Qua ví dụ trên ta thấy có nhiều cách để giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. Mọi phương pháp đều chung một mục đích đó là tìm cách loại bỏ căn thức và đưa phương trình đã cho v[r]
(1)Đây loại phương trình, bất phương trình mà thường hay gặp kì thi Các dạng tốn cách giải loại phương trình, bất phương trình phong phú đa dạng Nhưng tất chung mục đích tìm cách loại bỏ thức chuyển phương trình, bất phương trình cho phương trình, bất phương trình có bậc khơng lớn Ta xét ví dụ sau
Ví dụ mở dầu : Giải phương trình:
Lời giải: Đk:
Để giải phương trình rõ ràng ta phải tìm cách loại bỏ thức Có cách để loại bỏ thức ? Điều nghĩ tới lũy thừa hai vế Vì hai vế phương trình cho ln khơng âm nên bình phương hai vế ta thu phương trình tương đương
(I)
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình:
Qua lời giải ta thấy biểu diến qua nhờ vào
đẳng thức Cụ thể ta đặt
thì phương trình cho trở thành phương trình bậc hai với ẩn t:
Vậy ta có:
(2)các biểu thức tham gia phương trình:
(**) mà từ phương trình ta rút thức qua thức lại:
Do đặt thay vào (**)
biến đổi ta thu phương trình: hay \
[x = 0,x = 1\] nghiệm phương trình
Phương trình cho chứa tổng tích hai thức, đồng thời hai thức thỏa mãn (**) ta đặt , a b ràng buộc hai điều kiện (PT) phương trình ban đâu đẳng thức (**) Tức ta có hệ phương trình: hệ đối xứng loại I, giải hệ ta nghiệm phương trình Bản chất cách giải cách đặt ẩn phụ
mà ta giải
Tiếp tục nhận xét đẳng thức (**) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức mà ta biết ? Chắc hẳn bạn dễ dàng trả lời đẳng thức lượng giác:
Điều dẫn đến cách giải sau:
Đặt (Điều hồn tồn hợp lí ) Khi phương
trình cho trở thành:
Tiếp tục phân tích ta thấy từ (I) ta có VT phương trình ln nhỏ VP phương
trình ( Vì ) dó ta nghĩ đến cách đánh giá (Khi đánh
giá ta lưu ý đẳng thức có ) Ta có cách đánh sau:
( Do )
Đẳng thức có
Qua ví dụ ta thấy có nhiều cách để giải phương trình bất phương trình vơ tỉ Mọi phương pháp chung mục đích tìm cách loại bỏ thức đưa phương trình cho phương trình mà ta biết cách giải Sau vào phương pháp cụ thể
(3)1) Định nghĩa: Cho số thực
Từ định nghĩa cần lưu ý: tồn 2) Tính chất: Phép tốn để giải thức
i) Với , ta ln có: ii) Với số thực , ta ln có:
Vì cần nắm tốt tính chất trên? Vì làm việc với đối tượng trước hết ta phải xét xem đối tượng có tồn hay khơng cách giải nào?
Từ hai tính chất cho hai cách để giải thức tạo bình phương bình phương ngồi Tóm lại phép tốn để giải thức phép bình phương (với bậc n phép giải thoát phép lũy thừa n).Vậy bạn phải nắm phép biến đổi lũy thừa
) Nếu dấu
ii) Nếu ta có
Xin tiếp tục ví dụ sau trích đề thi ĐH khối A-2003
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
Dĩ nhiên với tốn nayd trước hết ta phải đặt điều kiện cho thức tôn Không khó khăn ta có điều kiện
Khi quy đồng mẫu số (các bạn nghĩ xem ta quy đồng được?) ta được: (2)
Đến để giải thức ta bình phương hai vế Tuy nhiên để bình phương hai vế ta cần có điều kiện hai vế khơng âm Dễ thấy VT(2) ln khơng âm, cịn VP(2)? nhận giá trị dương lẫn âm Vậy phải làm nào? Dĩ nhiên ta chia hai trường hợp
* ln
* hai vế (2) khơng âm nên bình phương hai vế, ta Vậy nghiệm BPT cho là:
Một điều cần lưu ý thêm khái niệm nghiệm PT? Có thể khái niệm mà nhiều HS lơ qua! Tơi thiết nghĩ làm việc cúng vậy, ta không hiểu rõ đối tượng nghiên cứu xây dựng thật khó để giải tốt vấn đề
Xin nhắc lại định nghĩa nghiệm PT Cho hàm số , xác định
(4)Mà theo định lí Bơzu nghiệm đa thức Từ ta có nhận xét:
