TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG.TS.NÔNG QUỐC CHINH

www.VNMATH.com TS NÔNG QUỐC CHINH TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM www.VNMATH.com Lời nói đầu Giáo trinh "Tơpơ đại cương" trình bày khái niệm Tôpô, cách xây dựng tôpô, phân loại không gian tôpô, đồng phôi không gian tôpô xét trường hợp riêng không gian tôpô không gian compắc, không gian liên thông, không gian mêtric,… Đây kiến thức sở cần thiết cho nhiều lĩnh vực toán học khác Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo tích phân, Tơpơ đại số, Hình học vi phân,… Giáo trình viết sở giảng cho sinh viên năm thứ hệ Cử nhân ngành Toán sinh viên hệ Sau đại học ngành Toán khoa toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Giáo trình bao gồm chương, chương có nêu nhiều ví dụ minh hoạ có phần tập để sinh viên tự giải Trong lần xuất không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý bạn đọc TÁC GIẢ www.VNMATH.com Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ §1 CÁC PHÉP TỐN VỀ TẬP HỌP Giao, hợp, hiệu Đối với tập A, B, C tập hơp X ta có: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), X \ (A ∪ B) = (X \ A ) ∩ (X \ B), (Công thức De Morgan) X \ (A ∩ B) - (X \ A) ∪ (X \ B), (Công thức De Morgan) A \ B = A ∩ (X \ B), (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C), X \ (A \ B) = B ∪ (X \ A) Giả Sử (Ai)i ∈ I (Bk)k ∈ K hai họ tập tùy ý tập hơp X Khi đó: www.VNMATH.com (Công thức De Morgan mở rộng) (Công thức De Morgan mở rộng) Tích Đềcác Giả sử, X Y tập hợp, XxY tích Đềcác chúng Với U1, U2 ⊂ X V1, V2 ⊂ Y ta có: Ánh xạ Cho ánh xạ f : X → Y Đối với A, B ⊂ X ta có: Giả sử (Ai)i ∈ I họ tập tùy ý tập hợp X Khi đó: Đối với M, N ⊂ Y ta có: www.VNMATH.com Giả sử (Mi)i ∈ I họ tập tùy ý tập hợp Y Khi đó: §2 QUAN HỆ THỨ TỰ Quan hệ hai ≤ tập hợp X gọi quan hệ thứ tự điều kiện sau thỏa mãn: a) Phản xạ: x ≤ x , ∀x ∈ X b) Phản đối xứng: ∀x, y ∈ X, x ≤ y y ≤ x x = y c) Bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X, x ≤ y y ≤ z x ≤ z Tập hợp X trang bị quan hệ thứ tự ≤ gọi tập thứ tự Nếu x ≤ y, ta nói x đứng trước y, hay x nhỏ bàng y Khi x ≤ y x ≠ y, ta viết x < y Ta nói hai phần tử x y X so sánh x ≤ y y ≤ x Cho X tập thứ tự Phần tử a ∈ X gọi phần tử cực tiểu (tương ứng cực đại) X, ∀X ∈ X, điều kiện x ≤ a (tương ứng a ≤ x) kéo theo x = a Trong tập thứ tự khơng thiết phải ln có phần tử cực tiểu (cực đại), có nhiều phần tử cực tiểu (cực đại) khác www.VNMATH.com Giả sử A ⊂ X Phần tử a ∈ X gọi cận (tương ứng cận trên) tập A, ∀x ∈ A, ta ln có a ≤ x (tương ứng x ≤ a) Nếu tập A ⊂ X có cận (tương ứng cận trên) ta nói A bị chặn (tương ứng chặn trên) Tập A gọi bị chặn (hay giới nội) A đồng thời bị chặn bị chặn Ta ký hiệu DA tập tất cận A, ký hiệu TA tập tất cận A Nếu DA ≠ ∅ a0 ∈ DA thỏa mãn a ≤ a0 ∀a ∈ DA a0 gọi cận tập A, ký hiệu a0 = infA Tương tự, TA ≠ ∅ a0 ∈ TA thỏa mãn ao ≤ a, ∀a ∈ TA a0 gọi cận tập A, ký hiệu a0 = supA Phần tử x0 ∈ A gọi phần tử bé (tương ứng lớn nhất) A ∀X ∈ A ln có x0 ≤ x (tương ứng x ≤ x0) Ta nói tập X thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) ∀x,y ∈ X x ≤y y ≤ x Khi ta nói ≤ quan hệ thứ tự toàn phần X Giả sử X tập thứ tự toàn phần, với a,b ∈ X tùy ý, a ≤ b Ta ký hiệu: [a, b] = {x ∈ X |a ≤ x ≤ b}, gọi khoảng đóng với đầu mút trái a, đầu mút phải b [a, b) = { x ∈ X |a ≤ x ≤ b } , gọi khoảng mở bên phải, đóng bên trái (a,b] = { x ∈ X |a < x ≤ b } , gọi khoảng đóng bên phải, mở bên trái (a,b) = { x ∈ X |a< x < b } , gọi khoảng mở X Tập thứ tự toàn phần X gọi tập thứ tự tốt tập khác rỗng X ln có phần tử bé Giả sử X tập hợp thứ tự Tập hợp tất tập www.VNMATH.com sáp thứ tự toàn phần X với quan hệ bao hàm tập thứ tự Mỗi phần tử cực đại tập gọi tập thứ tự toàn phần cực đại tập hợp X §3 TIÊN ĐỀ CHỌN Giả sử σ họ tập hợp Ta nói họ σ có đặc trưng hữu hạn thỏa mãn điều kiện sau: (1) ∀A ∈ σ, B tập hữu hạn A B ∈ σ (2) Nếu A tập hợp thỏa mãn: tập hữu hạn A thuộc σ, A ∈ σ Định lý Các điều kiện sau tương đương: (i) Cho tập hợp khác rỗng X Đối với họ tùy ý (Ai)1∈I tạp khác rỗng tập X, tồn hàm f : I → X cho f(i) ∈ (Ai) với i ∈ I (ii) Trên tập hợp tùy ý tồn quan hệ thứ tự tốt (iii) Mỗi tập thứ tự toàn phần tập hợp thứ tự X chứa tập thứ tự toàn phần cực đại (iv) Nếu họ σ tập có đặc trưng hữu hạn phần tử chứa phần tử cực đại xác định www.VNMATH.com (v) Nếu tập thứ tự toàn phần tập thứ tự X bị chặn trên, phần tử x ∈ X so sánh với phần tử cực đại X Điều kiện (i) gọi tiên đề chọn Điều kiện (ii) gọi điều kiện Zermelo Điều kiện (iii) gọi điều kiện Hausdorff Điều kiện (iv) gọi điều kiện Tukey Điều kiện (v) gọi điều kiện Kuratowsky - Zorn www.VNMATH.com Chương KHÔNG GIAN MÊTRIC §1 KHÔNG GIAN MÊTRIC, SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC Không gian mêtric Định nghĩa 1.1 Không gian mêtric cặp (X, d), X tập hợp, d : X x X → hàm xác đính X x X thoả mãn điều kiện sau: Với x, y ∈ X : d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất) Với x, y ∈ X: d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng) Với x, y, z ∈ X : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), (tiên đề tam giác) Hàm d gọi mêtric X Mỗi phần tử X gọi điểm không gian X, số