BAI TAP CHUONG I HINH HOC 10 NANG CAO

Baøi 3. Chứng minh các điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM... Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và[r]

CHƯƠNG I VECTƠ I VECTƠ

1 Các định nghĩa

 Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB  Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ

 Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, kí hiệu AB  Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0

 Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng  Hai vectơ phương hướng ngược hướng

 Hai vectơ gọi chúng hướng có độ dài

Chú ý: + Ta sử dụng kí hiệu a b, ,  để biểu diễn vectơ.

+ Qui ước: Vectơ 0 phương, hướng với vectơ Mọi vectơ 0 nhau.

2 Các phép toán vectơ

a) Tổng hai vectơ

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC    

                                      

 Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB AD AC    

 Tính chất: a b b a   ; a b  c a  b c ; a 0 a b) Hiệu hai vectơ

 Vectơ đối a vectơ b cho a b 0  Kí hiệu vectơ đối a a  Vectơ đối 0 0

 a b a     b

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB  

c) Tích vectơ với số

 Cho vectơ a số k  R ka vectơ xác định sau: + ka hướng với a k  0, ka ngược hướng với a k < 0. + ka k a 

 Tính chất: k a b  ka kb ; (k l a ka la )  ; k la  ( )kl a

ka 0  k = a 0

 Điều kiện để hai vectơ phương: a b a 0cùng phương  k R b ka:   Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng  k ( 0):

AB k AC

 

 Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phương: Cho hai vectơ không phương a b, x tuỳ ý Khi duy cặp số m, n  R: x ma nb  

Chú ý:

 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M trung điểm đoạn thẳng AB  MA MB 0    OA OB 2OM

  

(O tuỳ ý)  Hệ thức trọng tâm tam giác:

VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ

Bài 1. Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác 0) có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D ?

Bài 2. Cho ABC có A, B, C trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh: BCC A A B   

                                         

b) Tìm vectơ B C C A ,  

                           

Baøi 3. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP QN MQ PN ; 

   

Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: a) AC BA AD  ; AB AD AC

    

b) Nếu AB AD CB CD

   

ABCD hình chữ nhật

Baøi 5. Cho hai véc tơ a b,  Trong trường hợp đẳng thức sau đúng: a b  a b  Baøi 6. Cho ABC cạnh a Tính AB AC ; AB AC

   

Baøi 7. Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB AC AD    

Baøi 8. Cho ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài vectơ HA HB HC  , ,

Bài 9. Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB AD  

, AB AC   ,  AB AD

Baøi 10.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác, M trung điểm BC AO cắt (O) tài A’ (A), BO căt (O) B’ (B)

a) Chứng minh: AH B C HC AB               ' ;  ' b) So sánh vectơ:  HM MA, '

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phân tích vectơ

Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương, ta thường sử dụng:

– Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ.

– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác. – Tính chất hình.

- Tính chất vectơ - Khơng

Bài 1. Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: a) AB DC AC DB  

   

b) AD BE CF AE BF CD          

Baøi 2. Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: a) Nếu AB CD

 

AC BD  

b) AC BD AD BC   2IJ

    

c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0   

    

d) Gọi P, Q trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm

Baøi 3. Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh:

AB AI JA DA DB

2(    ) 3

    

Bài 4. Cho ABC Bên ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ IQ PS 0  

   

Bài 5. Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA IB IC  0

   

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA OB OC  4OI

   

Bài 6. Cho ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh:

a) AH 2OM

 

b) HA HB HC  2HO

   

c) OA OB OC OH      

Baøi 7. Cho hai tam giác ABC ABC có trọng tâm G G a) Chứng minh AA BB CC  3GG

   

b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm

Baøi 8. Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: AM 1AB 2AC

3

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Baøi 9. Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho CN 2NA K trung điểm MN Chứng minh:

a) AK 1AB 1AC

4

 

  

b) KD 1AB 1AC

4

 

  

Baøi 10.Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: a) AM 1OB OA

2

 

  

b) BN 1OC OB

 

  

c) MN 1OC OB

 

  

Baøi 11.Cho ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: a) AB 2CM 4BN

3

 

  

c) AC 4CM 2BN

3

 

