Ứng dụng của tích phân

Trần Só Tùng Tích phân Trang 131 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Vấn đề 1: DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG 1. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi 4 đường: (c):yf(x) y0(trụchoànhOx) xa xb(ab) = ì ï = ï í = ï ï =< ỵ được tính bởi công thức: b a Sf(x)dx= ò (1) 2. Phương pháp giải toán: * Ta cần phải tìm đầy đủ 4 đường như trên * và vì cần phải bỏ dấu giá trò tuyệt đối nên ta có 2 cách giải sau: ì í ỵ Cách 1. Phương pháp đồ thò: * Vẽ đồ thò (C) : y = f(x) với x Ỵ [a ; b] a/ Trường hợp 1: Nếu đồ thò (C) nằm hoàn toàn trên trục hoành Ox (hình a) thì: b a (1)Sf(x).dxÛ= ò b/ Trường hợp 2: Nếu đồ thò (C) nằm hoàn toàn dưới trục hoành Ox (hình b) thì: b a (1)Sf(x).dxÛ=- ò c/ Trường hợp 3: Nếu đồ thò (C) cắt trục hoành Ox tại một điểm có hoành độ x = x 0 (như hình c) thì: 0 x b aa (1)Sf(x).dxf(x).dxÛ=+- òò * Ghi chú: Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a ; b] thì ta dùng công thức sau: b a Sf(x)dx= ò y x (C): y = f(x) S a b 0 (Hình a) y x S a b 0 (Hình a) (C): y = f(x) a y S S a 0 b x S = S 1 + S 2 (Hình c) §Bài 1: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Tích phân Trần Só Tùng Trang 132 Cách 2. Phương pháp đại số: Ÿ Giải phương trình hoành độ giao điểm : f(x) = 0 (*) Ÿ Giải (*) để tìm nghiệm x trên đoạn [a ; b]. Ÿ Nếu (*) vô nghiệm trên khoảng (a ; b) thì ta xét dấu f(x) trên đoạn [a ; b] để bỏ dấu giá trò tuyệt đối hoặc ta sử dụng trực tiếp công thức sau: b a Sf(x)dx= ò Ÿ Nếu (*) có nghiệm x = x 0 và f(x) có bảng xét dấu như hình bên thì: 0 0 x b ax Sf(x)dxf(x)dx.=- òò Ghi chú: (1) Diện tích S luôn là một giá trò dương (không có giá trò S £ 0). (2) Với câu hỏi: “Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục hoành” thì ta phải tìm thêm hai đường x = a, x = b để làm cận tích phân, hai đường này chính là giao điểm của (C) và trục Ox, là 2 nghiệm của phương trình f(x) = 0 (theo phương pháp đại số). Với câu hỏi đơn giản hơn như: “Tính diện tích giới hạn bởi đường (C) : y = f(x) thì ta phải hiểu đó là sự giới hạn bởi (C) và trục hoành. (3) Một số hàm có tính đối xứng như: parabol, đường tròn, elip, hàm giá trò tuyệt đối, một số hàm căn thức; lợi dụng tính đối xứng ta tính một phần S rồi đem nhân hai, nhân ba, . (cũng có thể sử dụng tổng hoặc hiệu diện tích). (4) Phần lớn dạng toán loại này ta nên dùng phương pháp đồ thò hiệu quả hơn; một số ít phải dùng phương pháp đại số như hàm lượng giác vì vẽ đồ thò khó. x a x 0 b f(x) + 0 – Trần Só Tùng Tích phân Trang 133 Vấn đề 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG (C 1 ), (C 2 ) 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (C 1 ), (C 2 ) 1 2 (C):yf(x) (C):yg(x) xa xb(ab) = ì ï = ï í = ï ï =< ỵ được tính bởi công thức: b a Sf(x)g(x)dx=- ò 2. Phương pháp giải toán: Cách 1. Phương pháp đồ thò: * Trên cùng mặt phẳng toạ độ ta vẽ 2 đồ thò: 12 (C):yf(x)và(C):yg(x)==. a/ Trường hợp 1: (C 1 ) không cắt (C 2 ) § Xác đònh vò trí: Trên đoạn [a ; b] thì (C 1 ) nằm trên (C 2 ) hay (C 2 ) nằm trên (C 1 ) bằng cách vẽ một đường thẳng song song với trục tung Oy cắt hai đồ thò tại M và N. Khi đó nếu M ở trên N thì đồ thò chứa M sẽ nằm trên đồ thò chứa N. § Nếu (C 1 ) nằm trên (C 2 ) thì: b a S[f(x)g(x)]dx.