Các Dạng Toán Hình Học 7 Học Kỳ 2 Có Lời Giải

a) AC là tia phân giác của DAH. Hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại I. Chứng minh điểm I cách đều hai cạnh AB, AC. Cho  ABC có trung tuyến AM đồng thời [r]

CHUYÊN ĐỀ III QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC VÀ CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC

CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định lý 1

Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn

Trong tam giác ABC, AC > AB

 

B C

2 Định lý 2

Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Trong tam giác ABC, B C  thì AC > AB.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng So sánh hai góc tam giác Phương pháp giải:

- Xét hai góc cần so sánh hai góc tam giác - Tìm cạnh lớn hai cạnh đối diện hai góc - Kết luận

1A So sánh góc tam giác ABC, biết AB = cm,

BC = cm, AC = cm

1B So sánh góc tam giác MNP, biết MN = 8cm,

NP = cm, MP = 10 cm

2A Cho tam giác ABC có AC > AB So sanh hai góc ngồi đỉnh B

và C

2B Cho tam giác DEF có DE = cm, DF = cm So sánh hai góc tại

các đỉnh E F

3A Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ BD vng góc với

AC D, CE vng góc với AB E So sánh hai DBC ECB

3B Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc B C cắt

nhau I So sánh IBC ICB

Dạng So sánh hai cạnh tam giác Phương pháp giải:

- Xét hai cạnh cần so sánh hai cạnh tam giác - Tìm góc lớn hai góc đối diện với hai cạnh - Kết luận

4A So sánh cạnh tam giác ABC, biết A = 80°, B = 40°

4B. So sánh cạnh tam giác PQR, biết P = 70°, R = 50°

5A Cho tam giác ABC vuông A, điểm K nằm A C So sánh độ

dài BK BC

5B Cho tam giác MNP vuông N Trên tia đối tia PN lấy điểm Q So

6A Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ BD vng góc với

AC D, CE vng góc với AB E Gọi H giao điểm cửa BD CE So sánh độ dài HB HC

6B Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc B C cắt

nhau I Từ I vẽ IH vng góc với BC So sánh độ dài HB HC

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

7 Cho tam giác QMN có OM = cm, ON = cm, MN = cm So sánh góc tam giác OMN

8 Chứng minh tam giác vuông, cạnh huyền lớn cạnh góc vng

9 Cho tam giác ABC cân A có A = 50° So sánh độ dài AB BC

10 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ AH vng góc với BC H So sánh HAB HAC

11 Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt BC D So sánh ADB ADC

12 Cho tam giác ABC có A = 90°, C = 30° Điểm D thuộc cạnh AC cho ABD = 20° So sánh độ dài cạnh BDC.

13 Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB So sánh độ dài cạnh tam giác BMC

14 Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc vói BC H So sánh:

a) BA BH; b) DA DC

15 Cho tam giác ABC có A > 90° Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC Chứng minh DE < DC <BC

16 Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia Bx nằm hai tia BA BC Trên tia Bx lấy điểm D nằm tam giác ABC Chứng minh

DC < DB

17* Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại

D Chứng minh DB < DC

18* Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC Chứng

minh MAB MAC  .

HƯỚNG DẪN

1A. Ta có AB < BC < AC => C  A B 1B. Ta có NP < MN < MP => M  P N 

2A Ta có AC > AB => B C  , góc ngồi đỉnh B nhỏ góc

ngồi đỉnh C

2B Ta có DE < DE => FE, góc ngồi đỉnh E nhỏ góc

ngồi đỉnh F

3A Vì AB < AC nên ACB ABC  .

 90 

ECB  ABC, từ ta có

 

DBC ECB

3B Vì AB < AC nên ACB ABC  , với

chú ý 



 

,

2

ABC ACB IBC ICB

Từ ta có IBC ICB 

4A Tính C = 60°, B C   A => AC < AB < BC. 4B Tính Q = 60°, R Q P    => PQ < PR < QR

5A Chú ý BKC góc ngồi AKB

nên BKC >A = 90° > C

 BK < BC

5B Tương tự 5A, ta có MP < MQ.

6A Áp dụng 3A, ta có HBC HCB => HB < HC.

6B Dùng kết 3B, ta có IBC ICB => IB < IC.

Mà HB2 = IB2 - IH2, HC2 = IC2 - IH2 Suy HB < HC.

7 Ta có OM < ON < MN =>N M O .

8 Trong tam giác vng, góc vng góc lớn nên cạnh huyền

(đối diện với góc vng) cạnh lớn

9 Tính B C  = 65°, C A => AB > BC. 10 Ta có AB < AC => ABCACB

Chú ý HAB 90  ABC

 90 

HAC   ACB, từ ta có

 < 

HAB HAC

11 Chú ý:  



  

BAC ADC ABC

Mà AB < AC => ABCACB nên ADB ADC

12 Tính DBC  40 ,  BDC = 110 DCB 30, từ ta có

DB < DC < BC

13 Ta có DCM BCA  60

Chú ý BMC góc ngồi tam giác

AMC nên BMC BAC  60

Do BMC MBC MCB 

bởi MB < MC < BC

14 a) Ta có ABD = HBD (cạnh huyền - góc nhọn), từ BA = BH

b) Chứng minh DA = DH, lại có tam giác DHC vng H nên DH < DC => DA < DC

15 Chú ý DEClà góc ngồi tam giác DAC nên DEC DAC > 90

=> DE < DC

Tương tự ta có BDC DAC  > 90

=> DC < BC, DE < DC < BC

16 Do Bx nằm BA BC nên

 

giác ABC nên CA nằm CD CB, DCB ACB

Từ DCB > DBDCB DBC =>DC < DB. 17* Trên cạnh AC lấy điểm E cho

AB = AE, chứng minh

ABD = AED (c.g.c).

=> DECxBD ACB > và DB = DE.

Từ DB = DE < DC

18* Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao

cho MA = MD, chứng minh

MAB = MDC (c.g.c).

 

MAB MDC => , ý

CD = AB < AC => MAC MDC  

Do MAB MAC

CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU

1 Quan hệ đường vng góc đường xiên

Định lý Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn

AH a => AH < AC, AH < AD (Với C, D điểm thuộc a)

2 Quan hệ đường xiên hình chiếu

Định lý Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng

đến đường thẳng đó:

• Đường xiên có hình chiếu lớn lớn

AH a, HD > HC => AD > AC • Đường xiên lớn có hình chiếu lớn

AH  a, AD > AC => HD > HC.

• Nếu hai đường xiên hai hình chiếu

ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên AB = AC  HB = HC (hình vẽ)

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng So sánh hai đường xiên hai hình chiếu Phương pháp giải: Vận dụng Định lý 2.

1A. Cho tam giác ABC có AB <AC Kẻ AH vng góc với BC H So

sánh độ dài HB HC

1B Cho tam giác MNP có MN = cm, MP = cm Kẻ MK vng góc với

NP K So sánh độ dài KN KP

2A Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB, AC lấy các

điểm M, N

a) Chứng minh MN < BN < BC

b) Có thể nói BN có hình chiếu xuống AC AN cịn CM có hình chiếu xuống AC AC nên CM > BN không?

2B Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, N (M

nằm A, N) So sánh độ dài BM, BN, BC

3A Cho tam giác ABC có AB > AC Kẻ AH vng góc với BC H, điểm

D thuộc đoạn AH So sánh:

a) DB DC; b) DB AB

3B Cho tam giác MNP có MN < MP Kẻ MK vng góc với NP K.

Trên tia đối tia MK lấy điểm Q So sánh độ dài QN QP,

Dạng Quan hệ đường vng góc đường xiên

Phương pháp giải: Sử dụng định lý đường vng góc ngắn đường xiên

(từ điểm đến đường thẳng)

4A Cho tam giác ABC, điểm D nằm A C (BD khơng vng góc

4B Cho tam giác ABC, điểm M nằm B C Gọi H K chân các

đường vng góc kẻ từ M đến đường thẳng AB AC So sánh BC tổng MH + MK

5 Cho tam giác ABC khơng vng Kẻ BD vng góc với AC D, kẻ CE vng góc với AB E Chứng minh BD + CE < AB + AC

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

6 Cho tam giác ABC vuông B Trên cạnh BC lấy điểm D E (D nằm B E)

a) So sánh độ dài đoạn thẳng AB, AD, AE, AC

b) Vẽ BI, BK, BH vng góc với AD, AE, AC So sánh góc ABH, ABK, ABI

7 Cho tam giác OMN vuông O Lấy điểm P cạnh OM, điểm Q cạnh ON Chứng minh PQ < MQ < MN

8 Cho tam giác ABC cân A Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC, điểm D thuộc cạnh BC (D khác H) Chứng minh AH < AD < AB

9 Cho tam giác ABC có B C góc nhọn Gọi D điểm thuộc cạnh BC, gọi H K chân đường vng góc kẻ từ B c đến đường thẳng AD So sánh:

a) BH BD Có BH BD không? b) HC BK BD <

BC

10 Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Gọi E F chân đường vuông góc kẻ từ A C đến đường thẳng BM

a) Chứng minh ME = MF b) So sánh AB

BE BF

11 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia CB lấy điểm D a) So sánh AD AB

b) Vẽ BE AC DF AB So sánh BE DF

HƯỚNG DẪN

1A Đường xiên AB < AC nên hình chiến HB < HC 1B Đường xiên MN < MP nên hình chiếu KN < KP. 2A Hình chiếu AM < AB nên đường

xiên MN < BN

Hình chiếu AN < AC nên đường xiên BN < BC

Bởi MN < BN < BC

2B Tương tự 2A, ý: AM < AN < AC.

3A a) Đường xiên AB > AC nên hình chiếu

HB > HC

Hình chiếu HB > HC nên đường xiên DB > DC

b) BA BD có hình chiếu AH DH Mà AH > BH => BA > BD

3B Tương tự 3A, ý KN < KP.

4A AE đường vng góc, AD đường

xiên nên AE < AD

CF đường vng góc, CD đường xiên nên CF < CD

Do AE + CF < AD + CD = AC

4B Tương tự 4A, ý MH < MB, MK < MC. 5 Chứng minh được:

BD < AB, CE < AC

Do BD + CE < AB + AC

6 a) Tương tự 2B, ta có: AB < AD < AE < AC

b) Chứng minh ADB AEB ACB

Mà ADBABI AEB;  ABK ACB; ABH Suy ABH ABK ABI

7 Do = POQ 90° nên MPQ góc tù Xét MPQ có MPQ lớn nên MQ > PQ

Xét MQN có MQN tù nên

MN > MQ

8 Ta có AH < AD (quan hệ đường vng góc, đường xiên)

Nếu D thuộc đoạn HC => HD < HC, AD < AC = AB

9 a) Ta có BH  BD (đương vng góc ngắn đường xiên)

BH = BD  H D AD  BC

b) Xét MPQ có BK2 = BH2 + HK2.

