Phan tich da thuc thanh nhan tu

Ch¼ng h¹n, ®Ó thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc ®¹i sè th× kh«ng thÓ thiÕu viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, hay viÖc gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc cao sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu häc sin[r]

(1)

PhÇn chung

1 Lí chọn ti

1.1 Cơ sở pháp chế

o tạo bồi dỡng học sinh giỏi công tác mũi nhọn ngành giáo dục & đào tạo Trong xu phát triển nay, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi nhu cầu cấp thiết xã hội, góp phần khơng nhỏ vào việc đào tạo, bồi dỡng nhân tài cho đất nớc Chính vậy, năm gần đây, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi đợc ngành giáo dục trọng

1.2 C¬ së lý luËn

Tốn học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thông Là môn học khó, địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chơng trình, nội dung SGK, nắm vững ph-ơng pháp dạy học, để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu cơng việc mà thân giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn thờng xun phải làm

Trong cơng tác giảng dạy mơn Tốn, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh có khiếu mơn Tốn Giúp cho em trở thành học sinh giỏi thực mơn tốn công tác mũi nhọn công tác chuyên môn đợc ngành giáo dục trọng Các thi học sinh giỏi cấp đợc tổ chức thờng xuyên năm lần thể rõ điều

Chơng trình Tốn bậc THCS có nhiều chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi, chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” chuyên đề giữ vai trò quan trọng, giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số khơng thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phơng trình bậc cao gặp nhiều khó khăn học sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, nhiều năm có tốn chun đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vậy, việc bồi dỡng cho học sinh chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề mà thân quan tâm 1.3 Cơ sở thực tiễn

Năm học này, thân đợc Nhà trờng Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải tốn máy tính Casio Đây hội để đa đề tài áp dụng vào công tác đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi

Với tất lý nêu trên, định chọn đề tài

2 Nhiệm vụ đề tài

- Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử

- Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phơng pháp giải tập thích hợp cho

- Thực nghiệm việc sử dụng phơng pháp giải tập phân tích đa thức thành nhân tử giảng dạy

- Đề xuất số học kinh nghiệm trình nghiên cứu

3 Giới hạn đề tài

Đề tài đem áp dụng hai trờng: Trờng THCS Nguyễn Thái Học Trờng THCS Dân tộc Nội trú dành cho đối tợng học sinh gii b mụn Toỏn lp

4 Đối tợng nghiªn cøu

Häc sinh giái líp cđa Trêng THCS Dân tộc nội trú Trờng THCS Nguyễn Thái Học

5 Phơng pháp nghiên cứu

thc đề tài này, sử dụng phơng pháp sau đây: a) Phơng pháp nghiên cứu lý luận

b) Phơng pháp khảo sát thực tiễn c) Phơng pháp quan sát

d) Phơng pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa e) Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Thêi gian nghiªn cøu

Từ ngày / / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007

7 Tài liệu tham khảo

thc đề tài này, sử dụng số tài liệu sau: - Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán - Chuyên đề bồi dỡng Đại số (Nguyễn Đức Tấn)

- “23 chuyên đề giải 1001 tốn sơ cấp” Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH)

Nội dung đề tài

(2)

1.1 C¬ së lÝ luËn

1.1.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa 1

+ Nu mt a thc đợc viết dới dạng tích hai hay nhiều đa thức ta nói đa thức cho đợc phân tích thành nhân tử

+ Víi bÊt k× đa thức ( khác ) ta biểu diễn thành tích nhân tử khác với đa thức khác Thật vậy:

anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c(

c an

xn +

c an1

xn – 1 + … +

c a0

) ( với c

b) Định nghÜa 2

Giả sử P(x)



 

x

1.1.2 Các định lý phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý 1

Mỗi đa thức f(x) trờng P phân tích đợc thành tích đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân tử nhõn t bc 0.

