ứng dụng của tích phân

DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net WWW.ToanCapBa.Net 1 Phạm Hồng Phong NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net WWW.ToanCapBa.Net 2 Hà Nội – 2012 MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 3 Loại 1. Khái niệm nguyên hàm 3 Loại 2. Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp và tính chất của nguyên hàm 5 Loại 3. Phƣơng pháp đổi biến số 9 Loại 4. Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần 11 CHỦ ĐỀ 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 13 Loại 1. Sử dụng các công thức tính tích phân của một số hàm số thƣờng gặp và tính chất của tích phân 13 Loại 2. Phƣơng pháp đổi biến 15 Loại 3. Phƣơng pháp tích phân từng phần 21 CHỦ ĐỀ 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 22 Loại 1. Tính diện tích hình phẳng 22 Loại 2. Tính thể tích vật thể 25 DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net WWW.ToanCapBa.Net 3 CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Loại 1. Khái niệm nguyên hàm A. Tóm tắt lý thuyết * Định nghĩa: Cho f :K  . Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu     F' x f x x K   . Nếu chỉ nói F là nguyên hàm của f (không nói rõ K là tập nào) thì ta hiểu F là nguyên hàm của f trên tập xác định của f * Chú ý: Khi   K a;b thì các đẳng thức     F' a f a và     F' b f b được hiểu là       F x F a xa xa lim f a      và       F x F b xb xb lim f a      . Cho hai hàm số f và F liên tục trên   a;b . Nếu F là nguyên hàm của f trên   a;b thì ta có thể chứng minh được F cũng là nguyên hàm của f trên   a;b . * Họ nguyên hàm: Giả sử hàm số F là một nguyên hàm nào đó của hàm số f trên K . Khi đó +) Với mỗi hàng số C , hàm số   y F x C cũng là một nguyên hàm của f trên K . +) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K đều tồn tại hằng số C sao cho     G x F x C với mọi xK . Từ đó suy ra   F x C , C là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K . Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K được ký hiệu là   f x dx  . Như vậy     f x dx F x C  , C . B. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây: DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net WWW.ToanCapBa.Net 4 1)   3 1 f x x . 2)   1 2 x fx . 3)   3 f x 1 x . Giải 1) Ta có   43 x ' 4x  4 3 x 4 'x        4 x 1 4 f x dx C  . 2) Ta có   1 2x x'    1 x 2 x '     2 f x dx 2 x C  . 3) Ta có   3 2 1 x 1 x ' 1 x           2 3 1 x 1 x ' 1 x           2 f x dx 2 x C  . Ví dụ 2. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây: 1)   2x 1 f x e . 2)   2 f x sin3x . 3)   3 f x cos2x . Giải 1) Ta có   2x 2x e ' 2e  2x 2x e 2 'e        2x e 1 2 f x dx C  . 2) Ta có   cos3x ' 3sin3x    cos3x 3 ' sin3x    cos3x 2 3 f x dx C    . 