Qua thêi gian nghiªn cøu c¸c tµi liÖu vÒ to¸n cùc trÞ, b¶n th©n t«i nhËn thÊy vÞ trÝ, vai trß cña to¸n cùc trÞ lµ rÊt quan träng: nã gãp phÇn lµm phong phó thªm cho kho tµng to¸n häc s¬ [r]
(1)Môc lôc
Môc lôc
A - Mở đầu 2
1 Lý chọn s¸ng kiÕn
2 Mục đích sáng kiến
3 NhiƯm vơ cđa s¸ng kiÕn
4 Phạm vi nghiện cứu
5 Đối tợng nghiên cứu phơng pháp tiến hành
B - Néi dung 5
I - Phơng pháp chung để giải toán cực trị đại số:
1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:
2 Các kiến thức thờng dïng:
3 Một số phơng pháp giải toán cực trị thờng dùng đại số
a) Phơng pháp tam thức bậc hai:
b) Phơng pháp xét khoảng:
c) Phơng pháp miền giá trị hàm số:
d) Phng phỏp s dụng bất đẳng thức phụ: 10
4 Nh÷ng sai lầm thờng gặp giải toán cực trị 13
a) Sai lầm chứng minh điều kiện 1: 13
b) Sai lầm chứng minh điều kiện 2: 14
5 Mét sè chó ý t×m cùc trÞ: 16
II Các dạng tốn cực trị đại số thờng gặp: 17
Dạng 1: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối 17
D¹ng 2: Biểu thức đa thức 23
Dạng 3: Biểu thức phân thức biến 29
Dạng 4: Biểu thức có chứa thức 33
C - Thực nghiệm s phạm 39
I Giáo án thùc nghiƯm: 39
II KÕt qu¶ thùc nghiƯm: 44
D - KÕt luËn 47
I Những vấn đề cịn hạn chế: 47
II Bµi häc kinh nghiƯm: 47
III KiÕn nghÞ: 47
IV KÕt luận: 48 A - Mở đầu.
1 Lý chän s¸ng kiÕn
(2)Qua việc nghiên cứu thực tế giảng dạy tốn THCS, tơi nhận thấy khái niệm cực trị cha đợc xây dựng thành hệ thống lý thuyết hồn chỉnh mà hình thành bớc cho học sinh qua số tập đơn giản SGK Nhng toán cực trị hay gặp kỳ thi, kiểm tra định kỳ hàng năm học sinh lớp 8, lớp
Thực tế nay, học sinh nắm khái niệm cực trị phơng pháp để giải dạng toán cực trị thờng gặp chơng trình học em yếu Ngay học sinh giỏi, làm tập cực trị gặp khơng khó khăn mắc sai lầm đáng tiếc lập luận vận dụng phép biến đổi thiếu xác không nắm vững khái niệm cực trị, phơng pháp, điều kiện phép biến đổi vận dụng
Về phía giáo viện giảng dạy mơn tốn, thực tế có khơng giáo viên cịn hạn chế việc dạy học sinh giải toán cực trị Một ngun nhân dẫn đến tình trạng giáo viên nghiên cứu tài liệu có liên quan đến cực trị nhng cha tìm cách phân loại, phơng pháp cho dạng cụ thể, cha tuyển chọn xếp dạng toán cực trị theo trật tự phù hợp với đối tợng học sinh
Đặc biệt từ năm học 2004 - 2005, mơn học tự chọn thức đợc thực giảng dạy cho học sinh lớp 8, lớp trờng THCS Đây hội để giáo viên dạy tốn giúp học sinh nắm vững khái niệm cực trị nắm đợc số phơng pháp tìm cực trị thờng dùng cho số dạng tốn cực trị cụ thể Từ em dần bớt cảm giác "sợ" với toán với yêu cầu đề tìm giá trị lớn hay giá trị nhỏ
Chính lí đây, tơi chọn sáng kiến Dạy học tự chọn toán
theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp trờng THCS nhằm
tháo gỡ phần khó khăn cho học sinh làm tốn cực trị, đồng thời gợi ý cho giáo viên dạy học tự chọn toán cho học sinh lớp 8, lớp chủ đề thực cách khả thi sở trờng cơng tác
2 Mục đích sáng kiến.
(3)hứng thú học tập môn toán nh việc giải toán cực trị có ch -ơng trình học tập em
ti ny nhằm mục đích gợi ý giáo viên dạy học tự chọn toán chủ đề cần thiết phải dạy cho học sinh lớp 8, lớp tài liệu dạy học tự chọn thống cha có
Nh vậy, mục đích sáng kiến nhằm góp phần nâng cao chất l-ợng giáo dục nạy
3 NhiƯm vơ cđa sáng kiến.
* Đối với giáo viên:
- Xây dựng đợc sở lý thuyết để giải toán cực trị
- Tuyển chọn, phân loại đợc tập nêu lên đợc phơng pháp giải dạng tập cự trị cụ thể
- Dự đoán đợc sai sót học sinh, nêu đợc điểm cần ý giải toán cực trị
* §èi víi häc sinh:
- Hiểu đợc khái niệm cực trị nắm vững bớc giải toán cực trị - Nhận dạng đợc loại toán cực trị, vận dụng sáng tạo phơng pháp giải toán cực trị vào cụ thể, từ dễ đến khó Dần thấy đợc điểm mà thân hay sai giải tốn cực trị từ có ý thức khắc phục sai lầm
- Bớc đầu thấy đợc tình dẫn đến toán cực trị, cách xây dựng tốn cực trị Trên sở có ý thức vận dụng kiến thức toán cực trị vào mơn học khác nh vật lý, hố học , … thấy đợc tính ứng dụng tốn cực trị vào đời sống hàng ngày
4 Ph¹m vi nghiƯn cøu.
Do khn khổ sáng kiến kinh nghiệm, thực tế khả lĩnh hội kiến thức học sinh lớp 8, lớp trờng THCS, mà sáng kiến xin đề cập đến số dạng toán cực trị thờng gặp đại số có chơng trình tốn THCS dạy học tự chọn theo chủ đề bám sát nâng cao học sinh lớp 8, lớp cỏc trng THCS
5 Đối tợng nghiên cứu phơng pháp tiến hành.
(4)Đối tợng khảo sát thực nghiệm 58 học sinh líp ®ang ë häc kú I tham gia häc tự chọn toán năm học 2005 - 2006 trờng THCS Đoàn Thị Điểm
B - Nội dung.
I - Phơng pháp chung để giải toán cực trị đại số: Do tính chất s phạm, để nhằm mục đích học sinh hiểu đợc khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (cực trị), giáo viên dạy nên đa khái niệm thật đơn giản tránh lý thuyết kinh viện Chính ta cho học sinh tìm hiểu khái niệm cực trị thông qua cực trị hàm biến nh dới õy
1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè:
Cho hàm số y = f(x) xác định miền (D)
a) M đợc gọi giá trị lớn f(x) miền (D) nh hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn:
¿
(5)KÝ hiÖu: M = max f(x), x (D)
b) m đợc gọi giá trị nhỏ f(x) miền (D) nh hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn:
¿
1(x)≥ m víi ∀ x∈(D)¿2¿ ∃ x0∈(D) cho f( x0)=m¿ ¿{¿ ¿
KÝ hiÖu: m = f(x), x (D)
Nh vậy, theo để giải toán cực trị đại số thông thờng ta tiến hành theo hai bớc sau:
Bớc 1: Chỉ rõ f(x) m (hoặc f(x) M), x (D) (với m, M hắng số). Bớc 2: Chỉ đợc x0 (D) để cho f(x) = m (hoặc f(x) = M).
2 C¸c kiÕn thøc thêng dïng:
1) x2 0, tổng quát [f(x)]2k với x; k Z. Từ suy ra: [f(x)]2k + m m
hc M - [f(x)]2k M. 2) a/ x
b/ x + y x + y ; dấu "=" xảy x, y cïng dÊu c/ x - y x- y ; dấu "=" xảy x, y cïng dÊu
Chøng minh
a) Dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối
b) Vì hai vế bất đẳng thức phải chứng minh khơng âm, bình phơng hai vế ta đợc bất đẳng thức tơng đơng:
(|x + y|)2≤(|x|+|y|)2
x2 + 2xy + y2 x2 + 2x.y + y2 xy x.y
Bất đẳng thức cuối đúng, bất đẳng thức phải chứng minh Dấu "=" xảy x, y dấu.
c) x - y x- y
- Nếux< y vế phải số âm; vế trái số không âm, bất đẳng thức
- Nếu x y hai vế khơng âm, bình phơng hai vế ta đợc bất đẳng thức tơng đơng:
(|x − y|)2≥(|x|−|y|)2
x2 - 2xy + y2 x2 - 2x.y + y2 xy x.y
(6)DÊu "=" x¶y x, y cïng dÊu.
3) Bất đẳng thức Cơsi (Cauchy) có dạng sau:
a) (a + b)2 4ab, dÊu "=" x¶y vµ chØ a = b. b) a
b+ b
a≥2 , víi a.b > 0; dÊu "=" xảy a = b
c) a+b ≥ 2√ab , (a 0; b 0), dấu "=" xảy a = b
Các hệ quả:
d) Vi a 0, b a + b = k (khơng đổi) Tích (a.b) lớn a = b
Hai số không âm có tổng khơng đổi tích lớn hai số
Trong hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn e) Với a 0, b a.b = k (không đổi)
Tỉng (a + b) nhá nhÊt vµ chØ a = b
Hai số không âm có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số
Trong hình chữ nhật có diện tích, hình vu«ng cã chu vi nhá nhÊt
Chøng minh
a) Từ (a - b)2 0: Bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Dấu "=" xảy a = b, ta suy ra:
a2 - 2ab + b2 > 0 a2 + b2 > 2ab (1) a2 + 2ab + b2 > 4ab (a + b)2 4ab (2)
b) Nếu ab > 0, chia hai vế (1) cho ab ta đợc:
a2 +b2 ab ≥ 2
a
b+ b
a2 , Dấu "=" xảy a = b
c) Tõ (√a −√b)2≥ 0 , víi a 0, b
a+b ≥ 2√ab (3) d) NÕu a + b = k, tõ (2) suy ra:
k2 4ab ab ≤k
2
VËy max(ab) = k
2
4 , dÊu "=" x¶y vµ chØ a = b
e) NÕu a.b = k tõ (3) a+b ≥ 2√k
Vậy min(a + b) = 2√k , dấu "=" xảy a = b 4) Bất đẳng thức Bunhiacốpski:
(7)hc |ax +by|≤√(a2
+b2) (x2 +b2)
DÊu "=" xảy ay = bx
Chøng minh
XÐt hiÖu: (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2
= a2x2 + a2 y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 = (ay - bx)2 (®pcm)
DÊu "=" xảy ay = bx
* Tơng tự ta có bất đẳng thức Bunhiacốpski áp dụng cho số: (ax + by + cz)2 (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2), Dấu "=" xảy a
x=
b
y=
c
z
5) Bất đẳng thức Mincôpxki:
√a2+b2+√x2+y2≥√(a+ x )2+(b+ y )2
Dấu "=" xảy ay = bx
L
u ý: Khi cần sử dụng đến bất đẳng thức Bunhiacốpski Mincơpxki ta phải
chøng minh råi míi vËn dơng.
