Tài liệu Ứng dụng của tích phân

1/ Nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi : y = f(x) liên tục, y = f(x) ≥ 0 trên [a;b], Ox, x = a, x = b. S = F(b) – F(a) (Với F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b]) 2/ Nhắc lại công thức Niutơn-Laipnit (Định nghĩa tích phân xác đinh) ∫ b a f(x).dx = F(b) – F(a) = F(x) | a b y = f(x) a b O y x S = ∫ b a f(x).dx Nếu y = f(x) liên t c, y = f(x)ụ ≤ 0 trên [a;b],thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), Ox, x = a, x = b như thế nào?. O y x y = f(x) a b S ≤ 0 ABCD S dxxfS b a ∫ = )( ∫ −= b a dxxfs )( TH1: f(x)≥0 trên đoạn [a;b] Y= f(x) TH2: f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b] : A B CD a b Y=f(x) Y= - f(x) A CD ' A ' B a b ' ' A B CD S ABCD S dxxfS b a ∫ −= )( dxxfS b a ∫ = )( (1) 1/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y=f(x), hai đường thẳng x = a, x = b và Ox là: I) Diện tích của hình phẳng: S = ∫ b a |f(x)|.dx Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y= sinx , trên đoạn [0;2π] vàOx x y O π 2π Ta có: S = ∫ 2π 0 |sinx|.dx = ∫ π 0 sinx.dx sinx.dx - ∫ 2π π = -cosx | 0 π + cosx | π 2π = 4 (đ.v.d.t) 2/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hai hàm số y = f 1 (x), y = f 2 (x) liên tục trên [a;b] và hai đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức: I) Diện tích của hình phẳng: (2) S = ∫ b a |f 1 (x)- f 2 (x)|.dx y = f 1 ( x ) y = f 2 ( x ) O a b x y (2) S = ∫ b a |f 1 (x)- f 2 (x)|.dx Ví dụ : 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 3 -3x và y = x Giải : Xét PT hđộ gđiểm: ⇔ x 3 - 4x = 0 ⇔ x 3 -3x = x x= 0 x= 2 x= -2 Diện tích hình phẳng cần tìm là: S= |x 3 - 4x|.dx 2 -2 ∫ (x 3 - 4x)dx = 0 -2 ∫ | | + 0 (x 3 - 4x)dx ∫ | | 2 = -2x 2 ) 4 x 4 | ( | 0 -2 | + -2x 2 ) 4 x 4 | ( | 2 0 | = |- 4+8 | + | 4-8 | = 8 (đ.v.d.t) 3 y x= 3 y x= ( ) 1 0 1 3 3 3 2 2 0 0 1 3 3 2 0 0 1 4 4 2 0 x dx= x dx x dx S -x dx x dx x x 17 S . 4 4 4 S − − − − = + = + = − + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 y x= X=-2 X=1 Ox Ví Dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị h/s ,trục hoành và 2 đường thẳng x = -2 , x=1 Lời giải 3 y x= ( ) 1 0 1 3 3 3 2 2 0 0 1 3 3 2 0 0 1 4 4 2 0 x dx= x dx x dx S -x dx x dx x x 17 S . 4 4 4 S − − − − = + = + = − + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ * Chú ý : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường thì chia diện tích ra nhiều vùng nhỏ và sử dụng công thức (2) 3 y x= 1 1 4 3 1 0 0 2 1 2 1 x dx = 4 4 . 1 S 2 2 3 S 4 MAB x S MA AB S S S ∆ = = = = = ⇒ = + = ∫ 3 y x= Ví Dụ: Tính dthp giới hạn bởi: Đồ thị h/s ,trục hoành và đường thẳng y=-x+2 3 y x= 2y x= − + 3 y x= 2y x= − + 1 S 2 S Lời giải 1 1 4 3 1 0 0 2 1 2 1 x dx = 4 4 . 1 S 2 2 3 S 4 MAB x S MA AB S S S ∆ = = = = = ⇒ = + = ∫ 3 y x= [...]...II) Thể tích của các vật thể: II) Thể tích của các vật thể: 1/ Công thức tính thể tích V= y b S(x)dx S(x) ∫ a O a α x γ b β x II) Thể tích của các vật thể: 2/ Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối chóp cụt: (SGK) 3/ Thể tích của vật thể tròn xoay: y y = f(x) a) Vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho y = f(x) ltục trên [a;b], x = a, x = b quay quanh Ox có thể x tích: O a b b V=π... a ∫ Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho S quay xung quanh Ox được tính bởi công thức : y=f(x) y O b a b y=0 X b V = π∫ f (x)dx = π∫ y dx a 2 a 2 Ví dụ: 1/ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bởi đồ thò hàm số y= sinx , trên đoạn [0;π] quay quanh Ox Ta có: π y π V = π∫sin2xdx = π 1 - cos2x dx 0 0 = π (x - sin2x 2 2 = π2 2 (đ.v.t.t) ∫ 2 π ) |0 O π x 2/ Tính thể tích giữa... O π x 2/ Tính thể tích giữa y= x2-4x quay quanh Ox, với 1 ≤ x ≤ 4 Giải: 4 V= π (x ∫ 1 2 4 - 4 x ) dx = π (x 4 - 8x 3 + 16 x 2 )dx 2 ∫ 1 1 5 16 3 4 = π ( x - 2x + x ) 5 3 4 619π (đ.v.t.t) = 15 1 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho S quay xung quanh Oy được tính bởi công thức : y b x=g(y) a O b x b V = π∫ g (y)dy = π∫ x dy a 2 a 2 . nón và khối chóp, khối nón cụt và khối chóp cụt: II) Thể tích của các vật thể: (SGK) 3/ Thể tích của vật thể tròn xoay: O y x a b y = f(x) a) Vật thể tròn. = − + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ * Chú ý : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường thì chia diện tích ra nhiều vùng nhỏ và sử dụng công thức (2) 3 y x= 1 1 4 3