b) Định lý 2

Trên trờng số thực R, đa thức bất khả quy bậc bậc hai với biệt thức  < Vậy đa thức R có bậc lớn phân tích đợc thành tích đa thức bậc bậc hai với < 0”

c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )

Giả sö f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an

tại số nguyên tố p cho p ớc an nhng p ớc hệ số lại

p2 ớc số hạng tự a

0 Thế đa thức f(x) bất khả quy Q

1.2 Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nh©n tư

Qua định lý trên, ta chứng tỏ đa thức phân tích đợc thành tích đa thức trờng số thực R Song mặt lí thuyết , cịn thực hành khó khăn nhiều , địi hỏi “kĩ thuật” , thói quen kĩ “ sơ cấp” Dới qua ví dụ ta xem xét số phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử

1.2.1 Phơng pháp đặt nhân tử chung

Phơng pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngợc)

Bµi : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Gi¶i: Ta cã : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

=2x2(2ax + by)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Gi¶i: Ta cã: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))

= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)

= (5y + 2b)(x 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tö

B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2

Giải: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y – 2z Do : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2

= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bµi : phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)

= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x – 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Gi¶i: Ta cã: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)

= 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2))

= 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

(3)

A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

Gi¶i: Ta cã : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

= (y – 2z)(16x2 – 10y)

Bµi : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + 3x2 + 2x + 6

Gi¶i: Ta cã : B = x3 + 3x2 + 2x + 6

= x2(x + 3) + 2( x + 3)

= (x2 + 2)(x + 3)

Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

Gi¶i: Ta cã : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)

= (2z + 1)(3z2 + 1)

1.2.2 Ph¬ng pháp nhóm hạng tử

Phng phỏp ny dụng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng Sau số ví d :

Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy2 xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

Gi¶i: Ta cã : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2)

= x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y)

= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)

= (y – z)((x(y + z) – yz – x2))

= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz)

= (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x) Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tư

A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

Gi¶i: Ta cã : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)

= (2x3 + 3)(2x2 + 3)

Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x6 + x4 + x2 + 1

Gi¶: Ta cã : B = x6 + x4 + x2 + 1

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)

= (x2 + 1)(x4 + 1)

Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2 + 2x + – y2

Gi¶i: Ta cã: B = x2 + 2x + – y2

= (x2 + 2x + 1) – y2

= (x + 1)2 – y2

=(x +1 – y)(x + + y ) Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

Gi¶i: Ta cã : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)

= (x + y)2 – z(x + y)

= (x + y)(x + y z)

Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz

Gi¶i: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)

Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tö A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

Gi¶i: Ta cã : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1

= xm + 3(x + 1) – ( x + 1)

= (x + 1)(xm + 3 1)

Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y z) + y2(z - x) + z2(x – y)

Giải: Khai triển hai số hạng cuối nhóm số hạng làm xuất thừa số chung y - z Ta cã : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2

= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2)

(4)

= (y – z)((x2 + yz – x(y + z))

= (y – z)(x2 + yz – xy – xz)

= (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z)

NhËn xÐt : dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y)

nªn : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)

=(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)

= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))

= (y – z) (x – y)(x z)

Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

Gi¶i: Ta cã : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)

= ( a + b)(bc + ca + ab + c2)

= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a)

Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc

Gi¶i: Ta cã : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc

= (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc)

= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca)

Bµi 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

Gi¶i: Ta cã : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)

= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)

= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)

= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b c)(a c)

P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)

Gi¶i: Ta cã : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)

= 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z)

= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z)

= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3))

= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2))

= (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)

= (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z))

= (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)

= (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z))

= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) 1.2.3 Phơng pháp dùng đẳng thức đáng nhớ

Phơng pháp dùng đẳng thức để đa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác

Các đẳng thức thờng dùng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 - 2AB + B2 = (A - B)2

A2 - B2 = (A + B) (A - B)

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)

A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)

Sau số tập cụ thể:

Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tö A = x4 + x2y2 + y4

Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2y2 + y4

= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2

= (x2 + y2)2 - x2y2

= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)

(5)

Gi¶i: Ta cã : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4

= (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )

= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 b2 + 1)

Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2

Gi¶i: Ta cã : M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2

= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2

= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2

= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2

= (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1)

= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)

Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2

Gi¶i: Ta cã: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2

= (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2

= (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2

= (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz)

= (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )

= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y z) Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = (x + y)3 +(x - y)3

Giải: Dựa vào đặc điểm vế trái áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải nh sau : Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)

= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)

= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))

= 2x(x2 + 3y2)

C¸ch 2: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2

= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))

= 2x(x2 + 3y2)

Bµi 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 16x2 + 40x + 25

Gi¶i: Ta cã: A = 16x2 + 40x + 25

= (4x)2 + 2.4.5.x + 52

= (4x + 5)2

Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3

Gi¶i: DƠ thÊy : x – y =(x – z) + (z – y)

Từ ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))

= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)

= 3(z – x)(y – z)(x – y)

Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3)

Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)

= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)

= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)

= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = x8 – 28

Gi¶i: Ta cã : P = x8 – 28

= (x4 + 24) (x4 - 24)

= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 )

= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22)

= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)

(6)

Gi¶i: Ta cã: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)

= (x – 1)( x2 + x + + 5x + + 3)

= (x – 1)( x2 + 6x + 9)

= (x 1)(x + 3)2

1.2.4 Phơng pháp thùc hiÖn phÐp chia:

Nếu a nghiệm đa thức f(x) có phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau ú li phõn tớch tip g(x)

Sau số ví dụ cụ thể:

Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8

Gi¶i:

DƠ thÊy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + = 0

Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc:

f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)

DÔ thÊy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cã g(-2) = 0

Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)

Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + Ta cã: h(-2) =

Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)

VËy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)

= (x + 2)3(x2 + 1)

Khi thực phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta sử dụng sơ đồ Hoocne để thực phép chia đợc nhanh

VÝ dô chia f(x) cho (x + 2) nh sau :

1 13 14 12

-2 4

VËy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)

Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cho (x + 2) nh sau :

1 4

-2 2

VËy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)

Chia x3 + 2x2 + 2x + cho (x + 2) nh sau :

1 2

-2 1

VËy x3 + 2x2 + 2x + = (x + 2)(x2 + 1)

VËy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)

Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36

Giải: Tìm nghiệm nguyên đa thøc (nÕu cã) c¸c íc cđa 36 : 1; 2; 3; 4;

6 ; 9; 12; 18; 36 Ta thÊy : x = -2

P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = Ta cã: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36

= x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)

= (x + 2)(x3 – 4x2 3x + 18)

Lại phân tích Q = x3 4x2 3x + 18 thành nhân tö

Ta thÊy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0

Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)

= (x + 2)(x – 3)2

VËy: P = (x + 2)2(x – 3)2

1.2.5 Phơng pháp đặt ẩn phụ

Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta đa đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử Sau số toán dùng phơng pháp đặt ẩn phụ

Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tö A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12

Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức cho trở thành :

(7)

= y2 – 2y + 6y – 12

= y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta đợc :

A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)

Bµi 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Gi¶i: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức cho trở thành :

A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12

= y2 – 3y + 4y – 12

= y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta đợc :

A = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4)

= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)

Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x12 3x6 + 1

Gi¶i: B = x12 – 3x6 + 1

Đặt y = x6 (y 0)

a thức cho trở thành : B = y2 – 3y + 1

= y2 – 2y + – y

= (y – 1)2 – y

= (y – - y )(y + + y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) đợc :

B = (x6 – - x6)(y 1 x6)  

= (x6 – – x3)(x6 + + x3)

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư A = x3 - 3 2 x2 + 3x + 2 - 2