3 Một số phơng pháp giải tốn cực tr thng dựng i s.
a) Phơng pháp tam thức bậc hai:
Ví dụ: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
D=x
2 +x +1 ( x+1 )2
Lêi gi¶i: Ta cã: D=x
2 +x +1 ( x+1 )2 =
( x+1)2−( x +1)+1 ( x+ 1)2 =1−
1
x +1+
1 ( x +1)2
Đặt
x +1=t , D có dạng:
D = t2 - t + 1 = (t −1
2)
+3 4≥
3
4 víi mäi t
D=3
4⇔(t − 2)
2
=0⇔
x+1=
1
2 x=1.
Vậy giá trị nhỏ D b»ng
4 , đạt đợc x =
b) Phơng pháp xét khoảng:
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
M = |x - 5| + |x + 2| Lêi gi¶i:
* NÕu x < - 2, ta cã:
(8)* NÕu - x 5, ta cã:
M = - x + + x + = * NÕu x > 5, ta cã:
M = x - + x + = 2x - > 10 - =
Vậy trờng hợp ta có minM = 7, đạt đợc - x Trong ví dụ ta giải cách sử dụng bất đẳng thức:
x + y x + y c) Phơng pháp miền giá trị hàm số:
Gi s ta phi tỡm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị (D) Gọi y0 giá trị f(x) với x (D) Điều có nghĩa phơng trình f(x) = y0 ( với x (D) ) phải có nghiệm
Sau giải phơng trình, điều kiện có nghiệm thờng dẫn đến bất đẳng thức: m y0 M
Từ suy ra: f(x) = m với x (D); max f(x) = M với x (D)
Cũng có trờng hợp ta tìm đợc giá trị nhỏ mà khơng có giá trị lớn nhất, ngợc lại
Ví dụ 1: Tìm cực trị hàm số:
a) y = 7x2 - 4x + b) y = - 6x2 + 5x - 2. Lêi gi¶i:
a) Hàm số xác định với x R Giả sử y0 giá trị y suy ra: y0 = 7x2 - 4x +
Do phơng trình (biến x): 7x2 - 4x + - y
0 = ph¶i cã nghiÖm ' = - 7(1 - y0) = 7y0 - y0
7
VËy y =
7 , đạt đợc x =
7 (nghiệm kép lúc ' = 0)
b) Làm tơng tự câu a) ta có max y = −23
24 , đạt đợc x = 12
VÝ dô 2: Cho A=2(x
2 +x +1)
x2+1
Tìm giá trị nhỏ giá trị lín nhÊt cđa A Lêi gi¶i:
Vì x2 + > với x nên A xác định với x. Phơng trình: A(x2 + 1) = 2(x2 + x + 1)
(A - 2)x2 - 2x + (A - 2) = (*)
(9)1) Khi A = 1, tõ (*) suy - x2 - 2x - = 0 (x + 1)2 = x = - 1.
2) Khi A = 3, tõ (*) suy x2 - 2x + = (x - 1)2 = x = 1.
VËy A = vµ chØ x = - 1; max A = vµ chØ x = Chó ý: ë vÝ dơ trªn ta giải toán theo cách khác.
1) A=2(x
2 +x +1)
x2+1 =
(x2+1)+(x2+2x+1)
x2+1 =1+
(x+1 )2 x2+1 ≥ 1
v× (x +1)
2
x2+1 ≥ 0 Dấu "=" xảy x = -
VËy A = vµ chØ x = - 2) A=2(x
2 +x +1)
x2+1 =
3(x2+1)−(x2−2 x+1)
x2+1 =3 −
(x −1)2
x2
+1 ≤ 3
v× (x −1)
2
x2+1 0 Dấu "=" xảy x =
VËy max A = vµ chØ x =
d) Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức phụ:
Nội dung phơng pháp vận dụng bất đẳng thức mục các
kiến thức thờng dùng để giá trị lớn hay giá trị nhỏ biểu thức.
Giả sử cho hàm số f(x) có miền xác định (D) Ta phải chứng minh: * f(x) M f(x) m
* Chỉ trờng hợp x = x0 (D) cho bất đẳng thức trở thành đẳng thức Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức sau:
a) A = - (2x - 1)2 b) B = 4x - x2 + 2 c) C=
x2−4x +9 d) D=
5x2 +21
x2+3
Lêi gi¶i:
a) (2x - 1)2 víi x, dÊu "=" xảy x=1
2
- (2x - 1)2 - (2x - 1)2 3. VËy max A = vµ chØ x=1
2
b) B = 4x - x2 + = - (x2 - 4x + 4) = - (x - 2)2 6. VËy max B = vµ chØ x =
c) x2 - 4x + = (x - 2)2 + 5, dấu xảy x = 2.
Vì mẫu ln ln dơng nên phân thức cho ln có nghĩa, tử số d-ơng nên phân thức lớn mẫu nhỏ nhất, đó:
max C =
(10)d) D=5x
2 +21
x2+3 =
5x2+15+6
x2+3 =5+
6
x2+3
Ta cã: x2 +
x2+3≤ 3=2
VËy max D = + = vµ chØ x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhá nhÊt cña :
a) E=|x|+|8 − x| b) F = |x - 3| + |x - 5|
Lêi gi¶i:
áp dụng bất đẳng thức |x| + |y| |x + y|, dấu "=" xảy x.y a) E=|x|+|8 − x|≥|x+8− x|=8 , x(8 - x)
LËp b¶ng xÐt dÊu:
x … …
x - + +
8 - x + +
-x(8 - x) - +
-VËy E = vµ chØ x
b) Ta cã: F = |x - 3| + |x - 5| = |x - 3| + |5 - x| |x - + - x| = Dấu "=" xảy (x - 3)(5 - x) x VËy F = vµ chØ x
VÝ dơ 3: T×m gi¸ tri nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
a) M=x +16
x −2 víi x >
b) N=( x+ a) ( x+ b)
x víi x > 0; a, b số dơng
Lêi gi¶i:
a) M=x +16
x −2=( x − 2)+
16
x −2+2
V× x > x - vµ 16
x −2 hai số dơng có tích khơng đổi: (x - 2)
16
x −2 = 16
Nªn tỉng (x - 2) + 16
x −2 nhỏ hai số nhau:
x - = 16
x −2 (x - 2)2 = 16 x2 - 4x - 12 =
Phơng trình có hai nghiệm x1 = 6, x2 = - nhng nghiÖm x2 = - không phù hợp với điều kiện x >
VËy M = (6 - 2) + 16
6 − 2 + = 10 vµ chØ x =
Chú ý: Ta áp dụng bất đẳng thức Cơsi với hai số dơng x - và
16
x −2 , ta cã (x - 2) +
16
(11)b) N=(x+a) ( x+b)
x =
x2+(a+b) x+ab
x =x+
ab
x +(a+b)
x+ab
x ≥ 2√x
ab
x =2√ab , dÊu "=" x¶y vµ chØ khi:
x=ab
x x2 = ab x = √ab , v× x > nªn x = √ab
VËy N = a + b + √ab = (√a+√b)2 vµ chØ x = √ab VÝ dụ 4: Tìm giá trị nhỏ P=( a+b+c )(1
a+
1
b+
1
c) , víi a, b, c >
Lêi gi¶i:
P=( a+b+c )(1 a+
1
b+
1
c)=1+( a b+
b a)+1+(
b c+
c b)+1+(
c a+
a c)
áp dụng đẳng thức a
b+ b
a≥2 (với a, b > 0) ta đợc:
P + + + = VËy P = vµ chØ a = b = c VÝ dô 5: Tìm giá trị lơn biểu thức:
G = |x + 2y + 3z| biÕt r»ng ba sè x, y, z thoả mÃn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1. Lêi gi¶i:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski, ta có:
(x + 2y + 3z)2 (12 + 22 + 33)(x2 + y2 + z2) = 14 |x + 2y + 3z| 14 , dấu "=" xảy x
1=
y
2=
z
3 y = 2x, z =
3x
VËy max G = √14 vµ chØ y = 2x, z = 3x
VÝ dơ 6: T×m giá trị lớn biểu thức A=x +5+3 − x
Lêi gi¶i:
* Điều kiện xác định: - x
Ta giải toán theo cách vận dụng bất đẳng thức nh sau: Cách 1:
Ta cã A2=x +5+3 − x +2√(x +5 )(3 − x )=8+2√( x +5) (3− x )≤ 8+( x +5)+(3 − x )=16
A2 16 A A = vµ chØ x + = - x x = -1 (TM§K). VËy max A = vµ chØ x = -
C¸ch 2:
Chứng minh bất đẳng thức phụ: a + b √2(a2
+b2) (BĐT Bunhiacôpski)
ỏp dng bt ng thc trờn ta có: A=√x +5+√3 − x ≤√2 (x +5+3 − x )=4 A = √x+5=√3− x x + = - x x = -
VËy max A = x = - Cách 3:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số khơng âm ta có:
A=1
2.[√(x +5) +√(3 − x ) 4]≤ 2.[
x +5+4
2 +
3− x+4 ]=
1
(12)A=4⇔ x+5=4
3 − x=4
⇔ x=− 1 ¿{
VËy max A = vµ chØ x = -
4 Những sai lầm thờng gặp giải toán cực trị
a) Sai lầm chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc:
A=
x2− 6x+17
Lêi gi¶i sai:
Phân thức A có tử khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ Ta có: x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + 8.
