Bài tập phương trình, bất phương trình mũ – loga

[r]

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARÍT

Phương pháp chung:

Bước 1: Đặt điều kiện

Bước 2: thường dùng cách sau

Đưa số:

+) au av u v

   ; au  b ulogab +) logaulogav u v ; log c

au c u a

Đặt ẩn phụ

+) Dạng Aa2u Bau C 0

   , đặt t a u 0

+) Dạng Aau Bau C

   , đặt t a u 0

+) Dạng Aa2u B ab( )u Cb2u 0

   , chia hai vế cho b2u (hoặc a2u ( )ab u ) đặt

u a t

b     

 

Lơgarít, mũ hóa

+) u v t log u v t log log log log

a a a a a

a b c  d a b c  d  u v b t c d

+) log v

au v  u a

Hàm số (thường dùng để chứng minh phương trình có nghiệm nhất) +) Nếu y = f(x) hàm đơn điệu tập D f x( )f x( )o  x x o +) 0a1: y a x ylogax nghịch biến tập xác định chúng

1

a : y a x ylogax đồng biến tập xác định chúng Bước 3: so sánh điều kiện ban đầu kết luận

Chú ý: +) Phải ‘thuộc lịng’ cơng thức liện quan đến lũy thừa lơgarít

+) logab có nghĩa

0

0 a b

  

  

 Do đó,





loga f x( ) 2loga f x( ) , ( ) 0f x  Bài 1: Giải phương trình sau

1) 2x235x23 0, 01(10 )x1

 2)

2 12 3

25 27

0,6

9 125

x x



   



   

    3)

 

2

7

4 x x

x   

      4) 5 8x xx1 500



 5)

2 1 2 1 2

2x  3x 3x  2x 

   6) 33x4 92x2 7)

 

2 3

7 7

x  x  8)

 

4 16 (0, 25)

x

x 

 9) 4.9x1 2 22x1 10) 10x 2x1 x2 950

Bài 2: Giải phương trình sau 1) 4x 9.2x

   2) 3 2.32 15 0 x

x

   3) 42x3 3.4x2 1 4)

3

1

128

4

x x    

 

        5) 2 2

4x  9.2x

   6) 25x5 x 50 7) 641x12 2 33x 8) 34 x 4.32 x 3 9) 26x 8x23 5

  10)

2

1 3

4 x  x 9.2 x  x

  11) 41 ( x1)2  3.22 ( x1)2 7 Dạng 1: Phương trình mũ, lơgarít

12) 2 cos 2 cos2

5  x 26.5 x

   13)

2

1 cot sin

3 x10 3 x3

 

 

 

14) a2 2.4x1 a.2x1 0

  

15)

15.2x 15.2 x 135

  16) 5.23x3 7 3.25 3 x 17) 2 x 21 x 1

 

18)



6

 

6



10

x x

    19)



1



x 2x1



4



x 10

   

20) 4



1

 

x 1



x 4.2x

    21) 2sin2x 5.2cos2x 7

  22) 4.22x 6x 18.32x 23) 32x4 45.6x 9.22x2

  24) 5.251x3.101x 2.41x 25) 8x18x 2.27x 26) 2 6 9 3 5 2 6 9

3 x  x 4.15x x 3.5 x  x

  27) 32x2 2.3x2 x 32(x6)

   28) 9x 2.32 x3 3x 1

 

29) 8.41x8.41x  54.21x  54.21x 101 30) 27.23x9.2x 23x 27.2x 8

Bài 3:Giải phương trình sau 1)



3

 

3



x x

x

    2) 9x 4x 25x

  3)



15

 

15





2 2



x x x

   

4) 2x2 2.3x2 22

  5) 4x 3x12x 6) 2.2x3.3x 6x1 7) 2x22x x2 2x

  

8) sin2 cos2 sin2

2 x x 4.3 x

  9) x2.2x 8 2x22x2 10) 8 x.2x23x x0 11) 4x2 3 x1 x.3 x 2 3x2 x 2x 6

     12) 2.4x1 2x1  x

Bài 4: Giảicác phương trình sau

1) log2 xlog4xlog16x7 2) log log4



2x



log log2



4x



2 3)

2 2

log (x  3) log (log 6 x10) log (5 x4) 4) log (2 x3) log (7  x) log 3 5) 4

3 log ( 3) log ( 2)

2

x  x  6) lg(3x2 7x 2) lg(x2 6x 1) lg 2

     

7) 3

log 2x1 log ( x 2) 0 8) lgx lg lg(x 2) lg(x2 4)

    

9) lg(1 4 ) 1lg(19 2) lg(1 )

x x x x

      10) log0,25(x22x 8)2 log (10 30,5  x x 2) 1 11) 2

4 2

1

log ( 2) log log 2

x

x  x   x 12) log252 x2 log log (5x x 5 1) 13) log (45 6) log (25 2)

x x

   

14) lg(x2 x 1) lg(x2 x 1) lg(x4 x2 1) lg(x4 x2 1)

           15) log (9 ) 32  x   x 16) lg(2x x 13) x xlg

    17) lg(6.5x25.20 )x  x lg 25 18) 2log sin3 xlog 4cot3 2x1 19) 2lg sin lg 1sin2

2

x  x

  20)

2

1

log (x x  9x8).log (x x1) 3

Bài 5: Giải phương trình sau

1) log (22 x1)2  5 log (0,5 x1) 2) lg(10 ) lg(0,1 ) lgx x  x3 3) log3x9  4log9 3x 1 4) 2

lg(x 1) lg ( x 1)

    5)

2

0,5

log log 8 x

x  6) lg(lg ) lg(lgx  x3 2) 0 7)

7 log log

6

x  x  8)

2

2 4

log (2 ).log (16 ) 9logx x  x 9) 2

lg (x1) lg (x1) 25

10)

5

log x log x 2 11) 2

log (9 ).logx x x4 12) log3x log 33 x1 13) 3

2

4 log log

3

x x 14)

2

15) lg (2 x 1) lg(x 1).lg(x 1) 2lg (2 x 1)

      16) lg(x10) lg(x10) log( x2100) 1

Bài 6: Giải phương trình sau

1) logx 3x 2 log27 x36x 2)

2

4 2

8

( 4)log ( 1) ( 4) log ( 1) log ( 1)

x x  x x  x 

3) log (23  x) log x 4) log (3 x1) log (5 x1) 1 5)

3

2

log (5 x) log x

6) (x3) log (3 x2) 4 7)

0,5

5 ( 2) log

x  x  x x

Bài 7: Giải hệ phương trình sau

1)

2

64 64 12 64

x y

x y

 

 

 



2) 2

2 1

2 2

2

x y x y

x y

 

 

   

 

 

 

3)

2

9

3 x

y y

x y x

x y

    



  

  4)

3

1

2

4 2

x

x x

x

y y

y 

  

  

 

 

5) log2 2log2

x y

x y

 

 

  



6) 2

3 3

log log log log 12 log log

x y y x

x x y y

  

 

  



Bài 8: Tìm giá trị x để ba số

3

log (2x 1), log (2x 4x 1), log (2x 2)

    theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Phương pháp chung

Bước 1: Đặt điều kiện

Bước 2: Dùng cách biến đổi “tương tự” dạng 1, với lưu ý

0a1: + au av  u v ; au  b ulogab + logaulogav u v ; log b

au b  u a

1

a : + au av  u v ; au  b ulogab + logaulogavu v ; log b

au b  u a Bước 3: so sánh điều kiện kết luận

Bài 1: Giải bất phương trình sau

1) 5x 251x 2) 54x6 253x4 3) 5x 3x12 5



x1 3x2



4) 7x3 x3 3 72x 2x 5) 2x3 5x 7.2x2 3.5x1

   6) 64.3 x8  x8 0 7)

 





2 6 4

32 x x  3 8 1 x 0

8)

5 5 (3, 24)

9 x x

   

 

  9)

2

6 x 2x x

 

Bài 2: Giải bất phương trình sau 1) 9x1 3x2 18

  2) x23 28.3 x2 3

  3) 7x 3.7x14 4) x 21 x

 

5) 5.2x 10x 2.5x

  6)

 





3

2 x 2 x 2.4x

  7) 22x26x3 6x23x1 32x26x3

 

8) 2

x x x 

 9)

1

3x 3 x

  10)

2

9x 3x 3x

  

Bài 3: Giải bất phương trình sau 1) 2x3 x3.2x 16 2x3

   2) 2.3x9.4x 12x18 3) 3x 71x2 4) 1

1 x

x 

 

 5)

4.2

x

x x x 

   

Bài 4: Giải bất phương trình sau 1)

3

log (x 2x1) 1 2)

0,1 0,1

log (x  x 2) log ( x3) 3)

8

log (x  4x3) 1

4)

3

log (2 x) log ( x1) 5)

1

2

log 3 x log 2 x 6)

2

log log

3

x x

x

  



 



 

7)

5

log (x  6x18) 2log ( x 4) 0 8)

2

log log (2  x)2

 

9) 1





log 1 x x 2

10)

log (x  6) log x 0 11)

1 log (2 )

4 x

  12) log (2 x1) log (5  2  x)

13) log (92 7) log (32 1)

x x

    14) 2 2

1

log ( 12) log ( 2) log

x  x  x  x 

15) log (x 1) log (21 ) x

x   x 16) 10 xlg5 5lgx 50 xlg5

    17)

2

1 log 2.log

4 x

x   

18) log (163 x 2.12 ) 2x  x1 19) log log (4x



x12)



1 20) log log (9x



x 6)



1

Bài 5: Giải bất phương trình sau

1) lg(10 ) logx 2x2 log 102 2) 2log3x log 27 5x  3)

2

1

2

log x log x1

4) log2 5 log 5 1, 25 0

x  x   5)

2

3

log (3x 1).log (3x 9)

   6) log2x2 log 3x 

Bài 6: Giải bất phương trình sau 1)

3

0 log ( 2)

x x 



 2) 3

1

0 log (9 ) 3x

x



  3)

2 lg(4 1)

1 lg

x x

 

4)

3 9

1

log (x 2) 2log x 6x9 5)

3

2 log

1

x

x x





 

Bài 1: Giải phương trình bất phương trình hệ phương trìnhsau 1) 2

2 x 9.2x

   (TN 2006)

2) log4xlog (4 ) 52 x  ; 7x2.71x 0 (TN 2007) 3) 32x1 9.3x 6 0

   ; log (3 x2) log ( x 2) log 5 (TN 2008) 4) log (2 x1) log  2x; 25x 6.5x 5 (TN 2009)

5) 9x 3x

   ; log22x14 log4x 3 (TN 2010) 6)

5

log x log x 0 ; 72x1 8.7x

   (TN 2011)

7) log3xlog (3 x8) 2 ; log (2 x 3) log 3.log 3x2 (TN 2012) 8) 25x 26.5x 25

   ; 31x 3x 2 (TN 2013)

Dạng 3: Một số đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng; có tham số

9)

2

log xlog (2 ) 0x   (TN 2014) 10 log (2 x2 x 2) 3 (THPT QG 2015)

Năm 2002:

Khối A: Cho phương trình 2

3

log x log x 1 2m1 0(*) a) Giải phương trình (*) m =

b) Tìm m để (*) có nghiệm thuộc đoạn [1;3 ]3

Khối B: Giải bất phương trình log log (9



72)



x

 

Khối D: Giải hệ phương trình

3

1

2

4 2

x

x x

x

y y

y 

  

  

 

 

Năm 2003: Giải phương trình 2

2xx  x x

  (Khối D)

Năm 2004: Giải hệ phương trình 14

2

1 log ( ) log

25 y x

y

x y



  

 

  



(Khối A)

Năm 2005: Giải hệ phương trình 2 3

9

1

3log (9 ) log

x y

x y

    

 

 

 

(khối B)

Năm 2006:

Khối A: Giải phương trình 3.8x 4.12x 18x 2.27x

   

Khối B: Giải bất phương trình log (45 144) log log 25 5



1



x x

    

Khối D: a) Giải phương trình 2 2

2x x 4.2x x x

   

b) Chứng minh với a > 0, hệ phương trình au có nghiệm ln(1 ) ln(1 )

x y

e e x y

y x a

     



  

Năm 2007:

Khối A: GIải bất phương trình

3

2log (4x 3) log (2 x3) 2

Khối B: Giải phương trình



1

 

x 1



x 2 0

Khối D: Giải phương trình 2





1

log 15.2 27 2log 4.2

x x

x

   



Năm 2008:

Khối A: Giải phương trình 2

2 1

log x (2x  x 1) log (2 x x1) 4 Khối B: Giải bất phương trình

2 0,7

log log

4 x x

x

  



 



 

Khối D: Giải bất phương trình

2

3 log x x

x  



CĐ: Giải phương trình

2

log (x1) 6log x  1

Năm 2009: Giải hệ phương trình 2

2

2

log ( ) log ( ) 3x xy y 81

x y xy

 

   

 

 



(Khối A)

Khối B: Giải hệ phương trình log (32 1)2 4x 2x

y x

y   



 



Khối D: a) Giải phương trình 2 2 2 2 4 4

4 x x 2x 4 x 2x x

  

b) Giải hệ phương trình

2

4

2log ( 2) log

x x y

x y

     



  

 

Năm 2011: a) Giải phương trình 2 1





2

log (8 x ) log 1 x 1 x  0 (Khối D) b) Giải bất phương trình 2 3 1 2 3

4x 3.2x x  x 4 x  x

   (CĐ)

Năm 2012: Giải bất phương trình log (2 ).log (3 ) 12 x x  (CĐ)

Năm 2013:

Khối B: Giải hệ phương trình

3

2

2log ( 1) log ( 1)

x y x

x y

   

 

   

 

Khối D: Giải phương trình 2

2

1

2log log (1 ) log ( 2)

x  x  x x

Năm 2014: a)Giải phương trình log (2 x1) log (3 x 2) 0  (Khối D) b) Giải phương trình

3 x 4.3x

   (CĐ)

Bài 2: Cho phương trình (2m 1)9x m3x m 0(*)

     Định m để phương trình (*): a) Hai nghiệm phân biệt

b) Có hai nghiệm trái dấu

c) Có nghiệm thuộc [0; 2]

Bài 3: Cho phương trình lg(x m ) log( x1)(**) Định m để phương trình (**):

a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt

Bài 4: Định m để phương trình sau nghiệm với x a) m4x2x2 3m1 0

b) log ( x2 x1) log (4 x2mx1)

Bài 5: Định m để bất phương trình

2