Giải: Đặt : y = x - 2 , ta cã x = y + 2

A = (y + )3 - 3 2(y + 2)2 + 3(y + 2) + 2 -

= y3 + 3y2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2 (y2 + 2 2y + 2) + 3(y + 2) + 2 -

= y3 - 3y – 2

= y3 - y – 2y – 2

= y(y2 – 1) – 2(y + 1)

= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(y(y – 1) – 2) = (y + 1)(y2 – y – 2)

= (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*)

Thay : y = x - 2 vào (*), đợc : A = (x - 2 + 1)2(x - 2 - 2)

Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Gi¶i: Ta cã:

M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15

Đặt : y = (x2 + 8x + 7) Đa thức cho trở thành :

M = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15

= y2 + 3y + 5y + 15

= y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5)

Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta đợc :

M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)

= (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)

= (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))

(8)

NhËn xÐt: Từ lời giải toán ta giải toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử :

A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành :

A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)

Bằng cách biến đổi tơng tự nh 36, ta đa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đợc đa thức A thành tích cỏc nhõn t

Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1

Gi¶i: Gi¶ sư x 0, ta viết đa thức dới dạng : A = x2((x2 +

2

x

) + 6( x -

x

1

) + ) Đặt y = x -

x

1

th× x2 +

2

x

= y2 + 2

Do : A = x2(y2 + + 6y + 7)

= x2( y + 3)2

= (xy + 3x)

Thay y = x -

x

1

, ta đợc A =

2

3 )

( 

  

 



 x

x x x

= (x2 + 3x – 1)2

Dạng phân tích với x = Nhn xột :

Từ lời giải tập này, ta giải tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

A = a0x2n + a1xn – +…….+ an – 1xn – +anxn + an – 1xn – + … + a1x + a0

B»ng cách đa xn làm nhân tử A, hay :

A = xn(a

0xn + a1xn – + …….+ an – 1x + an +

x an1

+… +

1



n

x a

+

n

x a0

Sau đặt y = x +

x

1

ta phân tích đợc A thành nhân tử cách dễ dàng nh bi trờn

Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12

Gi¶i: Ta cã: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12

= (x + y)2 – (x + y) – 12

- Đặt X = x + y, đa thức trở thành : A = X2 X – 12

= X2 - 16 – X + 4

= (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1)

- Thay X = x + y vào (1) ta đợc : A = (x + y – 4)( x + y + 3)

A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2

Gi¶i: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2

Đặt : x2 + y2 + z2 = a

xy + yz + zx = b

 ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b

Đa thức A trở thành : A = a(a + 2b) + b2

= a2 + 2ab + b2

= (a + b)2 (*)

Thay : a = x2 + y2 + z2

b = xy + yz + zx vào (*) ta đợc : A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2

(9)

Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta cã : A + B + C = Nªn

A + B = - C LËp ph¬ng hai vÕ :

(A + B)3 = - C3



Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta đợc :

(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)

1.2.6 Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng)

Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ phơng pháp thêm, bớt hạng tử đa thức để làm xuất đa thức đa hng ng thc ỏng nh

Sau số ví dụ :

Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 6x + 5

Giải: Ta giải toán số cách nh sau: Cách 1: A = x2 – 6x + 5

= x2 – x – 5x + 5

= x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + 5

= (x2 - 2x + 1) – 4x + 4

= (x – 1)2 – 4(x – 1)

= (x – 1)(x – - 4) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + 5

= (x2 – 6x + 9) – 4

= (x – 3)2 – 4

= (x – – 2) (x – + 2) = (x – 1)(x – 5)

C¸ch : A = x2 – 6x + 5

= (x2 – 1) – 6x + 6

= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + – 6)

= (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + 5

= (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2

= 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1)

= 3(x – 1)(3(x – 1) – ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5)

C¸ch : A = x2 – 6x + 5

= (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4

= (x – 1)2 – 4x(x – 1)

= (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5)

C¸ch : A = x2 – 6x + 5

= (6x2 – 6x) – 5x2 + 5

= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5)