  

c) MN 1BN 1CM

3

 

  

Bài 12.Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G a) Chứng minh: AH 2AC 1AB

3

 

  

CH 1AB AC

 

  

b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH 1AC 5AB

6

 

  

Baøi 13.Cho hình bình hành ABCD, đặt AB a AD b , 

  

 Gọi I trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ BI AG , theo a b, 

Baøi 14.Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC BD  theo vectơ AB vaø AF 

Baøi 15.Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM



theo vectơ OA OB OC  , ,

Baøi 16.Cho ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB3MC NA, 3CN PA PB,  0

      

a) Tính PM PN , theo  AB AC, b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng

Baøi 17.Cho ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB

a) Chứng minh: AA BB CC1 1 10

   

b) Đặt BB1u CC, 1v

 

  Tính

BC CA AB, ,   

theo u vaø v 

a) Tính               AI AF theo AB vaø AC,  

b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG theo AI AF 

Bài 19.Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B a) Chứng minh: HA  5HB HC 0

b) Đặt AG a AH b , 

  

 Tính  AB AC, theo a b .

Bài 20 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt cạnh DA, DC, đường chéo BD theo thức tự E, F, M1 Biết: DE m DA DF ; n DC

                                                       

(m, n > 0) Hãy biểu diễn: DM1



qua DB m, n

……….

VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM a



, O a được

xác định Ta thường sử dụng tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. – Hình bình hành.

– Trung điểm đoạn thẳng. – Trọng tâm tam giác, …

Baøi 1. Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC 0      

Baøi 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I M điểm tuỳ ý không nằm đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy điểm N cho IN = MI

a) Chứng minh: BN BA MB    

b) Tìm điểm D, C cho: NA NI ND  ; NM BN NC 

     

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD

a) Chứng minh rằng: AB AC AD  2AC

   

b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3AM AB AC AD      

Baøi 4. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC a) Chứng minh: MN (AB DC)

2

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

b) Xác định điểm O cho: OA OB OC OD 0        

Baøi 5. Cho điểm A, B, C, D Gọi M N trung điểm AB, CD, O trung điểm MN Chứng minh với điểm S bất kì, ta có: SA SB SC SD   4SO

    

Baøi 6. Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IB3IC0

  

b) 2 JA JC JB CA      c) KA KB KC  2BC

   

d) 3LA LB 2LC0

   

Baøi 7. Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IA 3IB3BC

  

b) JA JB 2JC0

   

c) KA KB KC BC      

d) LA 2LC AB  2AC

   

Baøi 8. Cho ABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: a) IA IB IC BC  

  

b) FA FB FC AB AC        

c) 3KA KB KC  0

   

d) 3LA 2LB LC 0

   

a) IA IB IC  4ID

   

b) 2FA2FB3FC FD

   

c) 4KA3KB2KC KD 0

    

Baøi 10. Cho tam giác ABC điểm M tùy ý

a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD MC AB    , ME MA BC    , MF MB CA 

  

Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh véc tơ MA MB MC vaø MD ME MF   

     

Baøi 11. Cho tứ giác ABCD

a) Hãy xác định vị trí điểm G cho: GA GB GC GD 0   

    

(G đgl trọng tâm của tứ giác ABCD).

b) Chứng minh với điểm O tuỳ ý, ta có: OG 1OA OB OC OD

   

    

Baøi 12. Cho G trọng tâm tứ giác ABCD A, B, C, D trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh:

a) G điểm chung đoạn thẳng AA, BB, CC, DD b) G trọng tâm của tứ giác ABCD

Baøi 13. Cho tứ giác ABCD Trong trường hợp sau xác định điểm I số k sao cho vectơ v k MI. với điểm M:

a) v MA MB  2MC

  

 b) v MA MB 2MC

  

  

 c) v MA MB MC MD   

   

 d) v 2MA 2MB MC 3MD

   

   

 .

Bài 14 Cho đường tròn (O;R) hai điểm cố định A, B Với mõi điểm M xác định M’ sao cho: MM'MA MB

  

Hãy xác định vị trí M’ biết M chạy (O;R) Bài 15 Cho tam giác ABC (BC = a; CA = b; AB = a) Xác định điểm I cho:

a IA b IB c IC   0    

………

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Hai điểm trùng nhau

 Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn đẳng thức AB k AC , với k  0.