min (x2 - 6x + 17) = vµ chØ x = 3. VËy max A =
8 x =
Phân tÝch sai lÇm:
Tuy đáp số khơng sai nhng lập luận sai khẳng định "A có tử khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất" mà cha đa nhận xét tử mẫu số dơng
Ta ®a mét vÝ dơ: XÐt biĨu thøc B=
x2− 4 Víi lËp ln "ph©n thøc B cã tư
khơng đổi nên B có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất", mẫu nhỏ - x = 0, ta đến: max B = −1
4 x = Điều khơng đúng:
−1
4 kh«ng phải giá trị lớn B, chẳng hạn víi x = th× B = >
−1
4
Mắc sai lầm khơng nắm vững tính chất bất đẳng thức, máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên sang hai phân số có tử mầu hai số nguyên
Lời giải đúng:
Ta bổ sung thêm nhận xét: x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + nên tử mẫu A số dơng; từ nhận xét suy A > 0, đó: A lớn khi:
1
A nhá nhÊt x2 - 6x + 17 nhá nhÊt
(13)Ta có: x4 x Suy ra: x4 - - x x4 + x Do đó: B = (x4 - 1)(x4 + 1) (- 1).1 = - x
B=−1⇔
x4−1=− 1
x4+1=1
⇔ x=0. ¿{
VËy B = - x = Phân tÝch sai lÇm:
Tuy đáp số khơng sai nhng việc lập luận để điều kiện ( B - 1) lời giải lại sai Để điều kiện 1, ngời làm sử dụng phép biến đổi:
¿ a ≥ b c ≥ d ⇒a c≥ b d
¿{
¿
mà không ý đến điều kiện phép biến đổi b d Lời giải đúng:
Ta cã B = (x4 - 1)(x4 + 1) = x8 - - x v× x8 x. B = - vµ chØ x8 = x = 0.
Vậy B = - đạt đợc x =
b) Sai lầm chứng minh điều kiện 2: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A=x +√x
Lêi gi¶i sai:
Ta cã A=x +√x=(x+√x +1
4)−
4=(√x+ 2)
2
−1
4
VËy A = −1
4
Ph©n tÝch sai lÇm:
Sau chøng minh f(x) −1
4 , cha trờng hợp xảy f(x) = −
4 X¶y
dấu đẳng thức √x=−1
2 , vô lí
Li gii ỳng:
Để tồn √x ph¶i cã x
Do A=x +√x ≥ 0 Vậy A = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ B=( x+ a) (x +b )
x , víi x > 0, a b số
cho trớc Lời gi¶i sai:
Ta cã : x+a ≥2√ax (1)
(14)Do đó: B=( x+ a) (x +b )
x ≥
2√ax 2√bx
x =4√ab
VËy B = 4√ab x = a = b Phân tích sai lầm:
Chỉ xảy B = 4√ab (1) (2) đồng thời xảy dấu đẳng
thức, tức x = a x = b Nh địi hỏi phải có a = b Nếu a b khơng có đ-ợc B = 4√ab .
Lời giải đúng:
Ta thực phép nhân tách số:
B=( x+ a) (x +b )
x =
x2+ax +bx+ab
x =(x +
ab
x )+(a+b)
Ta cã x+ab
x ≥ 2√ab (Bất đẳng thức Côsi)
B 2√ab + a + b = (√a+√b)2
VËy B = (√a+√b)2 vµ chØ :
¿
x=ab
x x >0
⇔ x=√ab
¿{
Ví dụ 3: Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc A=√x +5+√3 − x .
Lêi gi¶i sai:
* Điều kiện để biểu thức A có nghĩa: - x áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số khơng âm ta có:
√( x+5 ) 1≤x +5+1
2 (1)
√(3− x ) 1≤3-x+1
2 (2)
Suy ra: A ≤x+5+1
2 +
x+5+1
2 =5
VËy max A = Phân tích sai lầm:
Ch xy A = (1) (2) đồng thời xảy đẳng thức, tức là:
¿ x +5=1
3 − x=1
⇔
¿x=− 4
x=2 ¿{
¿
(V« lÝ)
(15)Lời giải đúng:
Với điều kiện: - x x + - x áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có:
A=1
2.[√(x +5) +√(3 − x ) 4]≤ 2.[
x +5+4
2 +
3− x+4 ]=
1
16 =4
A=4⇔
x+5=4
3 − x=4
⇔ x=− 1 ¿{
VËy max A = vµ chØ x = -
5 Một số ý tìm cực trị:
a) Chú ý 1: Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức ta đổi biến Chẳng hạn ta xét ví dụ sau õy:
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ cña P = (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) Lêi gi¶i:
Ta có P = (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = (x2 + 4x - 5)(x2 + 4x + 3). Đặt x2 + 4x - = t, P có dạng:
P = (t - 4)(t + 4) = t2 - 16 - 16 t.
P = - 16 vµ chØ t = x2 + 4x - = x=−2 −√5 hc x=−2+√5 VËy P = - 16 x=2 5 hoặc x=2+5 .
b) Chú ý 2: Khi tìm cực trị biểu thức nhiều ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị biểu thức khác đạt cực trị (xét biểu thức phụ)
A lín nhÊt (A > 0)
A nhá nhÊt
A lín nhÊt (A > 0) A2 lớn nhất.
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn B= x
4 +1 (x2
+1)2
Lêi gi¶i:
Ta thÊy x4 + > x vµ (x2 + 1)2 > x B > nªn: B lín nhÊt
B nhá nhÊt; B nhá nhÊt
1
B lín nhÊt
Ta cã:
B=
(x2+1)2
x4+1 =
x4+2x2+1
x4+1 =1+
2x2
x4+1 (*)
a) Tìm giá trị lớn B:
Vì 2x2 x, dấu "=" xảy vµ chØ x = 0. x4 + > Suy 2x
2
x4+1≥0 x
Tõ (*):
B=1+
2x2
x4+1≥ 1
(16)b) Tìm giá trị nhỏ B:
Ta cú: (x2 - 1)2 0, dấu "=" xảy x2 = x = 1. x4 + 2x2 Vì x4 + > 0, chia hai vế cho x4 + ta đợc 2x
2
x4
+1≤1
Tõ (*)
B≤ 1+1=2 B = vµ chØ x =
II Các dạng toán cực trị đại số thờng gặp: Dạng 1: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Các phơng pháp thờng dùng để giải toán dạng gồm:
* Chia khoảng, xét khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối So sánh giá trị tất trờng hợp để tìm giá rtị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
* Sử dụng bất đẳng thức phụ:
+ |A| + |B| |A + B| Dấu "=" xảy chØ A.B + |A| - |B| |A - B| Dấu "=" xảy B.(A - B) + |A| +
|A|2 Dấu "=" xảy A =
VÝ dơ 1: T×m giá trị nhỏ biểu thức: M = |x - 5| + |x + 2|
Lêi gi¶i:
Cách 1: Ta xét trờng hợp sau
* NÕu x < - 2, ta cã M = - x + - x - = - 2x + > + = * NÕu - x 5, ta cã M = - x + + x + =
* NÕu x > 5, ta cã M = x - + x + = 2x - > 10 - =
Vậy giá trị nhỏ M đạt đợc - x Cách 2:
áp dụng bất đẳng thức |A| + |B| |A + B| ta có:
M = |x - 5| + |x + 2| = |5 - x| + |x + 2| |5 - x + x + 2| = Dấu "=" xảy (5 - x)(x + 2) - x Vậy giá trị nhỏ M đạt đợc - x Cách 3:
(17)DÊu "=" x¶y vµ chØ
¿
5 − x ≥ 0
x +2≥ 0 ⇔ ¿x ≤ 5 x ≥− 2 ⇔− 2≤ x ≤
¿{
¿
Lêi b×nh:
- Theo cách 1, tốn có n dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét (n + 1) trờng hợp ứng với (n + 1) khoảng giá trị x Rõ ràng với cách làm cho lời giải toán dài biểu thức có nhiều dấu giá trị tuyệt đối
- Theo cách cách lời giải toán gọn đề có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối Nhng để làm theo cách cách ta cần phải có thao tác đổi dấu biểu thức nằm hai dấu giá trị tuyệt đối M trớc vận dụng bất đẳng thức phụ Làm nh sau áp dụng bất đẳng thức phụ để đánh giá đợc số Chính điều dạy, giáo viên cần cho học sinh phải làm nh vậy, làm nh nhằm mục đích gì? Thực tế học sinh dễ sai thao tác làm
- Nếu đối tợng học sinh lớp 9, giáo viên nên biểu thức M thay M =√x2−10x +25+√x2+4x+4 , điểm giúp cho học sinh lớp 9
có thể giải đợc khơng tập cực trị có chứa thức có chơng trình Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
N = |x2 + 2x + 3| + |x2 + 2x - 15|. Lêi gi¶i:
Ta có: x2 + 2x + = (x + 1)2 + > x. Do đó: |x2 + 2x + 3| = x2 + 2x + x.
Suy ta cã:
N = |x2 + 2x + 3| + |x2 + 2x - 15|
= x2 + 2x + +|- x2 - 2x + 15| x2 + 2x + - x2 - 2x + 15 = 18 DÊu "=" x¶y vµ chØ - x2 - 2x + 15
- (x + 1)2 + 16 - x + - x
VËy N = 18 vµ chØ - x
(18)- Từ ví dụ ví dụ 2, giáo viên dạy cho học sinh nhận xét đặc điểm biểu thức M N (số dấu giá trị tuyệt đối, cách làm …) qua thấy đợc -u phơng pháp sử dụng bất đẳng thức phụ |A| + |B| |A + B|
- Đến giáo viên khái quát tốn qua ví dụ ví dụ ú l:
Tìm giá trị nhỏ biểu thøc |f(x) + a| + |f(x) + b|.
Nhng để đến toán tổng quát, giáo viên cần tiếp tục đa thêm ví dụ đặt câu hỏi trọng tâm để học sinh phát
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
B = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + … |x - 1999| + |x - 2000| + Lêi gi¶i:
B = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + … |x - 1999| + |x - 2000| +
= |x - 1| + |x - 2| + … |x - 999| + |x - 1000| + |1001 - x| + |1002 - x| + + …
+ |1999 - x| + |2000 - x| = (2000 - 1000) + (1999 - 999) + … + (1001 - 1)
= ⏟1000+1000+ +1000
1000 sè h¹ng
= 1000 000
DÊu "=" x¶y
¿ x −1 ≥ 0 x −2 ≥ 0
x −1000 ≥ 0
1001− x ≥ 0 1002− x ≥ 0
2000 − x ≥ 0
⇔ ¿x ≥ 1
x ≥ 2
x ≥ 1000 x ≤ 1001 x ≤ 1002
x ≤ 2000 ⇔1000 ≤ x ≤1001
¿{ { {{ { { {
¿
Vậy B = 1000 000 đạt đợc 1000 x 1001
(19)- Trớc đến lời giải ví dụ 3, giáo viên dạy cần cho học sinh nhận xét số dấu giá trị tuyệt đối có biểu thức Vậy ta cần đổi dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối để đợc tổng số hạng sau vận dụng bất đẳng thức phụ số?
- Cần lu ý học sinh cách đổi thứ tự đổi dấu (1000 số hạng cuối)
- Với câu hỏi nh giáo viên hớng học sinh tìm đến lời giải tốn sau:
Bài toán tổng quát 1: Cho a1, a2, a3, … , a2m thoả mãn a1 < a2 < a3 < … < a2m Tìm x để: |x - a1| + |x - a2| + |x - a3| + … |x - a + 2m - 1| + |x - a2m| đạt giá trị nhỏ
Lêi gi¶i:
Ta cã: |x - a1| + |x - a2| + |x - a3| + … |x - a + 2m - 1| + |x - a2m| =
= |x - a1| + |x - a2| + … |x - a+ m| + |am + - x| + … |a + 2m - - x| + |a2m - x| (x - a1) + (x - a2) + …+ (x - am) + (am + - x) + … + (a2m - - x) + (a2m - x) = (am + + am + + … + a2m) - (a1 + a2 + …+ am)
Dấu "=" xảy am x am + Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc
|x - a1| + |x - a2| + |x - a3| + … |x - a + 2m - 1| + |x - a2m| lµ (am + + am + + … + a2m) - (a1 + a2 + …+ am) am x am +
Lêi b×nh:
Bài toán toán tổng quát tốn ví dụ 1, 2, 3, nh ng cha tốn tổng qt Vì biểu thức có số lẻ lần dấu giá trị tuyệt đối làm nh ? Đến đây, giáo viên tiếp tục cho học sinh tìm hiểu cách làm ví dụ
VÝ dơ 4: T×m giá trị nhỏ biểu thức sau:
M = |x - 1| + |x - 3| + |x - 6| Lêi gi¶i:
Ta cã: M = |x - 1| + |x - 3| + |x - 6| = |x - 1| + |x - 3| + |6 - x|
x - + + - x = (v× |x - 1| x - 1; |x - 3| 0; |6 - x| - x)
DÊu = x¶y ra⇔
x-1≥ 0 x-3=0 6-x≥ 0
⇔ x=3 ¿{ {
(20)VËy M = x =
Lêi b×nh:
* Trong ví dụ trên, ta giải phơng pháp xét khoảng nh sau: - Nếu x M = x - + x - + x - = 3x - 10 3.6 - 10 =
- NÕu x < M = x - + x - + - x = x + M < - NÕu x < M = x - + - x + - x = - x < M - NÕu x < M = - x + - x + - x = 10 - 3x
VËy mäi trêng hỵp ta cã M = x =
Rõ ràng với cách chia khoảng nh trên, lời giải trở nên dài số dấu giá trị tuyệt đối nhiều việc đánh giá bất đẳng thức kép để xác định miền giá trị M học sinh thờng lúng túng
Nhng với cách giải sử dụng bất đẳng thức |A| A, giáo viên dạy cần rõ phép biến đổi để điều kiện 1, điều kiện toán
Để điều kiện ta cộng vế với vế bất đẳng thức chiều:
|x −1|≥ x −1 |x −3|≥ 0
|6 − x|≥ − x
} }
⇒|x −1|+|x −3|+|6 − x|≥5
Chính cáh điều kiện trên, nên để dấu xảy dấu bất đẳng thức đồng thời xảy từ dẫn đến điều kiện:
¿
x-1≥ 0 x-3=0 6-x≥ 0
⇔ x=3 ¿{ {
¿
Với cách vận dụng bất đẳng thức |A| A, giáo viên dạy cần rõ cho học sinh phải thay |x - 6| |6 - x| mà không thay |x - 1| |1 - x|
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc sau:
N = |x - 1| + |x + 2| + |x - 3| + |x + 15| + |x - 19| Lêi gi¶i:
(21)DÊu = x¶y ra⇔ x +15 ≥ 0
x +2 ≥0
x-1=0 3-x≥ 0 19-x≥ 0
⇔ x=1 ¿{ { { {
VËy N = 39 x =
Lêi b×nh:
Trớc cho học sinh vận dụng bất đẳng thức |A| A giáo viên nên cho học sinh thứ tự giá trị tuyệt đối theo thứ tự tăng dần giảm dần nghiệm nhị thức dấu giá trị tuyệt đối Tiếp cho học sinh xác định số biểu thức nằm dấu giá trị tuyệt đối cần đổi dấu biểu thức nào? Trong ví dụ ta xếp theo thứ tự
|x + 15| + |x + 2| + |x - 1| + |x - 3| + |x - 19|
và ta đổi dấu hai biểu thức cuối mà không đổi dấu hai biểu thức đầu Đến đây, giáo viên dẫn học sinh đến tốn tổng qt ví d 4, vớ d l:
Bài toán tổng quát 2:
Tìm giá trị nhỏ biểu thøc:
|x - a1| + |x - a2| + |x - a3| + … |x - a + 2m + 1| đó: a1, a2, a3, … , a2m + cho trớc a1 < a2 < a3 < … < a2m +
Sù kÕt hỵp toán tổng quát toán tổng quát cho ta lời giải toán tổng quát dới đây:
Bài toán tổng quát:
Cho n sè a1 < a2 < a3 < … < an
Tìm số x để: |x - a1| + |x - a2| + |x - a3| + … |x - a + n| nhận giá trị nhỏ
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = |x - 5| + |x + 4| + |x - 2| + |x - 1| b) B = |x + 20| + 11|3x - 5| + |x - 4| c) C = |x - y| + |y + 3| + |- x2 + x| d) D = |2x - y| + 2|2x - 1| + |y + 5| e) E=|x −1|+|x+4|+49
(22)f) F=|x − 1|+|2x − 5|+ |x-4|
Bµi 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) |x + 5| - |x - 1| ;
b) |x - 7| + |x - 2|
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thøc sau:
M = |x| + |2x + 1| + |3x + 2| + … |98x + 97| + |99x + 98| + Bài 4: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
H=(x
2
+16|x|+48) (x2+12|x|+27)
x2
Dạng 2: Biểu thức đa thức. Các phơng pháp thờng dùng:
- S dụng bất đẳng thức A2m m N* Dấu "=" xảy A = 0. - Sử dụng phơng pháp đa dần biến vào đẳng thức
- Phơng pháp miền giá trị, biến đổi đa tam thức bậc hai, … 1 Đa thức biến:
VÝ dơ 1: T×m giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = x2 + x + 4,
b) B = 2x2 - x + 5,
c) C = ax2 + bx + c (víi a > 0, a, b, c số) Lời giải:
a¿ Ta cã: A= x2+x +4=(x2+x +1 4)+
15 =(x +
1 2) +15 ≥ 15
4 ∀ x
A = 15
4 vµ chØ x = -
VËy A = 15
4 đạt đợc x = -
b¿ Ta cã: B=2(x2−x
2+ 16)+
39
8 =2(x − 4) +39 ≥ 39
8 ∀ x
B = 39
8 vµ chØ x =
VËy B = 39
8 đạt đợc x =
c¿ Ta cã:C=a(x2+b
ax + b2 4a2)+c −
b2
4a=a(x +
b
2a)
−b
2−4ac 4a ≥ −
b2−4ac 4a
v× a(x+ b
2a)
≥ 0∀ x a >0
C=−b
2
−4ac
4a vµ chØ a(x+
b
2a)
=0 x=− b
(23)VËy C=−b
− 4ac
4a x=−
b
2a
Ví dụ 2: Tìm giá trị lín nhÊt cđa c¸c biĨu thøc sau: a) M = - x2 - 3x + 4,
b) N = - 3x2 + 2x - 1,
c) P = ax2 + bx + c (víi a < 0, a, c, b số). Lời giải:
a Ta cã: M=− x2− x +4=−(x2+3 x +9
4)+ 25
4 =−(x + 2) +25 ≤ 25
4 ∀ x
M = 25
4 vµ chØ x = -
VËy M = 25
4 đạt đợc x = -
b¿ Ta cã: N=-3(x-1
3)
−2
3≤− 3∀ x
N = −2
3 vµ chØ x =
VËy N = −2
3 đạt đợc x =
c¿ Ta cã:P=a(x2+b
ax + b2
4a2)+c −
b2
4a=a(x +
b 2a ) −b − 4ac 4a ≤−
b2− 4ac
4a ∀ x
v× a(x+ b
2a)
≤ 0∀ x a<0 P=−b2− 4ac
4a vµ chØ a(x+
b
2a)
=0 x=− b
2a VËy max P=−b2− 4ac
4a x=−
b
2a Lêi b×nh:
Ví dụ 1, ví dụ đa thức bậc hai, phơng pháp thờng dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức dạng đa biến vào đẳng thức sử dụng bất đẳng thức A2m m N* Đối với biểu thức dạng này, đối tợng học sinh lớp cuối học kỳ II , giáo viên giới thiệu phơng pháp miền giá trị để em quen
Từ kết ví dụ 1c ví dụ 2c ta rút đợc kết luận sau: + Đa thức ax2 + bx + c (a > 0) có giá trị nhỏ −b
2
− 4ac
4a x=−
b
2a
+ §a thøc ax2 + bx + c (a < 0) cã giá trị lớn b
2
− 4ac
4a x=−
b
2a
(24)Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + 2042 b) B = (x - 1)(x - 4)(x - 5)(x - 8) + 2006 Lêi gi¶i:
a) Ta cã A = [(x - 1)(x + 6)][(x + 2)(x + 3)] + 2042 = (x2 + 5x - 6)(x2 + 5x + 6) + 2042 = (x2 + 5x)2 - 62 + 2042
= (x2 + 5x)2 + 2006 2006 x.
A = 2006 vµ chØ x2 + 5x = x = hc x = - 5. VËy A = 2006 x = hc x = -
b) Ta cã B = [(x - 1)(x - 8)][(x - 4)(x - 5)] + 2006 = (x2 - 9x + 8)(x2 - 9x + 20) + 2006
= [(x2 - 9x + 14) - 6].[(x2 - 9x + 14) + 6] + 2006 = (x2 - 9x + 14)2 - 62 + 2006
= (x2 - 9x + 14)2 + 1970 1970 v× (x2 - 9x + 14)2 x B = 1970 x2 - 9x + 14 = x = hc x = 7.
VËy B = 1970 x = hc x =
Lời bình:
Bài toán ví dụ có toán tổng quát là:
Tìm giá trị nhỏ của: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + e víi a, b, c, d, e số a + b = c + d
Đối với dạng toán giáo viên hớng dẫn học sinh phơng pháp đổi biến (đặt ẩn phụ) để đa tam thức bậc hai vận dụng cách làm nh ví dụ 1,
Khi hớng dẫn học sinh đặt ẩn phụ cần lu ý: có nhiều cách đặt ẩn phụ dạng toán này, nhng thờng cách đặt sau đem lại hiệu giúp ta có lời giải gọn hơn:
Biểu thức dạng: [f(x) + a].[f(x) + b] ta đặt ẩn phụ t = f(x) + a+b
2
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = (x + 5)4 + (x + 1)4
b) B = (x - 3)4 + (x + 7)4. Lêi gi¶i:
(25)= y4 + 8y3 + 24y2 + 24y + 16 + y4 - 8y3 + 24y2 - 24y + 16 = 2y4 + 48y2 + 32 32 y.
DÊu "=" x¶y vµ chØ y = x + = x = - VËy A = 32 x = -
b) §Ỉt y = x + ta cã: B = (y - 5)4 + (y + 5)4
= y4 - 20y3 + 150y2 - 500y + 625 + y4 + 20y3 + 150y2 + 500y + 625 = 2y4 + 300y2 + 1250 1250 y
B = 1250 vµ chØ y = x + = x = - VËy B = 32 x = -
Lời bình:
Ví dụ a, b có toán tổng quát là:
Tỡm giỏ tr nh nht của: (x + a)4 + (x + b)4 (a, b số). Với toán ta thờng chọn cách đặt ẩn phụ y = x + a+b
2
Bằng cách đặt ẩn phụ nh sau khai triển rút gọn ta nhận đợc đa thức dạng a0y4 + b0y2 + c0 với a0, b0, c0 > Đến hoàn tồn ta giải tiếp đợc tốn
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa c¸c biĨu thøc sau: a) (x - 3)2 + (x + 1)2
b) (x - 1)2 + (x + 3)2 + (x + 5)2
c) (x - a)2 + (x - b)2 + (x - c)2, (a, b, c số). Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) b) (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) c) (x2 + 8x + 8)(x2 + 8x + 16) d) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) e) (x2 - 4x - 5)(x2 - 12x + 27)
2 Biểu thức đa thức bậc hai nhiều biến:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) M = 2x2 + y2 - 2xy - 2x - 2y + 12
(26)a) Ta cã:
M = 2x2 + y2 - 2xy - 2x - 2y + 12
= (x2 + y2 - 2xy) + (2x - 2y) + + (x2 - 4x + 4) + 7 = (x - y)2 + 2(x - y) + + (x - 2)2 + 7
= (x - y + 1)2 + (x - 2)2 + x, y
M=7⇔
x − y+1=0 x −2=0
⇔ ¿x=2
y=3 ¿{
VËy M = x = vµ y = b) Ta cã:
N = x2 + 5y2 - 4xy + 6x - 14y + 15
= x2 - 2x(2y - 3) + (2y - 3)2 + 5y2 - (2y - 3)2 - 14y + 15 = (x - 2y + 3)2 + (y2 - 2y + 1) + 5
= (x - 2y + 3)2 + (y - 1)2 + x, y.
N =5⇔
x − y +3=0 y − 1=0
⇔ ¿x=−1
y=1 ¿{
VËy N = x = - vµ y =
Lêi b×nh:
Lời giải ý a) ta tìm cách tách hạng tử M cách thích hợp để đ a biến vào đẳng thức đa M dạng tổng bình phơng Với cách làm học sinh áp dụng để làm câu khác loại thờng gặp khó khăn thao tác tách nh nh để đợc kết nh ý Nh việc tìm cách tách mang tính chất mị mẫm, nhiều thời gian, đợc đờng lối phơng pháp chung cho loại biểu thực
Lời giải ý b) rõ cho ta đờng lối để đạt đợc mục đích đa biểu thức ban đầu dạng tổng bình phơng là:
- Đầu tiên ta nhóm hạng tử chứa ẩm x lại thêm bớt để đa toàn hạng tử chứa ẩn x vào bình phơng đa thức
(27)Với cách làm này, học sinh cần nắm vững đẳng thức đáng nhớ, với thao tác thêm bớt hạng tử đa dần biến biểu thức vào đẳng thức Phơng pháp gọi phơng pháp đa dần biến vào đẳng thức, vận dụng phơng pháp học sinh dễ dàng làm tốt tập với biểu thức đa thức bậc hai nhiều biến Nhng điều hạn chế phơng pháp lời giải toán thờng dài so với cách tách hợp lí hạng tử Ta xét ví dụ sau để làm rõ thêm điều ny:
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc:
H = 4x2 +3y2 - 2xy - 10x - 14y + 30. Lêi gi¶i:
C¸ch 1: Ta cã:
H = 4x2 +3y2 - 2xy - 10x - 14y + 30
= (x2 + y2 + - 2xy + 2x - 2y) + 3(x2 - 4x + 4) + 2(y2 - 6y + 9) - 1 = (x - y + 1)2 + 3(x - 2)2 + 2(y - 3)2 - - x, y.
H=− 1⇔ x − y+1=0
x −2=0 y − 3=0
⇔ ¿x=2
y=3 ¿{ {
VËy H = - x = y = Cách 2: Ta cã:
H = 4x2 +3y2 - 2xy - 10x - 14y + 30
¿4[x2−2x ( y +5
4 )+(
y +5
4 )
]+3y2−
(y +54 )
−14y +30
4(x − y+5
4 )
+11y
− 66y+95
4 4(x − y +5
4 )
+11 (y
2−6y +9 )+95
4 − 99
4 4(x − y +5
4 )
+11
4 ( y −3 )
(28)H=−1⇔ x − y +5
4 =0
y −3=0 ⇔ ¿x=2
y =3 ¿{
VËy H = - x = vµ y = Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) 5x2 + 2y2 + 2xy - 26x - 16y + 54,
b) (x - y)2 + (x + 1)2 + (y - 5)2 + 2006, c) (x - 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thøc sau:
a) x2 + 2y2 + 3z2 - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2014, b) x2 + 6y2 + 14z2 - 8yz + 6zx - 4xy + 2005,
c) x2 + 5y2 + 3z2 - 4xy + 2xz - 2yz - 6z + 2014. Bài 3: Tìm giá trị lớn cña:
a) A = 4xy + 8yz - 4x2 - 10y2 - 3z2 - 4xz - 12z + 1969, b) B = xy, biÕt x, y lµ hai sè thực thoả mÃn x + 2y = Dạng 3: Biểu thức phân thức biến.
Các phơng ph¸p thêng dïng:
- Sử dụng phép biến đổi: Nếu A B
A≤
1
B (với A.B > 0);
- Đặt ẩn phụ đa tam thức bậc hai; - Phơng pháp miền giá trị;
- Phng phỏp bt ng thc ph; Vớ d 1:
a) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa: A=
9x2−12x+11 ;
b) Tìm giá trị nhỏ của: B=
-4x2+20x − 29
Lêi gi¶i:
a) Ta cã: 9x2 - 12x + 11 = (9x2 - 12x + 4) + = (3x - 2)2 + > x.
A=
9x2−12x+11≤
1
7 x
A =
(29)VËy max A =
7 x =
b) Ta cã: - 4x2 + 20x - 29 = - (4x2 - 20x + 25) - = - (2x - 5)2 - - < x.
B=
-4x2+20 x − 29≥ − x
B = −1
4 2x - = x =
VËy B = −1
4 x = Lêi b×nh:
- Biểu thức A B ví dụ phân thức biến có tử số mầu tam thức bậc hai Để biểu thức dạng tồn giá trị nhỏ hay lớn tập xác định mẫu thức ln phải nhận giá trị âm d ơng với giá trị biến
- Với biểu thức dạng này, ta làm theo cách nhận xét dấu tử mẫu biểu thức cho từ chuyển tốn tìm giá trị nhỏ giá trị lớn mẫu Đối với học sinh cuối lớp 9, em học phơng trình bậc hai ẩn giáo viên hớng dẫn học sinh giải theo phơng pháp miền giá tr
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: D=5x
2
− 26x+41
( x − 2)2 , víi x
Lời giải:
Cách 1: Ta có:
D=5x2 26x+41
(x − 2)2 =
5(x2− 4x+4)− ( x −2)+9
(x −2)2 =5−
1
x − 2+9
1 (x −2)2 ¿[(
x −2)
2
−2(
x − 2)+1]+4=(
3
x −2−1)
2
+4 ≥ 4∀ x ≠
D =
x −2− 1=0⇔ x=5
VËy D = x = C¸ch 2:
Ta cã: D=5x
2
− 26x+41
(x − 2)2 =
4(x2− 4x+4)
+x2−10x+25
(x − 2)2 =4 +
(x-5)2 (x −2)2≥ 4
v× (x-5)
2
(x −2)2≥ 0∀ x ≠ 2
D = (x-5 )
2
(x −2)2=0⇔ x=5
VËy D = x =
Lêi b×nh:
(30)- Với cách giải 1, hoàn toàn thể đợc phơng pháp chung để làm với biểu thức loại Với cách biến đổi ta đổi biến cách đặt t=
x −2 ví dụ ta đợc D = 9t2 - 6t + 5, biểu thức quen
thuộc đợc xét đến
- Với cách 2, sở việc tách khơng khả thi biểu thức loại có hệ số phức tạp Lẽ dĩ nhiên biểu thức loại sử dụng phơng pháp miền giá trị để làm
VÝ dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: A=4x+3
x2+1
Lêi gi¶i:
* Vì x2 + > x nên A xác định với x. Cách 1:
Ta cã: A=4x+3 x2
+1=
4(x2+1)−(4x2− 4x+4)
x2
+1 =4 −
(2x −1)2
x2+1
A x v× −(2x −1)
2
x2+1 ≤ 0∀ x
A = 2x - = x =
2
VËy max A = x =
2
Ta l¹i cã: A=4x+3 x2+1=
−(x2+1)+(x2+4x +4)
x2+1 =-1+
(x +2)2
x2+1 ≥ −1∀ x
A = - x + = x = - VËy A = -1 x = - C¸ch 2:
* Vì x2 + x, nên A xác định với x. Gọi A0 giá trị biểu thức A=
4x+3
x2+1 , phơng trình:
A0=4x+3
x2+1 ⇔ A0x
2− 4x+ A
0− 3=0 (1) ph¶i cã nghiƯm
+> NÕu A0 = th× (1) - 4x - = x=−3
4
+> NÕu A0 th× (1) cã nghiÖm ' > - A0(A0 - 3)
(4 - A0)(A0 + 1) - A0
A0 = - vµ chØ ' = x=
2
A0=−2
A0 = vµ chØ ' = x=
2
A0=
1
VËy max A = x =
2
(31)Lêi b×nh:
BiĨu thức A ví dụ thuộc loại phân thức biến có mẫu tam thức bậc hai khác với giá trị biến, tử nhị thức
Cỏch gii l cách giải giới thiệu, hớng dẫn cho học sinh lớp lớp Nhng dựa sở để tập có dạng nh ta tìm đợc cách tách nh
Ta thấy, theo cách ta cần tách tử thức thành tổng đa thức chia hết cho mẫu thức đa thức viết đợc dới dạng bình phơng nhị thức Điều hiểu nh sau:
Ta cã: A=4x+3 x2+1=
a(x2+1)
+(− ax2+4x+3 − a)
x2+1
Ta cần tìm a để - ax2 + 4x + - a bình phơng nhị thức. ta phải có: ' = + a(3 - a) =
a2 - 3a - = a = - hc a =
+ Với a = 4, ta có cách tách để tìm max A nh + Với a = - 1, ta có cách tách để tìm A nh
Đến ta thấy, để giải đợc toán dạng học sinh cần phải biết cách tìm điều kiện để tam thức bậc hai viết đợc dới dạng bình phơng nhị thức mà cha đợc học phơng trình bậc hai Vậy trớc dạy đến dạng giáo viên nên cho học sinh tìm điều kiện a, b, c để ax2 + bx + c viết đợc thành bình phơng nhị thức (b2 - 4ac = 0).
Cách giải 2, ta sử dụng phơng pháp miền giá trị để tìm A, max A Tuy nhiên cách giải đề cập đợc học sinh lớp học phơng trình bậc hai Ngồi ra, tốn giải theo phơng pháp tham biến, nhiên hai phơng pháp qua hai cách giải phơng pháp thờng dùng để giải toán cực trị loại
Bµi tËp vËn dơng:
Bµi 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
a¿ A=
− 25x2+10x −12 ;
b¿ B=11x
2− 70 x +112
x2−6 x +9 (víi x ≠3) ; c¿ C= x
2
− x +1
x2− x +1 (víi x ≠1)
(32)a¿ M=
4x2− x +21 ;
b¿ N=x
2
+10 x +20
x2+6 x +9 (víi x ≠− 3) ;
c¿ P=x
2
+4 x −14
x2− x +1 (với x 1)
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thøc sau:
a¿ D=2x+1 x2+2 ;
b¿ E=2x
2− x +9
x2+2 x +5 ;
c¿ F=2(x
2 +x+1)
x2+1 ;
d¿ G=x
2
+xy + y2
x2
+y2 (víi x ≠ 0)
Dạng 4: Biểu thức có chứa thức. KiÕn thøc cÇn nhí:
2n
√A cã nghÜa⇔ A ≥ (víi n ∈ N❑
) ; 2n
√A= 0⇔ A=0 (víi n ∈ N❑
)
Các bất đẳng thức Cơsi, Bunhiacơpxki, Mincơpxki Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
a¿ A=√x2−4x +3 b¿ B=√x2−2x +4
Lêi gi¶i:
a) * Điều kiện để A có nghĩa: x2 - 4x + x 3. Ta có: A=√x2
− 4x +3=√(x2−4x +4)−1=√( x −2)2− 1≥ ∀ x
A = (x - 2)2 = x = hc x = 3. VËy A = x = hc x =
b) * Ta cã: x2 - 2x + = (x - 1)2 + > x, vËy B cã nghÜa víi mäi x. Ta cã: B=√x2
−2x +4=√(x2− 2x+1)+3=√( x − 1)2+3 ≥√3∀ x
Dấu "=" xảy (x - 1)2 = x = 1. VËy B = √3 x =
Lêi b×nh:
BiĨu thøc A, B vÝ dơ cã dạng tổng quát M=ax2
+bx +c với a > a,
b, c số cho tríc
Víi a > ta cã: M=√ax2+bx +c=√a(x+ b 2a)
2
−b
2
− 4ac
4a
+ NÕu b2 - 4ac th× M = 0; + NÕu b2 - 4ac < th× M =
b24ac
4a ;
+ M giá trị lớn
Ví dụ 2: Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc sau:
(33)b¿ D=√-3x2+2x+5
Lêi gi¶i:
a) * Điều kiện để C có nghĩa: - x2 + 2x + 1− 2
√2 ≤ x ≤1+2√2
Ta cã: C=√-x2
+2x +7=√−(x2− 2x+1)+8=√−( x −1)2+8 ≤√8∀ x
C = √8 (x - 1)2 = x = (TM§K) VËy max C = √8 x =
b) * Điều kiện để D có nghĩa: - 3x2 + 2x + 1 − 4√3
3 ≤ x ≤
1+4√3
Ta cã: D=√-3x2+2x+5=√−3(x2−2
3x + 9)+
16
3 =√−3(x − 3)
2 +16
3 ≤√ 16
3
D = √16
3 x −
1
3=0⇔ x=
3 (TM§K)
VËy max D = √16
3 đạt đợc x= Lời bình:
Biểu thức tổng quát biểu thức C D lµ: N=√ax2
+bx+c víi a < vµ a, b, c
các số cho trớc
Với a < ta cã: N=√ax2
+bx+c=√a(x + b 2a)
2
−b2−4ac
4a
+ NÕu b2 - 4ac < N vô nghĩa; + NÕu b2 - 4ac = th× N = x=− b
2a ;
+ b2 - 4ac > th× max N =
√−b
2
− 4ac
4a vµ N =
Với toán chứa thức dạy giáo viên cần ý yêu cầu học sinh tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa trớc sử dụng phép biến đổi biểu thức Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
a) A=x +√x − 2
b) B=2 x+√x −5+3
c) C=x −√x +2+5
Lêi gi¶i:
a) √x có nghĩa x Do A=x +√x − 2 - x A = - x =
VËy A = - x =
b) √x-5 có nghĩa x - x Do ta có: B=2 x+√x −5+3 2.5 + + = 13 B = 13 x =
VËy B = 13 x =
c) √x+2 có nghĩa x + x - Do ta có:
C=x −√x +2+5=[(x+2)−√x +2+1
4]+ 11
4=(√x+2− 2) +11 ≥ 11
4 ∀ x
C = 11
4 √x+2=
2⇔ x+2=
1
4⇔ x=−
7
VËy C = 11
(34)Lêi b×nh:
Các biểu thức loại này, ta cần lu ý đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa trớc biến đổi Với điều kiện để biểu thức có nghĩa thờng làm cho miền xác định (D) biểu thức bị thu hẹp so với tập R Chính điều mà học sinh dễ nhầm lẫn thực biến đổi để điều kiện 1, điều kiện toán, chẳng hạn ví dụ 3a) học sinh thờng sai nh sau:
A=x +√x − 2=x +√x+1
4− 2
4=(√x + 2)
2
−9
4≥ −
A = 9
4
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thøc: a) A=√( x-2) (6 − x )
b) B=√(1-x )( x −7)
Lêi gi¶i:
a) Điều kiện để A có nghĩa: (x - 2)(6 - x) x (1) Với điều kiện (1) x - - x
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm ta đợc:
A=√( x-2) (6 − x )≤ x −2+6− x =2
Dấu "=" xảy x - = - x x = (TM§K (1)) max A = x =
Ta l¹i cã A víi mäi x
A = x - = hc - x = x = hc x = A = x = hc x =
b) Điều kiện để B có nghĩa (1 - x)(x - 7) x (2) Với điều kiện (2) x - - x
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm ta đợc:
B=√(1-x )( x −7)=√(x −1) (7 − x )≤ x −1+7 − x
2 =3
B = vµ chØ x - = - x x = max B = x =
B víi mäi x B = x = hc x =
Lêi b×nh:
(35)- Đối với học sinh lớp 9, giáo viên hớng dẫn học sinh làm theo cách sử dụng bất đẳng thức Côsi cần lu ý điều kiện để áp dụng bất đẳng thức Côsi điều kiện dấu "=" xảy Trong ví dụ 3b) học sinh dễ sai với cách biến đổi nh sau:
B=√(1-x )( x −7) ≤1 − x +x − 7 =−3
max B = -
Nh học sinh sai khơng ý đến điều kiện số hạng vận dụng bất đẳng thức Cơsi phải khơng âm, với điều kiện x - x x - Do cần đổi dấu hai nhân tử dới dấu B trớc áp dụng bất đẳng thức Cơsi
Bµi toán tổng quát dạng là:
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M=(ax-b )(c dx ) với a, b, c, d số dơng cho trớc.
