Đề thi thử Đại học môn Toán 2014 nằm trong chương trình Khởi động mùa thi đại học năm 2014 nhằm mục đích giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu tham khảo, chuẩn bị tốt kỳ thi Đại học sắp tới. Chúc các bạn có kỳ thi thành công.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 2x m , có đồ thị Hm , m tham số thực Câu Cho hàm số y x2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Hm m I b Tìm tất giá trị m để đường thẳng d:y x cắt đồ thị Hm hai điểm phân biệt A, B cho tích khoảng cách từ hai điểm A B đến đường thẳng : x 2y sin x cos x cos 2x cos x 1 1 Câu Giải phương trình cos3x 4 Câu Giải phương trình x x 1 1 9x 14x 25 3x 2x Câu Tính tích phân I x sin x 5sin x x cos x dx Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A' B'C' có đáy ABC tam giác vuông B, BC a, AC 2a Gọi M trung điểm AC N điểm nằm BC cho 2BN CN Góc tạo hai mặt phẳng C' MN ABC với cos Tính thể tích khối chóp B'.BAMN khoảng cách hai đường thẳng BM, C' N theo a Câu Cho số thực dương a, b,c thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4a 2c b c 1 1 b b a a ac bc ab 2 a b 2c b c a c 2a b II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a Trong mặt phẳng với hệ tọa Oxy cho hình bình hành ABCD với A 3;6 Biết tam giác ABC có AB.AC 60 nội tiếp đường trịn có tâm I 1;3 , bán kính R Hình chiếu điểm A xuống cạnh BC thuộc đường thẳng d : x 2y Hãy tìm tọa độ đỉnh B,C, D biết hồnh độ hình chiếu A lớn hoành độ điểm B bé hồnh độ điểm C Câu 8a Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD Biết A 1;2;3 , B 1;1;2 C 3;0;1 Tìm tọa độ điểm D biết D thuộc mặt phẳng P : x y 2z n 4 3n n Câu 9a Tìm hệ số x khai triển P x 1 với x Biết n số nguyên dương x x thỏa mãn điều kiện A2n 3Cnn 2 C3n 1 A2n 1 2n B Theo chương trình Nâng cao 2 Câu 7b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn C : x y 3 hai điểm A 2; 1 , B 2; 5 Một đường kính MN thay đổi cho đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến B P Q Hãy tìm tọa độ trực tâm H tam giác MPQ biết điểm H nằm đường thẳng d : x y Câu 8b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A 1;0;2 , B 0;1; 2 Tìm tọa độ điểm 10 C cho tam giác ABC nhận điểm H ; ; làm trực tâm 7 Câu 9b Trong họp chi đồn có 10 học sinh tham gia gồm học sinh trường A có bạn Đại học sinh trường B có bạn Học Hỏi có xếp 10 học sinh ghế dài có 10 chỗ ngồi cho hai học sinh trường A ngồi gần hai học sinh trường B đồng thời bạn Đại bạn Học không ngồi gần Hết DIỄN ĐÀN TOÁN THPT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐH NĂM 2014 Đề 01 - Ngày thi : 02-11-2013 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 2x + m (Hm ),m tham số thực x −2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (H1 ) m = b Tìm tất giá trị m để đường thẳng d : y = x + cắt đồ thị (Hm ) hai điểm phân biệt A, B cho tích khoảng cách từ hai điểm A B đến đường thẳng ∆ : x + 2y − = Câu Cho hàm số y = Lời giải : a/ Tự làm b/ PT hoành độ giao điểm (Hm ) d : 2x + m = x +3 x −2 (1) ⇐⇒ x =2 x2 − x − m − = (2) Để (Hm ) cắt d điểm phân biệt A B PT (1) có nghiệm phân biệt ⇐⇒ (2) có nghiệm phân biệt = ⇐⇒ ∆ = + 4m + 24 > m = −4 ⇐⇒ −25 m = −4 m> (∗) Gọi A (x ; x + 3) , B (x ; x + 3) giao điểm (Hm ) d Ta có d(A,∆) d(B,∆) = ⇐⇒ |3x + 5| |3x + 5| = 10 ⇐⇒ [9x x + 15 (x + x ) + 25]2 = 100 Mà: x1 + x2 = x x = −m − Thay vào (3) ta : (9m + 14)2 = 100 ⇐⇒ m = KL: Vậy giá trị m cần tìm : m = Câu Giải phương trình (3) −4 −8 m = thỏa mãn (∗) −8 −4 ,m= sin x (3 − cos x) + cos 2x (2 cos x + 1) − = cos 3x Lời giải : Điều kiện : cos 3x = ⇐⇒ 3x = π π kπ + kπ ⇐⇒ x = + (k ∈ Z ) Phương trình cho tương đương: sinx (3 − cos x) + cos2x (2 cos x + 1) − = cos3x ⇐⇒ 3sinx − 2sinxcosx+ 2cos2 x − cos x + 2cos2 x − = 4cos3 x − cos x ⇐⇒ sinx (3 − 2cosx) + cosx + 2cos2 x − = ⇐⇒ sin x − sin x cos x + cosx − 2sin2 x − = ⇐⇒ (1 − sin x) (sinx + cosx − 1) = sinx = 12 sinx + cosx = x = π6 + k2π •sinx = 12 ⇐⇒ (k ∈ Z ) x = 5π + k2π •sinx + cosx = ⇐⇒ cos x − π4 = x − π4 = π4 + k2π x = π2 + k2π ⇐⇒ ⇐⇒ (k ∈ Z ) x − π4 = − π4 + k2π x = k2π ⇐⇒ Đối chiếu với điều kiện Vậy phương trình cho có nghiệm: x = k2π (k ∈ Z ) Câu Giải phương trình − x x −1−1 = 9x − 14x + 25 3x + + 2x − Lời giải 1: Điều kiện x ≥ P T ⇐⇒ − ⇐⇒ x x −1−1 = x −1−1 (x − 2) 3x + + 2x − = x (x − 2) 9x − 14x + 25 (3x + 3)2 − 16 (2x − 1) 3x + + 2x − x −1−1 = 3x + − 2x − x ⇐⇒ (x − 2) x − − 2x + = 3x + 3x − 4x 2x − ⇐⇒ ⇐⇒ 3x + 5x − − (x − 2) x − + 4x 2x − = ⇐⇒ x − 2x x − + (x − 1) + 2x − 4x 2x − + 2(2x − 1) + x − − = 2 ⇐⇒ x − x − + x − 2x − + x − − = Kết luận : PHương trình có nghiệm x = Lời giải 2: ĐK: x ≥ x ⇐⇒ − x P T ⇐⇒ − x −1−1 = (3x + 3)2 − 16(2x − 1) 3x + + 2x − x − − + = 3x + − 2x − x ⇐⇒ (x − 2) x − = 3x + 5x − − 4x 2x − ⇐⇒ x − + x − = 2x − 2x − x − + x − − 2x − 2x − = x − + x − + 2x − 2x − = 9 (x − 1) − x − + + (2x − 1) − 2x − + + = 4 ⇐⇒ (x − 1)(9x − 5) + x −1 = 3x − + 2x − 3 x −1− (vô nghiệm) + 2x − + + =0 2 ⇐⇒ (9x − 5) x − x −1 +1 = 3x − + 2x − ⇐⇒ x = ⇐⇒ Câu Tính tích phân : I = π π x sin x (5 sin x + x cos x) dx Lời giải : Tích phân cho viết thành: I = I= π π − cos 2x x + sin 2x d x = 5x 2 π π π π (5x sin2 x + x sin x cos x)d x 5x dx − 2 π π x cos 2xd x + π π 5x x sin 2xd x = Tính I x2 Đặt u = x =⇒ d u = 2xd x d v = sin 2xd x =⇒ v = − cos 2x I = − cos 2x 2 Tính I 1 π π + I1 = π π − I1 + I2 2 19 π + I1 144 Đặt u = x =⇒ d u = d x d v = cos 2xd x =⇒ v = sin 2x x I = sin 2x π π Do I = − π π x sin 2xd x = si n2x π π + cos 2x π π =− 3π − 24 11 π + π+ 32 12 Câu Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác ABC vuông B , BC = a, AC = 2a Gọi M trung điểm AC N điểm BC cho 2B N = C N Góc tạo hai mặt phẳng (C M N ) (ABC ) α với cos α = 42 Tính thể tích khối chóp B B AM N khoảng cách hai đường thẳng B M C N theo a Lời giải 1: Tính thể tích S B AM N : + Ta có ∆MC B tam giác Gọi H trung điểm BC , a a a 2a ,MH = ,NH = ,MN = 2 a a a2 Tính được: S ABC = , SC M N = M H C N = , suy S B AM N = S ABC − SC M N = 2 + Kẻ C I ⊥ M N , theo định lý ba đường vng góc ta có M N ⊥ SI , ∆C C I vng nên góc hai mặt phẳng (C M N ) (ABC ) góc C IC = α a2 a Ta có C I M N = 2SC M N = , suy C I = CI 4a Ta có cos α = , suy C I = , từ theo pythago tính C C = a