Nếu nghiệm phương trình ta đưa phương trình
về dạng việc giải phương trình quy
về giải phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Trong phần ta xét loại PT chứa hai hàm ngược
Trước diễn trao đổi cách giải phương trình chứa hai hàm ngược
Trong viết muốn trao đổi với bạn cách tiếp cận khác qua bạn thấy lời giải tự nhiên phát triển thêm số khó
Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải:
Đặt
Vậy ta có hệ phương trình : Trừ hai phương trình hệ:
(Do ) Thay vào hệ ta có:
Bình luận: Bài tốn tốn đơn giản có lẽ nhiều bạn khơng khó khăn để giải tốn Tuy nhiên từ tốn ta tổng quát dnagj phương trình sau: * Dạng tổng quát toán trên: (I) Để giải phương trình ta đặt ta có hệ: Đây hệ đối xứng loại II với hai ẩn t y
* Từ dạng ta cho biểu thức cụ thể biến đổi ta có phương trình mà ta thường gọi chứa hai hàm ngược Do gặp phương trình chứa hai hàm ngược ta tìm cách biến đổi dạng Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải phương trình :
Giải: Điều kiện : PT
(5)*
(thỏa )
*
(thỏa đk )
Vậy phương trình cho có hai nghiệm:
Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải: ĐK:
PT
Đặt
Ta có hệ phương trình:
Do nên Từ (2) ta có: thay vào (1) ta được:
Vậy phương trình cho có nghiệm:
Chú ý : Ở (II) ta thay số b biểu thức ta giải phương trình cách làm tương tự
Ví dụ 4: Giải phương trình :
Giải: Điều kiện :
Phương trình
Đặt
Ta có : *
* Vậy phương trình có hai nghiệm: Ví dụ 5: Giải phương trình :
Giải: Ta thấy không nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho ta được:
(6)Đặt
Đặt , ta có hệ phương trình :
Thử lại ta thấy ba nghiệm thỏa phương trình Vậy phương trình cho có ba nghiệm:
Những ví dụ ta thay b (II) biểu thức chứa Vậy thay a biểu thức chứa ? ta cịn giải theo cách hay khơng? Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 6: Giải phương trình :
Giải: PT
Đặt , Ta có hệ phương trình :
*
phương trình vơ nghiệm
*
hệ vơ nghiệm
Vậy phương trình cho vơ nghiệm Tiếp theo phép liên hợp
Giải phương trình vơ tỉ phương pháp lượng liên hợp
Có nhiều phương cách giải PT Vô tỉ thân tơi thích PP lượng liên hợp tính tự nhiên Trong viết tơi giới thiệu với bạn số suy nghĩ phương pháp
Cho hàm số , xác định
Ta biết nghiệm phương trình
Mà theo định lí Bơzu nghiệm đa thức Từ ta có nhận xét:
Nếu nghiệm phương trình ta đưa phương trình
(7)về giải phương trình Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình: (HVKTQS 2000)
Giải: Điều kiện :
Ta thấy nghiệm phương trình ( ta nghĩ đến số phương) ta đưa phương trình dạng:
nên ta biến đổi phương trình sau:
, vấn đề cịn lại phải phân tích
ra thừa số (Chú ý ),
vì định lí Bơzu áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức dạng có mặt đa thức, tức ta đưa dạng
điều giúp ta liên tưởng đến đẳng thức : nên ta biến đổi :
Suy phương trình đến ta cần
giải phương trình:
Vậy phương trình cho có hai nghiệm
Nhận xét: 1) Qua ví dụ ta thấy để bỏ thức ta sử dụng đẳng thức:
hai biểu thức ta gọi hai biểu thức
liên hợp Nên phương pháp ta gọi phương pháp nhân lượng liên hợp 2) Với phương pháp điều quan trọng ta phải biết nghiệm phương trình, từ ta định hướng cách biến đổi để xuất nhân tử chung Để nhẩm nghiệm ta sử dụng máy tính bỏ túi 570MS 570ES
Ví dụ 2: Giải phương trình : (THTT)
Giải: Điều kiện :
(8)Nhận xét : * Ta có dạng tổng quát phương trình là:
(Điều kiện : )
* Bằng máy tính ta thấy phương trình vơ nghiệm ta nghĩ đến chứng minh phương trình vơ nghiệm Thay vào phương trình ta tìm cách chứng minh VT < VP
Ví dụ 3: Giải phương trình : (THTT) Giải: Điều kiện:
