Day bai tap the tich

Chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 là nội dung có thể nói là rất khó vì nó trừu tường, có nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhìn hì[r]

DẠY BÀI TẬP KHỐI ĐA DIỆN A Đặt vấn đề :

Mỗi môn học chương trình tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh

Trong trình giảng dạy, giáo viên ln phải đặt đích giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ tạo thái độ động học tập đắn Thực tế dạy học cho thấy cịn có nhiều vấn đề cần giải lâu dài, kỹ giải toán hình học khơng gian học sinh cịn yếu Chương Khối đa diện chương trình hình học khối 12 nội dung nói khó trừu tường, có nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn việc nhìn hình khơng gian, khả vận dụng kiến thức có để giải tập chưa cao… Xuất phát từ thực tế chuẩn bị hệ thống tập chương khối đa diện dạy tiết tập lớp (trên sở tập sách giáo khoa) để học sinh rèn kỷ giải toán khối đa diện giúp đối tượng học sinh lĩnh hội kiến thức chương

I Cơ sở lý luận :

Đề tài nghiên cứu thực thực tế tiết dạy bài tập khối đa diện mà trọng tâm thể tích khối đa diện Khi giải tập toán, người học phải trang bị kỹ suy luận, liên hệ cũ mới, toán làm toán Các tiết dạy tập chương phải thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư cho học sinh q trình giảng dạy, phát huy tính tích cực học sinh Hệ thống tập giúp học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức nhất, phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt vào giải tốn trình bày lời giải Từ học sinh có hứng thú động học tập tốt

II Cơ sở thực tiển :

kĩ xảo lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, từ đạt kết cao kiểm tra, đánh giá

 Mục tiêu đề tài: Học sinh nắm kiến thức chương:

phân biệt khối đa diện, thể tích khối đa diện, đa diện Tất học sinh rèn kỷ tính tốn đại lượng hình học, tính thể tích khối đa diện tương đối đơn giản Trên sở nắm kiến học sinh rèn kỷ giải tập khó khối đa diện

 Thời gian thực hiện: tiết (4 tiết tập theo phân phối chương trình

tiết tự chọn)

Đối tượng: học sinh khối 12 trường bán cơng có đầu vào chất lượng yếu, học theo chương trình chuẩn

 Thực trạng học sinh thực đề tài:

+ Phần lớn học sinh không nhớ hệ thức tam giác

+ Các kiến thức hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp… cịn hạn chế

+ Kỷ phát quan hệ đường thẳng, mặt phẳng chứng minh hai đường thẳng vng góc, đường thẳng vng góc mặt phẳng cịn yếu

III Cách thực hiện:

+ Trang bị cho học sinh số kiến thức cần thiết: hệ thức tam giác vuông, kiến thức tam giác đều, cân, hình vng,…(giao nhà u cầu ơn lại kiểm tra đầu tiết)

+ Trang bị cho học sinh số kiến thức trọng tâm quan hệ song song, vng góc đường thẳng mặt phẳng, góc đường thẳng, mặt phẳng học lớp 11( đầu năm giành tiết ôn tập trước dạy chương trình 12)

+ Hệ thống tập giao cho học sinh tập chương: đưa từ dễ đến khó, khai thác triệt để tập sách giáo khoa kết hợp đưa thêm tập cách xếp lại theo dạng

+ Bài tập chương sách giáo khoa khó, chọn tập sách giáo khoa có tơi thay đổi số giả thiết độ dài cạnh để học sinh dễ tính tốn, dễ tiếp thu; tập khó bổ sung thêm yêu cầu nhỏ để giảm bớt độ khó

+ Trước dạy dạng tập, giao tập nhà cho học sinh chuẩn bị trước

B. Nội dung nghiên cứu:

I Kiến thức bản:

1) Cho ABCvng A ta có :

a) Định lý Pitago : BC2 AB2AC2

b) BA2=BH BC;CA2=CH CB c) AB AC = BC AH

d)

AH2=

1 AB2+

1

AC2

e) sin , os , tan

AC CB AC

B c B B

AB AB CB

  

2) Cơng thức tính diện tích tam giác : Đặc biệt : ABC vuông A :

1

S  AB AC

, ABC đều cạnh a:

2

a S 

3) Định lý đường trung bình, Talet

4) Cách chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng dựa theo định lý:

;

, ;

d a d b

d

a b  a b 

 



 



  



5) Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý:

d

d a a

   

 

  

6) Cách xác định góc đường thẳng a mặt phẳng  :

+ Xác định hình chiếu d a mặt phẳng 

+ Góc đường thẳng mặt phẳng góc d a 7) Lưu ý cơng thức tỉ số thể tích

Cho hình chóp SABC, A'SA B, 'SB C, 'SC, ta có:

' ' ' '. '. '

SA B C SABC

V SA SB SC

V SA SB SC (*)

II Nội dung chính:

Bài tập đưa tiết dạy phân theo dạng, lựa chọn cho học sinh làm từ dễ đến khó dạng, giải theo nhiều cách khác

1)Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện cách xác định chiều cao và đáy khối đa diện.

Phương pháp:

+ Xác định đáy dựng chiều cao khối đa diện + Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào cơng thức

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy 60

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp MBCD

A

C

B

S

A'

C'

B'

A

D S C B A M H Yêu cầu:

+ Học sinh xác định góc

+ Xác định cơng thức thể tích khối, tính độ dài đường cao SA

+Xác định đường cao trường hợp chân đường cao khơng thuộc mặt đáy khối

+Sử dụng hệ thức tam giác vng Lời giải: a)Ta có ABCD

V  S SA

+ SABCD (2 )a 4a2

+ SAC có :SA AC tanC 2a

3

1

4

3

a

V a a

  

b) Kẻ MH / /SA MH (DBC)

Ta có:

1

MH  SA

,

1

BCD ABCD

S  S

3 D

1

4 MBC a V V    Nhận xét:

+Học sinh gặp khó khăn xác định góc đường thẳng mặt phẳng +Học sinh gặp khó khăn tính SA khơng biết sử dụng hệ thức tam giác vuông

Bài 2: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC)

Yêu cầu:

+ Học sinh nắm cách vẽ khối tứ diện tính chất đặc biệt khối

Lời giải:

a) Gọi O tâm ABC

( ) DO ABC   ABC

V  S DO

+ ABC a S  , 3 a OC CI 

+ DOC vu ng cơ ó :DO DC2 OC2

a 

1

3 12

a a a

+Xác định đường cao ghi thể tích khối

+Sử dụng định lý Pitago

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH

1

2

a MH  DO

Nhận xét:

+ Học sinh đa phần quên tứ diện tính chất mặt, cạnh + Cịn yếu tính tốn độ dài yếu tố có hình vẽ

+ Bài tập 1/25 sgk lớp 12 bổ sung thêm câu b

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a , AD = a, AA’=a,

O giao điểm AC BD

a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’

c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’

Yêu cầu:

+Học sinh xác định cơng thức thể tích khối hộp khối chóp

+Biết khai thác tính chất hình hộp đứng để làm bài: Chọn đáy khối OBB’C’ (BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp)

+Giải câu b) tương tự 1b

Lời giải:

a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V Ta có : V AB A D.AA '

a 3.a2 a3

2

ó :

ABD c DB AB AD a

   

* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống khối hộp nên:

3 ' ' ' '

1

3

OA B C D

a

V V

  

b) M trung điểm BC  OM (BB C' ')

2

' ' ' '

1 3

3 2 12

O BB C BB C

a a a

V S OM

   

c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có :

' ' ' ' OBB C

OBB

V C H

S



ABD có :DB AB2AD2 2a

' OBB S a  

' 2a

C H

 

+ Bài tập rèn kỷ làm toán khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật + Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo thể tích

2)Bài tập dạng: Phân chia lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện

(Trên sởphát khối dễ xác định đường cao diện tích đáy)

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’

Yêu cầu:

+Học sinh biết chọn đáy chiều cao khối nhỏ tính

Lời giải:

Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’

+ Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích chiều cao nên có thể tích

Khối CB’D’C’ có

2

1

1 1

3

V  a a a

+ Khối lập phương tích: V2 a3



3 3

' '

1

4

6

ACB D

V a  a  a

Nhận xét:

+ Học sinh gặp nhiều khó khănkhi phân chia khối, giáo viên hướng dẫn

+ Bài toán lấy từ tập 3/25 sách giáo khoa thay đổi giả thiết “hình hộp” thành “hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu Sau đó, yêu cầu học sinh tự giải 3/25 sách giáo khoa nhà

Bài 5: Cho hình lăng trụ đứngtam giáccó cạnh a

a)Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC

b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích

khối CA’B’FE.

Yêu cầu:

+ Học sinh biết cách tính khối A’B’

Lời giải:

a) Khối A’B’ BC:

Gọi I trung điểm AB, Ta có: ' ' ' '

1

A B BC A B B

V  S CI

2

1 3

3 2 12

a a a

 

b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’

+Khối A’CEFcó đáy CEF, đường

cao A’A nên ' EF EF

1

'

A C C

V  S A A

2 EF

1

4 16

C ABC

a

S  S 

A'

C' D'

D

A

C

B' B

A C

B

C' A'

B' I

E

F

BC

+Biết phân khối chóp CA’B’FE thành hai khối chóp tam giác

+ Biết đường thẳng vng góc với mp(CEF), ghi cơng thức thể tích cho khối CEFA’