 Để chứng minh hai điểm M, N trùng ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức

OM ON

 

, với O điểm MN 0

 

.

Baøi 1. Cho bốn điểm O, A, B, C cho : OA2OB 3OC0

   

Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, BD lấy điểm K cho: BH 1BC BK, 1BD

5

 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Chứng minh: A, K, H thẳng hàng HD: BH AH AB BK AK AB  ;  

                                                                                   

Baøi 3. Cho ABC với I, J, K xác định bởi: IB2IC

 

, JC 1JA 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, KAKB

 

a) Tính IJ IK theo AB vaø AC ,   (HD: IJ AB 4AC

 

  

)

Baøi 4. Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB3MC, NA3CN, PA PB 0  

a) Tính PM PN , theo  AB AC,

b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho AD =

2AF, AB =

2AE Chứng minh: a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng

b) Các tứ giác BDCF, DBEC hình bình hành

Bài 6. Cho ABC Hai điểm I, J xác định bởi: IA3IC 0  

                       

  

, JA2JB3JC0

   

Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng

Baøi 7. Cho ABC Hai điểm M, N xác định bởi: 3MA4MB0

  

, NB 3NC 0

  

Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, với G trọng tâm ABC

Baøi 8. Cho ABC Lấy điểm M N, P: MB 2MC NA 2NC PA PB  0

      

a) Tính PM PN theo AB AC ,   b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng

Bài 9. Cho ABC Về phía ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh tam giác RIP JQS có trọng tâm

Baøi 10.Cho tam giác ABC, A điểm đối xứng A qua B, B điểm đối xứng B qua C, C điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC ABC có chung trọng tâm

Bài 11.Cho ABC Gọi A, B, C điểm định bởi: 2A B 3A C 0

  

, 2B C 3B A 0

  

,

C A C B

2  3  0

  

Chứng minh tam giác ABC ABC có trọng tâm

Baøi 12.Trên cạnh AB, BC, CA ABC lấy điểm A, B, C cho:

AA BB CC

AB BC AC

  

 

Chứng minh tam giác ABC ABC có chung trọng tâm

Baøi 13.Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý Gọi A, B, C điểm đối xứng M qua trung điểm K, I, J cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh ba đường thẳng AA, BB, CC đồng qui điểm N

b) Chứng minh M di động, đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC

Bài 14.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3MA4MB0

  

, CN 1BC

2 

 

Chứng minh đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC

Baøi 15.Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD DE EC 

  

a) Chứng minh AB AC AD AE      

b) Tính AS AB AD AC AE theo AI   

     

Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng

Baøi 16.Cho tam giác ABC Các điểm M, N xác định hệ thức BM BC  2AB

  

, CN x AC BC 

  

a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.

b) Xác định x để đường thẳng MN trung điểm I BC Tính IM IN Baøi 17.Cho ba điểm cố định A, B, C ba số thực a, b, c cho a b c 0  

a) Chứng minh có điểm G thoả mãn aGA bGB cGC 0   

G, M, P thẳng hàng

Baøi 18.Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN 2MA3MB MC    

                                                   

a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA3IB IC 0

   

b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định

Baøi 19.Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN 2MA MB MC     

                                                   

a) Tìm điểm I cho 2IA IB IC    0

b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định

c) Gọi P trung điểm BN Chứng minh đường thẳng MP ln qua điểm cố định

Bài 20.Cho tam giác ABC Các điểm P, Q thoả mãn:

3

PA PB

QA QC

 

 

 

 

                           

  

a) Biểu diễn:               AP AQ, theo  AB AC,

b) Chứng minh rằng: PQ qua trọng tâm tam giác ABC

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn:

– Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực của đoạn thẳng đó.

– Tập hợp điểm cách điểm cố định khoảng không đổi đường trịn có tâm là điểm cố định bán kính khoảng không đổi.

