minh phản chứng sau : A Dùng mệnh đề phản đảo : K  G

B Phủ định suy trái giả thiết : C Phủ định suy trái với điều D Phủ định suy điều trái ngợc E Phủ định suy kết luận :

VÝ dô 1: Cho ba sè a,b,c tháa m·n a + b + c > , ab + bc + ac > 0, abc > 0 Chøng minh r»ng a > 0, b > 0, c >

Gi¶i :

Giả sử a  từ abc >  a  a < Mà abc > a <  cb <

Tõ ab + bc + ca >  a(b + c) > – bc > Vì a < mà a(b + c) >  b + c <

a < vµ b + c <  a + b +c < trái giả thiết a + b + c > 0

VËy a >

T¬ng tù ta cã: b > , c >

Ví dụ 2: Cho số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac  2.(b + d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a2 4b

 , c2 4d Gi¶i :

Giả sử bất đẳng thức : a2 4b

 , c2 4d cộng vế theo vế ta đợc a2 c2 4(b d)

 

 (1)

Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b + d)  2ac (2) Tõ (1) vµ (2) a2 c2 2ac

 

 hay (a c)2 0 (vô lý) Vậy bất đẳng thức a2 4b

 , c2 4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3:

Cho x, y, z > vµ xyz = Chøng minh r»ng:

NÕu xyz1x1y1z th× sè x, y, z có số lớn 1. Giải :

Ta cã (x – 1).(y – 1).(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z –

= 

  

 

    

z y x z y

x 1 (v× xyz = 1)

Vì theo giả thiết xyz 1x1y1z nªn (x – 1).(y – 1).(z – 1) > 0 Trong ba sè (x – 1), (y – 1) (z 1) có số dơng

Thật ba số dơng x, y, z >  xyz > (trái giả thiết) Cịn số dơng (x – 1).(y – 1).(z – 1) < (vơ lý) Vậy có ba số x, y, z lớn

===============================================================

Phần iii : tập nâng cao 1) Dùng định nghĩa

1) Cho abc = vµ 36 

a Chøng minh r»ng a b2 c2 abbcca

3

Gi¶i

Ta cã hiƯu: a b c  ab bc caa a b2c2 ab bc ca

2

2

12

a b c ab ac bc a 3bc

12

4

2

2

     

 

    



12

36

3

 

    

 

  

a abc a

c b

a (v× abc = vµ a3 > 36

VËy: a b2c2 abbcca

3

§iỊu ph¶i chøng minh 2) Chøng minh r»ng

a) 4 2 ( 1)    

 

y z x xy x z

x

b)     

 b ab a b

a (Víi mäi sè thùc a, b, c)

c) 2 2     

 b ab a b

a (Víi mäi sè thùc a, b, c)

Gi¶i :

a) XÐt hiƯu

H = x4 y4 z2 2x2y2 2x2 2xz 2x

   

  

(x2 y2)2 (x z)2 (x 1)2 ( x,y,z)       



 H  (x,y,z) Từ ta có điều phải chứng minh b) Vế trái viết

H = ( 1)2 ( 1)2    

 b b

a

H > (a,b,c) ta có điều phải chøng minh c) VÕ tr¸i cã thĨ viÕt

H = ( 1)2 ( 1)2   

 b b

a

 H  (a,b,c) Từ đó, ta có điều phải chứng minh

Ii Dùng biến đổi t ơng đ ơng

1) Cho x > y vµ x.y = Chøng minh r»ng: ) (

) (

2 2

 



y x

y x

Gi¶i :

Ta cã: 2 ( )2 ( )2      

y x y xy x y

x (v× x.y = 1)

 (x2y2)2 (x y)2 22

( )4 4.( )2    

 x y x y

Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với (x y)4 4.(x y)2 4 8.(x y)2

     

( )4 4.( )2     

 x y x y

( )2 22     x y

BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho x.y  Chứng minh rằng: x y xy

   



2

1

1

2

Gi¶i :

