IV. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1. Dùng định nghĩa : · ( , ) 90 o a b a b= ⇔ ⊥ 2. Dùng tích vô hướng Với u, v r r là vectơ chỉ phương của a và b thì a ⊥ b ⇔ u v. r r = 0 3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc đường thẳng c song song với b //b c a b a c ⇒ ⊥ ⊥ 4. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) chứa đường thẳng b. ( ) ( ) a a b b α α ⊥ ⇒ ⊥ ⊂ 5. Chứng minh a và b đồng phẳng rồi áp dụng tính chất trong hình học phẳng như : Pytago đảo, trung tuyến tam giác cân, tính chất đường cao, … 6. Chứng minh a nằm trong mp (α) và a vuông góc với hình chiếu b’ của b trên mặt phẳng (α) (định lí 3 đvg) ( ) ( ) ' a a b a b b ch α α ⊂ ⇒ ⊥ ⊥ = 7. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với một mp (P) và (P) song song với đường thẳng b ( ) //( ) a P a b b P ⊥ ⇒ ⊥ V. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG. 1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với 2 đường thẳng b và c cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) . ( ), ( ), c ( ) , b c b a a b a c α α α ⊂ ⊂ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ caét 2. Chứng minh đường thẳng a song song với b và b vuông góc với mặt phẳng (α). // ( ) ( ) a b a b α α ⇒ ⊥ ⊥ 3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mp(β) và (β) song song (α) ( )//( ) ( ) ( ) a a α β α β ⇒ ⊥ ⊥ 4. Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⊂ (α) 5. Chứng minh đường thẳng a nằm trong (α) và vuông góc với giao tuyến b của hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc nhau. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a a b β α α β α ⊂ ⊥ ∩ = ⇒ ⊥ ⊥ 6. Chứng minh đường thẳng a là giao tuyến của hai mặt phẳng (β) và(γ) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba (α). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a γ β β α α γ α = ∩ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ VI. CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1.Dùng định nghĩa chứng minh góc giữa hai mp bằng 90 o · (( );( )) ( ) ( ) 90 o α β α β = ⇔ ⊥ 2.Chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia ( ) ( ) ( ) ( ) a a α α β β ⊂ ⇒ ⊥ ⊥ Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy. a) Chứng minh các mặt bên là các tam giác vuông và (SBD) ⊥ (SAC). b) Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Chứng minh B’D’ // BD và AB’ ⊥ SB, AD’ ⊥ (SCD). c) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc nhau. d) Gọi M là 1 điểm di động trên đoạn BC, K là hình chiếu của S trên DM. Tìm quỹ tích các điểm K khi M di động. e) Đặt BM = x. Tính độ dài SK theo a và x. Tìm giá trị nhỏ nhất của SK. 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA vuông góc với (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. a) Chứng minh : (SAB) ⊥ (SBC) ; (AHK) ⊥ (SBC). b) Chứng minh rằng tứ giác BCHK nội tiếp được. c) Tìm hình chiếu J của S lên mp(AKC). d) Chứng minh ∆JAC vuông. 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, · 0 60 BAD = . Đường thẳng SO vuông góc với đáy và SO = 4 a3 . Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE. a. Chứng minh : (SOF) ⊥ (SBC). b. Kẻ OH ⊥ (SBC) tại H. Tính độ dài OH. c. Gọi (α) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp và (α) . Tính diện tích của thiết diện này. 4. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều ; hai mp (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của BC , O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng : a. SA ⊥ (ABC) b. (SAD) ⊥ (SBC) c. SB ⊥ (COH) d. OH ⊥ (SBC) . thẳng a vuông góc với một mp (P) và (P) song song với đường thẳng b ( ) //( ) a P a b b P ⊥ ⇒ ⊥ V. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG. 1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với 2. MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1.Dùng định nghĩa chứng minh góc giữa hai mp bằng 90 o · (( );( )) ( ) ( ) 90 o α β α β = ⇔ ⊥ 2 .Chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA vuông góc với (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. a) Chứng minh : (SAB) ⊥ (SBC) ; (AHK) ⊥ (SBC). b) Chứng minh rằng tứ giác