– Tập hợp M qua A có vtcp cho trước,

Bài 1. Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho:

a)  MA MB  MA MB b) 2 MA MB  MA2MB

Bài 2. Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA MB MC MB MC

2

   

                                                                     

b) MA BC MA MB

   

c) 2MA MB 4MB MC

   

d) 4MA MB MC  2MA MB MC 

     

Baøi 3. Cho ABC

a) Xác định điểm I cho: 3IA 2IB IC 0

   

b) Chứng minh đường thẳng nối điểm M, N xác định hệ thức: MN 2MA 2MB MC

   

luôn qua điểm cố định

c) Tìm tập hợp điểm H cho: 3HA  2HB HC HA HB d) Tìm tập hợp điểm K cho: 2 KA KB KC     3KB KC

Baøi 4. Cho ABC

a) Xác định điểm I cho: IA 3IB2IC0 b) Xác định điểm D cho: 3DB 2DC 0 c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng

d) Tìm tập hợp điểm M cho: MA3MB 2MC 2MA MB MC 

     

3 |MA MB MC MD      | | MB MD MC  |

VẤN ĐỀ 5: Áp dụng vectơ giải toán

Bài Cho hai tam giác: ABC, A1B1C1 A2, B2, C2 theo thứ tự trọng tâm tam giác :

BCA, CAB1, ABC1 G, G1, G2 theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1 A2, B2, C2

Chứng minh: G, G1, G2 Tính tỉ số:

G G G G ?

Bài Cho tam giác ABC Trên AC lấy điểm M, BC lấy điểm N cho: AM = 3MC, NC = 2BN, gọi O giao điểm AN BM Biết diện tích tam giác OBN 1, tính diện tích tam giác ABC

Bài Cho tam giác ABC Chứng minh với điểm M thuộc cạnh AB khơng trùng với đỉnh ta có: MC.AB < MA.BC + MB.AC

II TOẠ ĐỘ

1 Trục toạ độ

 Trục toạ độ (trục) đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ đơn vị e Kí hiệu O e; 

 Toạ độ vectơ trục: u( )a  u a e   Toạ độ điểm trục: M k( )OM k e



  Độ dài đại số vectơ trục: AB a  AB a e .





Chú ý: + Nếu AB hướng với e AB AB . Nếu AB ngược hướng với e AB AB.

+ Nếu A(a), B(b) AB b a  .

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trục, ta có: AB BC AC  . 2 Hệ trục toạ độ

 Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với Vectơ đơn vị Ox, Oy i j , O gốc toạ độ, Ox trục hoành, Oy trục tung.

 Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ: u( ; )x y  u x i y j    Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: M x y( ; )OM x i y j 

  

 Tính chất: Cho a( ; ),x y b( ; ),x y k R   , A x y( ; ), ( ; ), ( ; )A A B x yB B C x yC C :

+ a b x x

y y

 

    

     

+ a b  (x x y y ;  ) + ka( ; )kx ky + b phương với a 0  k  R: xkx vaø yky

 x y x y

 

 (nếu x  0, y  0). + AB(xB x yA B;  yA)



+ Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: xI xA xB; yI yA yB

2

 

 

+ Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xG xA xB xC ; yG yA yB yC

3

   

 

+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1: xM xA kxB yM yA kyB

k ; k

1

 

 

 

( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA kMB

 

)

………

VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trục

Baøi 1. Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 2 5. a) Tìm tọa độ AB

b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB c) Tìm tọa độ điểm M cho 2MA 5MB0 d) Tìm tọa độ điểm N cho 2NA3NB1

Baøi 2. Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 3 1. a) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA 2MB1

b) Tìm tọa độ điểm N cho NA3NB AB Baøi 3. Trên trục x'Ox cho điểm A(2), B(4), C(1), D(6).

a) Chứng minh rằng:

AC AD AB

1

 

b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh: IC ID IA.  c) Gọi J trung điểm CD Chứng minh: AC AD AB AJ  Baøi 4. Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c.

a) Tìm tọa độ trung điểm I AB

b) Tìm tọa độ điểm M cho MA MB MC 0  

   

c) Tìm tọa độ điểm N cho 2NA 3NB NC

  

Baøi 5. Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C, D tuỳ ý a) Chứng minh: AB CD AC DB DA BC.  .  . 0

b) Gọi I, J, K, L trung điểm đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh đoạn IJ KL có chung trung điểm