d(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y Ví dụ 1.1 tập hợp số phức Tập hợp số thực không gian mêtric, với mêtric d(x, y) = |x - y| , với x, y ∈ (hoặc ) Ví dụ 1.2 Tập họp Rk không gian mêtric với mêtric d xác định sau: www.VNMATH.com Hiển nhiên d thoả mãn hai tiên đề đồng đối xứng Ta kiểm tra tiên đề tam giác Trước hết, để ý a1, ,ak, b1 , ,bk số thực thì: (Bất đẳng thức thức Cơsi) Lấy tùy ý Khi Từ ta có d(x,z) ≤ d(x,y) + d (y,z) Ta gọi d mêtric Euclid (Rk, d) gọi khơng gian Euclid Ví dụ 1.3 Gọi C[a, b] tập hợp hàm số thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] Dễ dàng chứng minh C[a,b] không gian mêtric với mêtric với www.VNMATH.com A ∩ M, V = B ∩ M ⇒ A ∩ M= ∅, B ∩ M = ∅, A ∩ B ∩ M = ∅, M ⊂ A ∪ B Mâu thuẫn với giả thiết Định lý 4.18 Nếu không gian tôpô X có tập liên thơng trù mật M, X không gian liên thông Chứng minh Giả sử khơng gian tơpơ X khơng liên thơng Khi tồn hai tập mở A, B khác rỗng cho A ∩ B =∅, X = A ∪ B Vì M trù mật X, A ∩ M = ∅, B ∩ M = ∅ Ta có A ∩ B ∩ M = ∅, M ⊂ A U B suy M liên thông, điều trái với giả thiết Vậy X liên thông Hệ Giả sử A liên thông X, A ⊂ B ⊂ A Khi B tập liên thơng Chứng minh Vì A tập liên thơng trù mật không gian B nên B liên thông Định lý 4.19 Hợp họ tùy ý tập liên thơng có giao khác rỗng X tập liên thông X Chứng minh Giả sử {Ms}s∈S họ tập liên thông X thỏa mãn M = không tập liên thơng Khi đó, tồn hai tập mở A, B ⊂ X cho: A ∩ M ≠ ∅, B ∩ M ≠ ∅, Vì x ∈ M A ∩ B ∩ M= ∅, M ⊂ A ∪ B Lấy tùy nên x thuộc hai tập A, B Giả sử x ∈ A Ta có B ∩ M = ∅ ⇒ ∃s0 ∈ S cho B ∩ MS0 = ∅, x ∈ A ∩ MS0 ⇒ A ∩ MS0 = ∅, ta có A ∩ B ∩ MS0 = ∅ Và MS0 ⊂ A ∪ B Vậy MS0 không liên thông Mâu thuẫn với giả thiết Vậy tập M liên thông 148 www.VNMATH.com Hệ Giả sử với x, y ∈ X tồn tập liên thông chứa x y Khi khơng gian tơpơ X liên thơng Chứng minh Lấy a ∈ X, với x ∈ X theo giả thiết tồn tập liên thơng Cx chứa a x Vì a ∈ IC x∈X x nên X = IC x liên x∈X thống Hệ Giả sử A, B ⊂ X, B tập liên thơng Nếu B có điểm chung với A với X\A, B có điểm chung với biên tập A b(A) Chứng minh Giả sử B ∩ b(A) = ∅, ta có B ∩ b(X \ A) = ∅ nghĩa B ⊂ A ∪ (X \ A0, B có điểm chung với A X \ A nên : B ∩ A0 ≠ ∅ Và B ∩ (X \ A)0 ≠ ∅ Do A0 (X\A)0 tập mở không giao nên theo nhận xét tập B không liên thông (mâu thuẫn với giả thiết) Hệ Mọi tập thực sự, khác ∅ khơng gian liên thơng có điểm biên Chứng minh Giả sử X không gian tôpô liên thông, A ⊂ X, A ≠ ∅, A ≠ X Khi với B = X, rõ ràng B có giao khác rỗng với A X\A, B tập liên thơng theo nhận xét ta có b(A) ≠ ∅ Định lý 4.20 Ảnh tập liên thông qua ánh xạ liên tục tập liên thông Chứng minh Giả sử f : X → Y ánh xạ liên tục lừ không gian tôpô X đến 149 www.VNMATH.com không gian tôpô Y, A tập liên thông X Ta chứng minh B = f(A) tập liên thông Y Giả sử B tập khơng liên thơng Khi tơpơ hai tập mở M, N khác ∅ cho M ∩ B ≠ ∅, N ∩ B ≠ ∅, M ∩ N ∩ B = ∅, B ⊂ M ∪ N Do f ánh xạ liên tục nên f làm f-1(N) tập mở X, rõ ràng f1 (M) ∩ A ≠ ∅ f-1(N) ∩ A ≠ ∅, f-1(M) ∩ f-1(N) ∩ A = ∅ A ⊂ f-1(M) ∪ f-1(N) (mâu thuẫn với A liên thông) Vậy f(A) = B tập liên thông Định lý 4.21 X không không gian liên thông tồn toàn ánh liên tục f : X → Y, Y khơng gian tơpơ rời rạc có phần tử Chứng minh ƒ (⇒) Giả sử không gian tôpô X không không gian liên thơng Khi ∃A, B tập mở khác ∅ X cho A ∩ B = ∅, X = A ∪ B Gọi Y không gian rời rạc gồm hai phần tử a, b Khi ta có ánh xạ f: X → Y xác định : f(x) = a, (∀x ∈ A), f(y) = b (∀y ∈ B), toàn ánh liên tục, theo định lý (4.20) ƒ (⇐) Giả sử ∃ toàn ánh liên tục f : X → Y, Y khơng gian rời rạc có hai phần tử Khi X khơng khơng gian liên thơng, X liên thơng theo định lý (4.20), Y liên thơng, mâu thuẫn với giả thiết Y không gian rời rạc Định lý 4.22 a) Tích Đề ∏X s họ không gian liên thông s∈S {Xs}s ∈S liên thơng 150 www.VNMATH.com b) Nếu tích Đề ∏X s liên thơng khơng gian Xs liên s∈S thông (∀s ∈ S) Chứng minh a) Giả sử Xs liên thơng (∀s ∈ S), khơng gian tích ∏ X s không không gian liên thông Khi ∃tồn ánh s∈S liên tục f : ∏X s → Y, Y khơng gian rời rạc có s∈S phần tử (định lý 4.21 ) Lấy a = (as)s ∈S ∈ ∏ X s Với bất s∈S kỳ S0 ∈ S, gọi Js0 : Xs0 → ∏X s ánh xạ xác định js0 (xs0) s∈S = x = (xs)s∈S đó: Khi ánh xạ tích fs0 = f.js0 : Xs0 → Y liên tục, phép nhúng js0 f liên tục Do Xs0 liên thông (theo định lý 4.20) ta có fs0(Xs0) tập liên thông ⇒ fs0 ánh xạ Như f(x) = f(a) với x = (xs)s∈S mà xs = as (∀s ≠ s0) Bằng quy nạp ta có f(x) = f(a) với x = (xs)s∈S mà xs = as với s ∈ S trừ số hữu hạn phần tử S Tập A gồm điểm x trù mật X Thật giả sử U tập mở khác rỗng X, tồn tập ∏X s ⊂ U, s∈S Ws tập mở Xs, Ws = Xs, ( ∀s ∈ S \ {s1, ,sn}) Điểm x = (xs)s∈S với xsi ∈ Wsi ( ≤ i ≤ n) xs = as, (∀s ∉ {s1 ,…,su}) điểm chung U A Vậy A trù mật X.Vì Y khơng gian Hausdorff, A trù mật X, f liên tục thoả 151 www.VNMATH.com mãn f(x) = f(a), (∀x ∈ A), f(x) = f(a) (∀x ∈ X) Điều khơng thể xảy ra, f tồn ảnh từ X lên Y có phần tử b) Phép chiếu: ps : ∏X s → Xs toàn ánh liên tục (∀s ∈ S) s∈S Vì vậy, ∏X s liên thơng, Xs liên thơng s∈S Định lý 4.23 Không gian thương không gian liên thông liên thông Chứng minh Giả sử X liên thông, R quan hệ tương đương X Vì ánh xạ thương p : X → X/R tồn ánh liên tục tơpơ thương nên X/R liên thông Nhận xét Với x ∈ X hợp tất tập liên