Ta cã: xy

y x    



2

1

1

2

2

1 1

1

1

1

2

2 

  

 

       

 

   

xy y

xy x

) )( ( ) )(

(

2

2

  

 

 

 

xy y

y xy xy

x x xy

(1 (2)(1 ) ) (1 (2)(1 ) )0

 

 

 

 

xy y

y x y xy

x x y x

) )( )( (

) ( ) (

2

2

  



 



xy y

x

xy x y

BĐT cuối x.y > Vậy ta có điều phải chứng minh

Iii dùng bất đẳng thức phụ

1) Cho a, b, c số thực vµ a + b + c =1 Chøng minh r»ng:

3

2 2b c 

a

¸p dơng BĐT BunhiaCôpski cho số (1, 1, 1) (a, b, c) Ta cã: (1.a 1.b 1.c)2 (1 1)(a2 b2 c2)

  

  



(a b c)2 3.(a2 b2 c2)      

3

2 2  

 a b c (v× a + b + c =1 ) (đpcm) 2) Cho a, b, c sè d¬ng Chøng minh r»ng:

9 1 )

( 

  

 

  



c b a c b

a (1)

Gi¶i :

Ta cã: (1) 1   1   19

a c a c c b a b c a b a

9

    

       

       

  

b c c b a c c a a b b a

6

    

       

       

 

b c c b a c c a a b b a

¸p dơng B§T phơ  2

x y y x

Với x, y > Ta có BĐT cuối ln

VËy ( ) 1 19   

 

  



c b a c b

a (®pcm)

Iv dùng ph ơng pháp bắc cầu

1) Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng: 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a

    



Gi¶i:

Do  

 a

a vµ

 

 b

b

Nªn (1 2)(1 2) 2 2       

 a b a b a b

Hay 1a2b2 a2b2 (1)

Mặt khác: Vì < a, b <  a 2 a3 vµ b b2 b3



 (2)

Tõ (1) vµ (2)  1 a2b a3 b3

  

Hay a3b3 1a2b (*)

Tơng tự ta củng chứng minh đợc: b3 c3 1b2c



 (**)

Vµ c3 a3 1c2a



 (***)

Cộng vế theo vế (*), (**) (***) ta đợc: 2a32b32c3 3a2bb2cc2a (đpcm)

2) So s¸nh 3111 1714 Giải :

Ta có: 11 11 11 55 56 2 ) ( 32

31 (1) Mặt khác: 256 24.14 (24)14 1614 1714

  

 (2)

Tõ (1) vµ (2) 31 11 1714



V Dïng tÝnh chÊt tØ sè

1) Cho a, b, c, d > Chøng minh r»ng:

3

 

   

   

   

 

b a d

a d a d c

d c d c b

c b c b a

b a

Giải :

Vì a, b, c, d > nªn ta cã:

d c b a

d b a c b a

b a d c b a

b a

  

    

    



(1)

d c b a

a c b d c b

c b d c b a

c b

  

    

    



d c b a

b d c a d c

d c d c b a

d c

  

    

    



(3)

d c b a

c a d b a d

a d d c b a

a d

  

    

    



(4) Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có :

3

 

   

   

   

 

b a d

a d a d c

d c d c b

c b c b a

b a

(®pcm) 2) Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh r»ng:

2

1 

     

b a

c a c

b c b

a

Gi¶i :

Vì a, b, c số đo ba cạnh tam giác nên ta có a, b, c > Vµ a < b + c ; b < a + c ; c < a + b

Ta cã:

c b a

a c

b a

a a c b

a

    



2

(*) Mặt khác:

c b a

a c

b a

  

 (**) Tõ (*) vµ (**) 

c b a

a c

b a c b a

a

      

2

(1) T¬ng tù ta cđng cã:

c b a

b a

c b c b a

b

      

2

(2) Vµ

c b a

c b

a c c b a

c

      

2

(3) Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta có:

2      

b a

c a c

b c b

a

(®pcm)