Xét CHK có CH2 = CK2 + HK2.

Mà BD <

BC

nên BH < CK Vậy BK < HC

10 a) Chứng minh

MAE =MCF (ch- gn)

=> ME = MF

b) Do ME = MF nên BE + BF = BM - ME + BM + MF = 2BM Mặt khác AB < BM => AB <

BE BF 11 a) Kẻ AHBC H

Ta có AB = AC => HB = HC Lại có D thuộc tia đối tia CB Vậy HD > HC =HB => AD > AB b) Diện tích ABC =

1

2 AH BC;

Diện tích ABD =

1

2AH.BD.

Mà BC < BD

Suy Diện tích ABC < Diện tích ABD.

Lại có:

Diện tích ABC =

1

2 AC.BE; Diện tích ABD =

2AB.DF

Suy

1

2 AC.BE <

2AB.DF Từ đó, ta có: BE < DF.

CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Trong tam giác, độ dài cạnh lớn giá trị tuyệt đối hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại Cụ thể: |AB - AC| < BC < AB + AC

Dạng Khẳng định có tồn hay khơng tam giác biết độ dài ba cạnh

Phương pháp giải:

- Tồn tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c nếu: a b c b a c

c a b

         

 |b - c | < a < b + c

- Trong trường hợp xác định a số lớn ba số a, b, c điều kiện để tồn tam giác cần: a < b + c

1A Bộ ba độ dài tạo thành độ dài cạnh tam

giác?

a) cm; 10 cm; 12 cm, b) m; m; m c) m; m; m

1B Bộ ba độ dài tạo thành độ dài cạnh tam

giác?

a) cm; cm; cm b) m; m; m c) m; 10 m; 15 m

2A Một tam giác cân có cạnh cm Tính hai cạnh cịn lại, biết

chu vi tam giác 20 cm

2B Tính chu vi tam giác cân biết độ dài hai cạnh 3,9 cm

và 7,9 cm

3A Cho tam giác ABC có BC = cm, AC = cm Tìm độ dài cạnh AB,

biết độ dài số nguyên (cm)

3B Cho tam giác MNP có MN = m, NP = m, độ dài cạnh MP số

nguyên Tính độ dài MP

Dạng Chứng minh bất đẳng thức độ dài

Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức tam giác biến đổi bất

đẳng thức

- Cộng số vào hai vế bất đẳng thức: a< b => a + c < b + c

- Cộng vế hai bất đẳng thức chiều:a b a c b d

c d



    

  

4A tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB.

a) So sánh MC với AM + AC

b) Chứng minh MB + MC < AB + AC

4B Cho tam giác ABC, tia đối tia AC lấy điểm K.

a) So sánh AB với KA + KB

b) Chứng minh AB + AC < KB + KC

5A Cho tam giác ABC, điểm M nằm tam giác.

a) So sánh MB + MC với BC

b) Chứng minh MA + MB + MC >

AB BC CA  5B Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC.

b) Chứng minh AD <

AB BC CA 

6A Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BA lấy điểm D sao

cho BD = BA Chứng minh DC > AB

6B Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia CA lấy điểm D.

Chứng minh DB > DC

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

7 Có hay khơng tam giác với độ dài cạnh

a) m; m; m? b) cm; cm; 10 cm?

8 Tìm chu vi tam giác cân, biết hai cạnh bằng: a) cm cm; b) cm cm

9 Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, độ dài cạnh BC số nguyên Tính độ dài BC

10 Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác, tia BO cắt cạnh AC I

a) So sánh OA IA + IO, từ suy OA + OB < IA + IB; b) Chứng minh OA + OB < CA + CB

c) Chứng minh

2

AB BC CA 

< OA + OB + OC < AB + BC + CA

11 Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D, cạnh AC lấy E cho AE = AB

a) So sánh DB DE

b) Chứng minh AC - AB > DC - DB

12* Cho tam giác ABC Gọi M là

trung điểm BC

a) Chứng minh AM <

AB AC

b) Cho bốn điểm A, B, C, D hình vẽ Gọi thứ tự trung điểm AC BD Chứng minh AB + BC + C + DA > 4MN

HƯỚNG DẪN

1A. a) Có, 12 < + 10 b) Khơng, + =

c) Có, < +

1B. a) Có, < + b) Khơng, > +

b) Khơng, +10 = 15

2A Nếu cạnh cho (6cm) cạnh đáy hai cạnh cịn lại cm

cm, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Nếu cạnh cho (6 cm) cạnh bên hai cạnh lại cm cm, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

2B Nhận xét: Cạnh thứ ba tam giác cân hai cạnh

Loại trường hợp cạnh thứ ba 3,9 cm 3,9 + 3,9 < 7,9 Trường hợp cạnh thứ ba 7,9 cm thỏa mãn bất đẳng thức tam giác 7,9 < 7,9 + 3,9 Từ tính chu vi tam giác 19,7 cm

3A Chú ý |AC - BC| < AB < AC + BC => < AB <8 Do AB số

nguyên nên AB = cm

3B Tương tự 3A, ta có

2 < MP < => MP 3cm

4A a) AMC có MC < AM + AC b) Dùng kết câu a, ta có MB + MC' < MB + MA + AC = AB + AC

4B Tương tự 4A.

5A a) MBC có MB + MC > BC.

b) Tương tự ý a, ta có

MA + MC > AC, MA + MB > AB Cộng vế ba bất đẳng thức

 2(MA + MB + MC) >AB + BC + CA MA + MB + MC >

AB  BC  CA

Chú ý kết M tam giác hai cạnh AB AC Riêng M thuộc BC

BM + MC = BC

5B a) ABD có AD < BA + BD

b) Tương tự ý a, ta có : AD < CA + CD Cộng trừ hai vế bất đẳng thức

=> 2AD < BA + BC + AC => ĐPCM

6A ADC có DC > AD - AC = AB 6B Tương tự 6A.

7 a) Khơng, + = b) Có, + > 10 Tương tự 2B, ta có:

a) Chu vi tam giác + + = 17cm b) Chu vi tam giác + + = 18cm

9 Tương tự 3A, ta có < BC < => BC = 4cm

10 a) OIA có OA < IA + IO, đó

OA + OB < IA + IO + OB = IA + IB b) Tương tự ý a, chứng minh IA + IB < CA + CB

tương tự OB + OC < AB + AC, OC + OA < BA + BC

Cộng vế ba bất đẳng thức, ta OA + OB + OC < AB + BC + CA

Kết hợp với kết 5A, ta có ĐPCM

11 a) Chứng minh

ADB = ADE (c.g.c) => DB = DE.

b) EDC có EC > DC - DE

Chú ý AC - AB = AC - AE = DC - DE = DC - DB

Từ ta có AC - AB > DC - DB

12* a) Trên tia đối tia MA lấy điểm D

sao cho MD = MA Chứng minh

MAB = MDC (c.g.c) => AB = CD. ACD có AC + CD > AD, ý

AD = 2AM, AB = CD nên 2AM < AB + AC =>AM <

A

AB C b) Sử dụng kết ý a) ta có:

BA + BC > 2BM, DA + DC > 2DM

Suy AB + BC + CD + DA > 2(MB + MD) (1) Trong BMD, lại có

MB + MD > 2MN (2)

Từ (1) (2), ta có ĐPCM

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1- Đường trung tuyến tam giác • Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC

• Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến

2 Tính chất ba đường trang tuyến tam giác

Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm

Điểm gọi trọng tâm tam giác đó, điểm cách đỉnh khoảng

2

3 độ dài đường

trung tuyến qua đỉnh

ABC

2

AG BG CG AD  BE CF 

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt tỉ số liên quan tới trọng tâm tam

giác

Ví dụ Nếu ABC có trung tuyến AM trọng tâm G ta có

AG =

2

3 = AM , AG = 2GM; GM =

3AM;

1A Cho ABC có hai đường trung tuyến BD, CE a) Tính tỉ số ,

BG CG BD CE b) Chứng minh BD + CE >

3 BC

1B Cho ABC có BC = cm, đường trung tuyến BD, CE cắt G Chứng minh BD + CE > 12 cm

2A Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt G.

Trên tia đối tia PB lấy điểm E cho PE = PG Trên tia đối tia QG lấy điểm F cho QF = QG Chứng minh:

a) GB = GE, GC = GE; b) EF = BC EF//BC

2B. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt G.

Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho D trung điểm đoạn thẳng MG Trên tia đối tia EG lấy điểm N cho E trung điểm GN Chứng minh:

a) GN = GB, GM = GA; b) AN = MB AN // MB

Dạng Chứng minh điểm trọng tâm tam giác

Phương pháp giải: Để chứng minh điểm trọng tâm tam giác, ta

có thể dùng hai cách sau:

- Chứng minh điểm giao điểm hai đường trung tuyến tam giác - Chứng minh điểm thuộc đường trung tuyến tam giác thỏa mãn tỉ lệ tính chất trọng tâm tam giác

3A Cho ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho

AD = AB Lấy G thuộc cạnh AC cho AG =

1

3 AC Tia DG cắt BC

tại E Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng cắt F Gọi M giao điểm EF CD

Chứng minh:

a) G trọng tâm BCD;

b) BED = FDE, từ suy EC = DF;

c) DMF = CME;

3B Cho ABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = 2CM Vẽ điểm D cho C trung điểm AD Gọi N trung điểm BD, Chứng minh:

a) M trọng tâm tam giác ABD; b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng;

c) Đường thẳng DM qua trung điểm AB

4A Cho ABC với đường trung tuyến AD Trên tia AD lấy điểm E cho AD = DE, tia BC lấy điểm M cho BC = CM Chứng minh C trọng tâm AEM

4B Cho ABC Trên đường trung tuyến AM tam giác đó, lấy hai điểm

D, E cho AD = DE = EM Chứng minh E trọng tâm ABC. 5A Cho ABC Vẽ trung tuyến BM Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao

cho BG =

2

3BM G trung điểm BK Gọi E trung điểm CK;

GE cắt AC I Chứng minh:

a) I trọng tâm KGC; b) CI =

1 3 AC.

5B Cho ABC, M trung điểm AC Trên đoạn BM lấy điểm K cho KM =

1

2 KB Điểm H thuộc tia đối tia MK cho BH = 2BK Gọi

I điểm thuộc cạnh AC IC =

1

3 CA Đường KI cắt HC E.

a) Chứng minh I trọng tâm HKC E trung điểm HC E b) Tính tỉ số ,

IE IC

IK MC Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng ( I trung điểm KC)

6A Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn.