thông X chứa phần tử x liên thơng Đó tập liên thông lớn X chứa x Định nghĩa 4.8 Tập liên thông lớn không gian X chứa phần tử x ∈ X gọi thành phần liên thông điểm x Nếu x ∈ A ⊂ X thành phần liên thơng x khơng gian A gọi thành phần liên thông x A Nhận xét ƒ Nếu X khơng gian liên thơng X thành phần liên thơng điểm thuộc ƒ Nếu tập A vừa mở vừa đóng X, A chứa thành phần liên thông X điểm thuộc A Thật vậy, lấy tùy ý x ∈ A, giả sử C thành phần liên thông 152 www.VNMATH.com x X thoả mãn C ⊄ A, A ∩ C tập thực sự, khác ∅ vừa đóng, vừa mở khơng gian C X Điều khơng thể xảy C liên thông ƒ Thành phần liên thông điểm x nằm giao tất tập vừa mở vừa đóng chức x Định lý4.24 Trong khơng gian tơpơ X ta có: a) Thành phần liên thơng điểm tập đóng b) Quan hệ hai ngơi R X xác định : "yRx ⇔ y thuộc thành phần liên thông Cx" điểm x quan hệ tương đương X Mỗi thành phần liên thông điểm X lớp tương đương quan hệ R Chứng minh a) Gọi Cx thành phần liên thông điểm x ∈ X , Cx tập đóng CX liên thông Từ định nghĩa b) Hiển nhiên R phản xạ đối xứng Ta chứng minh quan hệ R bắc cầu Giả sử x, y, z ∈ X, yRx zRy, tức y ∈ Cx và' z ∈ Cy Từ ta có y ∈ Cx ∩ Cy ⇒ Cx ∪ Cy tập liên thông ⇒ Cx ∪ Cy = Cx ⇒ z ∈ Cx ⇒ zRx Rõ ràng thành phần liên thông x lớp tương đương chứa x Định lý 4.25 Trong tích Đề ∏X s họ không s∈S gian tôpô {xs}s∈S thành phần liên thông điểm x = {xs}s∈S ∈ ∏X s tích Đềcác s∈S diềm xs Xs Chứng minh 153 ∏C s∈S s thành phần liên thông Cs www.VNMATH.com Theo định lý (4.22) ta có ∏C s tập liên thơng chứa x s∈S không gian tôpô ∏X s Mặt khác A tập liên thông s∈S ∏X s chứa x ps(A) tập liên thơng Xs chứa xs s∈S (∀s ∈ S), phép chiếu ps : ∏X → Xs ánh xạ liên tục Do s s∈S ps(A) ⊂ Cs, ∀s ∈ S, A ⊂ n ∏C s ⇒ s∈S liên thông lớn ∏X s chứa x Vậy s∈S ∏C s tập s∈S ∏C s thành s∈S phần liên thông x Định lý 4.26 Tập số thực với tổng tự nhiên không gian thông Chứng minh: không liên thông Khi tồn tập Giả sử thực khác ∅, vừa đóng vừa mở A ⇒ ∃r ∈ \A Hiển nhiên A ⊂ (-∞, r) ∪ (r, +∞) Đặt B = A ∩ (-∞, r), C = A ∩ (r, +∞) Ta có A = B ∪ C (vì A ≠ ∅) Nếu B ≠ ∅, ta có tập B bị chặn số r có cận b = supB ≤ r Từ suy tồn dãy ⊂ B cho Vì dãy tập đóng A b ∈ A Do đó, b < r b ∈ B Vì B tập mở ∃ε > cho (b - ε, b + ε) ⊂ B, (b + ε < r) Số thực x = (b + ε ) phần tử B x > b Điều khơng thể xảy b cận B 154 www.VNMATH.com Trường hợp B = ∅ kéo theo C ≠ ∅, ta chứng minh cách tương tự Vậy không gian tôpô liên thông Nhận xét ƒ ƒ ƒ Không gian Euclid không gian liên thông Mỗi khoảng mở liên thơng Mỗi khoảng đóng nửa đóng liên thông Định lý 4.27 Nếu tập A liên thơng lễ A khoảng Ta hiểu khoảng khoảng