C I 14 a3 + Vậy VB AM N = C C S B AM N = 3 Tính khoảng cách B M với C N + Kẻ N P M B ta có B M (C N P ), d [B M ,C N ] = d [B M , (C N P )] = d [M , (C N P )] 3VM C N P + Ta có d [M , (C N P )] = SC N P a 2a a + Tính VM C N P = VC M N P = C C S M N P ta có M N = ,NP = ,MP = 3 3 a2 a3 dùng Heron tính S M N P = Suy VM C N P = 18 18 a a 10 + Gọi K trung điểm N P , suy C K = tính C K = 3 a 10 a Khi SC N P = C K N P = Từ ta có d [B M ,C N ] = 3 10 ta có AB = a 3,C N = Lời giải 2: a a SC M N a2 a2 , S ABC = = =⇒ SC M N = , S AB M N = S ABC a2 a 21 vẽ C H ⊥ M N =⇒ C H ⊥ M N =⇒ C HC = α C H M N = =⇒ C H = •AB = a 3, M N = CH a3 4a 21 =⇒ CC = a VB B AM N = = =⇒ C H = C H • vẽ N E B M B M (C N E ) Vẽ C K vng góc N E K trung điểm N E a Tam giácC N E C K = lại gọi I hình chiếu vng góc C (C N E ) 10 a 30 C I a 30 Vậy d B M ,C N = = ta có: = + = =⇒ C I = CI 3a 3a 3a 10 20 cos α = Câu Cho số thực dương a, b, c thỏa điều kiện biểu thức: P= 4a 2c b c 1+ + 1+ = Tìm giá trị nhỏ b b a a ac bc ab +2 + a (b + 2c) b (c + a) c (2a + b) Lời giải : Đặt x = 2a, y = b, z = 4c Khi đó, x, y, z số dương thỏa mãn: z(x + y ) 2(x + y ) z(x + y) 2x xz 2y y z + 2+ + = ⇐⇒ = + ≥ +4 y y x x x2 y xy xy z(x + y) ⇐⇒ < ≤ 6−4 = xy Mặt khác, theo BĐT C auch y − Schw ar z ta có P= yz xz 4x y + + 2x y + xz y z + 2x y xz + y z ≥ 4x y z (x + y)2 + 2x y z(x + y + z) z(x + y) ≥ 4x y 3z (x + y)2 + 2(x y + y z + zx) z(x + y) = z(x+y) xy 1+ Nếu ta tiếp tục đặt t = z(x+y) xy , z(x+y) xy + 4x y z(x + y) toán dẫn đến khảo sát hàm số: f (t ) = 3t + , 0 ⇐⇒ 2a = b = 4c > II PHẦN RIÊNG A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Ox y cho hình bình hành ABC D với A(−3; 6) Biết tam giác ABC có AB · AC = 60 nội tiếp đường trịn có tâm I (1; 3) bán kính R = Hình chiếu điểm A xuống cạnh BC thuộc đường thẳng d : x + 2y − = Hãy tìm tọa độ đỉnh B,C , D biết hoành độ hình chiếu A lớn hớn hồnh độ điểm B bé hoành độ điểm C Lời giải : 1 AB.AC sin A AB.AC AB.AC sin A = BC AH =⇒ AH = = = 2 BC 2R Do H ∈ d nên H (3 − 2h; h), với h < 36 Ta có AH = ⇐⇒ (6 − 2h)2 + (h − 6)2 = 72 ⇐⇒ h = h = (loại) Do H (3; 0) Suy phương trình đường thẳng BC x − y − = Mà phương trình đường trịn (ABC ) (x − 1)2 + y − = 25 Do tọa độ điểm B C nghiệm hệ phương trình S ABC = x − y −3 = (x − 1) + y − = 25 ⇐⇒ x; y = (1; −2) x; y = (6; 3) Vì x B < xC nên B (1; −2) C (6; 3) −→ −−→ Ta có ABCD hình bình hành =⇒ AB = DC =⇒ (4; −8) = − x D ; − y D =⇒ D (2; 11) Câu 8.a Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Ox y z cho hình thang ABC D có hai đáy AB C D Biết A(1; 2; 3), B (1; 1; 2) C (3; 0; 1) Tìm tọa độ điểm D biết D thuộc mặt phẳng (P ) : x + y + 2z + = Lời giải : −→ −−→ Giả sử D(x; y; z) Ta có: AC = (2; −2; −2) B D = (x − 1; y − 1; z − 2) −→ −−→ Do ABCD hình thang nên AC = k B D hay Mà D ∈ (P ) nên: x + y + 2z + = (2) x + y − = Từ (1) (2) ta có hệ: x + z − = x + y + 2z + = Vậy D −5 −3 ; ; 2 x −1 y −1 z −2 = = ⇐⇒ −2 −2 x + y −2 = x +z −3 = (1) x= −5 ⇐⇒ y = z = −3 Câu a Tìm hệ số x khai triển P (x) = + n4 x − 3n x 2 n−2 nguyên dương thỏa mãn điều kiện A n + 3C n −C