Phần iv: ứng dụng bất đẳng thức Dùng bất đẳng thức để tìm cự c trị

L u ý

- Nếu f(x) A f(x) có giá trị nhỏ nhÊt lµ A

- NÕu f(x)  B f(x) có giá trị lớn B

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: Px 1 x  x 3 x

Gi¶i:

Ta cã: x 1 x x 14 x x14 x 3 (1)

DÊu “=” x·y (x1)(4 x)01x4 T¬ng tù: x  x x 3 x x 23 x 1 (2)

DÊu “=” x·y (x 2)(3 x)0 2x3 Tõ (1) vµ (2)  Px1 x 2 x 3 x 314

DÊu “=” x·y 2 3

3 2

4 1

     

 

 

x x x

Vậy giá trị nhỏ biểu thức T đạt đợc 2x3 Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức:

S = xyz.(x + y).(y + z).(z + x) víi x, y, z > vµ x + y + z =1 Gi¶i :

27

1

3

1xyz xyz  xyz   xyz (1)

Dấu “=” xãy x = y = z = Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dơng (x + y); (y + z) (x + z) ta có:

3 ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) ( ) (

2 xy  yz  zx  xy yz zx  xy yz zx 

27 ) ).( ).(

(    

 x y y z z x (2)

DÊu “=” x·y x = y = z =

3

Tõ (1) vµ (2)  S = xyz.(x + y).(y + z).(z + x) 

729 27

8 27

1

 DÊu “=” x·y x = y = z =

3

Vậy giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc S lµ

729

đạt đợc x = y = z =

3

VÝ dô 3: Cho xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: A = x4 y4 z4

Giải :

áp dơng B§T Bunhiacèpski cho bé sè (x, y, z) ;(y, z, x) ta cã: ( )2 ( 2 2)( 2 2)

z y x z y x zx yz

xy      

1 (x2 y2 z2)2   

 (1)

DÊu “=” x·y x = y = z =

3

Lại áp dơng B§T Bunhiacèpski cho bé sè (x2, y2, z2) ;(1, 1, 1) ta cã:

(x2 y2 z2)2 (12 12 12)(x4 y4 z4)   

   

(x2 y2 z2)2 3(x4 y4 z4)     

 (2)

DÊu “=” x·y x = y = z =

3



Tõ (1) vµ (2) 3(x4 y4 z4)    

3

4 4

  

 x y z DÊu “=” x·y x = y = z =

3

Vậy giá trị nhỏ biĨu thøc A lµ

đạt đợc x = y = z =

3

Ví dụ : Trong tam giác vuông có cạnh huyền , tam giác vuông có diƯn tÝch lín nhÊt ?

Gi¶i :

Giả sử cạnh huyền tam giác vuông 2a Đờng cao thuộc cạnh huyền h

Hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền lần lợt x, y Ta có S = (x y).h a.h a h a xy

2

1    

Vì a khơng đổi nên x + y = 2a không đổi

 S lín nhÊt x.y lín nhÊt x y

Vậy tam giác vuông có cạnh huyền tam giác vuông cân có diện tích lín nhÊt

Ii, dùng b.đ.t để giải ph ơng trình hệ ph ơng trình Ví dụ : Giải phơng trình sau: 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 4 2x x2

     

  Gi¶i :

Ta cã 19 3( 2 1) 16 3( 1)2 16 16         

 x x x x

10 14 5( 2 1) 5( 1)2 9         

 x x x x

x

19 10 14 416        

 

 x x x x DÊu “=” x¶y x +1 =

hay x = - (*) Mặt khác: 2 ( 2 1) ( 1)2

        

 x x x x x DÊu “=” x¶y x +1 =

hay x = - (**) Tõ (*) vµ (**) 19 10 14 2

        

 

 x x x x x x x

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt x = - VÝ dụ 2: Giải phơng trình 2 4

   

 x y y

x

Giải :

