UNG DUNG CUA TICH PHAN

Một số khái niệm và các kết quả cơ bản về ứng dụng của tích phân 1.[r]

Một số khái niệm kết ứng dụng tích phân 1 Diện tích hình phẳng xác định đường cong y = f(x)

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn đường y = f(x) ;

y =

x = a; x = b (a < b)

Công thức tổng quát: b ( ) a

S  f x dx (1)

Từ (1) suy công thức hay dùng sau a) Nếu f x( ) 0,  x [a,b], ta có b ( )

a

S f x dx

b) Nếu f x( ) 0,  x [a,b], ta có b ( ) a

S f x dx

c) Nếu f(x) tùy ý, đó…trong thí dụ sau, ta có b ( ) d ( ) b ( )

a c d

Sf x dx f x dxf x dx 2 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn y = f(x)

y = g(x)

x = a; x = b (a < b)

Công thức tổng quát: b ( ) ( ) a

S  f x  g x dx (1)

Từ (1) suy công thức hay dùng sau

a) Nếu f x( )g x( ), x [a,b], ta có b ( ) ( ) a

S  f x  g x dx

b) Nếu f x( )g x( ), x [a,b], ta có b ( ) ( ) a

S  g x  f x dx

c) Trong trường hợp chung, giả sử thí dụ sau, ta có

 ( ) ( )  ( ) ( )

c b

a c

S  f x  g x dx g x  f x dx

3 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong tự khép kín

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn hai đường cong y = f(x) y = g(x) tự khép kín Giả sử y = f(x) y = g(x) cắt hai điểm A, B có hồnh độ tương ứng a, b Khi

( ) ( ) b

a

S  f x  g x dx 4 Thể tích vật thể

- Tìm thể tích vật thể V sinh diện tích S quay quanh trục Ox, S cho y = f(x)

S: y =

x = a; x = b (a < b) Cơng thức tính b

a

V=f (x)dx

- Tìm thể tích vật thể V sinh diện tích S quay quanh trục Ox, S cho

y = f(x) S: y = g(x)

x = a; x = b 0g x( )f x( )

Cơng thức tính b 2

a

V=f (x)-g (x) dx

- Tìm thể tích vật thể V sinh diện tích S quay quanh trục Ox, S cho hai đường cong y = f(x) y = g(x) tự cắt Giả sử y = f(x) y = g(x) cắt hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ tương ứng a, b a b  Giả sử 0g x( )f x( )

[a,b]

x

  Khi đó

b 2 2

a

V=f (x)-g (x) dx

y = f(x) S: y = f(a)

x = y = f(b)

Giả sử y = f(x) x = f (y)-1

 ,

f(b) -1

f(a)

V= f (y) dy

5 Sơ lược bất đẳng thức tích phân

- Giả sử f(x) g(x) xác định liên tục [a,b] cho f x( )g x( ), x [a,b] Khi ta có b ( ) b ( )

a f x dx a g x dx

 

- Nói riêng, gọi M max f(x), x[a,b]; m = f(x), x[a,b], ta có

( ) b ( ) ( )

a

M b a f x dx m b a 