Gọi M, N trung điểm BC, CD Đoạn thẳng AM, AN cắt BD I K Chứng minh:

a) I trọng tâm ABC K trọng tâm ADC;

b) BI = IK = KD

6B Cho tam giác ABC, đường trưng tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy

điểm E cho DE = BD Gọi P, Q điểm BE cho BP = PQ = QE Chứng minh:

a) CP, CQ cắt AB, AE trung điểm AB,AE b) CP//AQ CQ//AP

Dạng Vấn đề đường trung tuyến tam giác vuông, tam giác cân, tam giác

Phương pháp giải: Chú ý tính chất tam giác vuông, tam giác cân,

tam giác

7A Cho ABC vuông A, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy

điểm D cho MD = MA a) Tính ABD

c) Chứng minh AM =

1 2BC

7B Cho ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Tính khoảng cách từ trọng tâm G ABC tới đỉnh, tam giác.

8A Cho ABC , trung tuyến AM = 2 BC.

a) Chứng minh BMA2MAC CMA 2MAB . b) Tính BAC

8B Cho hình vẽ, biết ABC có hai

đường trung tuyến BN,CP vng góc với G Tia AG cắt BC I BC = cm

Tính độ dài GI,AG

9A Cho ABC cân A có đường trung tuyến AM a) Chứng minh AM BC

b) Biết AB = 10 cm, BC = 12 cm Tính độ dài đoạn vng góc kẻ từ B xuống AC

9B Cho ABC có AB = BC = 13 cm, AC = 10 cm, Đường trung tuyến

BM, trọng tâm G Tính độ dài GM

10A Cho ABC có hai đường trung tuyến BM, CN a) Chứng minh ABC cân A BM = CN b) Ngược lại BM = CN, chứng minh:

i) GB = GC, GN = GM; ii) BN = CM;

iii) ABC cân A

10B Cho ABC có hai đường trung tuyến BM CN cắt G Biết BM = CN Chứng minh AG BC

11A Cho ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt G Biết AM = BN = CP Chứng ABC đều.

11B Cho ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt G Biết

AG = BG = CG Chứng minh ABC đều. III BÀI TẬP VỀ NHÀ

12 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho

AE = 2AB Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = BC Chứng minh:

a) A trọng tâm CDE;

b) Đường thẳng CA qua trung điểm DE

13 Cho bốn điểm A, B,C, D không thẳng hàng hình vẽ Gọi O giao điểm AC BD Trung điểm BD AC M, N Chứng minh AC + DB > 2MN

14 Cho ABC vuông A, AB = cm, AC = cm a) Tính BC

c) Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Chứng minh  BCE vuông

15 Cho ABC vuông A, trung tuyến AM Biết AB = 6cm,

AC = 8cm

a) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh

AMB = DMC.

b) Chứng minh BAC = DCA c) Tính AM

D0 Chứng minh AM <

AB AC

16 Cho ABC có hai đường trung tuyến AM, BN vng góc với nhau, trọng tâm G Biết AM = 4,5 cm, BN cm Tính độ dài cạnh 

ABC

HƯỚNG DẪN

1A Gọi giao điểm hai đường trung tuyến BD,CE G.

GBC có: GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Mà GB =

2

3BD, GC =

3CE nên:

3BD +

3CE > BC.

Do BD + CE >

3 2 BC. 1B Tương tự 1A.

BD + CE >

3

2 = 12 cm. 2A a) Vì G trọng tâm ABC

nên BG = 2GP, CG = 2GQ Lại có PE = PG, QF = QG nên GE = 2GP, GF = 2GQ Do BG = GE,CG = GF b) Suy GBC = GEF (c.g.c)

Từ ta có EF = BC GEF GBC 

=> EF // BC

2B Tương tự 2A.

3A a) Vì AD = AB nên A trung điểm BD

=> CA đường trung tuyến BCD

Mà AG =

1

3AC => G trọng tâm BCD

b) Ta có : BD || EF => BDE DEF DE || BC => BED EDF 

=>BED = FDE (g.c g) => BE = DF

(hai cạnh tương ứng) (1) Mặt khác G trọng tâm BCD nên E trung điểm BC

=> BE = EC (2)

d) Do DMF = CME => MD = MC => M trung điểm DC => BM trung tuyến BCD

=> G BM => B, G, M thẳng hàng.

3B Tương tự 3A.

a) M thuộc đường trung tuyến BC ABD mà BM = 2CM nên M trọng tâm ABD

Do M thuộc trung tuyến AN => Ba điểm A, M, N thẳng hàng b) DM trung tuyến thứ ba

ABD nên DM qua trung điểm

của AB

4A Theo đề ta có AD = DE nên

C thuộc MD đường trung tuyến tam giác AEM (1)

Mặt khác ta có BC = 2CD BC = CM nên CM = 2CD (2) Từ (1) (2) suy C trọng tâm AEM.

4B Từ giả thiết AD = DE = EM ta có AE = 3AM.

Mà E thuộc trung tuyến AM nên E trọng tâm ABC

5A a) Theo đề BG = 3BM.

Suy BG = 2GM => GK = 2GM =>M trung điểm GK

Do I giao điểm ba đường trung tuyến KGC.

b) I trọng tâm KGC nên

CI =

2

3CM= 3

1

2AC = 3AC. 5B Tương tự 5A.

a) M trung điểm KH Suy I trọng tâm HKC Suy KI trung tuyến KHC

b)

1

,

2

IE IC

IK  MC  Suy HI trung tuyến KHC. 6A a)ABC có hai đường trung

BO, AM cắt I nên I trọng tâm ABC

Tương tự ta có K trọng tâm ADC

b) Từ ý a) suy ta có: BI =

2

Mặt khác BO = DO => BI = DK =

2

3BO =

3BD => IK =

3BC Suy ĐPCM.

Do BI = IK = KD

6B Tương tự 6A.

a) Chứng minh P,Q trọng tâm ABC, AEC.Suy ĐPCM.

b) Chú ý ADP = CQD

ADQ = CDP.

7A a) AMC = DMB (c.g.c)

=> ADB DAC => BD //AC Mà AB AC nên AB BD

=> ABD = 90°

b) ABD = BAC (c.g.c).

c) ABD = BAC (c.g.c) => AD = BC Mà AM =

1

2AD => AM = 2BC.

7B Áp đụng đinh lý Pytago tam giác

vng ABC tínhđược BC = 10cm Gọi M trung điểm BC Do AM = 5cm

=> AG =

2 10

.5

3AM   cm

Tương tự tính

2

2 2

52

3 3

BG BN  AB AN 

cm

2 73

CG

cm

8A a) Ta có: MA = MB = MC = 2 BC

=> MAB, MAC tam giác cân M Do

   2 ,   2

BMA MAC MCA   MAC CMA MAB MBA   MAB

b) Theo ý (a) ta có 2.(MAB MAC  )MBA CMA = 180° => BAC = 90°

8B Vì GI đường trung tuyến kẻ từ G đến BC

=> GI =

1

2BC =

2 = 2,5 cm.

Lại có AI đường trung tuyến ABC, G trọng tâm => AG =

2GI = 2.2,5 = 5cm

b) BC = 12cm => BM = 6cm Áp dụng Định lí Pytago cho tam giác vng AMB, ta tính được: AM = 8cm

Vẽ BC Chứng minh dt ABC =

2 BC AM =

2AC BN.

Từ tính BN = 9,6cm

9B Tương tự 9A BM = 12cm

=> GM =

1

3 BG =

3 12 = 4cm.

10A a) BMC = CNB (c.g.c) => BM = CN.

b) i) Do G trọng tâm ABC nên: GB =

2

3BM,GM = 3BM,

GC =

2

3CN, GN = 3CN

Mà BM = CN nên GB = GC,GN = GM

ii) Từ ý i) suy GBN = GCM (c.g.c) => BN = CM iii) Vì BN = CM nên BN = CM => AB = AC

Do ABC cân A. 10B Tương tự 10A.

Chứng minh tam giác ABC cân A

Kéo dài AG cắt BC M Ta có AMB = AMC (c.c.c) Suy ĐPCM

11A Ta có BN = CP nên GB = GC,GP = GN

Tương tự 10A, ta có AB = AC. Tương tự, ta có AB = BC Vậy AB = BC = CA Suy ABC đều.

11B Ta có AG = BG = CG AG = 3AM,

BG =

2

3BN, CG = 3CP

=> AM = BN = CP Tương tự 11A suy ĐPCM.

12 Tương tự 3B a) Ta có BD = BC,

do EB đường trung tuyến CDE

Mặt khác AE = 2AB nên A trọng tâm

CDE.

b) Vì A trọng tâm CDE nên CA đường trung tuyến, suy ĐPCM

13 Ta có

OD + OA > AD OA + OB > BC OB + OC > BC OC + OD > DC

Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA Sử dụng kết 12 trang 93, ta có: AB + BC + CD + DA > 4MN

Suy ĐPCM

Chú ý: Trung điểm G MN gọi trọng tâm hình ABCD. 14 a) BC = 10 cm

b) BDI = CDI (hai cạnh góc vng) => CBD DCB 

c) Ta có

BCD cân D => DC = DB. CDE cân D => DE = DC

=> CD =

1

2BE => BCE vuông C 15 a) AMB = DMC (c.g.c)

b) Chứng minh CD ||AB mà AB AC nên AC  DC Từ suy ra

BAC = DCA (hai cạnh góc vng).

c) AM = cm

d) Xét ABC có BC < AB + AC, mà BC = 2AM nên AM <

AB AC 16 Vì G trọng tâm ABC nên :

AG =

2

3AM =

3 4,5 = 3cm,

BG =

2

3BN =

3 = 4cm. ABG vuông G nên :

AB2 = AG2 + BG2 = 32 + 42 = 25.

Suy AB = cm

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Định lí thuận

Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc

2 Định lí đảo

Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Vận dụng tính chất phân giác góc để chứng minh các đoạn thẳng

Phương pháp giải: Áp dụng Định lí thuận.

1A Cho ABC vng A có AB = 3cm, AC = 6cm Gọi E trung điểm

AC, tia phân giác A cắt BC D a) Tính BC

b) Chứng minh: BAD = EAD.

c) Gọi H, K hình chiếu D AB, AC Chứng minh điểm D cách AB AC

2A Cho ABC có A = 120° Tia phân giác A cắt BC D Tia phân giác ADC cắt AC I Gọi H, K, E hình chiếu I đương thẳng AB, BC, AD Chứng minh:

a) AC tia phân giác DAH b) IH = IK

2B Cho ABC Hai tia phân giác góc ngồi đỉnh B đỉnh C cắt I Chứng minh điểm I cách hai cạnh AB, AC

3A Cho ABC có trung tuyến AM đồng thời đường phân giác Trên tia AM lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh:

a) AB = CD

b) ACD cân C.

c) Chứng minh ABC cân A.

3B Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm K cạnh BC, vẽ

KH AC (HAC) Trên tia đối tia HK lấy điểm I cho HI = HK Chứng minh:

a) Chứng minh AB //HK; b) Chứng minh KAH IAH

c) Chứng minh AKI cân,

Dạng Chứng minh tia tia phân giác góc

Phương pháp giải: Để chứng minh tia tia phân giác góc, ta có

thể sử dụng cách sau:

Cách Áp dụng Định lí đảo.