+ Tương tự cho khối CFA’B’

3 ' EF

3 48

A C

a V

 

+Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao

JA’ nên ' ' F FB'

1

'

A B C C

V  S A J

2

FB' '

1

2

C CBB

a

S  S 

2

' ' F

1 3

3 24

A B C

a a a

V

  

+ Vậy :

3 A'B'FE

3 16 C

a

V 

+ Bài tập lấy từ 10/27 SGK 12 thay đổi số giả thiết Elà trung điểm thay cho trọng tâm G để toán dễ hơn, phù hợp với khả học sinh

+Sau gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính thể tích khối A’B’CF

3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện cách lập tỉ số thể tích hai khối đa diện

Phương pháp:

+ Tìm tỉ số thể tích khối đa diện cho với khối đa diện dễ tìm thể tích

+ Rút thể tích khối đa diện cho

+ Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối chóp

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC a , SA

vng góc với đáy, SA a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng  qua AG song song với

Yêu cầu:

+Học sinh ghi thể tích khối SABC tính

+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối

+ Nắm công thức (*) để lập tỉ số thể tích khối chóp

Lời giải:

a)Ta có:

1

S ABC ABC

V  S SA

+ SA a

+ ABC c n câ ó :AC a  AB a

2 ABC S a   Vậy: 1

3

SABC

a

V  a a

b) Gọi I trung điểm BC G trọng tâm,ta có :

2

SG SI 

 // BC  MN// BC

2

SM SN SG

SB SC SI

    SAMN SABC

V SM SN

V SB SC

   Vậy: 27 SAMN SABC a

V  V 

Nhận xét:

+Một số học sinh khơng nhớ tính chất trọng tâm tam giác, chưa thành thạo định lý Talet

+Qua toán đơn giản học sinh tiếp cận cách tính thể tích khối thơng qua khối khác để chuyển qua tốn khó sách giáo khoa

Bài 7: (Bài 9/26 Sgk)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60

Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F

a) Hãy xác định mp(AEMF)

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Lời giải:

a) Gọi I SOAM

Ta có (AEMF) //BD  EF // BD

b) D D

1

S ABC ABC

V  S SO

+ SABCD a2 + SOC có :

6 tan 60

2

a

SO AO  

Yêu cầu:

+Học sinh dựng E, F pháp vấn giáo viên

+Tính thể tích khối S.ABCD sau làm qua nhiều tập

+Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF Từ học sinh biết cách tính thể tích khối S.AMF cách lập tỉ số ( tương tự 5)

Vậy : D 6 S ABC a V 

c)VS A EMF:

Xét khối chóp S.AMF S.ACD Ta có :

1

SM SC

 

SACcó trọng tâm I, EF // BD nên:

SI SF SO SD    D SAMF SAC

V SM SF

V SC SD

  

3

D D

1

3 36

SAMF SAC SAC

a

V V V

    3 EMF 6 36 18 S A a a V    Nhận xét:

+Học sinh gặp khó khăn xác định E,F +Học sinh biết cách sử dụng định lý Talet

+Sau làm 6, học sinh tiếp thu số dễ dàng

Bài 8: (Bài 5/26 Sgk)

Cho tam giác ABC vuông cân A AB a Trên đường thẳng qua C và

vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD a Mặt phẳng qua C

vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b) Chứng minh CE(ABD)

c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF

Yêu cầu:

+Học sinh chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng

Lời giải: a)Tính VABCD

Ta có: 1 3 ABCD ABC

V  S AD  a

b) Ta có: ABAC AB, CD

 AB EC

Ta có: DBEC  EC(ABD)

c) Tính VDCEF:

Ta có: (*)

DCEF DABC

V DE DF

V DA DB

+Nắm nhu cầu tính tỉ số

DE DA ,

DF DB.

+Biết dụng hệ thức tam giác vuông để suy

DE DA

Mà DE DA DC  2, chia cho DA2

2

2

1

2

DE DC a

DA DA a

   

Tương tự:

2

2 2

1

DF DC a

DB DB DC CB 

Từ (*) DCEF DABC V V   Vậy 36 DCEF ABCD a

V  V 

Nhận xét:

+ Kỷ chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng chưa tốt + Giáo viên giúp học sinh rút tỉ số

2

DE DC

DADA từ hệ thức

DE DA DC trong

tam giác vuông khắc sâu để sử dụng

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA a 2 Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt

phẳng (AB’D’) cắt SC C’

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC (AB D' ')

c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

u cầu:

+Học sinh biết chứng minh

' ( )

AB  SBC

+ Biết phân thành hai khối chóp

Lời giải:

a) Ta có:

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V  S SA

b) Ta có BC(SAB) BCAB'

Ta có SBAB'

Suy ra: AB' ( SBC)

c) Tính VS A B C D ' ' ' +Tính VS AB C ' ': Ta có:

' ' ' '. '(*)

SA B C SABC

V SB SC

V SB SC

SACvuông cân nên

'

SC SC 

Ta có:

2 2

2 2

' 2

3

SB SA a a

SB SB SA AB  a 

bằng nhau: S AB C ' ', S AC D ' '

+ Sử dụng tỉ số để giải Từ

' ' '

(*)

3

SA B C SABC

V V

 

3

' ' '

1 2

3

SA B C

a a

V

  

+

3 ' ' ' ' '

2

2

9

S A B C D S A B C

a

V  V 

Nhận xét:

+ Bài toán lấy từ tập 8/26 sách giáo khoa Tuy nhiên, thay đổi số giả thiết để phù hợp với khả học sinh: “Hình chữ nhật” thay hình vng cạnh a, “Cạnh SA=c” thay "SA a " Nếu giữ

ngun kích thước việc tính tốn q nặng

+Sau làm 8, học sinh tiếp thu toán dễ dàng nhẹ nhàng

4)Bài tập nhà:

Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc 60

Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC giác cạnh a, SA vng góc đáy, SA=a Gọi H trực tâm tam giác ABC

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính độ dài đường cao đỉnh A SABC

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB=a, BC=a 2, góc AC’ mp(A’A’C’D’) 30

M trung điểm AD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật

b) Tính thể tích khối MACB’

Bài : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’ b) Tính thể tích khối CBA’B’

Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC ABC cạnh a Góc mp(SBC) mp(ABC) 60

Tính thể tích khối chóp SABC

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC), tam giác ABC vng cân A,

BC = a 2, SA=2a E trung điểm SB, F hình chiếu A lên SC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính thể tích khối SAEF

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a, M trung điểm SB

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.DCM

c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA N Tính thể tích khối chóp S.MNDC

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, ABCD hình chữ nhật, AB = 2BC=a, SA= a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) AH, AK đường cao tam giác SAB SAD Tính thể tích khối S.AHK

C.Kết quả:

Với thời lượng tiết tập, hướng dẫn giáo viên kết hợp thảo luận trao đổi với nhau, học sinh giải tập mà sau có hay vài yêu cầu tương tự tập trước giúp học sinh nắm, hiểu, làm lớp Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức Cụ thể sau:

Lớp 12C4 (Sỉ số 51)

G K TB Y Kém

SL % SL % SL % SL % SL %

0 13.7 31 60.8 13 25.5 0

Lớp 12C5 (Sỉ số 49)

G K TB Y Kém

SL % SL % SL % SL % SL %

2 4.1 14.3 28 57.1 12 24.5 0

Việc chọn trình tự tập phân dạng giúp học sinh dễ tiếp thu thấy toán nên áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi dạng tốn tơi chọn số toán để học sinh hiểu cách làm để từ làm tập mang tính tương tự dần nâng cao Việc giao tập nhà cho học sinh nghiên cứu giúp học sinh có thái độ tích cực, tự giác tìm lời giải cho toán Học sinh tiến nhiều, số đơng em khơng cịn lúng túng thiếu tự tin trước nữa, em có chuyển biến rõ rệt

Tuy nhiên, số học sinh không tiến bản, sức ỳ lớn chưa có động cơ, hứng thú học tập

* Kiến nghị: hệ thống tập chương Khối đa diện sách giáo khoa chương trình chuẩn q khó khơng phù hợp với đối tượng học sinh học tốn theo

chương trình chuẩn Hầu khơng có tập bản, đơn giản để học sinh yếu trung bình củng cố kiến thức, luyện tập Dẫn đến học sinh dễ e sợ học chương dễ kiến thức

Mặc dù đề tài đạt số kết định song không tránh khỏi thiếu xót hạn chế Rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú có hiệu

Tài liệu tham khảo:

1 Sách giáo khoa hình học lớp 12- chương trình chuẩn- nhà xuất giáo dục- năm 2008

2. Sách tập hình học 12- Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)- nhà xuất giáo dục- năm 2008

3 Sách giáo khoa hình học lớp 12- chương trình nâng cao- nhà xuất giáo dục- năm 2008

4. Rèn luyện giải tốn hình 12 - Nguyễn Văn Minh, Đặng Phúc Thanh nhà xuất giáo dục- năm 2008

MỤC LỤC

A Đặt vấn đề ………3

I - Cơ sở lý luận ………

II - Cơ sở thực tiển .………

III - Cách thực ………

B Nội dung nghiên cứu……… I - Kiến thức ………

II - Nội dung Bài tập dang ………5

Bài tập dang ………7

Bài tập tự luyện ……… 13

C Kết ……… 14

D Kết luận – Kiến nghị ……… 14