mở, đóng nửa đóng nửa mở Chứng minh Ta cần chứng minh a, b ∈ A, a < b A ⊃ [a, b] Giả sử ∃c ∉ A cho a < c < b Khi B = (-∞, c) C = (c, ∞) mở , B ∩ C = ∅ B ∩ A ≠ ∅, C ∩ A ≠ ∅ A ⊂ B ∪ C Suy A không liên thông (mâu thuẫn với giả thiết) Ta chứng minh mở rộng định lý Bonzano - Cơsi giải tích cổ điển Định lý 4.28 Giả sử f : X → (R hàm liên tục không gian liên thông X, a, b ∈ X, f(a) < f(b) Khi với C ∈ [f(a), f(b)], tồn c ∈ X cho f(c) = C Chứng minh X liên thông suy f(x) liên thông , (định lý 4.20) ⇒ f(X) khoảng (định lý 4.27) ⇒ [f(a), f(b)] ⊂ f(X) ⇒ C ∈ f(X) ⇒ ∃c ∈ X thỏa mãn f(c) = C Một trường hợp riêng không gian liên thông không gian liên thông cung 155 www.VNMATH.com Đinh nghĩa 4.9 Không gian tôpô X gọi liên thông cung, với a, b ∈ X, tồn ánh xạ f : [0, 1] → X liên tục cho f(0) = a, f(1) = b Ánh xạ f gọi cung nối hai điểm a b, a gọi điểm đầu, b gọi điểm cuối cung Nhận xét a) Nếu không gian tôpô X liên thông cung X liên thơng Thật vậy, [0, 1] tập liên thông , ánh xạ f liên tục nên tập f[0,1], liên thông X Tập liên thông chứa cặp điểm a, b ∈ X Khi cố định điểm a, cho b chạy khắp X, dù ánh xạ f có thay đổi tồn tập liên thông chứa cặp điểm Vậy X hợp họ tập liên thơng X có giao khác rỗng Vậy X không gian liên thông b) Một không gian liên thông chưa liên thông cung c) Giả sử X không gian tôpô, A ⊂ X đó, cung nối điểm a ∈ A0 với điểm b ∈ (X\A)0 phải cắt biên A Ta nói cung f: [0, 1] → X cắt bao f ([0, 1]) ∩ b(A) ≠ ∅ BÀI TẬP Chứng minh rằng: a) Hợp hai tập compắc không gian tôpô tập compắc b) Nếu U tập mở A tập compắc khơng gian tơpơ X A \ U tập compắc c) Giao họ tập đóng compắc 156 www.VNMATH.com khơng gian tơpơ X tập đóng compắc d) Cho không gian tôpô X, A ⊂ B ⊂ X Chứng minh B tập compắc A tập compắc Hãy cho ví dụ chứng tỏ giao hai tập compắc không gian tôpô chưa tập compắc Chứng minh khoảng mở (a, b) không gian tôpô tập compắc Trong không gian tôpô Chi, bị cho ví dụ tập đóng bị chặn khơng tập compắc Cho A, B tập đóng, compắc rời khơng gian mêtric (X, d) Chứng minh tồn x ∈ A y ∈ B cho d(x, y) = d(A, B) Cho X không gian tôpô compắc dãy đơn điệu giảm tập đóng X thỏa mãn ∞ IF k = φ Chứng minh tồn số tự nhiên n cho Fn k =1 = ∅ Cho X không gian compắc, Y không gian Hausdorff, f : X → Y ánh xạ lên tục Chứng minh f ánh xạ đóng Trong khơng gian cho Chứng minh X tập compắc Xét tính compắc tập số hữu tỉ với tôpô tương ứng TT, TK, T, Ts TD 10 Trong tập với tổng tự nhiên xét xem tập sau có compắc hay khơng: a) 157 www.VNMATH.com b) c) d) 11 Cho Y tập hợp vô hạn phần tử, a, b ∉ Y, đặt X = {a,b} ∪Y Gọi T họ tập X.