Ví dụ 4: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
A=√x2+x+1+√x2− x+1
Lời giải:
Vì x2+x +1=(x +1 2)
2 +3
4≠ ∀ x vµ x
− x +1=(x −1
2)
+3
4≠ ∀ x
nên A xác định x
Cách 1: Vì A > nên ta có:
A2
=x2+x+1+x2− x +1+2√(x2
+x+1)(x2− x +1 )
¿2x2+2+2√(x2+1)2− x2
2x2+2+2
√x4
+x2+1 2+2=4
vì x2 x4 x A x, A = x = VËy A = x = C¸ch 2:
áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm ta có
A=√x2+x+1+√x2− x+1 ≥ 24√(x2+x+1)(x2− x +1)=2√4 x4+x2+1 ≥ Dấu = xảy
x2=0
x2+x+1=x2− x +1
⇔ x=0 ¿{
VËy A = x = C¸ch 3:
áp dụng bất đẳng thức Mincơpxki ta có:
A=√x2
(36)¿√(x+1
2)
+(√3 )
2
+√(x −1 2)
2 +(√3
2 )
√(x+1
2)
+(√3 )
2 +√(1
2− x)
+(√3 )
2
≥
√(x +1
2+ 2− x)
2 +(√3
2 +√ )
2
=√1+3=2
A = √3
2 (x + 2)=√
3 (
1
2− x)⇔ x=0
VËy A = x =
Lêi b×nh:
Với cách giáo viên dạy hồn tồn hớng dẫn cho học sinh lớp Để làm theo cách hay cách 3, trình bầy giáo viên cần yêu cầu học sinh chứng minh bất đẳng thức phụ trớc vận dụng Điều hạn chế cách học sinh lớp không đợc giới thiệu bậc n, em đợc học bậc hai bậc ba Do vậy, dạy cho học sinh cách giáo viên cần giới thiệu cho học sinh bậc n trớc
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
a¿ A=√x2− 2x+1+√x2+6x+9 b¿ B=√x+3 − 4√x-1+√x+15-8√x-1
c C=x +4x-4+x-4x-4 .
Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau:
a¿ M=√x −3+√5-x
b¿ N=√x+2+√14-x c¿ P=3x 1+5-3x
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhÊt cđa c¸c biĨu thøc sau:
a¿ D=√x −2+√5-2x
b¿ E=2√x −1+3√5-x
c¿ F=2√x −1+3√9-2x d¿ H=3√2x −1+5√15-3x
(37)học môn học khác nh môn vật lí, hoá học, với toán chọn phơng án tèi u
C - Thùc nghiƯm s ph¹m.
Để tạo sở cho kết thực nghiệm cho sáng kiến mình, tơi tiến hành soạn dạy thực tế cho nhóm học sinh lớp tham gia học tự chọn học học kì I sau kiểm tra chất lợng tiền trắc nghiệm nhóm học sinh Dới giáo án cụ thể tiết dạy chủ để "Tốn cực trị đại số".
I Gi¸o ¸n thùc nghiƯm:
A - Mơc tiªu:
Sau häc xong, häc sinh:
- Nắm đợc khái niềm toán cực trị qua khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số biến số
- Học sinh biết vận dụng đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dạng tam thức bậc hai ax2 + bx + c số biểu thức đa đợc dạng cách đơn giản cách đổi biến
B - ChuÈn bÞ giáo viên học sinh:
GV: Kin thc, hệ thống ví dụ, phản ví dụ, tập minh hoạ hợp lí, làm bật đợc nội dung; giấy in sẵn khái niệm, tập, ví dụ
HS: Nằm vững đẳng thức đáng nhớ, giấy trong, bút viết giấy
C - TiÕn tr×nh d¹y - häc:
Hoạt động thày Hoạt động trị
Hoạt động 1: Tìm hiểu giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số biết GV: Đặt vấn đề
(38)lín nhÊt cđa biĨu thøc"
Vậy, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, để giải toán loại ta phải làm nh nào? Có phơng pháp thờng dùng để giải toán loại này? Khi giải toán loại ta cần ý tới điểm gì?
Hơm nay, tìm hiểu số vấn đề liên quan đến toán loại ny
GV: Đa nội dung khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ lên máy chiÕu vµ giíi thiƯu:
GV: Nh vậy, theo để giải bài tốn cực trị đại số thơng thờng ta tiến hành theo hai bớc sau:
Bíc 1:
ChØ râ f(x) m (hc f(x) M), x (D) (với m, M hắng số).
Bíc 2:
Chỉ đợc x0 (D) để cho f(x) = m (hoặc f(x) = M).
GV: Nhấn mạnh điều kiện toán
"Hai điều kiện phải đồng thời đ-ợc thoả mãn"
GV: ChiÕu phim néi dung vÝ dô minh hoạ cho khái niệm trên:
GV: yờu cầu học sinh xác định điều kiện 1, điều kiện toán: - ĐK1 đợc chỗ nào? - ĐK2 đợc chỗ nào?
- Để đợc điều kiện 1, ngời ta thực phép biến đổi nh nào?
GV: Tiếp tục củng cố khắc sâu điều kiện toán qua ví dụ
GV: ChiÕu phim vÝ dô 2
- Em hÃy cho biết lời giải trên, bạn học sinh chØ ®iỊu kiƯn 1, ®iỊu kiƯn ë ®iĨm nµo?
Từ học sinh phát khơng đợc điều kiện nh B = sai
- Vậy lời giải cho bi toỏn trờn
HS: Nghe giáo viên giới thiÖu
Cho hàm số y = f(x) xác định miền (D)
a/ M đợc gọi giá trị lớn của f(x) miền (D) nh hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn:
¿
1(x)≤ M víi ∀ x ∈(D)¿2¿ ∃ x0∈(D) cho f( x0)=M¿ ¿{¿ ¿
Kí hiệu: M = max f(x), x (D) b/ m đợc gọi giá trị nhỏ của f(x) miền (D) nh hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn:
¿
1(x)≥ m víi ∀ x∈(D)¿2¿ ∃ x0∈(D) cho f( x0)=m¿ ¿{¿ ¿
KÝ hiÖu: m = f(x), x (D)
VÝ dô 1: Tìm giá trị nhỏ của: A = 4x2 - 4x + 5 Lêi gi¶i:
Ta cã A = 4x2 - 4x + 5
= (2x)2 - 2.(2x).1 + + 4 = (2x - 1)2 +
A x v× (2x - 1)2 x A = (2x - 1)2 = x =
2
VËy A = x =
2
VÝ dơ 2: T×m giá trị nhỏ của: B = (x - 1)2 + (x + 3)2
Một bạn học sinh giải toán nh sau:
Ta cã: (x - 1)2 x vµ (x + 3)2 x
Suy B = (x - 1)2 + (x + 3)2 x. VËy B =
Em cã nhËn xét lời giải toán bạn học sinh trên?
(39)nh nào?
GV: Chiếu phim lời giải mẫu để học sinh theo dõi
GV: yêu cầu học sinh điều kiện 1, điều kiện cách biến đổi để điều kiện toán sau nghiên cứu lời giải
GV: TiÕp tôc chiÕu phim vÝ dô 3.
- Để khẳng định P - 1, bạn học sinh thực phép biến đổi nh nào?
- Phép biến đổi với điều kiện a, b, c, d?
GV: Lấy ví dụ cụ thể số để học sinh nhận thấy điều kiện phép biến đổi, từ nhận thấy phép biến đổi để điều kiện toán sai
- Em sửa lại lời giải bạn cho ?
Ta cã B = (x - 1)2 + (x + 3)2
= x2 - 2x + + x2 + 6x + 9 = 2x2 + 4x + 10
= 2(x2 + 2x + 1)2 + 8 = 2(x + 1)2 + 8 B x,
B = x + = x = VËy B = x =
Ví dụ 3: Tong đề kiểm tra có tốn:
"Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = (x2 - 1)(x2 + 1)"
Một bạn học sinh làm nh sau: Ta có x2 x
Suy ra: x2 - - x vµ x2 + x
Do P = (x2 - 1)(x2 + 1) (- 1).1= -
P=−1⇔
x2−1=−1
x2+1=1
⇔ x=0 ¿{
Vậy P = - đạt đợc x = Em có nhận xét kết tốn cách làm bạn học sinh đó?
HS: Bạn học sinh vận dụng phép biến đổi là:
¿ a ≥ b c ≥ d ⇒a c ≥ b d
¿{
¿
HS: Điều kiện b d Lời giải đúng:
Ta cã: P = (x2 - 1)(x2 + 1)
= x4 - - x v× x4 x
P = - x =
VËy P = - x =
Hoạt động 2: Hình thành vận dụng phơng pháp tam thức bậc hai GV: Trong ví dụ trên, để
chỉ đợc điều kiện toán ta phải biến đổi nh nào, đa biểu thức cho dạng nào?
GV: Vận dụng cách ta giải đợc số dạng toán cực trị thờng
Ghi nhớ: Phơng pháp chung
Ta cn bin i biểu thức cho dạng sau:
1/ A = [f(x)]2n + m m x, n N*.
(40)gặp:
Dạng 1: Biểu thøc lµ mét tam
thøc bËc hai ax2 + bx + c
- Xác định hệ số a = ?
- Theo cách làm nh ta biến đổi A nh nào?
GV: Gäi HS lên bảng trình bầy lời giải
- Xác định hệ số a = ?
GV: Gäi HS lên bảng trình bầy lời giải
GV: Một cách tổng quát, biểu thức có dạng P = ax2 + bx + c (a 0) ta biến đổi nh nào?
GV: Có thể gợi ý để học sinh tìm cách biến đổi Đối với đối tợng học sinh đại chà, giáo viên chiếu phim giấy in sẵn cách biến đổi để hớng dẫn học sinh
- NÕu a > P nhận giá trị lớn hay nhỏ nhÊt?
- NÕu a < th× P nhËn giá trị lớn hay nhỏ nhất?
- Vi điều kiện a, b, c P viết đợc thành bình phơng nhị thức?
GV: Cho học sinh đứng chỗ cho ví dụ biểu thức tam thức bậc hai
Bài toán 1:Tìm giá trị nhỏ của: A = 3x2 - 6x + 1
Lêi gi¶i:
Ta cã A = 3(x2 - 2x + 1) - 2 = 3(x - 1)2 - - x A = - x - = x = VËy A = - x =
Bài toán 2:Tìm giá trị lín nhÊt cđa: A = - 2x2 + 4x + 1
Lêi gi¶i:
Ta cã B = - 2(x2 - 2x + 1) + 3 = - 2(x - 1)2 + x B = x - = x =
VËy max B = x = Ta cã:
P=a(x2+b
a x+ b2
4a2)+c −
b2
4a
¿a(x + b
2a)
−b2− 4ac
4a
NhËn xÐt: 1/ NÕu a >
⇒a(x+ b
2a)
≥ 0∀ x
EMBED Equation.3
⇒ P ≥− b2− 4ac
4a x
VËy P=−b
− 4ac
4a khi x=−
b
2a 2/
NÕu a <
⇒a(x+ b
2a)
≤ 0∀ x
EMBED Equation.3
⇒ P ≤− b2− 4ac
4a x
VËy max P=−b
− 4ac
4a khi x=−
b
2a
3/ P=a(x + b
2a)
(41)vµ chØ râ biĨu thøc cã giá trị lớn hay nhỏ
GV: yờu cầu học sinh lên bảng làm các mà học sinh lấy ví dụ GV: Giáo viên tạo tình dẫn đến tốn biến đổi đa đợc tam thức bậc hai
Bài toán 3: Tìm giá trị nhỏ của: C = (2x - 1)2 - 4x + 7
Bài toán 4: Tìm giá trị nhỏ của:
D=x 4x +2006
Bài toán 5: Tìm giá trị nhá nhÊt cña:
E=x −√x − 2004
Hoạt động 3: Hớng dẫn nhà GV: Chốt lại phơng phỏp chung gii
bài toán cực trị nói chung phơng pháp tam thức bậc hai
GV: Giao tập nhà:
Tìm giá trị nhỏ nhÊt, lín nhÊt (nÕu cã) cđa c¸c biĨu thøc sau:
1/ - 5x2 - 4x + 1 2/ 4x2 - 6x + 3 3/ (x + 4)(9 - x)
4/ x(x + 2005) + 2(x - 1000)2 5/ - 3x2 + 6x + a (víi a lµ h»ng sè) 6/ (x - a)2 + (x - b)2 + (x - c)2 vío a, b, c cho tríc
7/ (2x - 1)2 - 2|2x - 1| + 3
8/ (x2 + x + 1)2 + (x2 + x + 1) - 12.
HS: Theo dâi vµ chép tập nhà
II kết thực nghiÖm:
1 Kết thực nghiệm trớc tiến hành dạy chủ để tự chọn.
Trớc tiến hành dạy chủ đề "Giải tốn cực trị" nhóm học sinh học thực nghiệm, để có kết đối chứng giáo viên tiến hành kiểm tra tiền trắc nghiệm với nội dung đề nh sau:
C©u 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = 3x2 - 5x + 2;
b) B = 4x2 + 18y2 - 12xy + 4x + 6y + 2011 C©u 2:
a) Tìm giá trị lớn nhỏ của: C=6x+8
x2+1 ;
b) Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc: D=√x +3+√7 − x
Sau chấm bài, thống kê điểm lỗi mà học sinh mắc phải làm nhận thấy tình trạng nh sau:
- a s hc sinh làm đợc câu 1a) đợc điều kiện xác định biểu thức D câu
- Rất học sinh tìm đợc cách biến đổi biểu thức B, có mang tính chất mò mẫm, cha thể đợc đờng lối cụ thể
(42)- 32 học sinh (55%) không điều kiện xác định biểu thức D
- 38 häc sinh (66%) kh«ng chØ A nhận giá trị nhỏ với giá trị biÕn
Kết kiểm tra thể điểm số đạt đợc học sinh nh sau:
Sè bµi
3 - - - - 10 Trên trung bình
Số
l-ỵng % Sè l-ỵng % Sè l-ỵng % Sè l-ỵng % Sè l-ỵng %
58 34 59 21 36 0 24 41
2 Kết thực nghiệm sau tiến hành dạy chủ để tự chọn. Đề kiểm tra sau dạy xong chủ t chn:
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa c¸c biĨu thøc sau: a) M = 5x2 - 2x + 7;
b) N = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5 Câu 2:
a) Tìm giá trị nhá nhÊt cña y, biÕt r»ng: y=( x+ 2)( x +8)
x , víi x >
b) Tìm giá trị lớn biểu thức: D=32x 1+25 x
Sau chấm bài, thống kê điểm lỗi mà học sinh mắc phải làm nhận thấy tình trạng nh sau:
- Không điều kiện xác định P: học sinh (12%); - Khơng tìm đợc giá trị P: 10 học sinh (17%);
- Kh«ng chØ điều kiện tìm cực trị: học sinh (16%)
Kết kiểm tra thể điểm số đạt đợc học sinh nh sau:
Sè bµi
3 - - - - 10 Trên trung bình
Số
l-ỵng % Sè l-ỵng % Sè l-ỵng % Sè l-ỵng % Sè l-ỵng %
58 14 10 17 21 36 19 33 50 86
3 Bảng kết thực nghiệm trớc sau tiến hành dạy chủ để tự chọn. Số
bµi
Díi trung bình Khá Giỏi Trên trung bình
Số
l-ợng % Sè l-ỵng % Sè l-ỵng % Sè l-ỵng %
Tríc
thùc hiƯn 58 34 59 0 24 41
Tríc
(43)4 Biểu đồ kết thực nghiệm 58 học sinh học tự chọn.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Tr íc thùc hiÖn Sau thùc hiÖn
NhËn xÐt:
Qua bảng kết biểu đồ so sánh chất lợng trớc sau tiến hành thực nghiệm nhóm học sinh thực nghiệm cho thấy:
- Trớc đợc học chủ đề tự chọn giải toán cực trị đại số, học sinh hầu nh không nắm vững kiến thức, phơng pháp giải kể dạng toán bản, hay mắc phải sai lầm trình bầy làm Tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên thấp (41%), số lợng học sinh (5%) khơng có học sinh giỏi
- Sau học sinh đợc học cách có hệ thống, giải tốn cực trị qua chủ đề tự chọn, kết kiểm tra cho thấy đa số học sinh nắm đợc cách giải cho dạng cụ thể, sai lầm điều kiện 1, điều kiện mắc hơn, tỉ lệ học sinh khá, giỏi đợc nâng lên rõ rết
TØ lƯ häc sinh kh¸ tăng từ: 5% lên 36% Tỉ lệ học sinh giỏi tăng từ: 0% lên 33%
T l hc sinh đạt yêu cầu tăng từ: 41% lên 86%
TØ lệ phần trăm
Dới trung
bình
Trên trung
bình
Khá Giỏi
(44)D - Kết luận. I Những vấn đề hạn chế:
Nh đề cập phần trớc, tốn cực trị vơ phong phú, đa dạng thể loại phơng pháp giải Tuy nhiên, khuôn khổ thời gian giành cho chủ để tự chọn (từ đến 12 tiết cho chủ đề) nên cịn có dạng tốn cực trị với phơng pháp giải đặc thù cho bài, kiểu cụ thể, không đề cập đến sáng kiến mà đề cập đến kiểu mà em học sinh thờng gặp q trình học giải tốn
Điềm hạn chế sáng kiến cha đề cập đến tốn cực trị hình học phẳng, tốn cực trị có điều kiện dàng buộc biến, dạng toán mà có nhiều chơng trình tốn THCS
II Bµi häc kinh nghiÖm:
Qua thời gian nghiên cứu tài liệu tốn cực trị, thân tơi nhận thấy vị trí, vai trị tốn cực trị quan trọng: góp phần làm phong phú thêm cho kho tàng tốn học sơ cấp, cao cấp, đóng vai trị quan trọng việc phát triển t cho học sinh qua việc giải tốn; làm rõ tính thực tiễn tốn học với sống
Đối với học sinh nói chung, học sinh THCS nói riêng cịn yếu giải toán cực trị, nguyên nhân dẫn đến tình trạng chơng trình giảng dạy khơng có thời lợng riêng để học sinh đợc học, nghiên cứu toán cực trị cách có hệ thống Chính giảng dạy, giáo viên nên đa vào chủ đề tự chọn, giúp em có kiến thức tốn cực trị
III KiÕn nghÞ:
Qua việc nghiên cứu, thực nghiệm thực tế giảng dạy trực tiếp mơn tốn tr -ờng THCS, tơi nhận thấy việc dạy học sinh giải toán cực trị quan trọng cần thiết Song phân phối chơng trình quy định Bộ giáo dục khơng có tiết học riêng toán cực trị, nhng học sinh lại cần phải đợc học tốn cực trị cách có hệ thống, tơi thấy đa chủ đề "giải tốn cực trị" vào mơn học tự chọn cho học sinh lớp 8, lớp cần thiết hợp lí nên triển khai tất trờng THCS
Hiện nay, tài liệu thống cho dạy học tự chọn hầu nh khơng có Cuốn tài liệu gợi ý tốt cho chủ đề cụ thể đồng nghiệp trực tiếp giảng dạy mơn tốn trờng THCS
(45)Tuy thân có cố gắng tìm tịi, nghiên cứu để hồn thiện sáng kiến mình, song khơng thể tránh đợc sai sót chí nhầm lẫn kiến thức Vì vậy, tơi mong nhận đợc đóng góp ý kiến từ Hội đồng khoa học cấp quản lý, từ đồng nghiệp để thân tiếp tục hồn thiện sáng kiến
Để hồn thành đợc sáng kiến này, xin đợc gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, Hội đồng khoa học nhà trờng, đồng nghiệp tổ khoa học tự nhiên, khoa học xã hội trờng THCS Đoàn Thị Điểm tham gia, góp ý, giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu, thực nghiệm để hồn thành để hồn thành sáng kiến
Một lần tơi xin chân thành cảm ơn mong nhận đợc tham gia góp ý cấp quản lý, đồng nghiệp nội dung, cách thức thực sỏng kin ca mỡnh !
yên Mỹ, ngày 12 tháng năm 2006 Ngời viết sáng kiến
Nguyễn Văn Hiến
E - Tài liệu tham khảo.
1/ Một số vấn đề phát triển đại số – Vũ Hữu Bình (NXBGD); 2/ Một số vấn đề phát triển đại số – Vũ Hữu Bình (NXBGD); 3/ Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số
– Ngun §øc TÊn (NXBGD);
(46)- Nguyễn Văn Vĩnh, Nguyễn Đức Đồng (NXBGD); 6/ Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS phần “Đại số”
– Ngun Vị Thanh (NXBGD);
7/ Tốn nâng cao chuyên đề “Đại số”
- Vũ Dơng Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm (NXBGD);
(47)(48)