n+1 = A n+1 − 2n n−4 với x > Biết n số Lời giải : 6 = A 2n+1 −2n ⇐⇒ n(n−1)+ n(n−1)− n(n−1)(n+1) = n(n+1)−2n ⇐⇒ n = Ta có: A 2n +3C nn−2 −C n+1 (do n ≥ n ∈ N ) Khi P (x) = + x − 3 x ⇐⇒ P (x) = 4−k C k (−3)4−k x (1 + 2x )k k=0 Hệ số số hạng x ứng với ∧ i = 0) ⇐⇒ P (x) = 4−k C k (−3)4−k x ( k=0 k i i 2i i =0 C k x ) 4−k i + = (i , k ∈ N , i ≤ k ≤ ⇐⇒ 2k − 3i = ⇐⇒ (k = ∧ i = 2) ∨ (k = Suy hệ số x khai triển là: C 44 (−3)0 C 42 22 +C 42 (−3)2 C 20 20 = 78 B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Ox y cho đường tròn (C ) : (x − 2)2 + (y + 3)2 = hai điểm A(2; −1), B (2; −5) Một đường kính M N thay đổi cho đường thẳng AM , AN cắt tiếp tuyến B P Q Tìm tọa độ trực tâm H tam giác M PQ biết điểm H nằm đường thẳng d : x + y + = Lời giải : Từ giả thiết ta thấy hai điểm A, B thuộc (C ) AB đường kính hình trịn Gọi H hình chiếu H lên PQ K hình chiếu P lên MQ Xét tam giác P HQ có hai đường cao H H QK nên M trực tâm tam giác P HQ Mặt khác: Do M N đường kính nên P A vng góc với AQ Từ suy A ∈ HQ 2 Xét tam giác N H M có AI song song M N I trung điểm M N Nên AI = H M = AB −→ −−→ Suy B A = M H Do M ∈ (C ) nên H thuộc đường tròn (C ) ảnh (C ) qua phép tịnh tiến theo −→ −→ vector B A Công việc ta xác định (C ) B A = (0; −4); I (2; −7) ;R = R = (C ) : (x − 2)2 + (y + 7)2 = Từ suy tọa độ điểm H nghiệm hệ: x + y +3 = Vậy H (2; −5) H (4; −7) (x − 2)2 + (y + 7)2 = Câu 8.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Ox y z cho tam giác ABC có A(1; 0; 2), B (0; 1; −2) Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC nhận điểm H − 71 , 47 , 10 làm trực tâm Lời giải : −−→ −→ AH = − 47 (2; −1; 1) , AB = (−1; 1; −4) −−→ Mặt phẳng (P ) qua B nhận véc tơ pháp tuyến AH có phương trình:2x − y + z + = x = + 2t y = −t z = 2+t −−→ 17 Gọi A giao (P )và AH : A − ; ; B A = − ; ; 6 6 x = −8m y = 1+m đường thẳng BC có phương trình tham số là: z = −2 + 17m −−→ C (−8m; + m; −2 + 17m) =⇒ C H = 8m − 71 ; −m − 37 ; −17m + 24 −112 73 120 −→ −−→ 14 AB C H = ⇐⇒ m = 59 =⇒ C ; ; 59 59 59 Đường thẳng AH có phương trình tham số : Câu b Trong họp chi đồn có 10 học sinh tham gia gồm học sinh trường A có bạn Đại học sinh trường B có bạn Học Hỏi có cách xếp 10 học sinh ghế dài có 10 chỗ ngồi cho hai học sinh trường B ngồi gần hai học sinh trường A đồng thời bạn Đại bạn Học không ngồi gần Lời giải : —————————————————-Hết—————————————————- ... ĐÀN TOÁN THPT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐH NĂM 2 014 Đề 01 - Ngày thi : 02 -11 -2 013 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 2x + m (Hm ),m tham số thực x −2 a Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số (H1... − x x ? ?1? ? ?1 = 9x − 14 x + 25 3x + + 2x − Lời giải 1: Điều kiện x ≥ P T ⇐⇒ − ⇐⇒ x x ? ?1? ? ?1 = x ? ?1? ? ?1 (x − 2) 3x + + 2x − = x (x − 2) 9x − 14 x + 25 (3x + 3)2 − 16 (2x − 1) 3x + + 2x − x ? ?1? ? ?1 = 3x... 6 = A 2n +1 −2n ⇐⇒ n(n? ?1) + n(n? ?1) − n(n? ?1) (n +1) = n(n +1) −2n ⇐⇒ n = Ta có: A 2n +3C nn−2 −C n +1 (do n ≥ n ∈ N ) Khi P (x) = + x − 3 x ⇐⇒ P (x) = 4−k C k (−3)4−k x (1 + 2x )k k=0 Hệ số số hạng x