SKKN Mot so dang toan ve DT HS

t«i ®· gióp häc sinh hiÓu ®©y lµ phÇn bµi tËp cã thuËt gi¶i râ rµng, chÝnh x¸c, cã nhiÒu néi dung øng dông phong phó... C¸ch cho mét hµm sè:.[r]

phần I

Mở đầu

1 Lí chọn đề tài:

Tốn học mơn khoa học bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác Các thành tựu tốn học ln góp phần to lớn vào việc cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho sống loài ngời ngày tốt đẹp

Tốn học mơn khoa học cần logic phân tích giỏi, có ứng dụng rộng rãi đời sống xã hội Tốn học giúp cho ngời học tính tốn nhanh, t tốt, tính xác cao – lơgic hợp lí, tính khoa học Dạy tốn học nhằm trang bị cho học sinh hệ thống tri thức khoa học phổ thông tạo điều kiện cho em đợc hình thành phát triển phẩm chất, lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu khám phá giới xung quanh, góp phần cải tạo giới, cải tạo thiên nhiên mang lại sống ấm no hạnh phúc cho ngời

Trong chơng trình tốn bậc trung học sở, hai chủ đề lớn môn đại số "Số" "Hàm số" Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chơng trình môn đại số phổ thông, lớp kiến thức trọng tâm mơn đại số Với khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai dạng đồ thị tơng ứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều Tuy tập hàm số thật nhiều dạng thiếu kỳ kiểm tra, kỳ thi Khái niệm hàm số khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết học sinh không cao

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm bậc THCS tìm hiểu tâm lý đối tợng học sinh thấy tập đồ thị hàm số học sinh cịn lúng túng tơi định tiến hành nghiên cứu: "Một số dạng toán về hàm số đồ thị hàm số"

2 Mục đích nghiên cứu:

Trong đề tài cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị đa số dạng tập hàm số tập có liên quan

tôi giúp học sinh hiểu phần tập có thuật giải rõ ràng, xác, có nhiều nội dung ứng dụng phong phú Hàm số cịn đợc coi cơng cụ giải số tốn khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng trình

3 NhiƯm vơ nghiªn cøu:

Thơng qua q trình giảng dạy thực tiễn, hỏi han ý kiến đồng nghiệm trớc có nhiều kinh nghiệm, tiếp xúc trò chuyện với học sinh, trực tiếp đánh giá tiếp thu kiến thức học sinh; nhận thấy đa số em sử dụng kiến thức hàm số việc giải tập có liên quan cịn máy móc, cha linh hoạt; nhiều em cha hiểu kĩ đợc kiến thức mảng kiến thức hàm số Chính vậy, việc áp dụng nh khai thác sâu kiến thức hàm số đồ thị hàm số để giải tốn tìm cực trị, giải ph-ơng trình, bất phph-ơng trình học sinh cịn gặp nhiều khó khăn – vấn đề – môt nhiệm vụ mà tơi mạnh dạn tìm hiểu, sâu để cuối đa chuyên đề thực hữu ích cho đồng nghiệp em học sinh tham khảo Trong trình nghiên cứu viết đề tài, tơi cịn gặp nhiều thiếu sót mong thầy góp ý để đề tài ngày hồn thiện v y hn

4 Đối tợng, phạm vi nghiªn cøu:

- Đối tợng nghiên cứu: Một số dạng toán hàm số đồ thị hàm số ch-ơng trình tốn THCS (lớp 9)

- Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến thức hàm số để giải số dạng tốn: tìm tập xác định, tìm giá trị hàm số; xác định công thức hàm số;

5 Phơng pháp nghiên cứu:

- Phng phỏp quan sỏt s phạm: quan sát học sinh cho em làm tập, xét khả thực lực em đến đâu, em trao đổi nh nào? trao đổi gì?

- Phơng pháp dạy thực nghiệm: giảng dạy trực tiếp lớp để thấy đợc vớng mắc học sinh giải s dng toỏn v hm s

- Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Trực tiếp gặp gỡ trò chuyện với giáo viên dạy trực tiếp giáo viên có nhiều kinh nghiệm

- Phng pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động học sinh: Vở tập kiểm tra học sinh

PhÇn II

Nội dung đề tài

Ch¬ng I: lý thuyÕt

lm tt cỏc bi v hàm số đồ thị trớc hết học sinh cần nắm vững khái niệm hàm số

I Khái niệm hàm số:

Khỏi nim hm s đợc định nghĩa theo quan điểm đại " Hàm số ánh xạ từ tập hợp số đến mt hp s"

Trớc tiên ta làm quen với ánh xạ:

1 ánh xạ:

a Định nghÜa:

Cho tập hợp Xvà Y : f ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y

là quy tắc cho tơng ứng phần tử x X với y Y KÝ hiÖu: f: X Y

x  y = f(x)

Ta gọi X tập nguồn ánh xạ f Y tập đích ánh xạ f

PhÇn tư y = f(x) Y gọi ảnh x qua ánh xạ f

b Các loại ánh xạ: * Đơn ánh

ánh xạ: f: X Y

x  y = f(x)

ánh xạ f đơn ánh  x1, x2X: x1 x2 f(x1) f(x2)

Hoặc x1, x2X: x1 x2 f(x1) = f(x2) th× x1= x2

VÝ dơ: f: R R

x  y = f(x) = 3x

* Toàn ánh: ánh xạ f: X Y

x  y = f(x)

ánh xạ f toàn ánh yY x X: (x) = y

Hoặc f toàn ánh phơng trình f(x) = y có nghiệm với y Y cho trớc

Ví dụ: f: R R

Lµ mét toµn ánh phơng trình 2x = y có nghiệm x =

2 y

với y xác định

* Song ánh: ánh xạ f: X Y

x  y = f(x)

ánh xạ f song ánh  f đơn ánh f tồn ánh

2 Hµm sè:

a Theo quan điểm đại, định nghĩa hàm số dựa khái niệm tập hợp ánh xạ: Hàm số ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y

Trong chơng trình sách giáo khoa trung học sở (1991 - 2001) Khái niệm hàm số đợc trình bày sách giáo khoa lớp (đợc nhắc lại sách giáo khoa lớp 9) nh sau:

Một hàm số f từ tập hợp số X đến tập hợp số Y quy tắc cho t-ơng ứng giá trị x  X giá trị y Y mà kí hiệu y = f(x)

Ngêi ta viÕt:f: X Y

x  y = f(x)

X tập xác định, x X biến số, y = f(x) giá trị hàm số f x Trong chơng trình sách giáo khoa (2001) định nghĩa khái niệm hàm số tốn nêu rõ thuộc tính này: " Giả sử x y hai đại lợng biến thiên nhận giá trị số Nếu thay đổi phụ thuộc vào x cho: Với giá trị x ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số x x gọi biến số"

* Chú ý: Nh hàm số dù đợc định nghĩa cách có thuộc tính cht:

+ X Y hai tập hợp sè

+ Sự tơng ứng: ứng với số x  X xác định số y  Y + Biến thiên: x y đại lợng nhận giá trị biến đổi

+ Phụ thuộc: x đại lợng biến thiên độc lập y đại lợng biến thiên phụ thuộc

b Đồ thị hàm số: (Dựa khái niệm tập hỵp)

+ Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x  X

+ Chó ý:

- Mỗi hàm số có đồ thị xác định ngợc lại - Điểm M(xM; yM)  đồ thị hàm số y = f(x)  yM= f(xM)

c C¸ch cho mét hàm số:

+ Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể công thức y = f(x) + Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể bảng giá trị

+ Cỏch 3: Cho bng th hm s

II Các hàm số ch ơng trình THCS:

1 Hàm số bậc nhất:

a Định nghĩa:

Hm s bậc hàm số đợc cho công thức y = ax + b, a, b số xác định a 0, x  R

b Tính chất: + Tập xác định: R

+ Tính biến thiên: a > hàm số đồng biến R a < hàm số nghịch biến R c Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, x  R) đờng thẳng qua điểm A(0;b) điểm B( b

a

 ; 0)

+ Khi b = đồ thị hàm số y = ax đờng thẳng qua gốc toạ độ

2 Hµm sè bËc hai

a Định nghĩa:

Hm s bc hai hàm số đợc cho công thức y = ax2 + bx + c với a, b, c

là số (a 0, x R) b TÝnh chÊt:

- Tập xác định: R - Tính biến thiên:

a > 0: Hàm số đồng biến (

2a b

 ; +) vµ nghÞch biÕn (-;

2a b  )

a < 0: Hàm số nghịch biến (

2a b

 ; +) đồng biến (-;

c Đồ thị:

thị hàm số y = ax2 + bx + c (a 0, x R) Parabol (P) có đỉnh D(

2a b  ;

-4a 

); nhận đờng thẳng x =

2a b

 trục đối xứng

Chơng II: Một số dạng tập Dạng 1: tìm tập xác định hm s

1. Định nghĩa:

Tp xỏc nh hàm số y = f(x) tập giá trị x để biểu thức f(x) có nghĩa

V× vËy:

- Nếu f(x) đa thức hàm số có tập xác định x  R

- Nếu f(x) có dạng phân thức hàm số có tập xác định: {x  R/ mẫu thức 0}

- Nếu f(x) có dạng thức hàm số có tập xác định: {x  R/ biểu thức 0}

2 VÝ dô:

+ VÝ dơ 1: Hµm sè y = 5x- 70 cã TXĐ: R + Ví dụ 2: Hàm số y =

x

x2 2cã TX§: {x

R/ x 0} + VÝ dơ 3: Hµm sè y = 4x1 cã TX§:

   

 

  

4

x R x

3 Bài tập: Tìm tập xác định hàm số:

a y = x – x+2

b y =

3

   

x x

3 -x x2

c y = x2  4 2 x

Dạng 2: tìm tập giá trị hàm số

Tập giá trị hàm số: f: X Y

là tập giá trị y Y cho phơng trình f(x) = y có nghiệm x X

1 Cách giải:

+ Cách 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự Q để đánh giá giá trị y

+ Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm tập xác định

2 VÝ dơ:

* VÝ dơ 1: T×m miỊn giá trị hàm số y = 2x víi x [-1; 1]

Gi¶i

Ta cã x -1 2x -2 2x – -7 hay y -7 x 1  2x 2  2x-5 -3 hay y -3

Vậy miền giá trị hàm số y = 2x – víi x [-1; 1] lµ y [-7; -3]

* Ví dụ 2: Tìm miền giá trị hàm số y = x x

Gi¶i

x x

x

x 6 7   67 =1 hay y 1

VËy miền giá trị hàm số y = x  7 x víi x R lµ y  R, y 

1

* VÝ dơ 3: T×m miền giá trị hàm số y = x2- 2x + víi x [2; 3]

Gi¶i:

Hàm số y = x2+ 2x + có a = > nên đồng biến với x 1

VËy víi x [2; 3] ta cã y(2)  y(3)   y 

VËy miỊn gi¸ trị hàm số y = x2 + 2x + víi x [2; 3] lµ [3; 6]

*VÝ dụ 4: Tìm miền giá trị hàm số y = x2- 4 x + 3

Gi¶i:

TXĐ hàm số R

Xét phơng trình x2- x +3 = y  ( x - 2)2 = y + 1

Phơng trình cã nghiÖm y + 0  y -1

3 øng dông:

*

ø ng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhÊt cña y = 6x – x2 – 2

Gi¶i:

Ta cã y = 2x – x2- 4

= -(x2- 2x + 1) – 3

Vậy giá trị lớn hàm số Max y = -3 x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn hàm số y =

2 x x x 2    x 6 (1)

Gi¶i:

Hàm số có tập xác định: R x2 + x + = (x +

2

)2 +

4



Giả sử y giá trị hàm số phơng trình

2 x x x 2   

x 6= y cã

nghiÖm  (y - 1)x2+ (y - 1)x + 2y – = (2) cã nghiÖm

+XÐt y = phơng trình (2) vô nghiệm

+Xét y phơng trình (2) có nghiệm 0

 (y -1)2- 4(y – 1)(2y - 6)

  (y - 1)(23 – 7y) 

 1< y  23

Vậy giá trị hàm số 1< y 23

+ Víi y =

7 23

ta cã x =

2

hàm số có giá trị lớn

Max y =

7 23

t¹i x =

2 

+ Chú ý: ví dụ dới dạng: Tìm x  R để hàm số y =

2 x x x 2   

x 6 nhận giá trị nguyên

Biến đổi: y =1 +

2 x x  

Khi học sinh hay chọn cách giải: nên y Z  x2 + x + nhn giỏ tr

là ớc nguyên

Sai lầm lời giải chỗ x R nªn x2 + x + cã thĨ nhËn giá trị

không nguyên Vì lời giải làm nghiệm toán + Cách giải từ việc có miền giá trị 1< y

7 23

ta chØ y  Z y = y =

Giải phơng trình

2 x x x 2   x 6=2

 x2 + x + =  x = 1; x = -2

x2

 x 6=3

VËy x  {-2; -1; 0; 1} th× y  Z

*

ø ng dụng 2 : Giải phơng trình f(x) = g(x) (1)

Nhiều phơng trình phức tạp giải đơn giản cách vào miền giá trị hai hàm số y = f(x) y = g(x) tập xác định D chung chúng: Nếu      m x g m x f ) ( ) (

víi x  D th× f(x) = g(x) 

     m x g m x f ) ( ) ( (2)

NÕu x0  D tho¶ mÃn (2) x0 nghiệm phơng trình (1)

Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x x2 – 2= x 1 x 2  2x 3 4x 13 (1)

+Tập xác định: R

+Ta cã VT = 6x – x2 – = – (x - 3)2 7 dÊu b»ng x¶y vµ chØ x

=

VP = x 1 x 2x 3 4x 13 dấu xảy chØ x 

4 13

+ Vậy phơng trình (1)

           7 13 4 3 2 2 1 7 2 x -6x

x x

x x

 x =

KÕt luËn phơng trình (1) có nghiệm x =

Ví dụ 2:

Giải phơng trình: 16x4+ 72x3– 81x2 + 28 = 16(x – x 2) (3)

Ta cã VT = – 16x4+ 72x3 – 81x2 + 28 = 16

                2 x

x 28

Dấu xảy x = hc x =

4

Đặt x 2= t x = t2 + ta cã VP = 16(t2 – t + 2)

= 16                 2

t  28

Dấu xảy t =

2

 x =

4

+2  x =

Vậy phơng trình (3)  28 28 VT

VP  x =

Kết luận nghiệm phơng trình x =

4

4 Bµi tËp:

Bµi 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) cđa hµm sè y = x2- 3x +

trên đoạn: a [-3;1] b [0;2]

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3                a b b a a b b a 2 2

Bài 3: Gọi x, y nghiệm hệ phơng tr×nh

         1 2 1 a y x 2

2 y a

x

Tìm a để x, y có giá trị lớn Bài 4: Giải phơng trình

a 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2

       

b 11

    

 x x x

x

Dạng 3: xác định công thức hàm số 1 Khi biết tính chất đồ thị hàm số

Ta biết hàm số đồ thị có tơng ứng 1- nên ta xác định đợc cơng thức hàm số biết tính chất đồ thị tơng ứng

a Xác định hàm số bậc y = ax + b biết đồ thị đờng thẳng d có tính chất: Đi qua điểm A(x1;y1) điểm B(x2;y2)

Gi¶i:

Vì A(x1;y1) d nên ax1 + b = y1

B(x2;y2) d nªn ax2 + b = y2

Ta có hệ phơng trình    2 1 ax y b ax y b

giải hệ phơng trình ta có a, b

Kết luận công thức hàm số

Giải:

Vì A(1;1) d nên a.1 + b = B(-1;2) d nªn a(-1) + b =

Ta có hệ phơng trình:  

  

 

2 1 a

b a

b



     

 

2 3 2 1 -a

b

Kết luận hàm số cần tìm y =

2

  x

b Đồ thị qua điểm A(x1;y1) song song với đờng thẳng d' có phơng

tr×nh y = a1x + b1 (a 0)

Giải:

Vì A(x1;y1) d nªn ax1 + b = y1  b = y1 – ax1

V× d song song víi d' nên a = a1

Kết luận hàm số cần tìm y = a1x + y1 ax1

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị qua điểm A(1;

2

) vµ song

song với đờng thẳng d' có phơng trình y = 2x -

2

Giải:

Vì A(1;

2

) d nªn a + b =

2

Vì d song song với d' nên a = đó: b =

2 

Kết luận hàm số cần tìm y = 2x

2 

c Đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) vng góc với đờng thng d' cú

phơng trình y = a1x + b1 (a 0)

Giải:

Vì A(x1;y1) d nên ax1 + b = y1

Vì d vuông góc với d' nên aa1 = -1 a =

1

a

nªn b = y1+

1

a

x1

Kết luận hàm số cần tìm là: y = x

a

-+ y1 +

1

a

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị qua điểm A(1;1) vng

góc với đờng thẳng d có phơng trình y =

2

  x

2

Gi¶i:

Vì A(1; 1) d nên a + b = 1(*)

Vì d vuông góc với d' nên aa1 = -1  a = thay vµo (*) ta có: b = -1

Kết luận hàm số cần tìm y = 2x

d Đồ thị qua điểm A(x1;y1) tiếp xúc với Parabol (P): a'x2 + b'x + c' (a 0)

Gi¶i:

Vì A(x1;y1) d nên ax1 + b = y1 (1)

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a'x2 + b'x + c' nên phơng trình hồnh độ

giao ®iĨm: ax + b = a'x2 + b'x + c' cã nghiÖm kÐp

 a'x2 + (b' – a)x + c' – b = cã nghiÖm kÐp

 =(b' - a)2- 4a'(c' – b) = (2)

Giải hai hệ phơng trình (1) (2) để tìm a b Kết luận cơng thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị đờng thẳng d qua điểm A(-1;2) tiếp xúc vi Parabol

Lời giải: (d) qua điểm A(-1;2) d nªn: –a + b = (1)

Vì (d) tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 + nên phơng trình hồnh độ giao

®iĨm: ax + b = x2 + cã nghiƯm kÐp

 x2 – ax + – b = cã nghiÖm kÐp

 = a2 - 4(1 – b) = 0 (2)

Ta cã hÖ phơng trình:

 

4 4

2

a-2 b

a b



  

  

 

4 )2 (4

2

2 a

a a b



  

 

 

0 )2 (

2

2

a a b



  

  

2 0 a b

Vậy hàm số cần tìm y = -2x

2 Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị Parabol(P)

a Đi qua điểm phân biệt A(x1;y1), B(x2;y2) , C(x3;y3)

Giải:

Vì A(x1;y1) (P)nên ax12+ bx1+ c = y1 (1)

Vì B(x2;y2) (P)nên ax22+ bx2+ c = y2 (2)

V× C(x3;y3)  (P)nªn ax32+ bx3+ c = y3 (3)

Kết luận công thức hàm số

Vớ d: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị Parabol (P)

qua điểm phân biệt A(-1; 0), B(0; 3), C(1; 0)

Giải:

Vì A(-1;0) (P) nên a- b+ c = (1) Vì B(0;3) (P) nên c = (2) Vì C(1;0) (P) nên a+ b+ c = (3)

Ta cã hÖ phơng trình:

     0 3 0 c b a c c b a           3 0 3 c b a

Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = - 3x2 + 3

b (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x0, y0) qua im A(x1;y1)

Giải:

Vì A(x1;y1) (P) nªn ax12+ bx1+ c = y1 (1)

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên x0

-b

2a (2)

- y0

4a (3)

Giải hệ gồm ba phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c Kết luận cơng thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị Parabol (P)

đi qua điểm A(-1; 2) có đỉnh D(1; 2) Giải:

Vì A(-1;2) (P) nên a + b + c = (1) Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên 1

2a b -(2) 4 2       a ac b 4a - (3)

Ta có hệ phơng trình

2 2 4

a b c b a b ac a                                0 8 4 0 2 2

2 ac a

b b a c b a            1 2 1 c b a

c (P) có toạ độ đỉnhD(x0, y0) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = a'x + b'

Gi¶i:

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên x0

-b

2a (1)

- y0

4a (2)

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên phơng trình hồnh độ:

ax2 + bx + c = a'x+b' cã nghiÖm kÐp

 ax2 + (b – a’)x + c - b' = cã nghiÖm kÐp

 = (b - a' )2– 4a(c - b' ) = (3)

Giải hệ gồm phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y =ax2 + bx + c có đồ thị Parabol (P)

nhận D(1; 1) đỉnh tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x – 2. Giải:

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên 1

2a b

-;

4       a ac b 4a -(2)

Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x –2 nên phơng trình hồnh độ ax2 + bx + c = 2x – có nghiệm kép

 ax2 + (b – 2)x + c– = cã nghiÖm kÐp

 = (b - )2 – 4a(c - ) = (3)

Ta cã hƯ ph¬ng tr×nh:

2

2

( 2) ( 2)

1

4

b a c

b a b ac a                    2

4 4

2

4

b ac a b

a b

b ac a

                2

12 4

4

a b

a b

b ac a

                       2 2 1 c b a

VËy hµm sè cần tìm có công thức y = x2 - 2x + 2

3 Bµi tËp:

Bài 1: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = -2x –

b Viết phơng trình đờng thẳng vng góc với đờng thẳng d qua điểm N(-1;5)

Bài 2: Xác định a,b,c để Parabol (P): y = ax2 + bx + c qua O(0; 0) có

đỉnh D(1;-1)

Bµi 3: Cho Parabol (P): Y = ax2 + bx + (a



)

a Xác định a, b để đỉnh Parabol(P) nằm đờng thẳng d: y = 2x + b Với a, b vừa tìm đợc vẽ Parabol(P) đờng thẳng d mặt

phẳng toạ độ

4 Xác định công thức hàm số biết phơng trình hàm

VÝ dơ 1: Tìm f(x) hàm số biết f(1+1

x) = x

2 – vµ f(0) = 0

Gi¶i:

+Với x 0 ta đặt 1+

x

= t råi rót x theo t ta cã: x =

1 -t

1

Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (

1 -t

1

)2 –  f(t) =

2 1) -(t t) -t(2

Vì tơng ứng hàm số không phụ thuộc vào kí hiệu nên coi f(x) =

1) -(x x) -x(2

+Với x = thay vào cơng thức vừa tìm đợc ta có f(0) = Vậy hàm số cần tìm f(x) =

1) -(x x) -x(2

VÝ dơ 2: T×m biĨu thøc f(x) cđa hµm sè biÕt: f(x) + 2f(1

x) = x 2

Tõ c«ng thøc ta thay x bëi

x

Ta cã:  

2                                          x x 2f x f x x 1 2f x f

                             2 1 ) ( 2 1 1 2 ) ( x x f x f x x f x f                           2 2 1 2 4 1 2 ) ( x x f x f x x f x f  2 ) ( x x x

f  

VËy c«ng thøc hµm sè lµ f(x) = 2

4 x x  Bµi tËp:

Bài 1: Xác định biểu thức f(x) biết

a ( 1)2

2 1  

     x x x x

f vµ f(1) = 0

b 

      x x

f =

1   x 3x 8x -4

víi x 1 vµ f(1) =

c 

      x x f

2 = ( 4)

  x x 5x -4 -10x

f(2) = -1 Bài 2: Xác định biểu thức f(x) g(x) biết

a                            x x x g x x f x x g x f 1 2 2 1 2 2 )1 2(

b  

                x x x g x x f x x g x f

2 2 3 2

1 3 1 6 )1 3(

DạNG 4: đồ THị HàM Số 1 Nhắc lại đồ thị hàm số:

a Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x) ) với x  TXĐ

b Đồ thị: Hàm số bậc y = ax + b (a 0) đờng thẳng Cách vẽ:

- Lấy điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số Chẳng hạn A(0; b ) B(-

a b

; 0)

-1 x -1 (Hình e1)

y

c Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax2 + bx + c (a 0) Parabol(P) có:

+ Đỉnh D 

  



  



a a b

4 ;

+ Trục đối xứng: x =

2a b 

+ BỊ lâm quay lªn trªn a > 0; BỊ lâm quay xng díi a <

d Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối (hình 1d) y

Ch¼ng h¹n: y = x =

  

 

0 x víi x

-0 x với x

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác góc vuông I II (hình1d)

x

e Đồ thị phần nguyên: y = x x ký hiệu số nguyờn ln

nhất không vợt x

+ Đồ thị hàm số y = x với x < có dạng bậc thang nh (hình e1)

y =       

 

 

 

 

3 x víi

2 x víi

1 x víi

0 x - víi

-f NhËn xÐt:

* Đồ thị hàm số y = f(x) y = f(-x) đối xứng qua trục tung

*Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với x nên có đồ thị nhận trục tung

làm trục đối xứng Vì vẽ cần: + Vẽ đồ thị y = f(x) với x 0

+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung

* y =x hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số

mà cần vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ

2 VÝ dơ:

*Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x +3

+ TX§: x  R

-1 x -1

-1 x -1

Có giá trị nhỏ y = -1 x = + Bảng giá trị: y

x

y -1

Nhận xét: Đồ thị hàm số Parabol(P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên

*Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - x

+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối cách xét khoảng giá trị biến

y = 2x - x =

  

 

0 x víi 3x

0 x víi x

y

+ B¶ng giá trị:

x -1

y -3

+ Đồ thị:

-3

Đồ thị hàm số y = 2x - x có dạng nh hình trên

3 ứng dụng: Tìm giá trị lớn nhất, nhá nhÊt cđa hµm sè

Nhận xét: Điểm thấp (cao nhất) đồ thị điểm có tung độ nhỏ (lớn nhất), hàm số nhận giá trị nhỏ (lớn nhất) Vì tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số ta vẽ đồ thị hàm số tìm điểm cao (thấp nhất) đồ thị

Ta cã y =

    

 

 

 

1) x ( 3 2x

-2) x (1 1

2) (x 3 2x

Đồ thị hàm số gồm phần đờng thẳng y = 2x – (x > 2)

y = 2x + (x < 1) đoạn y = (1 x 2) Vậy giá trị nhỏ hµm sè lµ Min y = x = x =

4 Bài tập

Bµi 1: Cho hµm sè y = 4 4

  



 x x x

x + ax

a Xác định a để hàm số đồng biến

b Xác định a để đồ thị hàm số qua điểm B(1;6) Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm đợc

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 4 2

  

   

 x x x x x

x

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ x0y vẽ tập hợp điểm M(x;y) mà toạ độ (x;y) thoả mãn x 1+ y 2=1

Dạng 5: vị trí tơng đối đồ thị

C¬ së lÝ thuyÕt:

+Điểm M(xM;yM) đồ thị hàm số y = f(x)  yM = f(xM)

+ Vị trí tơng đối đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) phụ thuộc vào số điểm chung hai đồ thị

Giả sử M(xM;yM) điểm chung đồ thị hàm số y = f(x) y=g(x)

 M  đồ thị hàm số y = f(x) M  đồ thị hàm số y = g(x)

 yM= f(xM) vµ yM= g(xM)

 (xM;yM) lµ nghiệm hệ phơng trình

 

g(x) y

 Vậy vị trí tơng đối đồ thị hàm số y = f(x) y=g(x) phụ thuộc vào

sè nghiệm phơng trình



g(x) y

f(x) y

1 C¸ch gi¶i:

a Bài tốn xác định vị trí tơng đối đồ thị hàm số y = f(x) y=g(x), (f(x) g(x) có bậc 2)

+ Toạ độ điểm chung (nếu có) đồ thị hàm số nghiệm hệ

  

 

(2) g(x) y

(1) f(x) y

+ Phơng trình hồnh độ: f(x) = g(x) (3)

+ Số nghiệm phơng trình (3) quy định vị trí tơng đối đồ thị hàm số y = f(x) y=g(x), (f(x) g(x) có bậc 2)

Hai đồ thị cắt  phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt Hai đồ thị tiếp xúc  phơng trình (3) có nghiệm kép

Hai đồ thị khơng cắt  phơng trình (3) vơ nghiệm

* Để biện luận vị trí tơng đối đồ thị ta biện luận số nghiệm ph-ơng trình (3)

* Để xác định toạ độ điểm chung đồ thị ta giải phơng trình (3) tìm hồnh độ x = x0, dựa vào phơng trình (1) (2) để xác định tung độ tơng

KÕt luËn chung

1 Chó ý:

Vị trí tơng đối hai đờng thẳng d: y = ax + b d1: y = (2m – 3)x +

+ d song song víi d1  a = a1; b  b1

+ d c¾t d1  a a1

+ Đặc biệt d vuông góc với d1 aa1= -1

+ d trïng víi d1  a = a1; b = b1

2 VÝ dô:

Ví dụ 1: Cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) d1: y = (2m – 3)x +

a Biện luận theo m vị trí tơng đối hai đờng thẳng

Gi¶i:

+ d // d1 

  

 

2 2m

3 -2m m



  

 

1 m

3 m

 m =

+ d c¾t d1  m 2m –  m 

+ Khơng có giá trị m để d trùng với d1

b Tìm giá trị m để hai đờng thẳng vng góc Xác định toạ độ điểm chung cho trờng hợp

Giải:

+ d vuông góc với d1 m(2m – 3) = -1

 2m2 – 3m + = 0

 m = hc m =

2

+ Víi m = ta cã d: y = x + vµ d1: y = -x + vu«ng gãc víi

Toạ độ điểm chung d d1 nghiệm hệ

  

 

 

2 -x y

2 x y



x

  

 

y

Vậy: với m =1 hai đờng thẳng vng góc với A(0; 2) + Với m =

2

ta cã d: y =

2

Toạ độ điểm chung d d1 nghiệm hệ     

 

 

2 -2x y

2 1

y x 1



x

        

6 y

5

VËy víi m =

2

hai đờng thẳng vng góc với tạo B      

5 ;

VÝ dô 2:

Biện luận theo m vị trí tơng đối đồ thị hàm số y = x2 - 4x + m (P) và

y = 2x + (d) Trong trờng hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc

Gi¶i:

Toạ độ điểm chung (P) (d) nghiệm hệ   

 

 

(2) 1 2x y

(1) m 4x - x

y

Phơng trình hồnh độ: x2 - 4x + m = 2x +  x2 - 6x + m – = (3)

+ (P) cắt (d) hai điểm phân biệt phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt = – m + >  m < 10

+ (P) tiÕp xóc víi (d)  phơng trình (3) có nghiệm kép = – m + =

 m = 10

Víi m = 10 phơng trình (3) trở thành x2 - 6x + =  x = thay vµo (2) ta

cã y =

VËy víi m = 10 (P) (d) tiếp xúc với ®iĨm A(3;7) + (P) kh«ng giao víi (d)  phơng trình (3) vô nghiệm = – m + < hay m > 10

VÝ dơ 3:

Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 – 4x – (P)

vµ y = mx2 + (m + 2)x + 8(P' ) có không điểm chung

Giải:

  

   

 

(2) 8 2)x (m mx y

(1) 8 4x - x y

2

+ Phơng trình hồnh độ: x2 – 4x – = mx2 + (m + 2)x + 8

 (m – 1)x2 + (m + 6)x + 16 = 0 (3)

+ (P) (P') có không điểm chung phơng trình (3) có không nghiệm

- Xét m = 1, phơng trình (3) có dạng: 7x + 16 =  x = -

7 16

lµ nghiƯm nhÊt

VËy với m = 1: (P) (P' ) cắt tai mét ®iĨm

- XÐt m  1: (P) (P' ) có không điểm chung  

 (m+6)2 – 64(m – 1)  0

 m2 – 52m + 100



 26 – 576 m  26 + 576 m 1

VËy (P) vµ (P' ) có không điểm chung 26 - 576 m  26 +

576

3 øng dụng:

Biện luận số nghiệm phơng trình f(x) = g(x) * C¬ së lÝ thuyÕt:

+ Giả sử phơng trình (1) có nghiệm x=x0 giá trị tơng ứng

vÕ lµ f(x0) = g(x0) = y0

+ Nên đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) có điểm chung (x0;y0)

Do đồ thị y = f(x) y = g(x) mặt phẳng toạ độ số điểm chung chúng s nghim ca phng trỡnh (1)

* Cách giải toán:

+ Bin lun s nghim ca phng trình f(x) = g(x) (1) phơng pháp đồ thị

+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) y = g(x) (C' ) mặt phẳng toạ độ

+ BiÖn luËn sè nghiÖm chung (C) (C' ) số nghiệm phơng tr×nh

Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm phơng trình x 1+ x y = m mặt phẳng toạ độ

y

x

+ Theo đồ thị ta có:

m<1 phơng trình (1) vô nghiệm

m=1 phơng trình (1) có vô số nghiệm: x m>1 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Với giá trị a, phơng trình sau cã nghiÖm nhÊt

a x

2 +1= x3 (1)

Giải:

Phơng trình (1) 2x a = x3 -1

XÐt hai hµm sè y = 2x a =

2

2

2 a x a x

a x a x

  

    

  



 

    

  



vµ y= x3 -1=    

2

4

x x

x x

   



    



§å thị hàm số có dạng: y

y= 2x a

y= x3 -1

2 -3

-4 -2 -1 a x

-2 -1 -1

Từ đồ thị ta có: + Nếu

2 a

<-4 

2 a

>-2  a<-8a>-4 đồ thị cắt hai điểm phân biệt nên phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

+ NÕu -4 <

2 a

< -2  -8 < a < -4 hai đồ thị khơng có điểm chung nên phơng trình (1) vơ nghiệm

+ Vậy phơng trình (1) có nghiệm  hai đồ thị có điểm

chung nhÊt:

     

 

 

2 2

4 2 a a



  

 

 

4 8 b a

VÝ dơ 3:

Tìm tất giá trị thực k để phơng trình: ( x- 1)2 = 2 x k có bốn nghiệm

ph©n biƯt

Gi¶i:

Ta cã (x - 1)2 = 2 x k  x k =  

2

-x  x- k =

 

1 -x



   

  

(2) 2k

- x

(1) 2k 1

-4x x -

2

y

y=2k

x

a Ta xÐt hai hµm sè y = -x2+4x-1 vµ y=2k

Vẽ đồ thị hai hàm số toạ độ y = -x2+4x-1 Parabol(P

1) cã giao víi trơc tung lµ (0;-1) nhËn S(2; 3)

là đỉnh

y=2k đờng thẳng (d) song song với trục 0x b Xét hàm số y=x2+1 y=2k

Vẽ đồ thị hàm số hệ trục toạ độ y=x2+1 Parabol(P

2) có đỉnh S'(0;1)

y=2k đờng thẳng song song với trục 0x

Khi phơng trình (x-1)2=2 x k có nghiệm phân biệt  (d) cắt (P 1)

(P2) điểm phân biệt



  

2 2

3 2 1

k k



    

  

1 2 3 2 1

k k

4 Bµi tËp:

Bài 1: Chứng minh đồ thị hàm số sau tiếp xúc với Tìm toạ độ tiếp điểm

a.(P): y=x2 vµ (D): y=4x-4

Bài 2: Chứng minh (P): y=mx2-2mx+(m-1) tiếp xúc với đờng

thẳng cố định với m 

Híng dÉn:

Các đờng thẳng x=a cắt (P) điểm với a Nên dờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) có có dạng y=ax+b

Vậy đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) với m 

 =0 m 0

 (2m+a)2- 4m(m - 1- b) =0

m 0  4m(a+1+b)+ a2 =

m 0 

  

   

0 a

0 b 1 a

2 

  

 

1-b

0 a

Vậy đờng thẳng y=-1 tiếp xúc với (P): y =mx2-2mx+(m-1)

m 0

Bài 3: Cho Parabol(P) y= x5+5x-5 Gọi (d) đờng thẳng qua A(3;2)

hÖ sè gãc m

a Chứng minh đờng thẳng (d) cắt (p) hai điểm phân biệt B, C b Xác định m để BC có độ dài ngắn

Chó ý:

+ NÕu B(xb; yb); C(xc; yc) th× BC2=(xb- xc)2 +(yb- yc)2

+ NÕu BC > nªn BCMin  BC2Min

Dạng 6: Điểm cố định (chùm đờng thẳng, chùm Parabol)

* C¬ së lý thuyÕt:

+ Điểm M (x0;y0)  đồ thị hàm số y=f(x)  y0=f(x0)

+ Hµm sè y=f(x) (cã phơ thuộc vào tham số m) qua điểm M (x0;y0)

 y0=f(x0) víi mäi m

+ Ph¬ng trình ax2+bx+c=0 có nhiều hai nghiệm

   

   0 0 0

c b a

1 Cách giải:

Giả sử M (x0;y0) điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) qua với

mäi m

Ta có: y0=f(x0) (1) với m

+ Biến đổi (1) phơng trình tắc ẩn m (coi x0;y0 tham số) có

nghiƯm víi mäi m suy c¸c hệ số phơng trình (2) Giải hệ ®iỊu kiƯn (2) t×m x0;y0

+ (Thử lại) kết luận điểm cố định

2 VÝ dơ:

Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): y=(2m+1)x- 3m+2 qua với m

Gi¶i:

Giả sử M(x0;y0) điểm cố định mà đờng thẳng (d) qua với m

 y0=(2m+1)x0-3m+2 với m

 2mx0-3m+x0-y0+2=0 với m

 (2x0-3)m+(x0-y0+2)=0 với m

         0 2 0 3 2 0 y x x          2 7 2 3 0 y x

Vậy đờng thẳng qua điểm M(

2 ;

2

) víi m

VÝ dơ 2:

Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): (-m2+m-2)y=(m2+m-3)x+2m-5 qua

víi m

Gi¶i:

Giả sử M(x0; y0) điểm cố định mà đờng thẳng (d) qua với m

 (-m2+m-2)y

0=(m2+m-3)x0+2m-5 với m

 (x0+y0)m2+ (x0+y0+2)m -3x0+ 2y0- = với m

VÝ dơ 3:

Tìm điểm cố định Parabol(P): y = (m2-m+2)x2+(2m+3)x-4m2+1 qua với

mäi m

Gi¶i:

