Néi dung chÝnh:.[r]
(1)Mở đầu
I - Lý chọn đề tài
Trong công tác dạy học nhà trờng phổ thông mị cấp học, việc đổi phơng pháp giảng dạy cần thiết tạo tiền đề cho việc rèn luyện tính tích cực, chủ động tìm kiến thức học tập cho học sinh theo phơng châm: "Phát huy tính độc lập suy nghĩ, tự chủ học tập rèn luyện"
Trong thực tế, trờng THCS số học sinh cịn non mơn tốn chiếm tỷ lệ đáng kể Hiện tợng di nhiều nguyên nhân, chủ yếu học sinh cha có điều kiện tốt cho học tập, giáo viên cha khơi dậy đợc niềm đam mê học toán cho học sinh …Vấn đề đặt cho ngời thầy phơng pháp giảng dạy, thông qua tiết dạy, dạy lớp thực theo định hớng làm để học sinh phát huy đợc tính tích cực, sáng tạo, giúp em biết cách học, cách suy nghĩ, tìm tịi bớc sáng tạo học tốn
Với tinh thần đó, nhiệm vụ giáo viên phổ thơng nói chung, giáo viên dạy tốn nói riêng phải chủ động tìm cách giải hợp lý để khơi dậy niềm đam mê học toán cho học sinh, giúp cho tất học sinh nắm đợc kiến thức bản, từ tự khai thác kiến thức cao hơn, sâu hơn, tạo điều kiện tiếp cận khoa học kỹ thuật đại, tiên tiến Góp phần thực mục tiêu chiến lựơc ngành Giáo dục Đào tạo nay: "Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi d-ỡng nhân tài"
Là giáo viên dạy tốn, tơi thấy rằng: mơn Tốn có khả to lớn phát triển trí tuệ học sinh thông qua việc rèn luyện thao tác t (Phân tích, tổng hợp, khái qt hố, trừu tợng hoá cụ thể hoá) Năng lực lĩnh hội khái niệm trừu tợng, lực suy luận lơgic ngơn ngữ nhằm rèn luyện phẩm chất trí tuệ t dy độc lập, t sáng tạo
Trong năm qua, đợc phân cơng giảng dạy tốn lớp phần đa thức SGK đề cập đến cộng, trừ đa thức, chứng tỏ giá trị biến nghiệm đa thức (hoặc khơng phải nghiệm đa thức), tìm nghiệm đa thức mức độ đơn giản…Do dó, cần phải khai thác thêm dạng toán phức tạp để tạo hội cho học sinh t sáng tạo học phần Từ giúp em học tốt chơng trình đại số sau
II Mục đích đề tài.
Đề tài nghiên cứu nhằm giúp học sinh lớp nắm chắc, đào sâu kiến thức phần đa thức thông qua việc:
+ Rèn luyện cho học sinh t độc lập, sáng tạo
+ Học sinh biết cách suy luận, lập luận để tìm tịi dự đốn phát vấn đề
(2)1 Mét sè ví dụ:
Xuất phát từ tập SGK:
Ví dụ 1: Cho đa thức A(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 2 B(x) = x3 + 4x2 + 8x + 5
Chứng tỏ rằng: a) x = nghiệm đa thức A(x) b) x = -1 nghiệm đa thức B(x) - Học sinh dễ dàng đợc:
A(1) = 3.13 - 5.12+ 4.1 - = - + - = 0
B(-1) = (-1)3 + (-1)2 + 8(-1) + = -1 + - + = 0 Từ kết luận
x = lµ mét nghiệm đa thức A(x) x = -1 nghiƯm cđa ®a thøc B(x)
Qua ví dụ giáo viên nêu câu hỏi gợi mở để học sinh dự đoán, nhận xét hệ số hạng tử đa thức đa toán mới:
VÝ dơ 2: Cho ®a thøc f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d. Chøng minh r»ng:
a) Nếu a + b + c + d = x = nghiệm đa thức f(x) b) Nếu a + c = b + d x = -1 nghiệm đa thức f(x) Với toán cần sử dụng định nghĩa nghiệm đa thức: "x = a nghiệm đa thức f(x) f(a) = 0"
a) x = lµ mét nghiƯm cđa f(x) f(1) = ThËt vËy, f(1) = a.13 + b.12 + c.1 + d
f(1) = a + b + c + d
mµ a + b + c + d = (theo gt) f(1) =
b) x = -1 lµ mét nghiƯm cđa ®a thøc f(x) f(-1) = ThËt vËy, f(-1) = a.(-1)3 + b.(-1)2 + c.(-1) + d
f(-1) = -a + b - c + d (1)
mµ a + c = b + d (gt) -a - c + b + d = (2) Tõ (1) vµ (2) f(-1) =
Qua toán này, giáo viên cã thĨ tỉng qu¸t:
(3)" x = -1 nghiệm đa thức f(x) tổng hệ số hạng tử có luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số hạng tử có luỹ thừa bậc lẻ (xem hạng tử tự hệ số x0)".
Ví dụ 3: Tìm nghiệm đa thức:
M(x) = x2 + 3x + 2 N(x) = x2 - 4x + 3
Học sinh dễ dàng nhẩm đợc x = -1 nghiệm đa thức M(x) (Vì…….1 + = 3) Vấn đề đặt tìm nghiệm cịn lại đa thức nh ?