Cách Chứng minh hai góc dựa vào hai tam giác nhau. Cách Đường trung tuyến tam giác cân đồng thời đường phân giác. 4A Cho xOy có tia phân giác Ot Trên tia Ot lấy điểm C Lấy

A  Ox, B  Oy cho OA = OB Gọi H giao điểm AB Ot. Chứng minh:

a) CA = CB CO phân giác ACB; b) OC vng góc với AB trung điểm AB; c) Biết AB = cm, OA = cm Tính OH

4B Cho ABC, AB = AC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy

điểm E cho AD = AE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh:

a) BE = CD;

b) BMD = CME;

c) Đường vng góc với OE E cắt Ox, Oy M, N Chứng minh MN / / AC //BD

5A Cho xOy Lấy điểm A,B thuộc tia Ox cho OA > OB Lấy điểm C, D thuộc Oy cho OC = OA, OD = OB Gọi E giao điểm AD BC Chứng minh.:

a) AD = BC ;

b) ABE = CDE;

5B Cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox lấy điểm A cạnh Oy lấy điểm

B cho OA = OB Đường vng góc với Ox kẻ từ A cắt Oy điểm C Đường vng góc với Oy kẻ từ B cắt Ox D cắt AC I Đường vng góc với Ox kẻ qua D cắt Oy E Đường vng góc với Oy kẻ qua C cắt Ox F cắt DE J

a) Chứng minh OI tia phân giác xOy

b) Chứng minh OC = OD Từ suy OJ tia phân giác xOy c) Chứng minh ba điểm O, I, J thẳng hàng

6A Cho ABC vuông A Gọi M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia Mx  BC Trên tia Mx lấy E cho ME = MB

a) Tam giác BEC tam giác gì?

b) Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ E đến đường thẳng AB, AC Chứng minh BEH CEK .

c) Chứng minh AE tia phân giác góc A

6B Cho ABC vng A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A

dựng BCD vuông cân D Hạ DI AB, DH AC Chứng minh AD tia phân giác A

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

7 Cho tam giác ABC vng A có B = 60° Trên cạnh BC lấy điểm H cho HB = AB Đường thẳng vng góc với BC H cắt AC D Chứng minh:

a) BD tia phân giác ABC; b) BDC cân. 8 Cho xOy khác góc bẹt

a) Từ điểm M tia phân giác xOy, kẻ đường vng góc MA, MB đến hai cạnh Ox, Oy (A  Ox, BOy), OM cắt AB H Chứng minh AB  OM

b) Trên tia đối tia Ox, Oy lấy hai điểm C D, cho OC = OD Hai đương thẳng vng góc với Ox, Oy C D cắt E Chứng minh ba điểm O, H, E thẳng hàng

9 Cho hai góc nhọn xOy  'zO t có cạnh cắt tạo thành hình ABCD hình vẽ Xét hình ABCD

a) Chứng minh tổng bốn góc A + B + C + D 360°

b) Cho biết A = 130°,B = 120°, C = 50°.Các tia phân giác củaA,B cắt M, tia phân

giác D,C cắt N Tính AMB DNC,

vng góc với

HƯỚNG DẪN 1A. a) Áp dụng Định lí Pytago

trong tam giác vng ABC tính, BC 45 cm Vì E trung điểm AC nên AE =

1

2AC = cm => AE = AB

=> BAD =EAD (c.g.c)

c) Do DH AB nên DH khoảng cách từ D đến AB.

Tương tự DK khoảng cách từ D đến AC Suy DH = DK

1B. Hạ ME, MF vng góc với Ox,Oy (EOx, F Oy) Chứng minh OME = OMF (ch-gn) => ME = MF Vậy M cách, hai cạnh Ox, Oy

2A a) Vì BAC= 120° nên CAH = 60° Do AD phân giác BAC nên

 1

2

DAC BAC

= 60° => DAC CAH

=> AC phân giác DAH b) Khi IE = IH

Mặt khác DI phân giác

ADC nên IE = IK.

Vậy IH = IK

2B. Gọi E, F, P hình chiếu I đường thẳng AB, BC, CA

Theo Định lí thuận ta có IE = IF IF = IP => IE = IP Vậy I cách hai cạnh AB, AC

3A a) Trên tia đối tia MA lấy D cho MA = MD.

=> MAB = MDC (c.g.c) => AB = CD

b) AM phân giác BAC nên BAM CAM

Lại có BAM CDM (hai góc tương ứng nhau). Do CAM CDM => CAD cân C => CA = CD.

3B a) Ta có: AB  AC, KH AC => AB // KH

b) AHK = AHI (ch-cgv)

=> KAH IAH.

c) AKI có AH vừa đường

trung tuyến, vừa đường phân giác nên AKI cân A

4A. a) Vì Ot phân giác xOy nên AOCBOC

=> AOC = BOC (c.g.c) => CA = CB, OCA OCB 

=> CO phân giác ACB

b) Chúng minh được: OAH = OBH (c.g.c).

=> OAH OHB = 90°, AH = BH. Vậy OC vng góc với AB trung điểm AB

c) Vì H trung điểm AB => AH =

1

2 AB = cm.

Áp dụng định lí Pytago tam

giác vng OHA, tính OH = cm

4B a) ABE = ACD (c.g.c) => BE = CD.

b) Do ABE = ACD => ABEACDBDC CEB   .

Mặt khác AB = AC, AD = AE => BD = CE

Lại có: ABE = ACD => ABEACDDBM ECM => BMD = CME (g.c.g).

c) Vì BMD = CME => MD = ME => ADM = AEM(c.c.c).

=> MAD MAE => AM phân giác BAC.

5A a) OAD = OCB (c.g.c) => AD = CB

b) Do OA = OC, OB = OD => AB = CD

Lại có OAD = OCB (c.g.c) => OBC ODA   ABE CDE

Mà OAD OCB  Vậy ABE = CDE (g.c.g)

c) Vì ABE = CDE (g.c g) => BOE DOE 

=> OE tia phân giác góc xOy Tam giác AOC BOD

cân O nên OE  BD

và OE  AC Suy ra

AC // MN // BD

5B a) b) Tương tự 5A.

của xOy nên ba điểm O, I, J thẳng hàng

6A a) BEC có trung tuyến ME =

1

2 BC => BEC vuông E Mặt khác BME vuông cân M nên MBE = 45°

=> BEC vuông cân E

b) Từ ý (a) suy BE = CE (1) AB AC, EK AC => AB // EK.

Mà EH  AB nên EH EK => HEK = 90°

=> HEB KEC (cùng phụ HEC). (2)

c) Từ (1) (2) suy BHE = CKE (Ch-gn) => EH - EK

Chứng minh AHE = AKE => HAEKAE Vậy AE tia phân

giác góc A

6B Tương tự 6A.

Chứng minh BID = CHD => DI = DH.

Suy ADI = ADH =>DAI DAH Vậy AD tia phân giác A

7 a) Chứng minh ABD HBD

=> ABD = HBD =>ABD HBD => BD tia phân giác ABC

b)   30 ,  90  90 60

1

3

2

BDH  ABC   DCB   ABC      

=> DBH DCB => DBC cân D. 8 Tương tự 4A.

a) Ta có MA = MB suy OAM = OBM => OA = OB.

Do OAH = OBH nên OHA OHB  = 90°.

Vậy AB OM H

b) OCE = ODE => EOC EOD Vậy E thuộc đường thẳng chứa tia

phân giác xOy

9 a) ABD có tổng góc 180° Tương tự, DBC có tổng góc 180° Cộng lại ta ĐPCM

b) Sử dụng kết ý a) suy D = 60°

AMB có   2

A B

= 125° nên AMB = 55°.

Tương tự DNC = 125°

=> BD = DC

góc xOy với AD E giao điểm hai tia phân giác góc xOy

 '

zO t Ta có:

  =1   

2

' z 't 180 D 35

IO E  O   C     =1180   

2

IOA  xOy  BC    180  50

OAI     A

Suy AIE IO AOAI 55

Vậy O EI ' 180 (35   55 ) 90

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định lí: Ba đường phân giác

tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Cụ thể:

1  2, 1  2, 1  2

A A B B C C => ID = IE = IF

2 Tính chất: Trong tam giác cân,

đường phân giác góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao tam giác Ngược lại, tam giác có đường phân giác vẽ từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến (hoặc đường cao) tam giác tam giác cân đỉnh

ABC : AB = AC

A1A2

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất:

• Giao điểm hai đường phân giác hai góc tam giác nằm đường phân giác góc thứ ba

1A Tìm x hình vẽ sau biết CI BI hai phân giác ACB

ABC, EH FH hai phân giác DEF DFE.

1B Tìm x hình vẽ sau biết I, H giao điểm ba đường phân

giác góc tam giác

2A Cho hình vẽ bên, biết KN = 12 cm,

IN = 13 cm I giao điểm, phân giác tam giác MNL

a) So sánh IP IH b) Tính IH

2B Cho xOy, tia phân giác Oz Trên tia Ox lấy điểm A cho

OA = 4cm Từ A kẻ đường thẳng vng góc với Ox cắt Oz H, cắt Oy K Lấy điểm B tia Ox cho A trung điểm OB Hạ HI  OK

a) Chứng minh AH = HI

b) Biết OH = cm, tính khoảng cách từ điểm H đến BK

Dạng Chứng minh đường đồng quy, điểm thẳng hàng

3A Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia phân giác BD, CE Lấy M là

trung điểm BC

a) Chứng minh AM tia phân giác góc BAC b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy H c) Giả sử có MN = MP = NP, tính tỉ số

HM MK

3B Cho tam giác MNP có MN = MP Hạ MK NP (K NP) Gọi NE, PF lần lượt tia phân giác góc N P tam giác MNP Chứng minh: a) MK tia phân giác góc NMP;

b) MK, NE, PF đồng quy

4A. Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác đỉnh B C cắt E Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng

4B. Cho góc xOy nhọn Lấy điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Trên tia Ox lấy điểm C cho BC tia phân giác góc ABy Gọi I giao điểm hai tia phân giác góc xAB xOy Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng

Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất tam giác cân, đường phân giác của

góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao

5A. Cho tam giác MNP cân M có G trọng tâm.I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm M, G, I thẳng hàng

5B. Cho tam giác ABC cân A Gọi I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh AI vng góc với BC

6A Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường phân giác của

góc A Chứng minh tam giác ABC cân A

6B. Cho tam giác ABC có đường cao AH đồng thời đường phân giác góc A Chúng minh tam giác ABC cân A

Dạng Chứng minh mối quan hệ góc Phương pháp giải:

• Vận dụng tính chất tia phân giác góc để tìm mối liên hệ góc

• Dùng định lí tổng ba góc tam giác 180°

7A Cho ABC, Các tia phân giác góc B C cắt I

a) Biết A = 70°, tính số đo góc BIC b) Biết BIC = 140°, tính số đo góc A c) Chứng minh BIC = 90° +



A

7B Cho tam giác DEF cân D Gọi I giao điểm tia phân giác

EP, FQ

a) Biết EIF = 110°, tính số đo góc D

b) Biết D = 50°, tính số đo ba góc tam giác IPF

8A Cho tam giác ABC có B C  Từ đỉnh A kẻ đường cao AH tia phân

giác AD

B) Chứng minh 

 

B C HAD 

8B Cho ABC (AB > AC), I giao điểm ba đường phân giác Tia AI cắt

BC D Hạ IH vng góc với BC H a) Nếu B 40 , C 60, Tính số đo góc HID b) Chứng minh 

 

B C HID  III BÀI TẬP VỀ NHÀ.

9 Tìm x, y biết M giao điểm phân giác tam giác ABC

10 Cho tam giác ABC vuông A Các tia phân giác góc B C cắt I Gọi H, J, K chân đường vuông góc kẻ từ I đến AB, AC, BC Biết KI = lcm, BK = 2cm, KC = 3cm

a) Chứng minh BHI = BKI

b) Chứng minh tam giác AHI tam giác vng cân c) Tính chu vi tam giác ABC

11 Cho tam giác ABC, tia đối tia BC lấy điểm M cho MB = AB, tia đối tia CB lấy điểm N cho NC = AC Qua M kẻ đường thẳng song song với AB Qua N kẻ đường thẳng song song với AC Hai đường thẳng cắt P Chứng minh:

a) MA, NA tia phân giác PMB PNC ,

b) Tia PA cắt BC K Chứng minh PA tia phân giác MPN , từ suy AK tia phân giác BAC

12. Cho tam giác ABC Các đường phân, giác góc ngồi đỉnh A và

C cắt K

a) Chứng minh BK phân giác góc ABC

b) Cho tia phân giác góc A C tam giác ABC cắt I Chứng minh B, I, K thẳng hàng

c) Cho biết ABC = 70° Tính AKC

13 Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác Bx Cy

cắt E Chứng minh ba đường thẳng AD, Bx, Cy đồng quy

 1

2

BEC FEH

14 Tam giác ABC cân A Tia phân giác góc A cắt đường trung

tuyến BD K Gọi I trung điểm AB Chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng

15 Chứng minh tam giác cân, trung điểm cạnh đáy cách hai

cạnh bên

16 Cho tam giác ABC cân A CP, BQ tia phân giác tam

b) Chứng minh điểm O cách ba cạnh tam giác ABC

c) Chứng minh đường thẳng AO qua trung điểm đoạn thẳng BC vng góc với

d) Chứng minh CP = BQ

e) Tam giác APQ tam giác gì? Vì

17 Chứng minh tam giác cân, đường phân giác ứng với cạnh bên

18 Cho xOy = 50° Lấy điểm A Ox, B  Oy Các tia phân giác của

xAB yBA cắt E.

a) Tính số đo góc AEB

b) Các đường AE, BE cắt phân giác ngồi góc xOy K, F Biết OBA = 40°.Tính góc tam giác KEF

19 Cho tam giác ABC vng A Kẻ AH vng góc với BC (H  BC). Tia phân giác HAB cắt BC D

a) Chứng minh tam giác ACD tam giác cân

b) Các tia phân giác HACvà AHC cắt I Chứng minh CI qua trung điểm, AD Từ tính góc AIC

20 Tam giác ABC có I giao điểm tia phân giác góc B C.

Gọi D giao điểm AI BC Kẻ IH vng góc với BC (H  BC). Chứng minh:

a) AD tia phân giác A;

b) 



2

CID  B

c) BIH CID

21 Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ B đến AI Chứng minh:

a) Các góc ICBvà BIH hai góc phụ nhau; b) IBH ACI

22* Cho tam giác ABC Qua B kẻ đường thẳng xy song song AC hạ

BM vng góc với AC (M  AC) Qua C kẻ đường thẳng x'y' song song AB hạ CN vng góc vói AB (NAB) Hai đường thẳng xy x'y' cắt P Chứng minh:

a) Đường phân giác A hai đường BM, CN đồng quy;

b) Đường phân giác A hai đường thẳng xy x'y' đồng quy

HƯỚNG DẪN

Mà BI, CI tia phân giác B C nên I giao điểm ba đường phân giác ABC.

=> AI tia phân giác 



A A  x

= 30° b) Ta có DEF cân D => F  E 2HEF  64 .

=> FH tia phân giác 

DEF 32

DFE x   1B. Tương tự 1A.

a) x = 24° b) x = 33°

2A. a) I giao điểm ba đường phân giác MLN Do I cách ba

cạnh MLN => IP = IH.

b) Xét IKN vuông K :IK  IN2 IK2 5cm => IH = IK = cm

2B a) Do KA vừa đường cao vừa là

trung tuyến nên OKB cân K.

Suy KA phân giác OKB Vì H nằm tia phân giác xOy nên H cách Ox, Oy => AH = HI b) Tính AH = 5242 3cm

Từ giả thiếp ta suy H giao điểm

của ba đường phân giác OBK nên H cách ba cạnh tam

giác

Vậy khoảng cách từ điểm H đến BK AH = 3cm

3A a) Chứng minh AMB = AMC (c.c.c) Từ suy AM tia phân giác góc BAC b) Xét ABC có AM, BD,CE tia

phân giác Từ tính chất ba đường phân giác tam giác, suy ba đường thẳng AM,BD,CE đồng quy

3B a) b) tương tự 3A.

c) Khi MNP tam giác

MN, KE, PF ba đường trung tuyến Vậy H trọng tâm, hay

2

HM MK 

4A Gọi F,H,G hình chiếu

vng góc điểm E xuống đường thẳng AB, AC BC Từ giả thiết suy EF = EG EH = EG

Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng

4B Tương tự 4A.

5A I nằm tam giác cách ba

cạnh tam giác nên MI tia phân giác góc M

Do MNP cân M nên đường giác MI đường trưng tuyến G trọng tâm MNP nên G

nằm MI Từ đó, suy M,G, I thẳng hàng

5B Tương tự 5A

6A. Hạ MD AB, ME AC.

Vì AM tia phân giác A nên MD = ME

Do BDM = CEM (ch-cgv) Suy B C  Vậy ABC cân A. 6B Tương tự 6A.

Chứng minh ABH = ACH (g.c.g) => ABC cân A.

7A a) Xét ABC, ta tính B C  = 110°.

Do đó, IBC ICB  = 55°.

Vậy BIC = 180° - 55° = 125° b) Xét BIC, từ giả thiết suy

 

IBC ICB = 40° Do đó, ta có: ABC ACB = 80°.

Vậy BAC = 100°

c) Ta có: = BIC 180 - ( IBC ICB  )

=

  180 

180 - 180 -

2

B C A



  

 

 

180 - 90 - + 2 90

A A

 

  

  

 

7B. Tương tự 7A. a) D = 40°

8A. a) Từ giả thiết, ta tính được:

 60

BAC 

  30 

2

BAC

DAC DAB

    

=> ADH DAC C    80

Do đó, xét AHD ta tính được

 10

HAD 

Có thể tính BAH = 90° - 70° = 20° Vậy HDA = 30°- 20° = 10°

b) HAD = 90° - HDA

=



 18  2  

90 -

2

2

A A C B C

C

   

    

 

 

 



8B Tương tự 8A. 9. Tương tự 1A.

a) x = 19° b) x = 33°; y = 24°

10. a) BHI = BKI (ch-gn) Do đó, BH = BK = 2cm b) AI tia phân giác góc A nên 

 45

A HAI   

Do đó, AHI tam giác vng cân.

c) Ta có IH = IK = IJ = 1cm Từ đó, suy AH = HI = lcm

Tương tự ý b), ta có AJ = KI = cm

IKC = IJC (ch-gn)

=> IC = KC = 3cm

IBH = IBK (ch-gn) => BH = BK = 2cm.

Do đó, ta có: AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm Vậy chu vi tam giác ABC 12cm

11. a) ABM cân nên A1 M

Có AB // MP => M  A1 (so le trong)

Vậy M M 2, nên MA tia phân giác

của PMB

Tương tự, ACN có NA tia phân giác PNC

b) Xét PMN có A giao điểm hai tia phân giác góc M N nên

PA tia phân giác góc MPN Có: AB //MP => BAK P1 ( đồng vị)

Mà P1P2 (do PA tia phân giác góc MPN) nên Do đó, AK tia

phân giác BAC

12 a) Tương tự 4A.

b) Vì I giao điểm tia phân giác góc A C ABC nên BI phân giác ABC Suy B, I, K thẳng hàng c) Sử dụng 7A, ta có:

 90  125

2

ACB

AIC    

Chú ý IAK ICK = 90° nên suy ra

KAC= 180° - 125° = 55°. 13. Từ 4A, ta chứng minh E

thuộc tia phân giác góc BAC Do đó, tia AD qua điểm E Chú ý:

  ; 1

2

BEG FEG CEG HEG Suy ĐPCM

14 Vì ABC cân A nên tia phân giác

AK đồng thời đưòng trung tuyến Mà BD trung tuyến ABC nên

K trọng tâm ABC.

Do I, K, C thẳng hàng

15. Ta có ABM = ACM (c.c.c), suy

AM tia phân giác BAC.Vậy điểm M cách hai cạnh bên AB, AC

16. a) Vì ABC cân nên ABC ACB, B2 C2 Vậy OBC cân O

b) Vì O giao điểm tia phân giác CP BQ ABC nên O giao điểm ba đường phân, giác ABC Do đó,

O cách ba cạnh ABC.

c) Ta có ABC cân A, AO tia phân

giác đỉnh A nên AO đồng thời trung tuyến đường cao ABC

d) PBC = QCS (g.c.g) => CP = BQ e) Từ ý d), ta suy AP = AQ

Vậy tam giác APQ cân A

17. Vì ABC cân A nên ABC ACB. Do , B1C1

ABD = ACE (g.c.g) => BD = CE.

18. a) Xét OAB, O= 50° nên ta có

  130

OAB OBA  

Mặt khác     180 180 xAB OAB yBA OBA         

 nên

  230

xAB yBA   Do đó,

  230 115

2

EAB EBA   

Xét AEB, ta tính được

 180 115 65

AEB    

b) Tương tự, tính

 70

EKF   Suy ra

 45

KFE  19 a) Ta có:

      90 90 DAC A DAC ADC ADC A            

=> ACD cân C

b) Vì ACD cân C nên tia phân giác CI đồng thời đường

trung tuyến Do CI qua trung điểm M AD

Do AMI vuông cân M nên AIM 45, hay AIC = 135°. 20. Xét ABC có I giao điểm của

các tia phân giác góc B C nên AI tia phân giác A

=> AD tia phân giác A

b)   

  

2 90

2

A C B

c) Ta có  



2

90 90

2

B BIH   B   

Kết hợp với câu b), suy BIH CID .