được xác định sau: X ∈ T, phần bù tập hữu hạn X phần tử T, tập Y phần tử T a) Chứng minh T tôpô X b) Xét tính compắc tập sau X : Y, A = Y ∪ {a} , B = Y U {b} 12 Hãy xét xem không gian tơpơ sau có compắc địa phương hay khơng : a) Tập với tổng Ts b) Tập tổng tự nhiên 13 Hãy xét tính liên thơng không gian tôpô đây: a) Không gian tôpô ( , k) b) Tập số hữu tỉ ( , T) c) Tập số vô tỉ ( , T) d) Tập số tự nhiên ( , T) e) Tập số phức với tôpô tự nhiên 14 a) Hãy đưa ví dụ để chứng tỏ ảnh tập không liên thông qua ánh xạ liên tục chưa tập không liên thông b) Chứng minh tạo ảnh tập khơng liên thơng qua tồn ánh liên tục tập không liên thông 158 www.VNMATH.com 15 Chứng minh X khơng gian tơpơ hồn tồn quy, liên thơng có nhiều phần tử X có lực lượng khơng đếm 16 Chứng minh X không gian tôpô Hausdorff M không gian compắc địa phương trù mật X M tập mở X 17 Giả sử X không gian tôpô compắc địa phương Hausdorff Chứng minh tập A X compắc địa phương A giao tập mở tập đóng X 159 www.VNMATH.com MỤC LỤC Lời nói đầu Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ §1 CÁC PHÉP TỐN VỀ TẬP HỌP §2 QUAN HỆ THỨ TỰ §3 TIÊN ĐỀ CHỌN Chương KHÔNG GIAN MÊTRIC §1 KHƠNG GIAN MÊTRIC, SỰ HỘI TỤ TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC §2 TẬP HỢP MỞ VÀ TẬP HỢP ĐĨNG 12 §3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC GIỮA CÁC 17 KHÔNG GIAN MÊTRIC 17 §4 KHƠNG GIAN MÊTRIC ĐÂY ĐỦ 21 §5 TẬP COMPẮC 35 Bài Tập 49 Chương KHÔNG GIAN TÔPÔ 56 §1 CẤU TRÚC TƠPƠ 56 §2 ĐIỂM GIỚI HẠN, PHẦN TRONG, PHẦN NGỒI, BIÊN VÀ BAO ĐĨNG CỦA MỘT TẬP 61 §3 CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 68 BÀI TẬP 75 Chương ÁNH XẠ LIÊN TỤC, KHÔNG GIAN CON KHƠNG GIAN TÍCH, KHƠNG GIAN THƯƠNG 79 §1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC - PHÉP ĐỒNG PHƠI 79 §2 SO SÁNH HAI TƠPƠ 85 §3 TƠPƠ XÁC ĐỊNH BỞI MỘT HỌ ÁNH XẠ 87 §4 CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH 90 §5, KHÔNG GIAN CON CỦA MỘT KHÔNG GIAN TÔPÔ 98 §6 TÍCH ĐỀ CÁC CỦA CÁC KHƠNG GIAN TƠPƠ 104 §7 TỔNG TRỰC TIẾP CỦA MỘT HỌ KHÔNG GIAN TÔPÔ 115 §8 TƠPƠ THƯƠNG 117 160 www.VNMATH.com §9 TƠPƠ MÊTRIC, KHƠNG GIAN MÊTRIC HĨA 118 BÀI TẬP 123 Chương KHÔNG GIAN COMPẮC, KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG 129 § KHÔNG GIAN COMPẮC 129 §2 KHÔNG GIAN COMPẮC ĐỊA PHƯƠNG 139 §3 COMPẮC HOÁ 143 §4 KHƠNG GIAN LIÊN THƠNG 147 BÀI TẬP 156 161 www.VNMATH.com Chịu trách nhiệm xuất Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO Tổng biên tập LÊ A Hội đồng thẩm định GS TSKH NGUYÊN VĂN KHUÊ (CT) PGS TSKH LÊ MẬU HẢI (UV) PGS TS PHẠM KHẮC BAN (UV) Biên tập TĂNG VĂN LONG Trình bày bìa PHẠM VIỆT QUANG 162