áp dơng B§T BunhiaCèpski ta cã :

x 2 x2  1212 x2(2 x2)  2 2 DÊu “=” x¶y x = (*)

Mặt khác: 4 (2 1)2 2     

 y y

y DÊu “=” x¶y y =

2

 (**) Tõ (*) vµ (**) 2 4

     

 x x y y x = vµ y =

2

Vậy nghiệm phơng trình lµ

    

  

2 1 1 y x

VÝ dô 3: Giải hệ phơng trình sau:

  

  

xyz z y x

z y x

4 4

1 Giải : áp dụng BĐT Côsi ta cã:

4 4 4 4 2 2 2

2

2 x y y z z x

y z z y y x z y

x           

L¹i cã: x2y2 y2z2 z2x2 x2y2 y2z2 y2z2 z2x2 z2x2 x2y2 y2xz z2xy x2yz

2

2   

      



x4 y4 z4 xyz(x y z)      

Vì: x + y + z = Nên x4y4z4 xyz DÊu “=” x¶y x = y = z =

3

VËy hÖ   

  

  

xyz z y x

z y x

4 4

1

cã nghiÖm x = y = z =

VÝ dụ : Giải hệ phơng trình sau

   

 

  

2

2 8 4

x xy

y xy

((12)) Từ phơng trình (1)  8 y2 0 y2 8 y 2

Từ phơng trình (2) x2 x.y 2.x

 



  x2  2.x ( 2)2 0

 (x  2)2 0 2 0

  x

 x 

   

   

2

NÕu x = th× y = 2 NÕu x =  th× y =  2 VËy hệ phơng trình có nghiệm



  

2 2 y x

vµ

   

  

2 2

2 2 y x

Iii dùng B.Đ.t để giải phơng trình nghiệm ngun Ví dụ Tìm số ngun x, y, z thoả mãn 2

    

y z xy y z

x

Gi¶i :

Vì x, y, z số nguyên nên: 2     

y z xy y z

x

2 3       

 x y z xy y z

3  1

3

2

2

       

 

      

 

 

 x xy y y y z z

( 1)

3

2

2

        

       



 x y y z (*)

Mµ ( 1)

2

2

2

        

       

 y y z

x x;yR

Phơng trình (*) ( 1)

2

2

2

        

       



 x y y z

        

        

 

 

  

1 2 1 01

01 2

0 2

z y x z y y x

C¸c sè x,y,z phải tìm

   1

2 1

z y x

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 11 12

z y x

Giải :

Không tính tổng quát ta giả sử xyz

Ta có: 211 1 3 2z3

z z y

x

Mà z nguyên dơng z =

Thay z = vào phơng trình ta đợc 1 1

y

x

Theo giả sử x y nên 111 1 2  y2

y y y y

x

+) Víi y = ta cã x =

VËy (2, 2, 1) nghiệm phơng trình

Hoỏn v số ta đợc nghiệm phơng trình (2, 2, 1) ; (2, 1, 2) ; (1, 2, 2) Ví dụ : Tìm cặp số nguyên thoả mãn phơng trình x x y ( 1)

Gi¶i : +) DĨ thÊy

  

  0 0

y x

cặp nghiệm phơng trình (1)

+) Víi

  

  0 0

y x

phơng trình (1) chØ cã nghiÖm

  

  0 0

y x

Ta cã 2

       

 x y x x y x y x

x (*) x phải nguyên dơng

Đặt x k (k nguyên dơng) x k2



Khi phơng trình (*) trở thành: 2 ) (k y k

y k

k    

Mặt khác: k2 k.(k1)(k1)2 k2 y2 (k1)2 kyk1 (**)

Vì: k k +1 hai số nguyên dơng liên tiếp nên không tồn số nguyên dơng y thoả mÃn hệ thức (**)

Nên cặp số nguyên dơng thoả mÃn phơng trình (1) Vậy phơng trình có nghiệm :

 

  0 0

y x

-&&& -M· Thµnh ngµy 14 tháng năm 2010

Thay mt đồng nghiệp