21. a) Từ giả thiết suy

IA, IB, IC tia phân giác ABC.

Tương tự 20 ý b), chứng minh I190 C1

Vậy góc ICB BIH hai góc phụ

b) Vì IBH vuông H nên:

 90 1 90 (90 1) 1 2

IBH   I     C C C Vậy IBH ACI

22* a) Vì ABC nên đường

cao BM,CN đồng thời đường phân giác ABC.

Vậy đường phân giác gócA hai đường BM, CN đồng quy b) Từ giả thiết suy BM  BP, mà BM tia phân giác

ABC nên BP tia phân giác

ngồi ABC.

Tương tự, ta có CP tia phân giác ABC

Từ 5A, ta chứng minh P thuộc đường phân giác góc A Vậy đường phân giác góc A hai đường thẳng xy x'y' đồng quy

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa đường trung trực:

Đường trung trực đoạn thẳng đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm

Trên hình vẽ bên, d đường trung trực đoạn thẳng AB Ta nói: A đối xứng B qua d

2 Định lí 1: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách đều

hai mút đoạn thẳng

3 Định lí 2: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường

trung trực đoạn thẳng

MA = MB  M thuộc đường trung trực AB

4 Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực

của đoạn thẳng

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải tốn Phương pháp giải: Sử dụng Định lí 1.

1A Cho hai điểm A, B nằm đường trung trực đoạn thẳng MN,

Chứng minh MAB = NAB.

1B Cho ABC cân B Lấy điểm D đối xứng với điểm B qua AC.

Chứng minh ABD = CBD.

2A Tam giác ABC vng A có C = 30° Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Tính số đo góc BDA

2B. Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết B = 40° Tính số đo góc ABC

3A Tam giác DEF có DE < DF Gọi d đường trung trực EF M là

giao điểm d với DF

a) Chứng minh DM + ME = DF

b) Lấy điểm P nằm đường thẳng d (P M) Chứng minh DP + PE > DF

3B Tam giác ABC có B C = 30° Đường trung trực BC cắt AC K.

a) Chứng minh KBC  KCB. b) Tính số đo góc ABK

c) Biết AB = cm, AC = cm Tính chu vi tam giác ABK

4A Cho tam giác ABC Các đường trung trực AB AC cắt BC M

và N

a) Biết =B 30°, C = 45° Tính số đo góc BAC MAN b) Chứng minh MAN = 2BAC- 180°

4B Cho tam giác ABC cân có A > 90° Các đường trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự D E hai trung trực cắt F a) Biết A = 110° Tính số đo góc DAE

b) Chứng minh 2BAC = DAE +180° c) Tính góc DFE

5A Cho góc vng xOy Trên tia Ox, Oy lấy hai điểm A B (không trùng với O) Đường trưng trực đoạn thẳng OA OB cắt M Chứng minh:

a) A, M, B thẳng hàng b) M trung điểm AB

5B Cho ABC vuông A Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AC

tại H, cắt BC D Nối A D a) So sánh số đo góc DAB DBA b) Chứng minh D trung điểm BC

Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh một đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng

Phương pháp giải:

• Để chứng minh điểm M thuộc trung trực đoạn thẳng AB, ta dùng Định

lí Định nghĩa đường trung trực.

• Để chứng minh đường thẳng d đường trung trực đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách A B, dùng định nghĩa đường trung trực

6A Cho đoạn thẳng AB = cm Vẽ đường trịn tâm A bán kính cm và

đường trịn tâm B bán kính cm Hai đường tròn cắt D, E Chứng minh:

a) Điểm A thuộc đường trung trực DE; b) AB đường trung trực DE;

c) ADB = 90°

6B Cho đoạn thẳng AB Dựng tam giác cân MAB, NAB M

và N (M, N nằm khác phía so với AB) Chứng minh: a) Điểm M thuộc đường trung trực AB;

b) MN đường trung trực AB

7A Cho DEF có DE = DF Lấy điểm K nằm tam giác cho KE = KF Kẻ KP vng góc với DE (P  DE), KQ vng góc với DF (Q DF) Chứng minh:

a) K thuộc đường trung trực EF PQ;

7B Cho góc xOy khác góc bẹt Oz tia phân giác xOy Gọi M điểm thuộc tia Oz Qua M vẽ đường thẳng a vng góc với Ox A, cắt Oy C vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy B, cắt Ox D Chứng minh.:

a) Điểm O thuộc đường trung trực AB; b) OM đường trung trực AB;

c) Điểm M thuộc đường trung trực CD

Dạng Xác định vị trí điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Phương pháp giải: Sử dụng Định lí để xác định điểm nằm đường

trung trực đoạn thẳng

8A Cho hai điểm A, B nằm phía với đường thẳng d Xác định vị trí

điểm M đường thẳng d cho M cách hai điểm A B

8B Cho tam giác ABC Một đường thẳng d qua A không cắt đoạn

thẳng BC Tìm vị trí điểm D đường thẳng d cho D cách hai điểm B C

Dạng Sử dụng tính chất đường trung trực vào tốn cực trị (tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất)

Phương pháp giải:

• Sử dụng tính chất đường trung trực để thay đổi độ dài đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng khác

• Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn

9A. Hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d Tìm vị trí điểm C đường thẳng d cho giá trị tổng CA + CB nhỏ

9B. Hai nhà máy xây dựng hai địa điểm A B nằm một

phía khúc sơng thẳng Tìm bờ sơng địa điểm C để xây trạm bơm cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A đến B nhỏ

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

10 Cho góc xOy= 35° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Gọi C điểm đối xứng với A qua Oy

a) Chứng minh OAB = OCB b) Tính số đo góc AOC

11 Cho tam giác ABC vng A có góc C= 60° Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB

a) Chứng minh BCD tam giác đều.

b) Biết BC = Tính độ dài cạnh AB, AC

12 Cho ABC, đường phân giác AD Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh:

a) DB = DE;

b) AD đường trung trực BE

13 Cho ABC cân A, M trung điểm BC ME vng góc với AB,

MF vng góc với AC Chứng minh: a) AM trung trực của BC;

c) EF// BC

14 Cho tam giác ABC có AB < AC Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD = AB Hai đường trung trực BD AC cắt E Chứng minh: a) ABE = CDE;

b) Điểm E cách hai cạnh AB AC

15 Cho tam giác ABC cân A ( A < 90°) Đường trung trực cạnh AC cắt tia CB điểm D Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = BD Chứng minh.:

a) Chứng minh ADC cân; b) Chứng minh DACABC; c) Chứng minh AD = CE;

d) Lấy F trung điểm DE Chứng minh CF đường trung trực DE

16 Cho ABC nhọn, đường cao AH Lấy điểm P Q đối

xứng với H qua AB; AC a) Chứng minh AP = AQ

b) Cho BAC = 60° Tính số đo góc PAQ

c) Gọi I , K giao điểm PQ với AB, AC Chứng minh

 

API AHIvà AHK  AQK.

d) Chứng minh HA tia phân giác IHK

17 Cho xOy = 90° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Kẻ đường trung trực HM đoạn thẳng OA (H  OA, M  AB) Chứng minh M thuộc đường trung trực OB

18 Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I  BC ) Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài E cắt AC F Chứng minh:

a) Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC; b) Khi H di động đoạn thẳng ỈC đường trung trực đoạn thẳng EF cố định

19 Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D AC cho DA + DB = AC

20 Cho góc xAy, B C hai điểm thuộc hai tia Ax Ay Tìm điểm M cách hai cạnh góc cách hai điểm B C

21 Cho bốn điểm A, B, C, D tạo thành hình có AB / / CD BC//AD hình vẽ Giao điểm AC BD O Từ O vẽ vng góc với AC cắt cạnh BC, AD

lần lượt M, N Chứng minh AC trung trực MN AM = MC = CN = NA

22 Cho ABC có AB = 10 cm, AC = 13 cm, Trên tia đối tia AC lấy điểm

a) Chứng minh MB + MC  EC

b) Tìm vị trí điểm M đường thẳng d cho MB + MC đạt giá trị nhỏ cho biết giá trị

23 Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc đường phân giác góc ngoài

tại đỉnh A cho tam giác EBC có chu nhỏ

24* Cho điểm A nằm góc nhọn xOy

a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox Oy cho AM + AN nhỏ b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox Oy cho ABC có chu vi nhỏ

nhất

HƯỚNG DẪN 1A. Do A, B nằm đường trung trực

của đoạn thẳng MN nên AM = AN, BM = BN

Suy MAB = NAB (c.c.c)

1B. Tương tự 1A.

2A. AB đường trung trực AC => BD = BC => DBC cân B => BDA C   30

2B. Tương tự 2A

Tính được: ACB4 ;0 BAC100

3A. Do DE < DF nên M thuộc cạnh DF a) Có M thuộc đường trung trực EF nên ME = MF

=> DM + ME = DM + MF = DF b) Vì P thuộc đường trung trực EF nên PE = PF =>DP + PE = DP + PF Xét DEF: DP + PF > DF

Vậy DE + PE > DF

c) Từ ý a) ý b) suy DP + PE > DM + ME

Vậy chu vi tam giác DEP lớn chu vi tam giác DEM

3B. Do B C nên AC > AB K thuộc cạnh AC.

a) K thuộc đường trung trực BC => KB = KC => BKC cân K =>KBC KCB 

b) Ta có:

ABK ABC KBC ABC C   30

c) Ta có:

4A. a) Từ giả thiết suy AB > AC M nằm B N Ta có MA = MB, NA = NC

    30 45 B A C A         

 Nên AN BC

Xét ABC: A = 105°.

Vậy MAN 90ABN BAM 30

b) Có: MAN  A (A1A2) A (B C ) A (180A )

Vậy MAN 2A180 4B Tương tự 4A Có

 40

DAE và DFE  70 5A a) Gọi M1,M2

giao điểm trung trực đoạn OA,OB với AB M1A = M1O nên A O1

M2O = M2B nên B O

=> O1O   A B 90 M OM1 0 M1M2M

Vậy A, B, M thẳng hàng

b) Từ kết ý a) MA = MB nên M trung điểm AB

5B a) Từ giả thiết suy DC = DA => C A1

      2 90 90 A A A B B C            

b) A2 B => DA = DB

Mà DC = DA => DC = DB => ĐPCM

6A a) Từ giả thiết suy AD = AE.

Suy điểm A thuộc đường trung trực DE

b) Tương tự ý a), ta có điểm điểm B thuộc đường trung trực DE Vậy AB đường trung trực DE c) Ta có AD2 + DB2 = 42 + 32 = 25.

Mà AB2 = 25.

Vậy ABD vuông D

6B Tương tự 6A. 7A a) Ta có:

DE DF KE KF

 

 

 nên K, D thuộc

DEK = DFK (c.c.c)

=> D1D2 => DK đường phân

giác góc DEF

=> DPK = DQK

=> KP = KQ DP = DQ

Từ suy K, D thuộc trung trực PQ

b) Từ ý a) ta có DK đường trung trực PQ DK đường trung trực EF Suy DK  PQ, DK  EF

Vậy PQ // EF

7B a) OAM = OEM (ch-gn) OA OB

MA MB

 

 



=> O thuộc trung trực AB b) Từ ý a) ta có OM trung trực AB

OBD = OAC (cgv-gn)

Tương tự 7A, ta có OM trung trực DC

8A Vì điểm M cách hai điểm A

B nên M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB

Vậy điểm M giao điểm đường thẳng d với đường trung trực AB

Chú ý: Nếu A, B nằm cho

AB  d khơng tồn điểm cần tìm. 8B Tương tự 8A.

9A Lấy D điểm đối xứng, với A

qua d Theo tính chất đường trung trực: CA = CD

Do CA + CB = CD + CB Gọi M giao điểm BD d Nếu C không trùng với M xét

BCD, ta có: CB + CD > BD hay

CA + CB > BD (1) Nếu C trùng với M thì:

CA + CB = MA + MB = MD + MB = BD (2)

So sánh (1) (2) ta thấy điểm C trùng M hay C giao điểm BD d giá trị tổng CA + CB nhỏ

Chú ý: Điểm C tìm vị trí M điểm Thật vậy, lấy E đối xứng với B qua d AE cắt d M vị trí mà BD cắt d

10 a) Từ giả thiết suy OB đường trung trực AC

=> OA = OC, BA = BC => OAB = OCB (c c c)

b) Từ ý a) suy ra:

AOB BOC 35 AOC 70 11. a) Có AB đường trung trực

CD nên BD = BC

=> BCD cân có C = 60° => BCD

b) BCD đều

=> CD = BC = 3

CD CA

  

Xét ABC vuông A, ta có:

AB = BC2AC2 =

12. ABD = AED (c.g.c) => DB = DE (1)

b) Theo giả thiết: AB = AE (2) Từ (1) (2) , suy AD đường trung trực BE

13. a) Từ giả thiết suy AB = AC MB = MC => AM trung trực của BC

b) ABC cân A nên B C .

BEM = CFM ( ch-gn) => ME = MF. BEM = CFM (ch-gn) => BE = CF

Mà AB = AC =>AE = AF

Mặt khác, ME = MF Do AM trung trực EF

c) Ta có: AM đương trung trực BC EF

=> AM  BC, AM  EF => EF // BC. 14. a) Vì hai đường trung trực BD

và AC cắt E nên EA = EC, EB = ED

=> ABE = CDE (c.c.c).

b) ABE = CDE => A1 C1

Mà EA = EC => A1C1 A1A2

15. a) Vì D thuộc đường trung trực AC nên DA = DC

=> ADC cân.

b) ADC cân => DAC DCA .

Vì AB = AC nên ABC ACD. => DACABC

c) Ta có :

    ( 180 )

EAC DAC DBA ABC   Từ kết ý a), suy EACADB.

Chứng minh EAC = DBA (c.g.c) => AD = CE.

d) Ta có: AD = CE, AD = CD nên CE = CD => CF đường trung trực DE

16. a) Từ giả thiết suy AP = AH AQ = AH nên AP = AQ b) Ta có:

  

 



2( )

2 120

PAQ PAH HAQ BAH HAC

BAC

 



  

c) API = AHI (c.c.c)

 

API AHI

  (1)

AHK = AQK ( c.c.c)

=> AHK  AQK (2)

d) Có AP = AQ => PAQ cân A => API AQK (3).

Từ (1),(2) (3) có: AHI AHK

=> HA tia phân giác IHK

17. Ta có MA = MO => O A

Mặt khác, A B O  2O1  90

=> O1B => MO = MB

Vậy M thuộc trung trực OB

18. a) Vì HE // AI nên EA1 (đồng vị) F1A2(so le trong)

Mà A1 A2, E F  1

=> AE = AF

=> Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC b) Vì EF//AI nên đường trung trực EF vng góc với AI

vng góc với AI cố định Vậy đường trung trực đoạn thẳng EF cố định

19. Ta có: AC = DA + DC Suy ra: DA + DB = AC

 DA + DB = AD + DC  DB = DC

 D thuộc đường trung trực BC Vậy D giao điểm AC với đường trung trực BC

DA + DB = AC

20. Vì M cách hai cạnh góc xAy nên M thuộc tia phân giác xAy Vì M cách B C nên M thuộc đường trung trực BC

Vậy M giao điểm tia phân giác góc xAy đường trung trực BC Chú ý: Nếu B, C vị trí mà AB = AC

tìm vơ số điểm M nằm trung trực BC

21. Chứng minh được:

BAC = DCA (g.c.g) nên BC = AD; BOC = DOA (g.c.g) nên OC = AO

Do BC // AD nên MCO NAO (so le trong) MOC = NO A => OM = ON,

AC  MN trung điểm MN nên AC trung trực MN Suy AM = AN CM = CN, MN trung trực AC nên AM = MC Suy ĐPCM

22. a) Gọi F giao điểm đường thẳng d với AB nên AF BE.

AEF = ABF (ch-cgv).

=> FE = FB => AF đường trung trực AB => ME = MB

=>MB + MC = ME + MC

Nếu điểm M khơng trùng điểm A, xét MEC có ME + MC > EC

nên MB + MC > EC (1)

Nếu điểm M trùng điểm A, đó:

MB + MC = AB + AC = AE + AC = EC (2) Từ (1) (2) suy MB + MC  EC.

b) Từ ý a) ta thấy điểm M trùng điểm A MB + MC đạt giá trị nhỏ Khi đó, ta có:

MB + MC = EC = AB + AC = 23cm

=> AE đường trung trực CD =>ED = EC => EB + EC = EB + ED Tương tự 9A suy điểm E trùng với điểm A giá trị tổng EB + EC nhỏ Khi đó, chu vi tam giác EBC nhỏ

24* a) Từ A vẽ AM  Ox Đoạn AM nhỏ đoạn từ A đến điểm Ox

Tương tự AN  Oy.

Suy AM + AN tìm có giá trị nhỏ

b) Lấy D đối xứng với A qua Ox, lấy E đối xứng với A qua Oy Đường DE cắt Ox, Oy B, C cần tìm

Thật vậy, lấy điểm B',C' khác B,C ta ln có:

BD + BC + CE < B' D + B'C' + C' E

Mặt khác, ta có: AB + BC + CA = BD + BC + CE, AB' + B'C' + C'A + B'D + B'C' + C'E Vậy B, C hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định lí Ba đường trung trực

một tam giác qua điểm Điểm cách đểu ba đỉnh tam giác

Trên hình bên, điểm O giao điểm đường trung trực ABC Ta có OA = OB = OC Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

2 Định lí Trong tam giác cân,

đường trung trực cạnh đáy đồng

thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy

II BÀI TẬP YÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất giao điểm đường trung trực trong

tam giác cách ba đỉnh tam giác

1A Cho A, B, C ba điểm phân biệt khơng thẳng hàng Hãy xác định

đường trịn qua ba điểm A, B, C

1B Ông Hùng có ba cửa hàng A, B, C khơng nằm đường thẳng và

đang muốn tìm địa điểm O để làm kho hàng Phải chọn vị trí kho hàng đâu để khoảng cách từ kho đến cửa hàng nhau.?

2A Chứng minh tam giác vng, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác

là trung điểm cạnh huyền

2B Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh O trung điểm BC

thì O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC

Dạng Vận dụng tính chất ba đưòng trung trực tam giác để giải quyết toán khác

Phương pháp giải: Từ Định lí 2, ta có tính chất tam giác, giao điểm

của hai đường trung trực thuộc đường trung trực cịn lại tam giác

Lưu ý: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đường

trung tuyến, đường phân giác đường cao

3A Cho ABC M trung điểm BC Các đường trung trực AB và

AC cắt O Tính số đo góc OMB

3B. Cho MNP Đường trung trực MN cắt đường trung trực MP I Hạ IH  NP Chứng minh H trung điểm NP.

4A Cho ABC có góc A = 110° Đường trung trực cạnh AB và

AC cắt I Chứng minh: a) BIC cân;

b) BIC = 2(180° - BAC) tính sốđo góc BIC

4B Cho ABC vng A Đường trung trực cạnh AB AC cắt

nhau I Chứng minh: a) OB = OC;

5A Cho ABC (AB = AC) Đường trung trực BC cắt trung tuyến BD G Chứng minh G trọng tâm ABC

5B Cho ABC cân A AM đường trung trực cạnh BC (M  BC). Trên đoạn thẳng AM lấy điểm G cho AG =

2

3AM Chứng minh

đường thẳng BG qua trung điểm đoạn thẳng AC

6A Cho tam giác MNP cân M Trên cạnh MN lấy điểm K, cạnh MP

lấy điểm D cho MK = DP Đường trung trực MP cắt đường trung trực DK O Chứng minh:

a) MKO PDO ;

b) O thuộc đường trung trực MN; c) MO tia phân giác NMP

6B Cho ABC cân A Gọi O điểm cách ba đỉnh A, B, C Nối OA,

OB, OC

a) Chứng minh OBA OAC   .

b) Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho BM = AN Chứng minh O thuộc đường trung trực MN

Dạng Chứng minh ba đường thẳng quy, ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải: Vận dụng tính chất đồng quy ba đường trung trực

trong tam giác

7A Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC Các đường

trung trực AB AC cắt E Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng

7B Cho tam giác MNP cân M, đường cao MH Các đường trung trực của

MN MP cắt D Chứng minh ba điểm M, D, H thẳng hàng

8A Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa

điểm A, dựng tam giác cân BCD Chứng minh đưòmg trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD,

8B Cho tam giác ABC cân có A góc tù Gọi M trung điểm BC.

Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, dựng tam giác BNC cân N Chứng minh đường thẳng AM đường trung trực NB, NC đồng quy

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

9 Tam giác ABC có A góc tù Các đường trung trực cạnh AB AC cắt O Các điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA hay khơng? Vì sao?