Ta thấy phương trình có nghiệm nên ta phân tích thừa số Ta có:
(Do biểu thức dấu () >0)
Vậy phương trình có nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Giải: Điều kiện:
Nhận thấy phương trình có nghiệm Phương trình
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có :
thử lại ta thấy hai nghiệm thỏa mãn phương trình
Vậy phương trình cho có ba nghiệm:
Nhận xét: Để giải phương trình ta phải kết hợp với phương trình ban đầu Ta ý phép biến đổi phép biến đổi hệ sau giải xong ta phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai
Trong ví dụ ta thấy phương trình có nghiệm hữu tỉ đo việc dự đoán nghiệm tương đối dễ Tuy nhiên nhiều trường hợp việc đốn nghiệm khơng dễ dàng, đặc biệt tất nghiệm phương trình nghiệm vơ tỉ! Trong trường hợp phải xử lí nào? Ta xét ví dụ sau:
(9)
Giải: Do nên
Bằng máy tính ta thấy phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ, mà có hai nghiệm
vơ tỉ Ta thấy hai vế phương trình
bằng nên ta phân tích thừa số Ta có:
(do nên đặt làm thừa số biểu thức dấu (.) dương )
là nghiệm phương trình cho
Chú ý : Mẫu chốt tốn ta có nhận xét, từ ta định hướng
tìm cách phân tích thừa số Tuy nhiên nhiều tốn việc tìm nhân tử chung khơng cịn đơn giản
Ví dụ 8: Giải phương trình:
Giải:
Với phương trình ta khơng gặp may mắn phương trình trên, cách sử dụng MTBT ta thấy phương trình có hai nghiệm vô tỉ, ta linh hoạt chút ta nghĩ đến thừa số chung tam thức bậc hai có hai nghiệm Vấn đề tam thức tam thức nào? Các bạn thử nghĩ xem biết hai nghiệm tam thức ta xác định tam thức hay khơng? Chắc trả lời có nhờ vào định lí đảo định lí Viet Áp dụng định lí Viet ta tính
( sử dụng MTBT) Vậy thừa số chúng mà ta cần phân tích tam thức nên ta biến đổi sau:
Phương trình
là nghiệm phương trình
Chú ý : 1) Để tạo thừa số cách biến đổi ta cịn làm cách khác sau:
(10)Vì vơ nghiệm, nên phương trình có hai nghiệm:
2) Nếu khơng có máy tính để xác định thừa số chung ta ?
Trước hết ta thêm lượng vào hai vế:
Ta chọn m,n cho: , từ ta có:
3) Ta thấy hai cách biến đổi làm xuất thừa số chung Tuy nhiên cách thứ thuận lợi cách thứ cách thứ sau đặt thừa số ta phải giải phương trình, cịn với cách thứ ta phải giải biểu thức dấu (.) phức tạp nhiều Hơn với cách biến đổi thứ hai dễ sáng tạo toán cách thứ
Ví dụ 9: Giải phương trình :
Giải: Điều kiện :
Ta thấy khơng nghiệm phương trình nên ta có:
Phương trình Bằng cách làm nêu phần
nhận xét ta tìm , ta thêm vào hai vế phương trình lượng :
Phương trình
(1) * Nếu
(11)
Ta có: (a) có hai nghiệm (b)
Vậy phương trình có bốn nghiệm:
Chú ý : Khi muốn thêm bớt cách nhân, chia biểu thức ta phải kiểm tra xem biểu thức có ln khác khơng hay khơng ?
Ví dụ 10: Giải phương trình:
Giải: Đk :
Đặt : (I)
Ta thấy phương trình có nghiệm Ta biến đổi sau:
(Vì hai pt: vô
nghiệm )
Kết hợp (I) (II) ta có hệ :
Thay vào phương trình ban đầu ta thấy nghiệm thỏa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm
Ví dụ 11 : Giải bất phương trình :
Giải: Điều kiện : Bất phương trình
(12)
Giải phương trình sau: 1)
2) 3) 4)
5)
s nhờ t và . D t ha , khi đâ và Bả m Đ ( ) K ) dó t (K ) T . . ó . t , t , t u c u t ó (2). * khi l * khi ố , xá l nh l t T u l t ng và o ) T . (I) t ho bằ t . và không l t . , t . V t : , T phươ ( y l và l nê , vấ ra ố (Chú ý khi t ), nê nh đế . và t ( ). ( nê ố t . o nê n u t ố (do nê l vô t ( s nê l không l và . , t . y không l Bằ , t : (1). u (1) l và . ( và vô t . n nghi 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) ) 8) 9) 10) 11) 12) 13)