=- ò (h.2a) § Nếu (C 2 ) nằm trên (C 1 ) thì: b a S[g(x)f(x)]dx.=- ò (h.2b) § Trong trường hợp 1, ta có thể dùng trực tiếp công thức sau: b a S[f(x)g(x)]dx.=- ò b/ Trường hợp 2: (C 1 ) cắt (C 2 ) tại điểm I có hoành độ x 0 . 0 0 x b ax Sg(x)f(x)dxf(x)g(x)dx=-+- òò Hoặc dùng công thức sau: 0 0 x b ax S[f(x)g(x)]dx[f(x)g(x)]dx=-+- òò Cách 2. Phương pháp đại số: § Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) § Nếu (*) vô nghiệm trên khoảng (a ; b) thì ta xét hiệu f(x) – g(x) để bỏ dấu “| |”. § Nếu (*) có một nghiệm x 0 thuộc khoảng (a ; b) thì: y x 0 M N a b (C 2 ) (C 1 ) S (hình 2a) y x 0 M N a b (C 1 ) (C 2 ) S (hình 2b) x y 0 a x 0 b S 2 S 1 I (C 2 ): y = g(x) (C 1 ): y = f(x) Tích phân Trần Só Tùng Trang 134 0 x b aa Sf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx=-+- òò rồi xét lại từ đầu trên các đoạn 00 [a;x]và[x;b]. Ghi chú: (1) Trong thực hành ta nên dùng phương pháp đồ thò. (2) Khi giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) không chắc chắn như số hữu tỉ hoặc số vô tỉ, ta nên thực hiện thêm việc giải phương trình hoành độ f(x) = g(x) cho chính xác. (3) Hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) là các cận của tích phân. (4) Trên đây khi tính diện tích ta đã coi x là biến, y là hàm. Tuy nhiên trong một số trường hợp ta coi y là biến của hàm x (nghóa là x = f(y)), khi đó việc tính diện tích sẽ đơn giản hơn. Trần Só Tùng Tích phân Trang 135 Vấn đề 3: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI NHIỀU ĐƯỜNG § Xét đại diện 4 đường 1234 (C),(C),(C),(C). § Ta dùng phương pháp đồ thò (duy nhất) § Vẽ 4 đường trên cùng một mặt phẳng và xác đònh hoành độ giao điểm giữa chúng (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) § Diện tích hình phẳng S cần tìm: 123 SSSS=++ 314 123 xxx 134342 xxx S[(C)(C)]dx[(C)(C)]dx[(C)(C)]dx.Û=-+-+- òòò x y x 4 x 3 x 2 x 1 0 A B (C 3 ) (C 4 ) (C 1 ) (C 2 ) C S 3 S 2 S 1 D Tích phân Trần Só Tùng Trang 136 Vấn đề 4: DIỆN TÍCH LỚN NHẤT VÀ DIỆN TÍCH NHỎ NHẤT Tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của hình phẳng S. Phương pháp: § Thiết lập công thức tính S theo một hoặc nhiều tham số của giả thiết (giả sử là m), tức là, ta có: S = g(m). § Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của g(m) bằng một trong các phương pháp: + Tam thức bậc hai + Bất đẳng thức Côsi hoặc Bu Nhia Côp Ski. + Sử dụng đạo hàm Chú ý: Các cận a, b thường lấy từ nghiệm x 1 , x 2 là hoành độ giao điểm của (C) và (d). Ví dụ 1: (Vấn đề 1): Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong 2 yx1x=+, trục Ox và đường thẳng x = 1. Giải: * Đường cong (C) : 2 yx1x=+ cắt trục hoành Ox khi: 2 x1x0x0.+=Û= * Ta có: 2 x1x0,vớimọix[0;1]+³Ỵ. Do đó diện tích S cần tìm là: 1 2 0 Sx1x.dx.=+ ò * Đặt: 222 u1xu1x2u.du2xdxu.duxdx.