ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN: Toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂN TRÀO KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ĐỀ CƢƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN: Toán học I LỚP DẠY: Đại học Tiểu học quy Họ tên giảng viên: Nguyễn Tuyết Nga Bộ mơn: Tốn Chƣơng I: Cơ sở lí thuyết tập hợp Phần thứ nhất: Lí thuyết Số tiết: 10 A Mục tiêu Kiến thức: Người học cần đạt - Hiểu khái niệm tập hợp, quan hệ, ánh xạ biết xây dựng ví dụ minh học cho khái niệm - Nắm định nghĩa phép toán tập hợp ánh xạ Phát biểu chứng minh tính chất chúng - Chứng minh quan hệ tương đương thứ tự Lí giải số quan hệ thứ tự thường gặp quan hệ “chia hết”, quan hệ “chia hết cho” tập hợp N*, quan hệ “bao hàm” tập hợp tập hợp, quan hệ  (nhỏ bằng) theo nghĩa thông thường tập hợp R Kỹ năng: Hình thành rèn cho người học kĩ năng: - Kỹ xác định tập hợp phép toán tập hợp, giải toán áp dụng đơn giản - Chứng minh A = B  A  B B  A , hay x  A  x  B ngược lại - Thiết lập phép toán tập hợp ánh xạ - Vận dụng kiến thức tập hợp ánh xạ toán học - Tìm lớp tương đương, tập thương theo quan hệ tương đương - Tìm phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu theo quan hệ thứ tự (chủ yếu quan hệ chia hết tập hợp số tự nhiên N) Biểu diễn số quan hệ thứ tự quan hệ thứ tự nghiêm ngặt lược đồ hình tên Thái độ: - Chủ động tìm tịi, phát khám phá ứng dụng lí thuyết tập hợp việc dạy học tốn - Cẩn thận kiên trì giải toán, nghiêm túc học toán B Chuẩn bị Giảng viên: - Tài liệu chính: [1] Nguyễn Tiến Trung, Cơ sở lý thuyết tập hợp logic Toán, Nhà xuất Giáo dục, 2008 - Tài liệu tham khảo: [2] Trần Diên Hiển, Nguyễn Xuân Liêm, Cơ sở lý thuyết tập hợp logic toán, Nhà xuất Giáo dục & Nhà xuất Đại học sư phạm, 2007 [3] Phan Hữu Chân- Nguyễn Tiến Tài, Tập hợp logic Số học, Nhà xuất Giáo dục, 1999 [4] Hồng Xn Sính, Tập hợp lơgíc, Nhà xuất Giáo dục, 1999 Ngƣời học: + Nội dung kiến thức cần chuẩn bị: - Tập hợp (Khái niệm; cách xác định tập hợp; phép toán tập hợp; tích Đề-Các tập hợp) - Quan hệ hai ngơi (Định nghĩa; số tính chất thường gặp quan hệ hai ngôi; quan hệ tương đương; quan hệ thứ tự) - Ánh xạ (định nghĩa ví dụ; đơn ánh, tồn ánh, song ánh; tích ánh xạ; ánh xạ ngược; ảnh tạo ảnh) + Tài liệu: - Vở ghi, giấy nháp, bút viết - Đề cương chi tiết học phần môn học - Đề cương giảng giảng viên - Như tài liệu giảng viên C Nội dung Phần: TẬP HỢP I Tập hợp: Khái niệm: Tập hợp khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa, mà hiểu cách trực giác sau: “Một tập hợp quần tụ đối tượng có thuộc tính đó"; đối tượng gọi phần tử tập hợp Ví dụ: - Tập hợp sinh viên trường đại học - Tập hợp số nguyên tố Ta thường ký hiệu tập hợp chữ viết hoa A, B, X, Y, , … phần tử tập hợp thường ký hiệu chữ viết thường a, b, x, y, Để phần tử a thuộc tập hợp A, ta viết a  A đọc “a thuộc A” Nếu b phần tử A ta ký hiệu b  A đọc “b không thuộc A” Chú ý: Tập rỗng tập hợp khơng có phần tử nào, ký hiệu:  Cách xác định tập hợp: - Phương pháp liệt kê: Một tập hợp xác định cách liệt kê hết phần tử thuộc tập hợp Phương pháp dùng tập hợp hữu hạn - Phương pháp thuộc tính đặc trưng: Một tập hợp nhận biết cách thuộc tính đối tượng dựa vào thuộc tính ta biết phần tử có thuộc tập hợp hay không - Phương pháp dùng biểu đồ Ven Sự hai tập hợp: Hai tập hợp A B gọi phần tử A phần tử B ngược lại Khi ta viết A = B Tập hợp con: a Định nghĩa: Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B ta nói A tập hợp tập hợp B Ký hiệu: A B Ví dụ: Tập hợp tam giác tập hợp tập hợp tam giác b Tính chất: i) Với tập hợp A A  A ; ii) Với tập hợp A   A ; iii) Nếu A  B B  C A  C (tính chất bắc cầu); iv) Nếu A  B B  A A  B c Tập tập tập hợp hữu hạn: Cho A tập hợp, ký hiệu P( A) tập tập tập A Nếu A có n phần tử P(A) có 2n phần tử II Các phép toán tập hợp Hợp tập hợp a Định nghĩa: Cho A B hai tập hợp tùy ý, ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc hai tập A, B hợp hai tập A, B Ký hiệu: C  A  B A  B  {x | x  A x  B} A Biểu đồ Ven: A A b Định lý: Với A, B, C tập i) Nếu B  A A  B  A ; ii) Với tập hợp A A   A A  A  A ; ii) A  B  B  A ; iv) A  ( B  C)  ( A  B)  C Giao tập hợp A B A A B B a Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý Ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc hai tập hợp A, B giao hai tập hợp A, B Ký hiệu: C  A  B  {x | x  A x  B} A B Biểu đồ A A B Ven: A B b Định lý: Với A, B, C tập hợp tùy ý ta có khẳng định sau: i) Nếu B  A A  B  B Với tập hợp A A   A  A  A ; ii) A  B  B  A ; iii) ( A  B)  C  A  ( B  C) c Định lý: Cho A, B, C tập tùy ý đó: i) A  ( A  B)  A ; ii) ( A  B)  B  B ; iii) A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C) ; iv) A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C) Hiệu hai tập hợp a Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý Ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc A không thuộc B hiệu tập A tập B Ký hiệu: C = A\B A \ B  {x | x  A x  B} A\ B Biểu đồ Ven: A B b Định lý: Với A, B, C, D tập đó, đó: i) A \ B   A  B ; ii) Với A, B A \ B  A ; iii) Nếu A  B D  C A \ C  B \ D ; iv) Nếu A  B với tập C ta có C \ B  C \ A c Phần bù: Nếu B  A A\B gọi phần bù B A, ký hiệu CA ( B) hay CA ( B)  {x  A | x  B} d Hiệu đối xứng A B, ký hiệu: A B  ( A \ B)  ( B \ A) A\ B Biểu đồ Ven: A B Tích Descartes tập hợp a Cặp thứ tự: Giả sử a b hai đối tượng bất kỳ, từ hai đối tượng ta thành lập đối tượng thứ ba ký hiệu (a; b) gọi cặp (a; b) Hai cặp (a; b) (c; d) gọi a = c b = d Nếu a  b cặp (a; b) (b; a) coi khác b Định nghĩa: Tích Descartes n tập hợp A1 , A2 , , An tập hợp gồm tất dãy thứ tự (a1; a2 ; ; an ) a1  A1 , a2  A2 , , an  An Ta ký hiệu tích Descartes A1  A2   An Nếu A1  A2   An tích Descartes chúng ký hiệu An c Tích Descartes tập hợp A B: A  B = {(a, b): a A, b B} Phần: QUAN HỆ I Quan hệ hai Định nghĩa: Cho tập hợp X Y Tập S tích Đề X  Y gọi quan hệ X  Y Khi ta nói S quan hệ X  Y Một số tính chất thường gặp quan hệ: Giả sử S quan hệ X Khi S gọi có tính chất: i) Phản xạ: x S x với  x  X ii) Đối xứng: Nếu x S y  y S x với  x , y  X iii) Phản đối xứng: Nếu xSy y S x  x = y với  x , y  X iv) Bắc cầu: Nếu xSy ySz  xSz với x, y, z  X II Quan hệ tƣơng đƣơng Lớp tƣơng đƣơng Tập thƣơng Quan hệ tương đương: a Định nghĩa: Quan hệ S tập hợp X gọi quan hệ tương đương X thoả mãn đồng thời tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu b Ví dụ: Giả sử x số thực, kí hiệu [x] số nguyên lớn không vượt x Trên tập R số thực, quan hệ S định nghĩa sau:  x, y  R: xSy  [x] = [y] Khi S quan hệ tương đương R Thật vậy: i) Phản xạ: Rõ ràng với x R, ta ln có [x]= [x] xSx ii) Đối xứng:  x, y  R: Nếu xSy  [x]= [y] hay [y] =[x]  ySx iii) Bắc cầu:  x, y, z  R:Nếu xSy  [x] = [y] ySz  [y] = [z] Từ đó:[x] = [z]  xSz Lớp tương đương Tập thương: a Định nghĩa: Giả sử X  tập rỗng S quan hệ tương X, với x  X, ta kí hiệu x tập hợp phần tử y  X cho x S y Tập hợp x gọi lớp tương đương quan hệ S X có đại diện phần tử xX Tập lớp tương đương quan hệ S X gọi tập thương kí hiệu X / S b Các tính chất lớp tương đương quan hệ S cho định lí sau: i) Với x  X, x  x ii) Với  x1 , x2  X, x1 = x2  x1 = x2 iii) Với  x1 , x2  X, x1  x2 x1  x2 =  Chứng minh: i) Vì quan hệ ~ phản xạ nên với  x  X , x ~ x Do x  x ii) Giả sử x1 = x2 Theo (i) ta có x  x1 ; x  x2 Vậy x1 ~ x2 Đảo lại , giả sử x1 ~ x2 Khi x  x1 x ~x1 , x ~ x2 quan hệ ~ bắc cầu, x1  x2 Tương tự ta có x2  x1 Từ có đpcm iii) Chứng minh tương tự III Quan hệ thứ tự Định nghĩa: Giả sử X tập hợp, S phận X  X Thế S gọi quan hệ thứ tự X (hay người ta gọi S quan hệ thứ tự phần tử X) điều kiện sau thỏa mãn: - Phản xạ: xSx với x X - Phản đối xứng: Nếu xSy yS x  x = y với x, y X - Bắc cầu: Nếu xSy ySz  xSz với  x, y, z  X Người ta nói tập X tập thứ tự có quan hệ thứ tự thường kí hiệu quan hệ thứ tự “≤” Như x R y viết x ≤ y, đọc x nhỏ y, hay y lớn x Nếu ≤ quan hệ thứ tự tập hợp X cặp (X, ≤) gọi tập hợp thứ tự Người ta gọi X tập hợp thứ tự nói tới quan hệ thứ tự X 2.Ví dụ: Quan hệ hai “chia hết” tập hợp N* quan hệ thứ tự N* vì: - Với số nguyên dương n, ta có n / n (n chia hết n) - Với m, n, k  N*, (m / n n / k)  m / k, - Với m, n  N*, (m / n n / m)  m = n, Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt a Định nghĩa: Quan hệ hai S tập hợp X gọi quan hệ thứ tự nghiêm ngặt đối phản xạ bắc cầu Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt S thường kí hiệu “ < ” b Ví dụ: + Dễ dàng thấy quan hệ hai “lớn hơn” (theo nghĩa thông thường) (>) tập hợp R quan hệ thứ tự nghiêm ngặt + Quan hệ hai “đắt hơn” tập hợp mặt hàng quan hệ thứ tự nghiêm ngặt Chú ý: quan hệ thứ tự nghiêm ngặt quan hệ thứ tự Quan hệ thứ tự toàn phần phận: a Định nghĩa: Quan hệ thứ tự  tập hợp X gọi toàn phần với phần tử x, y X , ta có x  y y  x Nếu tồn phần tử x y X cho điều kiện x  y y  x khơng xảy  gọi quan hệ thứ tự phận b Ví dụ: + Quan hệ thứ tự “ ≤ ” (theo nghĩa thông thường) tập hợp R toàn phần + Quan hệ“chia hết” tập hợp N* quan hệ thứ tự phận chẳng hạn số nguyên khơng so sánh được” Ta khơng có 3/7, khơng có 7/3 Các phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ nhất: a Định nghĩa: Giả sử (X, ) tập thứ tự Phần tử x0  X gọi lớn (nhỏ nhất) : x  x0 ( x0  x) với x  X Giả sử (X, ) tập thứ tự Phần tử x0 X gọi tối đại khơng đứng trước phần tử X Phần tử x0 X gọi tối tiểu khơng có phần tử X đứng trước b Ví dụ: Kí hiệu ≤ quan hệ “chia hết” tập hợp N*: Với m, n nguyên dương, m ≤ n m chia hết n Tập hợp thứ tự N* khơng có phần tử tối đại với n ≤ N*, ta có n chia hết 2n 2n ≠ n, tức n ≤ 2n 2n ≠ n c Định lí: Tập hợp thứ tự (X,  ) có nhiều phần tử lớn Phần tử lớn tối đại Chú ý: Phần tử lớn nhất, nhỏ ( có) Tập thứ tự tốt a Định nghĩa: Một tập X tập thứ tự tốt thứ tự phận khác rỗng X có phần tử bé b.Ví dụ: Tập hợp số tự nhiên N với thứ tự nhỏ thông thường tập thứ tự tốt Phần: ÁNH XẠ I Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1: Cho hai tập hợp X Y Một quy tắc tương ứng f phần tử x  X với phần tử y  Y gọi ánh xạ từ tập X vào tập Y Ký hiệu: f : X  Y Phần tử y  Y , tương ứng với phần tử x  X qua ánh xạ f, đó, x gọi tạo ảnh y y gọi ảnh x qua ánh xạ f Ngoài ra, X gọi tập nguồn (miền xác định), Y cịn gọi tập đích (miền giá trị) ánh xạ f Ví dụ: Hàm số y = x – ánh xạ từ tập số thực vào Định nghĩa 2: Bộ phận A tập X gọi ổn định ánh xạ f với f : X  Y  a  A, f (a)  A Định nghĩa 3: Cho f g hai ánh xạ từ X vào Y Ánh xạ f gọi ánh xạ g f(x) = g(x) với x  X - Nếu với x  X có f ( x)  a với a phần tử xác định Y, ta nói f ánh xạ không đổi, hay ánh xạ số - Nếu X = Y f ( x)  x, với x  X f gọi ánh xạ đồng X Ký hiệu 1X Nhận xét: Hai ánh xạ f g chúng có chung tập nguồn chung tập đích x  X , f ( x)  g ( x) II Ảnh tạo ảnh Ảnh tập hợp: a Định nghĩa: Cho ánh xạ f : X  Y A tập X Tập Y gồm ảnh tất phần tử A gọi ảnh tập A qua ánh xạ f Ký hiệu: f(A) Hay, f ( A)  { f ( x) | x  A} Khi đó, y  f ( A)  x  A, y  f ( x) b Định lý: Cho ánh xạ f : X  Y Với hai tập tùy ý A B X thì: f ( A  B)  f ( A)  f ( B) f ( A  B)  f ( A)  f ( B) (Sinh viên tự chứng minh tập.) Tạo ảnh tập hợp: a Định nghĩa: Cho ánh xạ f : X  Y U tập tùy ý Y Tập X gồm phần tử x  X cho f ( x) U gọi tạo ảnh toàn phần U qua ánh xạ f Ký hiệu: f 1 (U ) Khi đó, f 1 (U )  {x  X | f ( x) U } x  f 1 (U )  f ( x) U b Định lý: Cho ánh xạ f : X  Y Với hai tập A, B Y - f 1 ( A  B)  f 1 ( A)  f 1 ( B) ; - f 1 ( A  B)  f 1 ( A)  f 1 ( B) III Các loại ánh xạ Đơn ánh: a Định nghĩa: Ánh xạ f : X  Y gọi đơn ánh với hai phần tử khác x1 x2 X f ( x1 )  f ( x2 ) Nói cách khác, f đơn ánh phần tử tập đích có tối đa tạo ảnh tập nguồn Từ định nghĩa trên, để chứng minh f đơn ánh ta chứng minh: - x1 , x2  X , x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) - Hoặc x1 , x2  X , f ( x1 )  f ( x2 ) x1  x2 b Ví dụ: Ánh xạ f :  nhiên khác m, n n xác định f (n)  đơn ánh với hai số tự 1  n m Toàn ánh: Ánh xạ f : X  Y gọi toàn ánh f(X) = Y Nói cách khác f : X  Y toàn ánh với y  Y tồn x  X cho f(x) = y 10 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489