C¸ch : A = x2 6x + 5

Đặt f(x) = x2 – 6x + 5

Dễ thấy tổng hệ số f(x) hay f(x) = nên f(x) chia hết cho (x- 1) Thực phép chia f(x) cho (x –1) đợc thơng (x – 5) Vậy

A = (x – 1)(x – 5)

Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c

Bớc : lÊy tÝch a.c = t

Bíc : ph©n tích t thành hai nhân tử ( xét tất trờng hợp) t = pi.qi

Bơc : tìm cặp nhân tử pi, qi cặp pa, qa cho : pa + qa = b

Bíc : viÕt ax2 + bx + c = ax2 + p

ax + qax + c

Bớc : từ nhóm số hạng đa nhân tủ chung dấu ngoặc Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

(10)

Giải:

Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3

= x4 – x2+ 3x2 – 3

= x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)

= (x2 – 1) (x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

C¸ch 2: B = x4 + 2x2 - 3

= x4 + 3x2 – x2– 3

= x2(x2 + 3) - (x2 + 3)

= (x2 + 3)(x2 – 1)

= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)

C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3

= (x4 ) + 2x2 – – 2

= (x4 – 1) + 2x2– 2

= (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1)

= (x2 – 1)(x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3

= (x4 + 2x2 + 1) - 4

= (x2 + 1)2 – 4

= (x2 + 1)2 – 22

= (x2 + – 2)(x2 + + 2)

= (x2 – 1) (x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3

= (x4 – 9) + 2x2 + 6

= (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3)

= (x2 + 3)( x2 - + 2)

= (x2 + 3)(x2 – 1)

= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)

C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3

= (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2

= 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1)

= 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1)

= (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2)

= (x2 – 1) (x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + 1

Giải:

Cách : A = x4 + x2 + 1

= (x4 + 2x2 + 1) - x2

= (x2 + 1)2 - x2

= (x2 + - x)(x2 + + x)

C¸ch : A = x4 + x2 + 1

= (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)

= (x2 + - x)(x2 + + x)

C¸ch : A = x4 + x2 + 1

= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1)

= x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)

= (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)

Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tư F = 5x2 + 6xy + y2

Gi¶i:

C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2

= (5x2 + 5xy) + (xy + y2)

= 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2

= (6x2 + 6xy) – (x2 - y2)

= 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y)

= (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2

= (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 )

(11)

= (x + y)(4x + x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2

= (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 )

= 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 )

= (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y) = (x + y)(5x + y)

C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2

= (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2)

= 5(x + y)2 – 4y(x + y)

= (x + y)(5(x + y) – 4y)) = (x + y)(5x + y)

C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2

= (5x2 - 5y2) + (6xy + y2)

= 5(x2 – y2) + 6y(x + y)

= 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y) = (x + y)(5x – 5y + 6y) = (x + y)(5x + y)

C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2

= (9x2 + 6xy + y2) – 4x2

=(3x + y)2 – 4x2

= (3x + y – 2x)(3x + y + 2x) = (x + y)(5x + y)

Bµi 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 + x2y2 + y4

Gi¶i:

Ta cã : P = x4 + x2y2 + y4

= (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2

= (x2 + y2)2 – (xy)2

= (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy)

Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2

Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2

= x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x

= (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1)

= (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1))

= (x2 – x + 1)(2x2 + 2)

Bµi 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x4 + 81

Gi¶i: Ta cã : P = 4x4 + 81

= 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2

= (2x2 + 9)2 – (6x)2

=(2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x)

Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3 7x2 + 17x - 5

Gi¶i: Ta cã : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5

= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5

= x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)

= (3x – 1)(x2 – 2x + 5)

Gi¶i: Ta cã : A = x3 – x2 – x - 2

= x3 – – (x2 + x + 1)

= (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x – – 1)

= (x2 + x + 1)(x – 2)

Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + x2 – x + 2

Gi¶i: Ta cã : B = x3 + x2 – x + 2

= (x3 + 1) + (x2 - x + 1)

= (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)

= (x2 - x + 1)(x + 1+ 1)

= (x2 - x + 1)(x + 2)

(12)

Gi¶i: Ta cã : C = x3 – 6x2 – x + 30

= x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30

= x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)

= (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1)

= (x + 2)((x – 4)2 – 1))

= (x + 2)(x – – 1)(x – + 1) = (x + 2)(x – 5)(x – 3)

1.2.7 Phơng pháp hệ số bất định

Phơng pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính đợc hệ số biểu diễn đòi hỏi cách gii mt h phng trỡnh s cp

Sau lµ mét sè vÝ dơ :

Bµi 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng :

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :





























3

14

12

16

bd

bc

ad

d

b

ac

c

a

XÐt bd = víi b, d Z , b































14

3

8

6

c

a

ac

c

a

Suy 2c = - 14 + = - 8, Do c = - , a = -2 Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

= (x2 – 2x + 3)(x2 4x + 1)

Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng : A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )

= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg

= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg

= 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

Đồng hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :

                   10 37 11 22 cg ce bg be cd ag bd ae ad                   g e d c b a

VËy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

= ( 3x + y + )( x + 7y + ) Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = x4 – 8x + 63

Gi¶i: Ta cã thĨ biĨu diƠn B díi d¹ng : B = x4 – 8x + 63

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

(13)

Đồng hai đa thức ta đợc hệ điều kiện:



























63

8

0

bd

bc

ad

d

b

ac

c

a



















9

4

7

4

d

c

b

a

VËy : B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)

1.2.8 Phơng pháp xét giá trị riêng

õy l mt phng phỏp khú, nhng áp dụng cách “linh hoạt” phân tích đa thức thành nhân tử nhanh Trong phơng pháp ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác nh tha s cũn li

Sau số ví dụ :

Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y z) + y2(z – x) + z2(x – y)

Gi¶i: Thư thay x bëi y th× P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0

Nh vËy P chøa thõa sè x – y

Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi ( ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh x



k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta thấy k phải số, P có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z

Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với

mọi x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = (*), ta đợc:

4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)

= (x – y)(y – z)(x – z)

Chú ý: (*) giá trị x, y, z chọn tuỳ ý cần chúng đôi khác để (x – y)(y – z)(z – x)



P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y z)

Giải: Thay x = y P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = 0

Nh vËy P chøa thõa sè x – y

Ta thấy đa thức P hốn vị vịng quanh x



k(x – y)(y – z)(z – x)

Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z, nên phép chia A cho (x – y)(y – z)(z – x) thơng số k, nghĩa :

P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k số Cho : x = 1; y = -1; z = ta đợc :

12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k 2.(-1).(-1)

-2 = 2k k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)

= (x – y)(y – z)(x – z)

Bµi 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) Gi¶i:

Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, A khơng thay đổi Thay a=b vào A ta có: A = + bc(b – c) + cb(c – b) =

Do A (a – b)

Suy A (b – c) A (c – a) Từ : A (a – b)(b – c)(c – a)

Mặt khác A đa thức bậc ba a, b, c, nên phép chia A cho (a – b)(b – c)(c – a) thơng số k, nghĩa :

A = k(a – b)(b – c)(c – a)

Cho a = 1; b = 0; c = ta đợc = -2k hay k = - A = -1(a – b)(b – c)(c – a)

= (a – b)(b – c)(a – c)

(14)

P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3)

Gi¶i:

Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh x, y, z P khơng thay đổi Thay z = y vào P ta có: P = + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = 0

Do : P  (y – z)

Suy P  (z – x) P  (x – y) Từ : P  (y – z)(z – x)(z – x)

Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z nên phép chia P cho (y – z)(z – x)(z – x)đợc thơng số k, nghĩa :

P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta đợc :

2.13 + 1.(-2)3 + = k.1.(-2)