Giả sử M(x0; y0) điểm cố định mà (P) qua với m

 y0 = (m2-m+2)x02+(2m+3)x0-4m2+1 với m

 (x02-4)m2 – (x02-2x0)m + 2x02 + x0 + - y0 = với m



     

   

 

 

0 1

3 2

0 2

0 4

0

2

0

2

y x

x x x x



  

 

15 2

0

y x

VËy (P) ®i qua ®iĨm M(2; 15) víi mäi m

Bµi tËp

Bài 1: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng qua với giá trị tham số

a (d): y = (2m +1)x – 3m + b (b): (a-1)x + (2a+1)y = c (a): (2m+1)x + (3m-1)y =

Bài 2: Tìm m để đờng thẳng đồng quy (d1): 2x –3y = -1

(d2): (m-1)y = (m+1)x –2

(d3): (2m+1)x +(3m-1)y =

Dạng 7: Quỹ tích đại số

* C¬ së lý thuyÕt:

+ Điểm M(xM; yM) có toạ độ thoả mãn yM =f(xM) M thuộc đồ thị hàm

sè y = f(x)

+ Hàm số đồ thị tng ng l 1-1

1 Cách giải toán:

Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m

Gi¶i:

+ Biểu diễn toạ độ M theo tham số

+ Kết luận tập hợp điểm M đồ thị hàm số y = f(x)

* Chú ý: Khi tham số m có điều kiện từ điều kiện tham số điều kiện x để giới hạn quỹ tích

2 VÝ dơ:

VÝ dơ 1:

Tìm tập hợp giao điểm có hai đờng thẳng (d1): (m-1)x + 2y =

(d2): mx + y = -4

Gi¶i:

Toạ độ điểm chung M (d1) (d2) nghiệm hệ:

         y y mx y x

m )1 2 2

(           8 2 2 3 2 )1 ( y mx y x m           4 11 )1 ( mx y x m              1 4 7 1 11 ( m m y m x

(m 1)

Ta cã             1 4 7 1 11 m m y m x M M              1 11 7 1 11 m y m x M M

 yM-xM =  yM=xM +

3 Bµi tËp

Bµi 1:

Cho Parabol(P)y = x2 Gọi A B giao điểm đờng thẳng y = 2x + m

với (P) Tìm quỹ tích trung điểm AB m thay đổi

Bài 2: Cho Parabol(P)y = x2 Tìm tập hợp điểm từ kẻ đợc hai tiếp

tuyến vng góc đến (P)

Bµi 3: Cho Parabol(P)y= x2 + 7x + Tìm điểm M trơc tung cho hai

tiÕp tun cđa (P) qua M vu«ng gãc víi Híng dÉn:

+ M  Oy nên M có toạ độ M(0;a)

+ Giả sử đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y= kx + a (1) tiếp tuyến (P)  Phơng trình hồnh độ x2 + (7 – k)x + (6 – a) = (2) có nghiệm

kÐp

 = (7 – k)2 –4(6-a) =  k2 – 14k + 25 + 4a = (3)

 Ph¬ng tr×nh (3) cã hai nghiƯm k1.k2= -1

 4a + 25 = -1

 a =

2 13

Chơng III: Bài tập tổng hợp

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ gọi (P) đồ thị hàm số y = ax2 (d)

là đồ thị hàm số y = -x + m

a Tìm a biết (P) qua A(2; 1) vẽ (P) với a vừa tìm đợc b Tìm m cho (d) tiếp xúc với (P) vừa có, tìm toạ độ tiếp điểm c Gọi B giao điểm (d) câu với trục tung C điểm đối xứng A qua trục tung Chứng tỏ rằng:

+ C n»m (P)

+ Tam giác ABC vuông cân

Híng dÉn:

a (P): y = x2

4 

b Phơng trình hồnh độ giao điểm (P) (d) x2

4

 = -x + m 

x2+4x-4m = 0

Cho = ta cã m = vµ tiếp điểm A(2; 1)

c Xỏc nh cỏc điểm: A(2;1); B(0;1); C(-2;-1)

Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vng cân

Bµi 2: Cho Parabol(P): y = x2 – 4x + 3

a Chứng minh đờng thẳng y = 2x – tiếp xúc với Parabol(P) b Giải đồ thị bất phơng trình: x2 – 4x + > 2x - 4

Bµi 3: Cho Parabol(P): y = x2

2

, điểm I(0;2) điểm M(m; 0) với m 0 a VÏ (P)

b Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua I M

c Chứng minh đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A; B với m 

2 Chứng minh độ dài đoạn AB > với m 

Híng dÉn:

+ Đờng thẳng (d) y = x2

m

(m 0)

+ Phơng trình hồnh độ giao điểm (P) (d) mx2+4x-4m = có

>0

+ Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác HIK vuông I + Tính khoảng cách AB:

AB2=   4 . 1 16 4

2  

  

 

 

 AB

m x

x x

xA B A B

Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ cho Parabol(P) y = -x2 + 4x – v

đ-ờng thẳng (d): 2y + 4x 17 = VÏ (P) vµ (d)

2 Tìm vị trí điểm A (P) điểm B (d) cho độ dài đoạn AB ngắn

Híng dÉn:

2 AB ngắn tơng đơng với tiếp tuyến với (P) điểm A song song với đ-ờng thẳng (d)

+ Viết phơng trình đờng thẳng (d') tiếp xúc với (P) song song với (d) y = -2x +  A(3;0)

+ Viết phơng trình đờng thẳng (d'') vng góc với (d') A Xác định giao điểm (d'') với (d) để tỡm B(4;

2

) + Khoảng cách AB =

2

5 lµ lín nhÊt

Bài 5: Cho Parabol(P) y = x2 hai điểm A;B thuộc B có hồnh độ x

A = -1;

xB= Tìm M thuộc Parabol có hồnh độ x   1;2 cho diện tích tam

gi¸c AMB lín nhÊt Híng dÉn:

+ Khoảng cách tam giác AMB lớn tơng đơng với khoảng cách từ M đến AB lớn

Bµi kiĨm tra

(Thêi gian: 60 )’

Câu 1: Khoanh tròn vào chữ đứng trớc câu trả lời đúng:

a, Hµm sè nµo lµ hµm sè bËc hai?

A y = 2x -1 B y = x2 + 5x C y = 2x3 – x -6 D y = 6x.

b, Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 5 1

3x  x lµ:

A M(0; 1) B N(-1; 1) C (0; -1) D (3; 5) c, Đồ thị hàm số y = ax2 ®i qua ®iĨm A (2; -1) cã hÖ sè a b»ng:

A

4 B C D



d, Vị trí tơng đối hai đờng thẳng y = 4

 x y = 4x là:

A Cắt B Trïng

C Song song víi D Vuông góc với

Câu 2:

a, Viết phơng trình đờng thẳng qua gốc toạ độ O điểm M(2; 4) b, Viết phơng trình parabol dạng y = ax2 qua điểm M (2; 4)

c, Vẽ parabol đờng thẳng hệ trục toạ độ tìm toạ độ giao điểm chúng

Câu 3: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phơng trình:

2x2 +1 = m

Câu 4: Giải bất phơng trình sau đồ th: x2 < x + 2

Đáp án thang ®iĨm

Câu 1: 2đ (đúng câu đợc 0,5)

Câu A b c d

Đáp án B C D D

Câu 2: (4,5đ) a, (1, 5®)

Đờng thẳng qua gốc toạ độ có dạng: y = ax ( a khác 0)

§å thị hàm số qua M(2; 4) nên: = a Suy ra: a = (tho¶ m·n) VËy: Đờng thẳng cần tìm có dạng: y = 2x

b, (1,5đ)

Đồ thị hàm số y = ax2 qua M (2; 4) nên ta có:

= a 22

Suy ra: a = (thoả mÃn đk a khác 0)