Giáo viên cần gợi ý để học sinh hiểu đợc x = a nghiệm f(x) f(x) = (x - a).g(x) Từ đó, học sinh tìm cách giải:
a) Ta cã M(x) = x2 + 3x +2 = x2 + x + 2x + = x(x + 1) + 2.(x + 1) = (x + 1) (x + 2)
M(x) = (x + 1) (x + 2) = x + = x = -1 x + = x = -1
VËy, x = -1, x = -2 nghiệm đa thức M(x)
b) Ta cã: N(x) = x2 - 4x + = x2 - x - 3x + = x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x - 3)
N(x) = (x - 1)(x - 3) = x - = x = x - = x = VËy x = 1, x = nghiệm đa thức N(x)
Qua ví dụ này, giáo viên gợi mở để học sinh nhận xét đợc:
" Mét ®a thøc với hệ số nguyên hệ số cao moị nghiệm nguyên đa thức (nếu có) ớc hạng tử tự do"
Ví dụ 4:
Chøng tá r»ng ®a thøc: P(x) = x2- 4x + chia hÕt cho ®a thøc Q(x) = x - 3
Cách 1: Sử dụng phép biến đổi mục b ví dụ 3: P(x) = (x- 1) (x - 3)
Học sinh đễ dàng đợc đa thức Q(x) ớc đa thức P(x)
Qua đó, giáo viên gợi mở để học sinh hiểu đợc P(x) chia hết cho Q(x) tất nghiệm Q(x) nghiệm P(x)
Ta cã c¸ch gi¶i 2: Q(x) = x - = x =
(4)Víi x = 3, ta cã: P(3) = 32 - 4.3 + = - 12 + = 0 VËy ®a thøc P(x) chia hÕt cho ®a thøc Q(x)
VÝ dơ 5: Chøng tá r»ng biĨu thøc: M = x
3 + 6x2 + 3x - 10
nguyªn x2 + x - 2
( Bài toán cha đề cập đến điều kiện có nghĩa biểu thức)
Dễ thấy M nguyên đa thức x2 + x - ớc đa thức x3 + 6x2 +3x - 10. Do ú, ta cú cỏch gii sau:
Đặt f(x) = x3 + 6x2 + 3x - 10 g(x) = x2 + x - 2
g(x) = x2 + x - = 0 (x - 1) (x + 2) = x = hc x =
Víi x = 1, ta cã: f(1) = 13 + 6.12 + 3.1 - 10 = 0
Víi x = -2, ta cã: f(-2) = (-2)3 + 6(-2)2 + (-2) - 10 = 0 Do mäi nghiƯm cđa g(x) cịng nghiệm đa thức f(x) Suy ra: f(x) chia hÕt cho g(x)
VËy: M = x
3 + 6x2 + 3x - 10
nguyªn x2 + x - 2
Ví dụ 6: Tìm giá trị m n, cho:
Q = 2x
4 - 3x3 + 7x2 - (m + 1)x - n - 1
nguyªn x2 - 5x + 6
Vận dụng cách giải ví dụ 5, học sinh giải nh sau: Đặt M(x) = 2x4 - 3x3 + 7x2 -(m + 1)x - n - 1 N(x) = x2 - 5x + 6
N(x) = x2 - 5x + = 0 (x - 2)(x - 3) = x = hc x = Q nguyªn M(x) chia hÕt cho N(x)
M(2) = M(3) =
(5)33 - 2m - n = (1) 130 - 3m - n = (2)
Tõ (1) suy ra: n = 33 - 2m, thay vµo (2) ta cã: 130 - 3m - (33 - 2m) = m = 97
Thay m = 97 vào n = 33 - 2m ta đợc: n = -161
VËy víi m = 97 vµ n = -161 biểu thức Q nguyên
Ví dụ 7: Tim nghiệm nguyên đa thức:
f(x,y) = (x - y) (x + y) -
Học sinh đợc làm quen với cách tìm a, b nguyên, biết a b = k (kz) đợc học lớp
NÕu k = a = hc b =
NÕu k 0; viÕt k = ki kj (ki, kj lµ íc cđa k), ®a vỊ: a = kj a = ki
b = ki b = kj
Từ đa cách giải cho tập ví dụ f(x,y) = (x - y) (x + y) - =
(x - y) (x + y) = (1) Ta cã: = 1.5 = (-1).(-5)
x - y = x + y = x - y = x + y = x - y = -1 x + y = -5 x - y = -5 x + y = -1
Vậy đa thức f(x,y) có nghiệm nguyên là:
(x = 3; y = -2); (x = 3; y = 2); (x = -3; y = 2); (x = -3; y = -2)
VÝ dơ 8: T×m nguyện nguyên đa thức:
g(x,y) = 3x2 + 5xy + 2y2 + 7
Với toán dạng đa về: 3x2 + 5xy + 2y2 + = 0 3x2 + 5xy + 2y2 = -7
Hc
(1)
x = 3; y = -2
x = 3; y =
x = -3; y =
(6) (3x + 2y) (x + y) = -7
Đến toán giải tơng tự nh ví dụ * Một số toán cần lu ý thêm:
1 Chứng tỏ đa thøc: f(x) cã Ýt nhÊt hai nghiÖm, biÕt r»ng: xf(x + 1) = (x + 2)f(x)
3 Tìm nghiệm đa thức:
4 f(x) = 4x2 + 4x + (đề thi khảo sát học sinh khá, giỏi) Cho đa thức:
f(x) = x3 - 7x2 - 9x + 8 g(x) = ax + b
h(x) = x2 + x - 1
a) Tìm a, b để f(x) = g(x) h(x)