+Þ=+Þ=Þ= * Đổi cận: x = 0 Þ u = 1; x = 1 Þ u2.= * Ta có: 2 2 3 2 0 0 u1 Sudu(221) 33 ỉư ===- ç÷ èø ò (đvdt) Ví dụ 2: (vấn đề 1): Tính diện hình phẳng giới hạn bởi các đường 1lnx y;x1,xe. x + === Giải: * Diện tích hình phẳng S cần tìm: e 1 1lnx Sdx x + = ò * Đặt: 2 1 u1lnxu1lnx2u.dudx. x =+Þ=+Þ= * Đổi cận: x = 1 Þ u = 1; x = e Þ u2.= * Ta có: 2 2 23 1 1 222 S2u.duu(221(221) 333 ỉư ===-=- ç÷ èø ò (đvdt) Ví dụ 3 (vấn đề 2): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 22 yx2xvàyx4x.=-=-+ Trần Só Tùng Tích phân Trang 137 Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường: 22 x2xx4x-=-+ 2 2x6x0x0hayx3.Û-=Û== * Đồ thò (P 1 ): 22 2 yx2xvà(P):yx4x=-=-+ như trên hình vẽ. Hai đồ thò cắt nhau tại 2 điểm O(0 ; 0) và A(3 ; 3). * Diện tích hình phẳng S cần tìm: 3 33 3 2222 00 2x Sx4x)(x2x)dx(2x6x)dx3x9(đvdt) 3 ỉư éù =-+--=-+=-+= ç÷ ëû èø òò Ví dụ 4 (vấn đề 2): Parabol y 2 = 2x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn 22 xy8+= thành hai phần. tính diện tích mỗi phần đó Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm của (P): 222 y2xvà(C):xy8;=+= 2 x2x8(vớix0)+=³ 2 x2y2 x2x80 x4(loại) =Þ=± é Û+-=Û ê =- ë Tọa độ giao điểm B(2 ; 2), C(2 ; –2). * Ta tính diện tích tam giác cong OAB; Đặt: 222 2 1OAB 02 SS2x.dx8x.dx==+- òò với: 2 2 3 0 0 28 2x.dx2.x. 33 ỉư == ç÷ èø ò Tính: 22 2 2 8x.dxI.-= ò Đặt: x22.sintdt22.cost.dt.=Þ= Đổi cận: x2t/4=Þ=p ; x22t/2=Þ=p /2/2/2 2 /4/4/4 /2 /4 1cos2t I22.cost.22.cost.dt8cost.dt8dt 2 sin2t 4t2. 2 ppp ppp p p + Þ=== ỉư =+=p- ç÷ èø òòò * Do đó: 1 82 S2. 33 =+p-=p+ * Do tính đối xứng nên: OBACOAB 4 S2.S2. 3 ==p+ y x 4 3 2 1 0 – 1 – 1 3 4 (P 1 ) A (P 2 ) (P) x A 22 S 1 B C o –2 2 2 y Tích phân Trần Só Tùng Trang 138 * Gọi S là diện tích hình tròn (C) 2 S.R8Þ=p=p * Gọi S 2 là phần diện tích hình tròn còn lại 2OBAC 4 SSS82 3 ỉư Þ=-=p-p+ ç÷ èø 2 4 S6. 3 Û=p- Ví dụ 5 (vấn đề 4): Chứng minh rằng khi m thay đổi thì Parabol (P): y = x 2 + 1 luôn cắt đường thẳng (d): y = mx + 2 tại hai điểm phân biệt. Hãy xác đònh m sao cho phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và parabol là nhỏ nhất. Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): 2 x1mx2+=+ 2 xmx10(1)Û--= 2 m40,mD=+>" * Vậy (d): luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành độ x 1 , x 2 là nghiệm của (1). * Diện tích hình phẳng S là: 2 2 1 1 x x 32 2 x x xmx S(mx2x1)dxx 32 ỉư =+--=-++ ç÷ èø ò 3322 212121 22 21212121 22223 1m (xx)(xx)(xx) 32 1 (xx).2(xxxx)3m(xx)6 6 114 m4.2(m1)3m6(m4). 663 =--+-+- éù =--++-+- ëû éù =-++--=+³ ëû Vậy: 4 minSkhim0. 3 == Ví dụ 6 (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2 x27 yx,y,y. 8x === Giải: * Đồ thò 2 2 12 x27 (P):yx,(P):y,(H):y 8x === như trên hình vẽ. * Phương trình hoành độ giao điểm của (P 1 ) và (H): 2 27 x x = 3 x27x3toạđộA(3,9).Û=Û=Þ * Phương trình hoành độ giao điểm của (P 2 ) và (H): y x A x 1 0 x 2 B 2 (d) (P) y x S 2 S 1 (P 1 ) (P 2 ) B A (H) 9/2 3 9 0 3 6 9 Trần Só Tùng Tích phân Trang 139 2 x279 x6toạđộB6,. 8x2 ỉư =Û=Þ ç÷ èø * Diện tích hình phẳng S cần tìm: 36 22 2 12 03 x27x SSS(x)dxdx .27ln2(đvdt) 8x8 ỉư =+=-+-== ç÷ èø òò . Ví dụ 7 (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: parabol (P): 2 y4xx=- và các đường tiếp tuyến với parabol này, biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua M(5/2, 6). Giải: * Phương trình đường thẳng (d) qua M hệ số góc K: 5 yKx6 2 ỉư =-+ ç÷ èø * (d) tiếp xúc (P) khi hệ sau có nghiệm: 2 5 4xxKx6(1) 2 42xK(2) ì ỉư -=-+ ï ç÷ èø í ï -= ỵ * Thế (2) vào (1) ta được: 2 5 4xx(42x)(x)6 2 -=--+ 2 x1K1 x5x40 x4K4 =Þ= é Û-+=Û ê =Þ=- ë * Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: 12 (d):y2x1;(d):y4x16=+=-+ * Diện tích hình phẳng S cần tìm: 5/24 22 12 15/2 9 SSS(2x14xx)dx(4x164xx)dx . 4 =+=+-++-+-+== òò (đvdt). Ví dụ 8 (vấn đề 3): Tính diện tích giới hạn bởi các đường: 2 yx4x3vày3.=-+= Giải: * Vẽ đồ thò (C): 2 yf(x)x4x3==-+ * Xét đồ thò (C’) : yf(x)= f(x),f(x)0 f(x),f(x)0 ³ ì = í -< ỵ * Từ đồ thò (C) ta suy ra đồ thò (C’) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm trên Ox + Lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm dưới Ox qua trục hoành ì í ỵ * Đồ thò (C’) là hợp của 2 phần trên y (d 2 ) (d 1 ) M S 1 S 2 (P) B x 4 5/2 1 2 0 3 4 6 A x 4 3 2 1 0 –1 3 (C) y Tích phân Trần Só Tùng Trang 140 * Đường thẳng y = 3 cắt (C’) tại A(0 ; 3), B(4 ; 3). * Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. * Do tính đối xứng nên ta có: 12 S2(SS)=+ 212 222 001 2.(3x4x3)dx2[3(x4x3)]dx[3(x4x3)]dx . 8(đvdt) éù =--+=--++--+- êú ëû = òòò Bảng xét dấu: x 0 1 2 3 x 2 –4x+3 + 0 – 0 + [...]... thang có diện tích lớn nhất 5 ỉ1 5ư ĐS: max S = ; M ç ; ÷ 4 è2 4ø Trang 143 Tích phân Trần Só Tùng §Bài 2: THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY Chú ý: Khi tìm thể tích của vật thể tròn xoay ta cần xác đònh: * Miền hình phẳng (H) sinh ra ((H) giới hạn bởi 4 đường: x = , x = , y = , y = ) * (H) quay quanh trục Ox hoặc trục Oy để ta dùng công thức thích hợp Nếu (H) quay quanh trục Ox thì hàm dưới dấu tích phân là y =... 4và y = 4 4 2 (Đề thi chung của Bộ GDĐT – khối B _ 2002) Trang 151 Tích phân Trần Só Tùng ĐS: 2 p + 4 (đvdt) 3 -3x - 1 và hai trục x -1 (Đề thi khối D_2002) Bài 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y = toạ độ ĐS: 1 + 4 ln 4 (đvdt) 3 Bài 14 Tính tích phân I = 2 3 ò 5 ĐS: p/2 ò 0 ĐS: 2 x x +4 (Đề thi khối A_2003) 1 5 ln 4 3 Bài 15 Tính tích phân I = dx 1 - 2sin 2 x dx... 2sin 2 x dx 1 + sin 2x (Đề thi khối B_2003) 1 ln 2 2 2 Bài 16 Tính tích phân I = ò x 2 - x dx 0 (Đề thi khối D_2003) ĐS: 1 Bài 17 Tính tích phân I = ĐS: 2 x ò 1 + x + 1 dx 1 (Đề thi khối A_2004) 11 - 4 ln 2 3 Bài 18 Tính tích phân I = e ò 1 ĐS: 1 + 3 ln x.ln x dx x (Đề thi khối B_2004) 116 135 3 Bài 19 Tính tích phân I = ò ln(x 2 - x)dx 2 (Đề thi khối D_2004) ĐS: 3ln3 – 2 Trang... Diện tích giới hạn bởi các đường thẳng x = –1; x = 2; y = 0 và Parabol (P) bằng 15 Tìm phương trình của (P), biết (P) có đỉnh là I(1 ; 2) ĐS: y = 3x 2 - 6x + 5 x 2 + 2x - 3 Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = , tiện cận xiên x+2 x = 0 và x = m > 0 Tìm giới hạn của diện tích này khi m ®+ ¥ ỉm+2ư ĐS: S = 3ln ç ÷ ; lim S = +¥ è 2 ø m ®+¥ Trang 142 Trần Só Tùng Bài 12 Cho (H): y = Tích phân. .. 0 (0 £ x < +¥) quanh trục Ox và Oy ĐS: a/ 3 pab 2 ; 7 p2 b/ a / Vx = ; 2 b / Vy = 2 p2 4 c/ a / Vx = pab 2 ; 15 pab 2 b / Vy = 6 p d/ a / Vx = ; 2 b / Vy = 2p Trang 149 Tích phân Trần Só Tùng ÔN TẬP TÍCH PHÂN Bài 1 Tính các tích phân sau: a/ 2 2 + x dx; 2 x2 - 1 dx; x b/ -2 c/ ò 1 d/ x 2 dx e/ ò 2 ; 2 0 (x + 1) g/ òe x f/ 1 ; dx ò (1 + x 2 )3 p/ 4 ò 0 ; x dx; cos2 x p/ 4 sin 4 x + cos 4 x h/ ò dx;... trò nhỏ nhất của hàm số f ỉ 1ư ĐS: a/ min f = f ç - ÷ ; b/ max f = f(1) è 2ø x Bài 5 Cho hàm số f(x) = ò (t - 1)(t - 2)2 dt Tìm điểm cực trò và điểm uốn của đồ thò f 0 Trang 150 Trần Só Tùng Tích phân 17 ư 4 ư ỉ 4 112 ư ỉ ỉ ĐS: CT : ç 1; - ÷ ; Đ.Uốn : ç 2; - ÷ ; ç ; ÷ è 12 ø è 3 ø è 3 81 ø Bài 6 Đường thẳng (D): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C) : x 2 + y2 = 5 thành 2 phần, tính diện tích của mỗi phần... Oy thì hàm dưới dấu tích phân là x = f(y), biến y và hai cận là y Vấn đề 1: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (C) :y = f(x); y = 0; x = a;x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: b b V = pò y dx = pò [d(x)]2 dx 2 a y a y (C) (H) a (C) b (H) a x b b x b Diện tích: S = ò f(x) dx Thể tích: V = pò [f(x)]2 dx a a Vấn đề 2: Thể tích vật tròn xoay do... S(t) và lim V(t) t ®+¥ t ®+¥ Trang 148 Trần Só Tùng Tích phân p ĐS: a/ S(t) = ln t; V(t) = p - ; t b/ lim S(t) = +¥; lim V(t) = p t ®+¥ t ®+¥ Bài 21 Cho miền (D) giới hạn bởi đường tròn (C): x 2 + y2 = 8 và parabol (p): y2 = 2x a/ Tính diện tích S của (D) b/ Tính thể tích V sinh bởi (D) khi quay quanh Ox ĐS: a/ 4 - 2 p 3 b/ 4p (8 2 - 7) 3 Bài 22 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt tạo nên khi quay... sao cho AB = 2 a/ Tìm tập hợp trung điểm I của AB b/ Xác đònh vò trí của A, B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi (P) và cát tuyến AB đạt giá trò lớn nhất ĐS: a/ y = x 2 + 1 ; 1 + 4x 2 b/ max S = 1; A( -1; 1);B(1; 1) ỉ1 ư Bài 14 Đường thẳng (D) đi qua điểm M ç ; 1÷ và các bán kính trục dương Ox, Oy lập è2 ø thành một tam giác Xác đònh (D) để diện tích tam giác có giá trò nhỏ nhất và tính... thành hai phần, tính diện tích mỗi phần 5p 5 15p 5 ĐS: S1 = - ; S2 = + 4 2 4 2 Bài 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường a/ y = x 2 , y = x b/ x - y3 + 1 = 0; x + y - 1 = 0 c/ x 2 + y2 = 8; y2 = 2x d/ y = 2 - x 2 ; y3 = x 2 Trang 141 Tích phân Trần Só Tùng x e/ y = ĐS: a/ 1 - x4 ; x = 0; x = 1 ; 3 b/ 1 2 5 ; 4 4 c/ 2 p + ; 3 d/ 32 ; 15 e/ p 12 Bài 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn . Trần Só Tùng Tích phân Trang 131 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Vấn đề 1: DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG 1. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi. C S 3 S 2 S 1 D Tích phân Trần Só Tùng Trang 136 Vấn đề 4: DIỆN TÍCH LỚN NHẤT VÀ DIỆN TÍCH NHỎ NHẤT Tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của hình phẳng S.