Vậy: Phơng trình parabol cần tìm là: y = x2

c, (1,5®)

- Vẽ xác đẹp hai đồ thị hàm số đợc 1đ - Tìm giao điểm đựơc 0,5đ

- Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = 2x y = x2 nghiệm

phơng trình: x2 = 2x

2

0

2 ( 2)

2 x

x x x x

x

 

       

 

+ Với x1 = thay vào y = 2x ta đợc y1 =

+ Với x2 = thay vào công thức y = 2x ta đợc y2 =

Vậy: Giao điểm hai đồ thị A(0; 0) B(2; 4)

Câu 3: (1, 5đ)

Vẽ đồ thị y = 2x2 y = m – 1

- NÕu m < : v« nghiệm

- Nếu m = 1: phơng trình có nghiệm - Nếu m > 1: Phơng trình có hai nghiệm

Câu 4: (2đ)

V thị parabol (P): y = x2 đờng thẳng (d): y = x+2 hệ

trục toạ độ Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phơng trình: x2 = x + 2 2 0 ( 1)( 2) 0

2 x

x x x x

x

 

         

 

- Víi x = -1 th× y = - Víi x = th× y =4

đo (P) (d) cắt hai điểm A(-1; 1) B(2; 4) Đối chiếu hệ trục toạ độ vị trí hai đồ thị ta có

VËy: NghiƯm bất phơng trình -1< x <2

Kết thực nghiệm: (Đối với 20 học sinh lớp 9C)

Số HS cha áp dụng chuyên đề Số HS áp dụng chun đề

§iĨm TB TØ lƯ §iĨm TB TØ lƯ

6/ 20 30% 14/20 70%

PhÇn III: KÕt luËn chung

dạng có phơng pháp giải rõ ràng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh khơng cịn thấy sợ

"Hàm số" Đúng nh Ăng ghen nhận định " Các khái niệm định l-ợng biến thiên hàm số đa t tởng biện chứng vào tốn học phạm vi ứng dụng toán học rộng sâu hơn". Hiện tốn học cịn sâu sắc linh hoạt nhiều so với thời kỳ Ăng ghen Chơng trình cải cách giáo dục đa tập hợp số thực vào chơng trình lớp nên học sinh lớp tiếp thu khái niệm " Đồ thị hàm số" cách tự nhiên, dễ hiểu

Đối với đối tợng học sinh giỏi có thời gian cần tiếp thu phát triển ứng dụng dạng toán, nâng cao yêu cầu giúp em phát huy đợc lực học môn Toán

Trên nội dung đề tài mà tơi tìm hiểu Trong q trình thực trình bày đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong đợc góp ý thầy cô giáo bạn bè đồng nghiệp

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Tân Quang, tháng năm 2009 Ngời thực hiện

Phần IV:

Tài liệu tham kh¶o

1 Sách giáo khoa đại số lớp 7, đại số lớp

2 Sách phát triển đại số 7, đại số 8, đại số (Vũ Hữu Bình) Trọng điểm đại số (Ngơ Long Hậu – Trần Luận)

4 Toán nâng cao đại số (Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Viẹt Hải, Vũ Dơng Thuỵ)

5 Tài liệu chuyên toán đại số (Hồng Chúng, Thiệu Hùng, Quang Khải) Giải tích I (Hong Thu)

7 Báo toán học tuổi trẻ

8

1 x

Bài soạn:

Đồ thị hàm số y = ax (a 0)

(líp 7)

A Mơc tiªu:

* Học sinh hiểu đợc khái niệm đồ thị hàm số, đồ thị hàm số y = ax * Học sinh thấy đợc ý nghĩa đồ thị thực tiễn nghiên cứu hàm số

* Biết cách vẽ đồ thị hàm số

B Chn bÞ cđa GV HS:

* GV: Đèn chiếu phim giấy (hoặc bảng phụ) ghi tập, kết luận

* HS: Thớc thẳng bảng nhóm

C Tiến trình dạy học:

Hot ng ca GV Hoạt động HS

Hoạt động 1: Kiểm tra (8 phút) HS1: Chữa tập 37/68 SGK (Đa đề bi lờn mn hỡnh)

S1: a) Các cặp giá trị hàm số là: (0; 0); (1; 2); (2; 4)

b)

y D C B A

HS2: Thực yêu cầu ?1(Đa đề bi ?1 lờn mn hỡnh)

GV yêu cầu HS lớp làm vào

Cho tên điểm lần lợt là: M; N; P; Q; R

HS2 HS lớp làm

a {(-2;3); (-1;2); (0;-1); (0,5;1); (1,5;-2)

b

y M

(GV bố trí ?1 vị trí phù hợp để giữ lại giảng

GV nhËn xÐt cho ®iĨm HS

N Q 1,5

-2 -1 0,5 x -1 P -2 R

HS nhËn xÐt làm bạn

Hot ng2: th hàm số ?(7 phút) GV: HS2 vừa thực ?1 SGK Các

®iĨm M, N, P, Q, R biểu diễn cặp số hàm số y = f(x)

Tập hợp điểm gọi đồ thị hàm số y= f(x) cho

GV yêu cầu nhắc lại Trở lại làm cña HS1

GV hỏi: Đồ thị hàm số y = f(x) đợc cho 37 gì?

Vậy đồ thị hàm số y = f(x) gì? GV đa định nghĩa đồ thị hàm số y=f(x) lên hình

HS: Đồ thị hàm số y = f(x) cho tập hợp điểm(M,N,P,Q,R ) HS: Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp điểm {O,A,B,C,D} HS: Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tơng ứng (x;y)trên mặt phẳng toạ độ

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) cho ?1

GV: Vậy để vẽ đồ thị hàm số

y = f(x) ?1, ta phải làm bớc

HS:

+ Vẽ hệ trục toạ độ Oxy

+ Xác định mặt phẳng toạ độ, điểm biểu diễn cặp giá trị (x;y) hàm số

Xét hàm số y = 2x, có dạng y = ax víi a =

-Hµm sè có cặp số (x;y)

- Chính hàm số y = 2x có vơ số cặp số (x;y) nên ta liệt kê đợc hết cặp số hàm số

Để tìm hiểu đồ thị hàm số em hoạt động nhóm làm ?2 GV đa ?2 lên mn hỡnh

HS: Hàm số có vô số cặp sè (x;y)

HS hoạt động theo nhóm ?2 (Giấy nhóm có kẻ vng mờ)

Bµi lµm:

a (-2;-4); (-1;-2); (0;0); (1;2); (2;4) b y

-2 -1 x -2

-4

GV yêu cầu nhóm lên trình bày làm

Kiểm tra thêm làm vài nhóm khác

GV nhn mạnh: Các điểm biểu diễn các cặp số hàm số y = 2x ta nhận thấy nằm đờng

c Các điểm cịn lại có nằm đờng thẳng qua hai điểm (-2;-4) (2;4) Đại diện nhóm lên trình bày làm

thẳng qua gốc toạ độ.

GV đa lên hình mặt phẳng toạ độ biểu diễn điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x

+ Ngời ta chứng minh đợc rằng: Đồ thị hàm số y = ax (a 0) đờng thẳng qua gốc toạ độ

GV yêu cầu HS nhắc lại kết luận + Từ khẳng định trên, để vẽ đợc đồ thị hàm số y = ax (a 0) ta cần điểm đồ thị

+ Cho HS lµm ?4

Đa đề lên hình

HS nhắc lại kết luận đồ thị hàm số y = ax (a 0)

Để vẽ đợc đồ thị hàm số y = ax (a 

0) ta cần biết điểm phân biệt đồ thị

HS c¶ líp lµm ?4 vµo vë Sau Ýt gäi HS lên bảng trình bày

y = 0,5x HS tự chän ®iĨm A a A(4;2) y

b A

x

GV cho kiĨm tra bµi lµm cđa vµi HS + NhËn xÐt: (SGK)

Yêu cầu HS đọc phần nhận xét SGK trang 71

+ Ví dụ 2:Vẽ đồ thị hàm số y = -1,5x + GV: Hóy nờu cỏc bc lm

GV yêu cầu HS lµm bµi tËp vµo vë

NhËn xÐt bµi làm bạn

+ Mt HS c to phn "nhận xét" SGK

HS: + Vẽ hệ trục toạ độ Oxy

+ Xác định thêm điểm thuộc th hm s khỏc im O

Chẳng hạn A(2;-3)

+ Vẽ đờng thẳng OA, đờng thẳng đồ thị hàm số y = -1,5x

Một học sinh lên bảng vẽ đồ thị hàm số y = -1,5x

Hoạt động4: Luyện tập củng cố (10 phút) GV: Đồ thị hàm số gì?

+ Đồ thị hàm số y = ax (a 0) đ-ờng nh nào?

+ Mun v thị hàm số y = ax ta cần làm qua bớc nào?

+ Cho HS lµm bµi tËp 39 trang 71

HS: Nêu định nghĩa SGK HS trả lời câu hỏi

SGK

GV: Quan sát đồ thị 39 trả lời 40 SGK

GV cho HS quan sát đồ thị hàm số khác có dạng ng thng

Hai HS lần lợt lên bảng

HS1: Vẽ hệ trục tọ độ Oxy đồ thị hàm số y = x; y =-x

HS2:Vẽ đồ thị hàm số y = 3x; y =-2x HS: Nếu a >0, đồ thị nằm góc phần t thứ I thứ III, a < đồ thị nằm góc phần t thứ II thứ IV

y

y= x y=2x+3

-3 -1,5 x

-2 y = -2

Hoạt động5: Hớng dẫn nhà

+ Nắm vững kết luận cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + Bài tập 41;42;43 trang 72,73 SGK

53;54;55 trang 52,53 SBT

***********************************

Bài soạn:

Đồ thị hàm số y = ax2(a

0)

(Líp 9)



I Mơc tiªu :

 HS biết đợc dạng đồ thị hàm số y=ax2(a0) và phân biệt đợc

chóng trờng hợp a > a <

 Biết cách vẽ đồ thị hàm số y = ax2(a0).

II ChuÈn bÞ :

GV : Thớc thẳng, bảng phụ

HS : Nghiên cứu trớc bài; Giấy kẻ ô vuông, thớc thẳng, MTBT

III Cỏc hot ng dy học :

1 ổn định tổ chức :

 GV kiĨm tra sÜ sè líp, t c¸ch HS

2 KiĨm tra bµi cị :

Gọi HS lên bảng kiểm tra : HS1 : Điền vào ô trống

X -3 -2 -1

y=2x2

HS2 : Điền vào ô trống

x -4 -2 -1

y= 1 2

x 2



GV nhËn xÐt cho ®iĨm Bµi míi :

Hoạt động thầy trò Nội dung

Hoạt động 1 :

GV ®a VD

Ví dụ : Đồ thị hàm số y=2x2

Ta thÊy a = >

x -3 -2 -1

y=2x2 18 8 2 0 2 8

A(-3;18) ; B(-2;8) ;C(-1;2) ; O(0;0) ; C’(1;2) ; B’(2;8) ; A’(3;18)

Vẽ đờng cong qua điểm Yêu cầu HS quan sát vẽ vào ? Hãy nhận xét dạng đồ thị hàm số ?

GV khẳng định : Ta gọi đờng cong là parabol.

GV treo b¶ng phơ

HS quan sát làm ?1 (SGK 34) HS hot ng theo nhúm

Đại diện nhóm trả lời GV chốt lại

GV tiếp tục đa VD 2(SGK -34) Đồ thị hàm số y= 1 2

x 2



1 C¸c vÝ dơ :

a, VÝ dơ 1: SGK 33

Đồ thị hàm số y=2x2

Bảng giá trị tơng ứng : SGK - 33

thị hàm số có dạng đờng cong - Đồ thị hàm số nằm trục hoành - Các cặp điểm A,A’; B,B’;… đối xứng qua trục tung

- §iĨm thÊp nhÊt lµ O(0;0)

b, VÝ dơ 2: SGK - 34

Đồ thị hàm số y= 1 2

x 2

Tõ b¶ng kiểm tra lấy điểm M(4;8);N(2;2);P(; 1

2

 );O(0;0);P’(1; 1

2

 );

N’(2;-2); M’(4;-8)

Yêu cầu HS vẽ đờng cong

Yªu cầu HS làm ?2

Hat ng : Nhn xét

? Qua VD trên, em có NX vị trí đồ thị hàm số y= ax2(

a0) ?

HS lần lợt trả lêi

GV chốt lại phần NX (SGK – 34 HS đọc lại phần NX

Yêu cầu HS làm ?3 Hoạt động nhóm

GV thu kÕt qu¶ cđa nhóm NX chung

GV nhấn mạnh toàn bé GV ®a chó ý

Chó ý :

1 vẽ đồ thị hàm số y = ax2 tính

chất đối xứng đồ thị hàm số nên ta cần vẽ số điểm bên phải trục Oy lấy đối xứng qua Oy

áp dụng với hàm số y=1 2

x

3 (SGK – 35) Sự liên hệ đồ thị tính chất hàm số

? Đồ thị hàm số y=2x2 cho ta thấy điều

gì

- Đồ thị hàm số 1 2

y x (a 0) 2

  cho ta thấy điều ?

HS lần lợt trả lời

GV chốt lại ý thứ (SGK 36)

Bảng giá trị tơng ứng: SGK – 34

?2: SGK - 34

- Đồ thị hàm số nằm dới trục hoành - Các cặp điểm M,M’; N,N’… đối xứng qua trục tung

- Điểm cao O(0; 0)

2 Nhận xÐt: SGK - 35

?3: SGK – 35 KÕt qu¶ :

a) D(3;-4,5) b)

2 2

1

x 5 x 10 x 10 2

     

* Chó ý: SGK - 35

Thực hành vẽ:

- Đồ thị hàm số cho ta thấy với

- a > 0, x âm tăng đồ thị xuống chứng tỏ hàm số nghịch biến Khi x dơng tăng đồ thị hàm số lên chứng tỏ hàm số đồng biến - Nhận xét tơng tự với hàm số

2

1

y x (a 0) 2

 

8

6

4

2

-2

-5

  

O -1 -2 -3

4 Cñng cè :

Qua học hôm em đợc học vấn đề ? - Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai ẩn

- Một số kĩ tính tốn vẽ đồ thị hàm số y = ax2(a0).

GV nhÊn m¹nh

5 Híng dÉn vỊ nhµ :

- Xem lại ví dụ làm lớp

Mơc lơc

C¸c ý chÝnh Néi dung Trang

Phần I Mở đầu 1

1 Lớ chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 NhiƯm vơ nghiªn cøu 2

4 Đối tợng, phạm vi nghiên cứu 2

5 Phơng pháp nghiên cứu 3

Phn II Ni dung ti 3

Chơng I Lý thuyết bản 3

I. Khái niệm hàm số 3

II. Các hàm số chơng trình THCS 6

Chơng II Một số dạng tập 7

Dng Tìm tập xác định hàm số 7

Dạng Tìm giá trị hàm số 8

Dạng Xác định công thức hàm số 12

Dạng Đồ thị hàm số 18

Dng Vị trí tơng đối đồ thị 21

Dạng Điểm cố định 29

Dạng Qu tớch i s 32

Chơng III bài tập Tổng hợp 33

Bài kiểm tra 36

Phần III Kết luận chung 38

Phần IV Tài liệu tham kh¶o 39