- = - 2k k =

VËy P = 3(y – z)(z – x)(z – x)

Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z x)

M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)

Giải: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, M khơng thay đổi. Thay a = vào M ta có :

M = + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = 0

Do M  a

Suy M  b M  c Từ : M  abc

Mặt khác M đa thức bậc ba a, b, c nên phép chia M cho abc th ơng số k, nghĩa :

M = k.abc

Cho a = b = c = 1, ta đợc :

1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1

k = VËy M = 4.abc

Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc

2 KÕt qu¶

Tôi ứng dụng nội dung nêu vào việc bồi dỡng học sinh giỏi mơn Giải tốn máy tính Trờng THCS Nguyễn Thái Học Trờng THCS Dân tộc Nội trú Kết mà thu đợc nh sau:

- CÊp HuyÖn: Cã 11 häc sinh tham dù KÕt qu¶: gi¶i nhÊt, gi¶i nhì, giải ba, giải khuyến khích

- CÊp TØnh: Cã häc sinh tham dù KÕt qu¶: giải nhất, giải nhì, giải ba, gi¶i khuyÕn khÝch

- CÊp Quèc gia: Cã häc sinh tham dù KÕt qu¶: gi¶i khuyÕn khÝch

3 Bài học kinh nghiệm giải pháp thực hiƯn

Trong q trình thực đề tài thân ngời trực tiếp thực việc bồi dỡng học sinh giỏi Tôi rút số học kinh nghiệm giải pháp thực nh sau:

- Để thực tốt công tác bồi dỡng học sinh giỏi, trớc hết giáo viên cần phải có trình độ chun mơn vững vàng, nắm vững thuật tốn, giải đợc tốn khó cách thành thạo Cần phải có phơng pháp giảng dạy phù hợp kích thích đợc tị mị, động, sáng tạo, tích cực học sinh

- Tốn học mơn khó, vấn đề tốn rộng Chính vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ơn tập bao gồm tất chuyên đề Với chuyên đề cần phải chọn lọc tốn điển hình, để học sinh từ phát huy khả mình, vận dụng cách sáng tạo vào giải toán khác thể loại

- Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi cần thờng xuyên bám sát đối tợng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả q trình ơn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vợt qua khó khăn bớc đầu học tập chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi mà giáo viên đa

(15)

Tuy nhiên, cần tránh cho học sinh tự ti, liên tục khơng giải đợc tốn khó gây cho em nản chí, niềm tin vào khả

4 KÕt luËn

Bồi dỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS trình lâu dài, bền bỉ Bởi em có q trình năm học tốn Để có đợc học sinh giỏi, cần phải tập trung bồi dỡng cho em từ năm học lớp Với năm liên tục, với nỗ lực thầy lẫn trò, chắn có đợc học sinh giỏi thực mơn Tốn

Do lực hạn chế, năm học năm học thứ hai thân tham gia việc bồi dỡng học sinh giỏi, nên đề tài tránh đợc thiếu sót, thân tơi mong có đóng góp, bổ xung bạn đồng nghiệp, nhà quản lý giáo dục để đề tài tơi hồn thiện

Trên đây, đề tài đề cập đến vấn đề nhỏ trình bồi dỡng học sinh giỏi – Tuy nhiên, theo mạch kiến thức trọng tâm chơng trình tốn

Cuối tơi xin chân thành cảm ơn tới BGH, đồng nghiệp Trờng THCS Nguyễn Thái Học Trờng THCS Dân tộc Nội trú có ý kiến đóng góp, đạo thực giúp tơi hồn thành đề tài

5 Kiến nghị đề xuất

- Tăng thêm thời gian bồi dỡng cho học sinh giỏi mơn Tốn thời gian tuần buổi khơng đủ thời gian để thực công tác bồi dỡng

- Nếu chọn lọc từ đầu vào nên chọn hai lớp: Chuyên môn tự nhiên lớp chuyên môn xÃ héi