VẤN ĐỀ 2: Toạ độ hệ trục

Baøi 1. Viết tọa độ vectơ sau:

a) a 2i ;j b 1i ;j c ;i d 2j

         

 

b) a i ;j b 1i j c; i j d; ;j e 3i

2

            

  

Baøi 2. Viết dạng u xi yj   biết toạ độ vectơ u là: a) u(2; 3); u ( 1;4); u(2;0);u(0; 1)

Bài 3. Cho a(1; 2), b(0;3) Tìm toạ độ vectơ sau:

a) x a b y a b z  ;   ; 2a 3b b) u 3a ;b v b w; 4a 1b

       

    

Baøi 4. Cho a (2;0),b 1;1 ,c (4; 6)

 

     

 



 

a) Tìm toạ độ vectơ d2a 3b5c b) Tìm số m, n cho: ma b nc 0   c) Biểu diễn vectơ ctheo ,a b 

Baøi 5. Cho hai điểm A(3; 5), (1;0) B .

a) Tìm toạ độ điểm C cho: OC  3AB b) Tìm điểm D đối xứng A qua C

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

Baøi 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB

Baøi 7. Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2) a) Tìm toạ độ vectơ   AB AC BC, , b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB

c) Tìm tọa độ điểm M cho: CM2AB 3AC   

                                      

d) Tìm tọa độ điểm N cho: AN2BN 4CN 0

   

Baøi 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng A qua C

b) Tìm toạ độ điểm E đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC

Bài 9. Cho hai đỉnh hình vng là: (1; 2) ; (3; 5) Tìm hai đỉnh cịn lại hình vng Bài 10 Cho A(2; 1); B(3; 1) ; C(-4; 0) Xác định điểm D cho ABCD hình thang cân

đáy AB

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I

Bài 1. Cho tam giác ABC với trực tâm H, B điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ vectơ AH vaø B C AB vaø HC ; 

 

 

Baøi 2. Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD a) Chứng minh: AC BD AD BC   2IJ

    

b) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0   

    

c) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng AC BD; M, N trung điểm đoạn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm

Bài 3. Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý

a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD MC AB    , ME MA BC    , MF MB CA 

  

Chứng minh điểm D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh hai tổng vectơ:   MA MB MC    MD ME MF 

a) Chứng minh: 2IA IB IC  0

   

b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA OB OC  4OI

   

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ABC Chứng minh:

a) 2AI2AO AB

  

b) 3DG DA DB DC  

   

Baøi 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD a) Chứng minh: AI D 2A AB

2

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

b) Chứng minh: OA OI OJ 0  

   

c) Tìm điểm M thoả mãn: MA MB MC 0  

   

Baøi 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D E điểm xác định AD2AB

 

, AE 2AC

5 

 

a) Tính   AG DE DG theo AB vaø AC, ,   b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng

Baøi 8. Cho ABC Gọi D điểm xác định AD 2AC 

 

M trung điểm đoạn BD a) Tính AM theo AB vaø AC

b) AM cắt BC I Tính IC IB

AI AM

Bài 9. Cho ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện:

a) MA MB  b) MA MB MC 0  

   

c)  MA MB  MA MB d)  MA MB  MA  MB e) MA MB MA MC

   

Baøi 10.Cho hình thang cân ABCD có đáy AD, BC, góc BAD300 Biết: AB a  ;AD b  Hãy biểu diễn vectơ:                                           BC CD AC BD, , , theo vectơ a b ;

Baøi 11. Cho vectơ a b ; không phương , (1 )

u a x b v    x a b Tìm x để hai vectơ u v , hướng

Baøi 12. Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2) a) Tìm tọa độ trọng tâm G ABC

b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành

Bài 13. Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0)

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm G ABC

c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành

Bài 14. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1) Tìm toạ độ điểm M, N, P cho: a) Tam giác ABC nhận điểm M, N, P làm trung điểm cạnh b) Tam giác MNP nhận điểm A, B, C làm trung điểm cạnh Bài 15 Tam giác ABC có A(1; 3) ; B(0; 1), trực tâm ( ; )8

5

H Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC