Hình học 7-CHỦ ĐỀ: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

a) Đường trung trực của EF luôn đi qua đỉnh A của tam giác ABC; b) Khi H di động trên đoạn thẳng ỈC thì đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn cố định. Cho tam giác ABC có AB < AC.[r]

(1)

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo)

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa đường trung trực: Đường trung trực đoạn thẳng đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm

Trên hình vẽ bên, d đường trung trực đoạn thẳng AB Ta nói: A đối xứng B qua d

2 Định lí 1: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng

3 Định lí 2: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng

MA = MB M thuộc đường trung trực AB

4 Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải toán Phương pháp giải: Sử dụng Định lí

(2)

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo)

1B Cho ∆ABC cân B Lấy điểm D đối xứng với điểm B qua AC Chứng minh ∆ABD = ∆CBD

2A Tam giác ABC vuông A có C = 30° Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Tính số đo góc BDA

2B Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết B = 40° Tính số đo góc ∆ABC

3A Tam giác DEF có DE < DF Gọi d đường trung trực EF M giao điểm d với DF

a) Chứng minh DM + ME = DF

b) Lấy điểm P nằm đường thẳng d (P ≠M) Chứng minh DP + PE > DF

c) So sánh chu vi hai tam giác DEM DEP

3B Tam giác ABC có B C− = 30° Đường trung trực BC cắt AC K a) Chứng minh KBC = KCB

b) Tính số đo góc ABK

c) Biết AB = cm, AC = cm Tính chu vi tam giác ABK

4A Cho tam giác ABC Các đường trung trực AB AC cắt BC M N

a) Biết =B 30°, C = 45° Tính số đo góc BAC MAN b) Chứng minh MAN = 2BAC- 180°

4B Cho tam giác ABC cân có A > 90° Các đường trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự D E hai trung trực cắt F a) Biết A = 110° Tính số đo góc DAE

(3)

c) Tính góc DFE

5A Cho góc vuông xOy Trên tia Ox, Oy lấy hai điểm A B (không

trùng với O) Đường trưng trực đoạn thẳng OA OB cắt M Chứng minh:

a) A, M, B thẳng hàng b) M trung điểm AB

5B Cho ∆ABC vuông A Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AC H, cắt BC D Nối A D

a) So sánh số đo góc DAB DBA b) Chứng minh D trung điểm BC

Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng

Phương pháp giải:

• Để chứng minh điểm M thuộc trung trực đoạn thẳng AB, ta dùng Định lí Định nghĩa đường trung trực

• Để chứng minh đường thẳng d đường trung trực đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách A B, dùng định nghĩa đường trung trực

6A Cho đoạn thẳng AB = cm Vẽ đường trịn tâm A bán kính cm đường trịn tâm B bán kính cm Hai đường trịn cắt D, E Chứng minh:

a) Điểm A thuộc đường trung trực DE; b) AB đường trung trực DE;

(4)

6B Cho đoạn thẳng AB Dựng tam giác cân MAB, NAB M N (M, N nằm khác phía so với AB) Chứng minh:

a) Điểm M thuộc đường trung trực AB; b) MN đường trung trực AB

7A Cho ∆DEF có DE = DF Lấy điểm K nằm tam giác cho KE = KF Kẻ KP vng góc với DE (P ∈ DE), KQ vng góc với DF (Q∈DF) Chứng minh:

a) K thuộc đường trung trực EF PQ;

b) DK đường trung trực EF PQ Từ suy PQ//EF

7B Cho góc xOy khác góc bẹt Oz tia phân giác xOy Gọi M điểm thuộc tia Oz Qua M vẽ đường thẳng a vng góc với Ox A, cắt Oy C vẽ đường thẳng b vng góc với Oy B, cắt Ox D Chứng minh.:

a) Điểm O thuộc đường trung trực AB; b) OM đường trung trực AB;

c) Điểm M thuộc đường trung trực CD

Dạng Xác định vị trí điểm thỏa mãn yêu cầu đề

Phương pháp giải: Sử dụng Định lí để xác định điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng

8A Cho hai điểm A, B nằm phía với đường thẳng d Xác định vị trí điểm M đường thẳng d cho M cách hai điểm A B 8B Cho tam giác ABC Một đường thẳng d qua A không cắt đoạn

(5)

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo)

Dạng Sử dụng tính chất đường trung trực vào tốn cực trị (tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất)

Phương pháp giải:

• Sử dụng tính chất đường trung trực để thay đổi độ dài đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng khác

• Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 9A Hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d

Tìm vị trí điểm C đường thẳng d cho giá trị tổng CA + CB nhỏ

9B Hai nhà máy xây dựng hai địa điểm A B nằm phía khúc sơng thẳng Tìm bờ sơng địa điểm C để xây trạm bơm cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A đến B nhỏ

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

10 Cho góc xOy= 35° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Gọi

C điểm đối xứng với A qua Oy a) Chứng minh ∆OAB = ∆OCB b) Tính số đo góc AOC

11 Cho tam giác ABC vuông A có góc C= 60° Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB

a) Chứng minh ∆BCD tam giác

b) Biết BC = Tính độ dài cạnh AB, AC

(6)

a) DB = DE;

b) AD đường trung trực BE

13 Cho ∆ABC cân A, M trung điểm BC ME vng góc với AB, MF vng góc với AC Chứng minh:

a) AM trung trực của BC;

b) ME = MF AM trung trực EF; c) EF// BC

14 Cho tam giác ABC có AB < AC Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD = AB Hai đường trung trực BD AC cắt E Chứng minh:

a) ∆ABE = ∆CDE;

b) Điểm E cách hai cạnh AB AC

15 Cho tam giác ABC cân A ( A < 90°) Đường trung trực cạnh AC cắt tia CB điểm D Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = BD Chứng minh.:

a) Chứng minh ∆ADC cân; b) Chứng minh DAC= ABC; c) Chứng minh AD = CE;

d) Lấy F trung điểm DE Chứng minh CF đường trung trực DE

16 Cho ∆ABC nhọn, đường cao AH Lấy điểm P Q đối xứng với H qua AB; AC

a) Chứng minh AP = AQ

(7)

c) Gọi I , K giao điểm PQ với AB, AC Chứng minh

API = AHIvà AHK= AQK

d) Chứng minh HA tia phân giác IHK

17 Cho xOy = 90° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Kẻ đường trung trực HM đoạn thẳng OA (H ∈ OA, M ∈ AB) Chứng minh M thuộc đường trung trực OB

18 Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I ∈ BC ) Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài E cắt AC F Chứng minh:

a) Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC; b) Khi H di động đoạn thẳng ỈC đường trung trực đoạn thẳng EF ln cố định

19 Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D AC cho DA + DB = AC

20 Cho góc xAy, B C hai điểm thuộc hai tia Ax Ay Tìm điểm M cách hai cạnh góc cách hai điểm B C 21 Cho bốn điểm A, B, C, D

tạo thành hình có AB / / CD BC//AD hình vẽ Giao điểm AC BD O Từ O vẽ vuông góc với AC cắt cạnh BC, AD

(8)

22 Cho ∆ABC có AB = 10 cm, AC = 13 cm, Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với BE M điểm đường thẳng d

a) Chứng minh MB + MC ≥ EC

b) Tìm vị trí điểm M đường thẳng d cho MB + MC đạt giá trị nhỏ cho biết giá trị

23 Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc đường phân giác góc ngồi đỉnh A cho tam giác EBC có chu nhỏ

24* Cho điểm A nằm góc nhọn xOy

a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox Oy cho AM + AN nhỏ b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox Oy cho ∆ABC có chu vi nhỏ

HƯỚNG DẪN 1A Do A, B nằm đường trung trực

của đoạn thẳng MN nên AM = AN, BM = BN

Suy ∆MAB = ∆NAB (c.c.c) 1B Tương tự 1A

2A AB đường trung trực AC => BD = BC => ∆DBC cân B => BDA= = °C 30

2B Tương tự 2A

(9)

3A Do DE < DF nên M thuộc cạnh DF a) Có M thuộc đường trung trực EF nên ME = MF

=> DM + ME = DM + MF = DF b) Vì P thuộc đường trung trực EF nên PE = PF =>DP + PE = DP + PF Xét ∆DEF: DP + PF > DF

Vậy DE + PE > DF

c) Từ ý a) ý b) suy DP + PE > DM + ME

Vậy chu vi tam giác DEP lớn chu vi tam giác DEM 3B Do B>C nên AC > AB K thuộc cạnh AC

a) K thuộc đường trung trực BC => KB = KC => ∆BKC cân K =>KBC=KCB

b) Ta có:

30 ABK = ABC−KBC= ABC− = °C

c) Ta có:

AK + BK = AK + KC = AC = 5cm => AB + AK + BK= + = cm Vậy chu vi tam giác ABK cm

4A a) Từ giả thiết suy AB > AC M nằm B N Ta có MA = MB, NA = NC

1

30 45

B A C A

° °

 = =

 

= =

(10)

Vậy MAN=90°−ABN+BAM =30°

b) Có: MAN = −A (A1+A2)= −A (B+C)= −A (180°−A)

Vậy MAN =2A−180°

4B Tương tự 4A Có

40

DAE= °và DFE= °70

5A a) Gọi M1,M2

giao điểm trung trực đoạn OA,OB với AB M1A = M1O nên A=O1

M2O = M2B nên B=O2

=> O1+O2 = + =A B 90° =>M OM1 =0° =>M1 ≡M2 ≡M

Vậy A, B, M thẳng hàng

b) Từ kết ý a) MA = MB nên M trung điểm AB 5B a) Từ giả thiết suy DC = DA => C=A1

2

90 90

A A

A B B C

 + =



=> = 

+ = 

° °

b) A2 =B => DA = DB

Mà DC = DA => DC = DB => ĐPCM

6A a) Từ giả thiết suy AD = AE Suy điểm A thuộc đường trung trực DE

(11)

thuộc đường trung trực DE Vậy AB đường trung trực DE c) Ta có AD2 + DB2 = 42 + 32 = 25

Mà AB2 = 25

Vậy ∆ABD vuông D 6B Tương tự 6A

7A a) Ta có: DE DF

KE KF

=

 

=

 nên K, D thuộc

trung trực EF ∆DEK = ∆DFK (c.c.c)

=> D1=D2 => DK đường phân

giác góc DEF => ∆DPK = ∆DQK => KP = KQ DP = DQ

Từ suy K, D thuộc trung trực PQ

b) Từ ý a) ta có DK đường trung trực PQ DK đường trung trực EF Suy DK ⊥ PQ, DK ⊥ EF

Vậy PQ // EF

7B a) ∆OAM = ∆OEM (ch-gn) OA OB

MA MB

=

 

=



=> O thuộc trung trực AB b) Từ ý a) ta có OM trung trực AB

(12)

Tương tự 7A, ta có OM trung trực DC

8A Vì điểm M cách hai điểm A B nên M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB

Vậy điểm M giao điểm đường thẳng d với đường trung trực AB

Chú ý: Nếu A, B nằm cho

AB ⊥ d khơng tồn điểm cần tìm 8B Tương tự 8A

9A Lấy D điểm đối xứng, với A qua d Theo tính chất đường trung trực: CA = CD

Do CA + CB = CD + CB Gọi M giao điểm BD d Nếu C không trùng với M xét

∆BCD, ta có: CB + CD > BD hay CA + CB > BD (1) Nếu C trùng với M thì:

CA + CB = MA + MB = MD + MB = BD (2)

(13)

Chú ý: Điểm C tìm vị trí M điểm Thật vậy, lấy E đối xứng với B qua d AE cắt d M vị trí mà BD cắt d

9B Tương tự 9A

10 a) Từ giả thiết suy OB đường trung trực AC

=> OA = OC, BA = BC => ∆OAB = ∆OCB (c c c) b) Từ ý a) suy ra:

35 70

AOB=BOC= ° =>AOC= °

11 a) Có AB đường trung trực CD nên BD = BC

=> ∆BCD cân có C = 60° => ∆BCD

b) ∆BCD

=> CD = BC = 3 CD CA

=> = = Xét ∆ABC vng A, ta có: AB = 2

BC −AC = 12 ∆ABD = ∆AED (c.g.c)

=> DB = DE (1)

(14)

trung trực BE

13 a) Từ giả thiết suy AB = AC MB = MC => AM trung trực của BC

b) ∆ABC cân A nên B=C

∆BEM = ∆CFM ( ch-gn) => ME = MF ∆BEM = ∆CFM (ch-gn) => BE = CF Mà AB = AC =>AE = AF

Mặt khác, ME = MF Do AM trung trực EF

c) Ta có: AM đương trung trực BC EF

=> AM ⊥ BC, AM ⊥ EF => EF // BC 14 a) Vì hai đường trung trực BD

và AC cắt E nên EA = EC, EB = ED

=> ∆ABE = ∆CDE (c.c.c) b) ∆ABE = ∆CDE => A1 =C1

Mà EA = EC => A1=C1=> A1 =A2

=> AE tia phân giác góc BAC => điểm E cách hai cạnh AB AC

15 a) Vì D thuộc đường trung trực AC nên DA = DC

(15)

b) ∆ADC cân => DAC=DCA

Vì AB = AC nên ABC= ACD => DAC=ABC

c) Ta có :

) ( 180

EAC+DAC=DBA+ABC = °

Từ kết ý a), suy EAC= ADB

Chứng minh ∆EAC = ∆DBA (c.g.c) => AD = CE d) Ta có: AD = CE, AD = CD nên CE = CD

=> CF đường trung trực DE

16 a) Từ giả thiết suy AP = AH AQ = AH nên AP = AQ b) Ta có:

2( )

2 120

PAQ PAH HAQ BAH HAC

BAC

= +

+

= = °

c) ∆API = ∆AHI (c.c.c)

API AHI

=> = (1)

∆AHK = ∆AQK ( c.c.c) => AHK = AQK (2)

d) Có AP = AQ => ∆PAQ cân A => API = AQK (3) Từ (1),(2) (3) có: AHI =AHK

=> HA tia phân giác IHK 17 Ta có MA = MO => O2 =A

Mặt khác, A+ =B O2+O1= °90

(16)

Vậy M thuộc trung trực OB

18 a) Vì HE // AI nên E=A1 (đồng vị) F1=A2(so le trong)

Mà A1=A2 , E=F1

=> AE = AF

=> Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC b) Vì EF//AI nên đường trung trực EF vng góc với AI

Từ kết ý a), suy đường trung trực EF qua điểm A

vuông góc với AI cố định Vậy đường trung trực đoạn thẳng EF cố định

19 Ta có: AC = DA + DC Suy ra: DA + DB = AC

DA + DB = AD + DC DB = DC

D thuộc đường trung trực BC Vậy D giao điểm AC với đường trung trực BC

DA + DB = AC

(17)

đường trung trực BC

Vậy M giao điểm tia phân giác góc xAy đường trung trực BC Chú ý: Nếu B, C vị trí mà AB = AC

tìm vô số điểm M nằm trung trực BC 21 Chứng minh được:

∆BAC = ∆DCA (g.c.g) nên BC = AD; ∆BOC = ∆DOA (g.c.g) nên OC = AO Do BC // AD nên MCO=NAO (so le trong)

∆MOC = ∆NO A => OM = ON,

AC ⊥ MN trung điểm MN nên AC trung trực MN Suy AM = AN CM = CN, MN trung trực AC nên AM = MC Suy ĐPCM

22 a) Gọi F giao điểm đường thẳng d với AB nên AF⊥ BE

∆AEF = ∆ABF (ch-cgv)

=> FE = FB => AF đường trung trực AB => ME = MB

=>MB + MC = ME + MC

Nếu điểm M khơng trùng điểm A, xét ∆MEC có ME + MC > EC nên MB + MC > EC (1)

(18)

Từ (1) (2) suy MB + MC ≥ EC

b) Từ ý a) ta thấy điểm M trùng điểm A MB + MC đạt giá trị nhỏ Khi đó, ta có:

MB + MC = EC = AB + AC = 23cm 23 Lấy điểm D đối xứng với

điểm C qua đường thẳng AE => AE đường trung trực CD =>ED = EC

=> EB + EC = EB + ED

Tương tự 9A suy điểm E trùng với điểm A giá trị tổng EB + EC nhỏ Khi đó, chu vi tam giác EBC nhỏ

24* a) Từ A vẽ AM ⊥ Ox Đoạn AM nhỏ đoạn từ A đến điểm Ox

Tương tự AN ⊥ Oy

Suy AM + AN tìm có giá trị nhỏ

b) Lấy D đối xứng với A qua Ox, lấy E đối xứng với A qua Oy Đường DE cắt Ox, Oy B, C cần tìm

(19)

khác B,C ta ln có:

BD + BC + CE < B' D + B'C' + C' E

Mặt khác, ta có: AB + BC + CA = BD + BC + CE, AB' + B'C' + C'A + B'D + B'C' + C'E Vậy B, C hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề

(20)

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo)

Đặt mua tại: https://xuctu.com/

FB: facebook.com/xuctu.book/

Email: sach.toan.online@gmail.com

Đặt online biểu mẫu: