D¹ng 7: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè.[r]
(1)Phơng trình bậc hai định lí Viột.
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai. Bài 1: Giải phơng trình
1) x2 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x2 + 2
√2 x + = 3(x + √2 ) ; 8) √3 x2 + x + =
√3 (x + 1) ; 9) x2 – 2(
√3 - 1)x - 3 =
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm. Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm.
1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ;
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ;
7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc.
Bµi 1: Gäi x1 ; x2 lµ nghiệm phơng trình: x2 3x = 0. TÝnh:
A=x12+x22; B=|x1− x2|; C=
x1−1
+
x2− 1
; D=(3x1+x2) (3x2+x1);
E=x13+x23; F=x14+x24
Bµi 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng trình, tính giá trị biểu thức sau:
A=2x13−3x12x2+2x23−3x1x22; B=x1
x2+ x1 x2+1+
x2 x1+
x2 x1+1−(
1
x1−
1
x2)
2
;
C=3x12+5x1x2+3x22
4x1x22+4x
12x2
B i b) LËp phà ơng trình bậc hai có nghiệm
10 −√72 vµ 10+6√2
Bµi 4: Cho phơng trình x2 2(m -1)x m = 0.
a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiƯm x1 ; x2 víi mäi m b) Víi m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y1=x1+
1
x2
vµ y2=x2+
x1
Bài 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x – = H·y tÝnh gi¸ trị biểu thức sau: A=(3x1 2x2) (3x2 2x1); B= x1
x2−1
+ x2
x1−1
;
C=|x 1− x2|; D=
x1+2
x1 + x2+2
x2
Bài 6: Cho phơng tr×nh 2x2 – 4x – 10 = cã hai nghiệm x1 ; x2 Không giải phơng trình hÃy thiết lập ph-ơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 x1
Bài 7: Cho phơng tr×nh 2x2 – 3x – = cã hai nghiệm x1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình ẩn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
a¿y1=x1+2¿y2=x2+2¿ b¿ ¿ ¿y1=x1
2 x2 ¿y2=
x22 x1 ¿ ¿{¿
Bµi 8: Cho phơng trình x2 + x = cã hai nghiƯm x1 ; x2 H·y thiÕt lËp ph¬ng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả m·n:
¿
a¿y1+y2=x1
x2+ x2
x1¿ y1
y2+ y2
(2)Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm. Bài 1:
a) Cho phơng trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (ẩn x). Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phơng trình có nghiệm
a) Cho phơng trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = 0. - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2:
a) Cho phơng trình: 4x
2
x4+2x2+1
2 (2m− 1) x
x2+1 +m
2
− m−6=0 Xác định m để phơng trình có nghiệm
b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phơng trình có nghiệm
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn iu kin cho
tr-ớc. Bài 1: Cho phơng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép
2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đơi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = -
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất. Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = 0. Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = 1 b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = 0 d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x1 = x22 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x12 + x2 = 6. Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bËc hai víi mét sè.
Bµi 1:
a) Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn < x1 < x2 <
b) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - < x1 < x2 <
Bµi 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m 1)x (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ
Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x1 - x2
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số. Bài 1:
a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào tham số m
b) Cho phơng trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vµo tham sè m
c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số – Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số m
Bµi 3: Cho phơng trình: x2 2mx m2 = 0.
(3)c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x2
+x2
x1
=−5
Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x2 2(m + 1)x + m = 0. a) Giải biện luận phơng trình theo m
b) Khi phng trỡnh có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - Tìm m cho |x1 – x2| ≥
Bài 5: Cho phơng trình (m 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + =
Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai. Kiến thức cÇn nhí:
1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trình kia:
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (1) a’x2 + b’x + c’ = (2) hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m
Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trình (1), ta làm nh sau:
i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình (2), suy hệ phơng trình:
ax02+bx0+c=0
a'k2x
02+b'kx0+c'=0
(∗)
¿{
¿
Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m
ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
XÐt hai ph¬ng tr×nh:
ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4)
Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng)
Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai trờng hợp sau:
i) Trờng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:
(3)<0
(4 )<0 ¿{
¿ Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số
ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau:
¿
Δ(3)≥0 Δ(4)≥ 0 S(3)=S(4 )
P(3)=P(4 )
¿{ { {
¿
Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn nh sau:
¿
bx+ay =−c b'x+a'y=− c'
{
(4)Để giải tiếp toán, ta làm nh sau:
- Tỡm iu kin để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2.
- Kiểm tra lại kết
-Bi 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 0.
c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = 0. Bµi 3: Xét phơng trình sau:
ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2)
Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung Bài 5: Cho hai phơng trình:
x2 + x + a = 0 x2 + ax + = 0
a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng
Bµi 6: Cho hai phơng trình:
x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng
c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt
Tãm t¾t lÝ thut:
Cách giải phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a 0)
= b2 - 4ac
* NÕu > phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1 =
-b - 2a
; x2 =
-b + 2a
* Nếu = phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b 2a
* NÕu < phơng trình vô nghiệm
Chú ý 1: Trong trờng hợp hệ số b số chẵn giải phơng trình công thức
nghiªm thu gän
' = b'2 - ac
* Nếu ' > phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt
x1 =
-b' - ' a
; x2 =
-b' + ' a
* Nếu ' = phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b'
a
* NÕu ' < phơng trình vô nghiệm.
Chó ý 2:
* NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm phân biƯt: x1 = vµ x2 =
c a
(5)* NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiệm phân biƯt: x1 = -1 vµ x2 =
c a
Chó ý 4:
* HƯ thøc viÐt trờng hợp phơng trình có nghiệm
1
1
-b x x =
a c x x
a
Bµi tËp áp dụng. Bài tập 1:
Giải phơng trình bậc hai sau
TT Các phơng trình cần giải theo TT Các phơng trình cần giải theo '
1 6 x2 - 25x - 25 = 0 1. x2 - 4x + = 0
2. 6x2 - 5x + = 0 2. 9x2 - 6x + = 0
3. 7x2 - 13x + = 0 3. -3x2 + 2x + = 0
4. 3x2 + 5x + 60 = 0 4. x2 - 6x + = 0
5. 2x2 + 5x + = 0 5. 3x2 - 6x + = 0
6. 5x2 - x + = 0 6. 3x2 - 12x + = 0
7. x2 - 3x -7 = 0 7. 5x2 - 6x - = 0
8. x2 - x - 10 = 0 8. 3x2 + 14x + = 0
9. 4x2 - 5x - = 0 9. -7x2 + 6x = - 6
10 2x2 - x - 21 = 0 10 x2 - 12x + 32 = 0
11. 6x2 + 13x - = 0 11 x2 - 6x + = 0
12 56x2 + 9x - = 0 12 9x2 - 38x - 35 = 0
13 10x2 + 17x + = 0
13 x2 - 2 3x + = 0
14 7x2 + 5x - = 0
14 4 2x2 - 6x - 2 = 0
15 x2 + 17x + = 0
15 2x2 - 2 2x + = 0
Bµi tËp 2:
Biến đổi phơng trình sau thành phơng trình bậc hai giải a) 10x2 + 17x + = 2(2x - 1) - 15
b) x2 + 7x - = x(x - 1) - 1
c) 2x2 - 5x - = (x+ 1)(x - 1) + 3
d) 5x2 - x - = 2x(x - 1) - + x2
(6)f) - 4x2 + x(x - 1) - = x(x +3) + 5
g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)
k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) -
Bài tập 3: Cho phơng trình: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt giá trị:
m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m = -
b) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x lần lợt
x = 3; x = -3; x = 2; x = 5; x = 6; x = -1
c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép
Bµi tËp 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + = 0
a) Gi¶i phơng trình với m lần lợt giá trị:
m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = -
b) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x lần lợt x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3
c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép
Bµi tËp 5:
Cho phơng trình: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt giá trị:
m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = -
b) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x lần lợt x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3
c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép
Bài tập 6: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 3)x + m2 + = 0
a) Gi¶i phơng trình với m = -1và m =
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện x1 = x2
Bài tập 7:
Cho phơng trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt c) Với giá trị m phơng trình cho vơ nghiệm
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2
Bài tập 8:
Cho phơng trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0
a) Gi¶i phơng trình với m = -3
b) Vi giỏ trị m phơng trình có nghiệm x = - c) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Với giá trị m phơng trình cho vơ nghiệm
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện x1 = - 2x2
Bài tập 9:
Cho phơng trình : x2 - 2(m - ) x + m + = 0
a) Giải phơng trình víi m =
b) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt c) Với giá trị m phơng trình cho vơ nghiệm
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện x1 = 3x2
Bài tập 10:
Biết phơng trình : x2 - 2(m + )x + m2 + 5m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã
(7)x = Tìm nghiệm lại
Bài tập 11:
Biết phơng trình : x2 - 2(3m + )x + 2m2 - 2m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã
mét nghiƯm
x = -1 Tìm nghiệm lại
Bài tập 12:
Biết phơng trình : x2 - (6m + )x - 3m2 + m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã
mét nghiƯm
x = T×m nghiệm lại
Bài tập 13:
Biết phơng trình : x2 - 2(m + )x + m2 - 3m + = ( Víi m lµ tham sè ) cã
mét nghiƯm
x = -1 Tìm nghiệm lại
Bài tập 14: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - =
a) Giải phơng trình với m = -
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức hai nghiệm phơng trình khơng phụ thuộc vào m e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phõn bit
Bài tập 15: Cho phơng trình bậc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Giải phơng trình víi m =
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = - c) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phơng trình có hai nghim phõn bit
f) Khi phơng trình có nghiệm x = -1 tìm giá trị m tìm nghiệm lại
Bài tập 16:Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m =
a) Giải phơng trình với m = -
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn: x12 + x22 =
e) Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x22
Bài tập 17: Cho phơng trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + =
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm d) Tìm hệ thức liên hệ x1và x2 không phụ thuộc m
Bài tập 18: Cho phơng trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - =
a) Chøng minh phơng trình có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật biểu thức A = x12 + x22
Bài tập 19: Cho phơng trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0
a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 x2 - x12 - x22
Bµi tập 20: Cho phơng trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - = 0
(8)b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ
c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn
d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2
Bµi tËp 21: Cho phơng trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + = 0
a) Giải phơng trình víi m =
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1
d) T×m hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vµo m
Bài tập 22: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phơng trình
mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mÃn điều kiện
x12
+x22=1
¿ Bµi tËp 23:
Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phơng trình cú 2
nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mÃn
x1
+
x2
=x1+x2
Bài tập 24:
Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m lµ tham sè).
a) Xác định m để nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mãn
x1 + 4x2 =
b) T×m mét hƯ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài tập 25: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1)
Tìm giá trị tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2
Bµi tập 26: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 =
d) Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài tập 27:
a) Với giá trị m hai phơng trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó?
x2 - (m + 4)x + m + = 0 (1)
x2 - (m + 2)x + m + = 0 (2)
b) Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình (1) nghiệm phơng trình (2) ngợc lại
(9)x2 - (2m - 1)x + m – = 0
Tìm m để x1
+x22 có giá trị nhỏ
Bài tập 29: Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = 0
Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
Bài tập 30: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình
x2 + 2(m - 2)x - 2m + = 0
Tìm m để
¿
x12+x22
có giá trị nhỏ
Bài tập 31: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0
Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bµi tËp 32: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) Tìm m cho
2 nghiệm x1; x2 phơng trình tho¶ m·n 10x1x2 +
¿
x12+x22
¿
đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị
VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với toán dạng này, ta làm sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a
0)
- Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số)
- Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2 6m1x9m 3 0
Tìm giá trị tham số m để nghiệmx1 x2 thoả mãn hệ thức : x1x2 x x1
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l :
0 0
' 9 27 ' 1
' 21 9( 3)
m m m m
m m m m m
m m m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1
1
6( 1) 9( 3)
m x x
m m x x
m
(10)6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 27 21
m m
m m m m m m
m m
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức :
1 2
x x x x
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 2m1x m 2 2
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 2 5x1x2 7
Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1&x2 :
2
' (2m 1) 4(m 2)
2
4m 4m 4m
7
4
m m
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
1
2
2
x x m
x x m
và từ giả thiết 3x x1 2 5x1x2 7 Suy
2
2
3( 2) 5(2 1) 10
2( )
3 10 4
( )
3
m m
m m
m TM
m m
m KTM
Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 2 5x1x2 7
Bài tập áp dụng
1 Cho phương trình : mx22m 4x m 7
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 2x2 0
2 Cho phương trình : x2m 1x5m 0
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: 4x13x2 1
3 Cho phương trình : 3x2 3m 2x 3m1 0
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 6
Hướng dẫn cách giải:
Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ
+ Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1x2 tích nghiệm x x1 2nên
ta vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
(11)nghiệm x1x2 tích nghiệm x x1 2rồi từ vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví
dụ ví dụ BT1: - ĐKX Đ:
16 &
15
m m
-Theo VI-ÉT: 2 ( 4) (1) m x x m m x x m
- Từ x1 2x2 0 Suy ra:
1 2
1 2
1
3
2( )
2( )
x x x
x x x x
x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m2127m128 0 m1 1;m2 128
BT2: - ĐKXĐ: m2 22m25 0 11 96m11 96
- Theo VI-ÉT:
1
1
1 (1)
5
x x m
x x m
- Từ : 4x13x2 1 Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
1 3( )
1 3( ) 4( ) 4( )
7( ) 12( )
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình :
0 12 ( 1)
1 m m m m
(thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì (3m 2)24.3(3m1) 9 m224m16 (3 m4)2 0 với số thực m nên
phương trình ln có nghiệm phân biệt
- -Theo VI-ÉT:
1 2 3 (1) (3 1) m x x m x x
- Từ giả thiết: 3x1 5x2 6 Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
8 5( )
64 5( ) 3( )
8 3( )
64 15( ) 12( ) 36
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta phương trình:
0
(45 96) 32
15 m m m m
(thoả mãn )
VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho phương trình: ax2bx c 0 (a 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2
nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm …. Ta l p b ng xét d u sau:ậ ả ấ
Dấu nghiệm x1 x2 S x1x2 P x x Điều kiện chung
(12)cùng dấu, P > ; P >
cùng dương, + + S > P > ; P > ; S >
cùng âm S < 0 P > 0 0 ; P > ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình:
2
2x 3m1 x m m 0 có nghiệm trái dấu. Để phương trình có nghiệm trái dấu
2
2
(3 1) 4.2.( 6)
0 ( 7)
2
6
0 ( 3)( 2)
2
m m m
m m
m
m m
P P P m m
Vậy với 2m3 phương trình có nghi ệm trái dấu.
Bài tập tham khảo:
1 mx2 2m2x3m 20 có nghiệm dấu 3mx22 2 m1x m 0 có nghiệm âm
3.m1x22x m 0 có nghiệm khơng âm
VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta ln phân tích được: A m
C
k B
(trong A, B biểu thức không âm ; m, k số) (*)
Thì ta thấy : C m (v ì A 0) minC m A0
C k (v ìB 0) maxC k B0
Ví dụ 1: Cho phương trình : x22m1x m 0
Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để :
2
1
A x x x x có giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ÉT:
1
1
(2 1)
x x m
x x m
Theo đ ề b ài :
2
2
1 2
A x x x x x x x x
2
2
2
4 12
(2 3) 8
m m
m m
m
(13)Suy ra: minA8 2m 0 hay
3
m
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 mx m 1 0
Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn
nhất biểu thức sau:
1
2
1 2
2
2
x x B
x x x x
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT :
1
1
x x m x x m
1 2
2 2 2
1 2
2 3 2( 1)
2 ( ) 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn
Ta biến đổi B sau:
2
2
2
2 1
1
2
m m m m
B
m m
Vì
2
2
2
1
1 0
2 m m B m
Vậy max B=1 m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
2 2 2
2 2
1 1
2 4 2 1
2 2
2 2 2
m m m m m m m
B
m m m
Vì 2 2
2 0
2 2 m m B m Vậy 2
B m
Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện
cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m.
2
2
2
2
m
B Bm m B
m
(Với m ẩn, B tham số) (**)
Ta có: 1 B B(2 1) 2 B2B
Để phương trình (**) ln có nghiệm với m hay 2B2B 1 2B2 B 1 2B1 B10
1
2 2
1 1
1
2 1
(14)Vậy: max B=1 m = 1
min
2