3) Ta có   sin2x ' 2cos2x    sin2x 2 ' cos2x    sin2x 3 2 f x dx C  . Ví dụ 3. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số   f x x 1 Giải Ta có   neáu neáu x 1 x 1 fx 1 x x 1       . Xét hàm   neáu neáu 2 x 2 2 x 2 x C x 1 Fx x x 1           . Ta tìm C để F là một nguyên hàm của f . Dễ thấy     F' x f x với mọi x1 . Ta còn phải tìm C để     F' 1 f 1    F' 1 0 . DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net WWW.ToanCapBa.Net 5 Để F có đạo hàm tại 1 thì trước hết F liên tục tại 1        x 1 x 1 lim F x lim F x F 1     11 22 C  C1 . Với C1 thì   neáu neáu 2 x 2 2 x 2 x 1 x 1 Fx x x 1           . Ta có         2 x1 2 x1 x1 x 22 F x F 1 2 2 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 lim lim lim lim x 1 0 1                                  2 x1 2 x x1 x 22 F x F 1 2 2 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 lim lim lim lim x 1 0 2                           . Từ   1 ,   2 suy ra     F x F 1 x1 x1 lim     F có đạo hàm tại 1 và   F' 1 0 . Vậy     f x dx F x C  , với   neáu neáu 2 x 2 2 x 2 x 1 x 1 Fx x x 1           . C. Bài tập Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây: 1)   2 f x 3x . 2)     100 f x x 1 . 3)   2x f x 10 . 4)   cosx f x sinx.10 . 5)   3 f x x . 6)   x x x 2 x fx   . 7)   2 f x 4sin x . 8)   1 cos4x 2 fx   . 9)   x f x e . 10)     2 f x max 1,x . Loại 2. Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp và tính chất của nguyên hàm A. Tóm tắt lý thuyết DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net WWW.ToanCapBa.Net 6 * Công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp  0dx C  .  neáu neáu 1 x 1 C1 x dx ln x 1                  . Hệ quả: dx x C  ( 0 ), dx x 2 x C  ( 1 2    ).  xx e dx e C  ,   x x a a dx C 0 a 1 lna      .  cosxdx sinx C  , si nxdx cosx C    , dx 2 cos x tanx C  , dx 2 sin x cotx C    . * Nguyên hàm của hàm hợp     f x dx F x C       F ax b a f ax b dx C      . * Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm          f x g x dx f x dx g x dx         .      kf x dx k f x dx     . B. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau: 1)   4 f x 4x . 2)   f x x . 3)   1 3 x fx . 4)   x 2 f x cos . 5)   f x sin2x . Giải 1) 4 4 5 4 5 4x dx 4 x dx x C    . 2) 1 2 2 3 xdx x dx x x C    . 3) 3 1 2 2x x dx C      . 4) xx 22 cos dx 2sin C  . 5) cos2x 2 sin2xdx C    . Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau: 1)   x 2 2 x fx . 2)       4 f x x 1 x 3x   . 3)   2 f x sin x . Giải DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net WWW.ToanCapBa.Net 7 1) 3 1 11 22 x x x 2 1 1 x x 22 2 2 2 3 1 3 x 2 2 dx x dx 2 x dx . 2. C 4 x C                 . 2)       2 65 4 5 4 2 3 3x xx 6 5 2 x 1 x 3x dx x x 3x 3x dx x C            . 3)     2 1 cos2x sin2x sin2x 1 1 x 2 2 2 2 2 4 sin xdx dx dx cos2xdx x C C               . C. Bài tập Bài 1. Tìm 1)   2 x x 5 dx  . ĐS: 32 xx 32 5x C   . 2) 2 2x 3x 1 3 x dx   . ĐS: 3 1 x2 2x 2ln x C   . 3) 3 x 2 2 x x e 3x 3 x dx   . ĐS: x 4 3x x e 3ln x C    . 4)   2 2x x dx   . ĐS: 2x x 3 8 x 4x C   . 5)   2 x 1 dx  . ĐS: 3 2 x 3 x x C   . 6)   3 2 1 2x dx  . ĐS: 7 5 3 8x 12x 57 x 2x C    . 7)   3 2x 3 dx  . ĐS:   4 2 x 3 8 C   . 8)   100 x 1 dx  . ĐS:   101 x1 101 C   . 9)   2012 x 1 x dx  . ĐS:     2014 2013 1 x 1 x 2014 2013 C   . 10)   2 4x x 3 x1 dx    . ĐS:   3 7 x 1 2 2 x 1 4ln x 1 C       . 11) dx 2 x 4x 3  . ĐS: x3 1 2 x 1 ln C    . 12) 2 4x 6x 1 2x 1 dx    . ĐS: ln 2x 1 2 2 x 2x C     . DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net WWW.ToanCapBa.Net 8 13) 32 4x 4x 1 2x 1 dx    . ĐS: 32 ln 2x 1 2x x x 3 2 2 4 C      . 14) 3 4x 9x 1 2 9 4x dx      . ĐS: 2 2x 3 x1 2 12 2x 3 ln C    . 15) 3 5 x xdx  . ĐS: 5 2 5x x 7 C . 16) 44 x x 2dx    . ĐS: 3 x1 3x C . 17) x 1 1 xdx    . ĐS:     22 33 x 1 x 1 1 x 1 x C      . 18) dx x 2 x 3    . ĐS:     2 15 x 2 x 2 x 3 x 3 C         . 19) dx 2x 3 2x 1    . ĐS:     1 6 2x 3 2x 3 2x 1 2x 1 C         . 20) dx 3x 4 3x 2    . ĐS:     1 9 3x 4 3x 4 3x 4 3x 4 C         . 21) x 1 2xdx  . ĐS:     2 11 10 6 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x C      . Bài 2. Tìm 1) 3x e dx  . ĐS: 3x e 3 C . 2)   2 3x x e e dx  . ĐS: 6x 4x 2x eee 622 C   . 3)   xx e 2 e dx    . ĐS: x 2e x C . 4) x e dx x 2  . ĐS:   x e x 1 ln2 2 C   . 5) 2x x x 2 .3 .5 dx x 10  . ĐS: x 6 ln6 C . 6) 2 5x e1 x e dx    . ĐS: 2 6x e 1 6x e C     . Bài 3. Tìm 1) sin5xdx  . ĐS: cos5x 5 C . 2) cos6xdx  . ĐS: sin6x 6 C . DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net WWW.ToanCapBa.Net 9 3) sinxcosxdx  . ĐS: cos2 x 4 C . 4)   2 sinx cosx dx  . ĐS: cos2x 2 xC . 5)   44 sin x cos x dx  . ĐS: 3x sin4x 4 16 C . 6)   66 sin 2x cos 2x dx  . ĐS: 5x 3sin8x 8 64 C . 7)     34 cos 2x .cos 2x dx    . ĐS:   11 8 12 2 12 sin 4x xsin C     . 8) 2 x 2 sin dx  . ĐS: sinx x 22 C . 9) 2 x 2 cos dx  . ĐS: sinx x 22 C . 10) 3 sin xdx  . ĐS: 3cosx cos3x 4 12 C   . 11) 3 cos xdx  . ĐS: 3sinx sin3x 4 12 C . 12) 4 sin xdx  . ĐS: 3x sin2x sin4x 8 4 32 C   . 13) 4 cos xdx  . ĐS: 3x sin2x sin4x 8 4 32 C   . Loại 3. Phƣơng pháp đổi biến số Bài 1. Tìm 1)   32 1 3x x dx . 2)   5 32 1 3x x dx Bài 2. Tìm 1) x 2 x1 dx   . 2) 2 x 3 x1 dx   . 3)   dx 2 1 2x  . 4)   dx 3 2 2x  . 5)   3 4 3x 2 dx   . 6) 3 4x 4 x1 dx   . 7) 6 7x 7 x7 dx   . 8) 32 4x 3x 43 x x 1 dx    . 9) 6 7x 7 7 x 7x 1 dx    . 10) 9 10 10x 11x 10 11 x x 1 dx    . Bài 3. Tìm 1) 3 2 x. x 1dx  . 2) 3 2 x. 2x 2dx  . 3) 4 23 x . x 2dx  . 4) 4 23 x . 2x 4dx  DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net WWW.ToanCapBa.Net 10 5) 23 x 1 2x dx.  . 6) 34 x . x 4dx . 7) 67 x . x 7dx . 8) 23 x . x 1dx . 9) 3 23 3x . x 1dx  10) 3 2 x. x 1dx  . 11) 2x 2 x1 dx   . 12) 2 3x 3 x1 dx   . 13) x 3 2 x1 dx   . 14) 2 x 4 3 x1 dx   . 15) 3 4x 4 x4 dx   . 16) 6 7x 7 x7 dx   . 17) 2 x 3 x1 dx   . 18) 2 3x 3 3 x1 dx   . 19) 2 9x 3 3 3x 4 dx   . 20) 2 6x 4 3 2x 4 dx   . 21)   1 x 1 3 2 x 1 x1 . dx     . Bài 4. Tìm 1)   cosx 1 sinxdx  . 2)   1 2sinx cosxdx . 3)   2 cosx 1 sinxdx . 4)   3 1 2sinx cosxdx . 5) 5 sin x.cosxdx  . 6)   2 sinx 1 .cosxdx  . 7) sinx 2 cosx dx   . 8) cosx 2 sinx dx   . 9) sinx 2 3cosx dx   . 10) cosx 2 4sinx dx   . 11) sinx cosx 1 dx   . 12) cosx sinx 1 dx   . 13) sin2x cos2 x 1 dx   . 14) cos2 x sin2x 1 dx   . 15)   cosxdx 4 sinx 1  . 16) 3 cos xdx sinx 1  . 17) 2cosx 3sinxdx . 18) 1 2sinxcosxdx . 19) sinx 2 cosx dx   . 20) cosx 2 sinx dx   . 21) cosx sinx 1 dx   . 22) sinx cosx 1 dx   . 23) cos2x sin2x 1 dx   . 24) sinx 5 2 3cosx dx   . 25)   cosx 1 sinxdx  . 26)   1 2sinx cosxdx . 27)   2 cosx 1 sinxdx . Bài 5. Tìm 1) lnx 1 x dx   . 2) dx lnx  . 3) 2lnx 1 x dx   . 4) lnx 1 x dx   . Bài 6. Tìm 1) sin2x e cos2xdx  . 2) tgx e 2 cos x dx . 3)   xx e 1 2e dx . 4)   4 xx 1 2e e dx . [...]... 1 Tính tích phân  x3 x 2  3 dx 6 38 5 ĐS: 1 8 105 ĐS: 11  4 ln 2 3 0 1 Bài 2 Tính tích phân  x5 1  x 2 dx 0 2 Bài 3 [ĐHA04] Tính tích phân  1 1 x1 x3 3 Bài 4 Tính tích phân  xdx 1 3 x1  x 3 3 dx xdx Bài 5 Tính tích phân  0 x2  2  2 1  x2 7 (x  2)dx Bài 6 Tính tích phân  3 x1 0 ĐS: 6ln 3  8 ĐS: 10 2  11 3 ĐS: 231 10 ĐS: 468 7 ĐS: 29 270 9 Bài 7 Tính tích phân ... Tính tích phân  ĐS: 2  4 0 3 2 dx  Bài 2 Tính tích phân 3 3 2 2 2 x x2  1 3 6 Bài 4 Tính tích phân dx  3 2 2 2 Bài 5 Tính tích phân  0 3 Bài 6 Tính tích phân  3 3 x x2  9 x 2dx 1  x2 dx 1 x 2 WWW.ToanCapBa.Net 4 3 27  6 ĐS:  36 ĐS: 2 8 ĐS: dx Bài 3 Tính tích phân  3 ĐS: ĐS:  9  x2   6 20 DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net ĐS: 1 1 x 2  x1 3  Bài 9 Tính tích. .. www.k2pi.net ĐS: 1 1 x 2  x1 3  Bài 9 Tính tích phân ĐS:  3 3 dx  1  x2  3 1 x dx 1 x 0 1 Bài 10 Tính tích phân  ln 3  3  2 6 1 3 2 ĐS: xdx Bài 8 Tính tích phân   3 9 ĐS: 1 dx Bài 7 Tính tích phân  2 0 x  x1   1 2 Loại 3 Phƣơng pháp tích phân từng phần 3 Bài 1 [ĐHB09] Tính tích phân  3  ln x 1  x  1 2 ln x Bài 2 [ĐHD08] Tính tích phân  1 x 3 2 3  ln dx dx ĐS: ĐS: 3  2... 2x Bài 12 Tính tích phân   4 1  2sin 2 x Bài 13 [ĐHB03] Tính tích phân  0 1  sin 2x  2 sin 2xdx Bài 14 [ĐHB05] Tính tích phân  0 1  cos x  4 dx  2 sin 2x cos xdx Bài 16 [ĐHB05] Tính tích phân I   1  cos x 0 ĐS: cos2 x  4sin 2 x 0 ln 2 2 ĐS: 2  2ln 2 sin 2xdx Bài 15 [ĐHA06] Tính tích phân  ln 3 4 ĐS:  4 ln 5  ln 3 2 ĐS: cos xdx 5  2sin x 0 Bài 11 Tính tích phân  10  2 3... ĐS: 3  2 ln 2 16 ĐS: 5e4  1 32 3 Bài 3 [ĐHD07] Tính tích phân  x2 ln 2 xdx 1 1 2x Bài 4 [ĐHD06] Tính tích phân  (x  2)e dx 0 3 Bài 5 [ĐHD04] Tính tích phân  ln(x 2  x)dx 4 27 16 5  3e2 ĐS: 4 ĐS: 3ln 3  2 2 1 2 Bài 6 Tính tích phân  x 3ex dx ĐS: 1 2 ĐS: 3e  2 13 0  2 Bài 7 Tính tích phân  e2x cos 3xdx 0 2 Bài 8 Tính tích phân  x 2e x 0  x  2 2 dx WWW.ToanCapBa.Net ĐS: 1... 2 ln 2   4 32 2 ĐS: Bài 9 Tính tích phân  x tan 2 xdx 2 ln 2  1 8 0 1 Bài 10 Tính tích phân  0 CHỦ ĐỀ 3 x7dx  1  x4  2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Loại 1 Tính diện tích hình phẳng y  f  x , y  0  * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  được tính bởi công thức:  x  a, x  b (a  b)  b S   f  x  dx a x  f  y  , x  0  * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường... www.k2pi.net 24)  1  3ln x ln x dx x WWW.ToanCapBa.Net 12 DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net CHỦ ĐỀ 2 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Loại 1 Sử dụng các công thức tính tích phân của một số hàm số thƣờng gặp và tính chất của tích phân Bài 1 Tính tích phân  0  1 1) 3 5 4  x  x  x  x  x dx  0  1 2) 20 3 5 4  x  2 x  3 x  4 x  5 x dx ĐS: 229   x  3x  1  dx ĐS: 20 1... 1 2 x8  x5 Bài 3 Tính tích phân  0 ĐS: dx ĐS:  dx ĐS: x5  x 3 1 Bài 2 Tính tích phân   x3  2  2 2 3 dx Bài 4 [ĐHD09] Tính tích phân  x 1 e 1 b x ln 2 1  2 4 dx 2 ln 2 1  2 2 44  ln 5 15 ĐS: ln(e2  e  1)  2 eb f (t)dt t a e Chú ý:  f (e )dx   a ln 5 Bài 5 [ĐHB06] Tính tích phân  dx x ln 3 e  2e  3 x ln 2 e2xdx 0 (ex  1)(ex  2) Bài 6 Tính tích phân  e ln xdx 1 x(ln... THPT TẠI : www.k2pi.net   sin  x   dx 4  Bài 21 [ĐHB08] Tính tích phân  sin 2x  2(1  sin x  cos x) 0  4  2 sin x  cos x Bài 22 Tính tích phân  dx 3  sin x  cos x 3  2 Bài 23 Tính tích phân   4  2 Bài 24 Tính tích phân  sin x  cos x 1  sin 2x  4 3 2 4 3 13 2 1  2 2   ĐS: cos 2x Bài 25 Tính tích phân  sin 2x 1  sin 2 x 0 ĐS: dx ĐS: 3  ĐS:  2    1 32 dx 3 1... Tính tích phân  sin 2 x tan xdx ĐS: ln 2  0  6 sin 3x  sin 3 3x Bài 18 Tính tích phân  0 1  cos 3x Bài 19 [ĐHA08] Tính tích phân I   0  0 ĐS: dx  6 tan4 xdx  4  4 cos 2x  Bài 20 Tính tích phân  1  tan8 x dx WWW.ToanCapBa.Net ĐS:  3 8 ln 5  ln 3 2   10 3 ln 2  3  27 2 ĐS: 76 105 17 DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www.k2pi.net   sin  x   dx 4  Bài 21 [ĐHB08] Tính tích . THPT TẠI : www. k2pi. net WWW. ToanCapBa.Net 1 Phạm Hồng Phong NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www. k2pi. net WWW. ToanCapBa.Net. TẠI : www. k2pi. net WWW. ToanCapBa.Net 12 24) 1 3lnx lnx dx x   . DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www. k2pi. net WWW. ToanCapBa.Net. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây: DOWNLOAD TÀI LIỆU TOÁN THPT TẠI : www. k2pi. net WWW. ToanCapBa.Net 4 1)   3 1 f x x . 2)   1 2 x fx . 3)   3 f x 1 x .