10 ABC nhọn, O giao điểm hai đường trung trực AB AC Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OB = OD

a) Chứng minh O thuộc đường trung trực AD CD b) Chứng minh tam giác ABD, CBD vng

c) Biết ABC = 70° Tính số đo góc ADC

11 Cho ABC có O giao điểm đường trung trực tam giác Biết

12 Cho tam giác ABC cân A Các đường trung trực AB AC cắt O Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Chứng minh:

a) DOB = EOC;

b) AO đường trung trực DE; c) DE // BC

13 Cho tam giác ABC vuông A có C = 60° Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB

a) Có nhận xét tam giác DBC ? Vì sao? b) Chứng minh AC =

1 2 BC.

c) Trên tia BA lấy điểm O cho BO =

2

3BA Chứng minh O tâm

đường tròn ngoại tiếp DBC.

14 Cho tam giác ABC có A > 90° Trên cạnh BC lấy điểm D E cho BD = BA, CE = CA Gọi I giao điểm tia phân giác tam giác ABC Chứng minh:

a) BI, CI đường trung trực AD, AE; b) IA = ID = IE

15 Trên ba cạnh AB, BC CA tam giác ABC lấy điểm theo thứ tự M, N, P cho AM = BN = CP Gọi O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC

a) Tính số đo góc MAO

b) Chứng minh MAO = OPC.

c) Chứng minh O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP

16 Cho ABC cân (AB = AC ) Các đường trung trực AB AC cắt

nhau O cắt BC M N (M N nằm đoạn thẳng BC ) Chứng minh:

a) AMB ANC cân;

b) AMC = ANB;

c) AO đường trung trực MN

17

Cho ABC vuông A, C = 30° Kẻ đường trung trực đoạn thẳng AC,

cắt AC H cắt BC D Nối A D a) Chứng minh ABD đều.

b) Kẻ phân giác góc B cắt AD K, cắt DH kéo dài I Chứng minh I tâm đường qua ba đỉnh, tam giác ADC

c) Gọi E, F hình chiếu vng góc I xuống đường thẳng BC, BA Chứng minh IE = IF = IK

d) Tính số đo góc DAI

18 Cho ABC có góc A tù, tia phân giác B C cắt O

Lấy E điểm cạnh AB Từ E hạ EP  BO (P thuộc BC), từ P hạ

PF OC (F thuộc AC) Chứng minh:

b) BE + CF = BC

19 Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác AK Các đường trung trực AB AC cắt O

a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng

b) Kéo dài CO cắt AB D, kéo dài BO cắt AC E Chúng minh AK đường trung trực AD AE đồng quy

20* Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vuông góc với BC, H  BC Tia phân giác góc HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC cắt BC E Chứng minh điểm cách ba cạnh ABC là

điểm cách ba đỉnh ADE.

21* Cho ABC có ba góc nhọn Các điểm F, K, I trung điểm, cạnh BC, BA, AC Gọi H giao điểm đường trung trực ABC Trên tia đối tia FH lấy điểm A' cho A'F = FH Trên tia đối tia KH lấy điểm C' cho KH = KC' Trên tia đối tia IH lấy điểm B' cho IH = IB'

a) Chứng minh hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh sáu cạnh có đơi song song

b) Cho ABC80 , BAC60 Tính góc hình sáu cạnh A'BC'AB'C

HƯỚNG DẪN

1A. Gọi đường tròn qua ba điểm A, B, C có tâm O Ta có OA = OB = OC

Ba điểm phân biệt A, B, C khơng thẳng hàng tạo thành tam giác ABC Vì OA = OB = OC nên O giao điểm ba đường trưng trực tam giác ABC

1B. Tương tự 1A.

2A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do đó, OA = OB = OC Suy ra: B A C  2, A1

=>

 

 

2

1

2

2 80 180

O A

O A

   



    

=> BOC O1O 360 2A180

=> B, O, C thẳng hàng, mà OB = OC => O trưng điểm BC

2B Tương tự 2A

3A Từ giả thiết suy O thuộc đường

trung trực BC

=> OM đường trung trực BC => OMB = 90°

4A a) Từ giả thiết suy I thuộc đường

trung trực BC

=> IB = IC = BIC cân I

b) Có BIA 180 2 A AIC2; 1 08  2A1

=> BIC BIA AIC 

= 180 2A1180 2A2

= 2(180 BAC)

Từ đó, suy BIC = 140°

4B Tương tự 4A.

5A Vì ABC cân A nên đường trung trực cạnh đáy BC đồng thời trung tuyến ABC ứng với cạnh BC.

Kết hợp với giả thiết suy G trọng tâm ABC. 5B Tương tự 5A.

6A a) Từ giả thiết suy OK = OD,

OM = OP

MKO = PDO (c.c.c) =>MKO PDO 

b)Từ kết ý a), suy OKN ODM  .

Mặt khác MN = MP, MK = PD =>NK = MD

Chứng minh

OKN = ODM (c.g.c) => ON = OM.

=> O thuộc đường trung trực MN c) Xét MNP có O giao điểm đường trung trực MN

và MP

=> MO đường trung trực NP Mà MNP cân M nên MO đồng

thời tia phân giác góc NMP

6B a) Từ giả thiết suy OA = OB = OC.

Suy AOB = AOC (c.c.c)

Mà AOB, AOC tam giác

cân đỉnh O nên OBA OAC  

b) Chứng minh BMO = ANO (c.g.c) => OM = ON

=> O thuộc đường trung trực MN

7A Chứng minh được: ABM = ACM (c.c.c)

Từ đó, suy AM đường trung trực BC Theo tính chất ba đường trung trực

Vậy ba điểm A, E, M thẳng hàng

7B Tương tự 7A.

8A Từ giả thiết, ta có: AB = AC, DB = DC.

=> AD đường trung trực BC Xét ABC, theo tính chất ba đường trung trực tam giác ta có đường trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD

8B. Tương tự 8A.

9. Từ giả thiết suy OA = OB = OC Vậy điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA

10. a) Ta có OA = OB = OC nên OA = OD = OC

=> O giao điểm hai đường trung trực AD DC b) Ta có : OA = OB => B2 BAO

OA = OD => D1DAO

Xét BAD có:

2    2 180

B BAO DAO D   

=> 2(BAO DAO  ) 180  BAD  90 Vậy tam giác ABD vuông A

Tương tự, ta chứng minh tam giác BCD vng C Ta ý AO =

1

2BD OC =

2BD Suy kết quả ABD vuông A BCD vuông C

c) Ta có: B2D190;B1D 90

Suy B1B2D 2D1 180

=> ABC ADC  180 ADC 180 ABC 110 11. a) Ta có OA = OB = OC B1B2

nên C1B1B2 A1

=> AOB COB

=> AOB = COB (c.g.c).

b) AOB = COB => BA = BC.

Mà OA = OC => BO đường trung trực AC

12. Ta có OB = OC, AB = AC

2  2,  1 1

b) DOB = EOC => OD = OE

Mặt khác: AD = AB - BD = AC - CE = AE => AO đường trung trực DE

c) AO đường trung trực DE

BC nên AO DE, AO  BC => DE // BC. 13. a)Từ giả thiết suy AB đường

trung trực CD Suy BD = BC Mà C = 60° => BCD tam giác đều.

b) Ta có: AC = DA =

1 2CD.

Từ kết ý a), suy CD = BC Do AC =

1 2BC.

c) Xét DBC có trung tuyến BA BO =

3BA => O trọng tâm DBC.

=> O giao ba đường trung trực DBC

=> OA = OB = OC => O tâm đường tròn ngoại tiếp DBC

14. a) BAC = BAD nên BCD tam giác

b) AC =

1

2 DC = 2 BC.

c) Do BA trung tuyến nên O trọng tâm Suy CO, DO trung tuyến

Mà BCD nên DO,CO trung trực BC, BD Vậy A tâm đường tròn ngoại tiếp A

15. a) Vì ABC O giao điểm ba đường trung trực nên AO tia phân giác A

=> 



30

BAC MAO  

b) Tương tự ý a), OCP  30

Chứng minh MAO = PCO (c.g.c).

Ta có: MAO = OPC => OM = OP (1).

Tương tự ý b), MAO = NBO (c.g.c) => OM = ON (2)

Từ (1) (2) suy O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP

16 a) Từ giả thiết suy NA = NC, MA = MB nên

AMC cân N ANB cân M

A3 BAM A2 (1).

Từ ý a) ABC cân A, ta có:

   

NACACB ABC BAM  (2).

Từ (1) (2) suy A1 A3 Ta chứng minh

AMC = ANB (c.g.c).

c) O giao điểm trung trực ABC => OB = OC Từ ý b), suy AN = AM

Từ OBN = OCM suy OM = ON.

Vậy OA trung trực MN

17. a) C 30 B  60

Ta có: DA = DC => DAC C    30

=> BAD = 60° => ABD đều.

b) ABD => BK đường trung

trực AD => IA = ID,

Mà I DH =>IA = IC.Vậy IA = IC = ID. => I tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác ADC

c) I thuộc phân giác gócB => IE = IF

DH đường trung trực AC => DH phân giác ADC => IK = IE Vậy IE = IF = IK

d) IK = IF => AI tia phân giác DAF

 60  120

BAD  DAF  

=> 



60

DAF DAI   

18. a) Gọi H giao điể PE với OB I giao điểm PF với OC

Chứng minh được:

BEH = BPH (cgv- gn)

=>BE = BP, HE = HP

=> OB đường trung trực PE

Tương tự, FOC = POC => CF = CP, IF = IP.

=> OC đường trung trực PF

b) Từ ý a), ta có: BE + CF = PB + PC = BC

19 a) Ta có: ABE = ACD (c.g.c) Từ suy AO đường trung trực

đoạn DE

Xét ABC, theo tính chất ba đường

trung trực tam giác nên O thuộc đường trung trực BC

=> B1 C1

Chứng minh ADC = AEB (g.c.g), suy AD = AE (1) Mặt khác, có OB = OC, BE = CD (vì ADC = AEB) nên OD = OE (2)

Từ (1) (2) suy AK đường trung trực DE

Xét ADE, theo tính chất ba đường trung trực tam giác, ta có AK

và đường trung trực AD AE đồng quy

20* Vẽ tia phân giác B C ABC, chúng cắt O Suy O cách ba cạnh ABC

Ta có: AEB C A EAB HAB A   4,  3

Vì C HAB  (do phụ với góc B ) A4 A3, nên AEB EAB

Suy ABE cân B.

Vậy đường phân giác BO góc B đường trung trực cạnh AE

Tương tự, ta có đường phân giác CO góc C đường trung trực cạnh AD

Từ đó, suy O cách ba đỉnh ADE

21* a) Từ giả thiết suy ra AKH = BKC' (c.g.c)

=> AH = BC'

Mà A1 B1=> AH // BC'

Tương tự, AHI = CB'J

=>AH = CB', AH // CB' Vậy ta có BC' = CB' (= AH) BC' // CB'( //AH)

Tương tự, ta có:

AC' = CA' ( = BH ) AC' // CA' ( // BH); AB' = BA' (= CH ) AB' // BA' (//CH)

Mà H giao điểm đường trung trực ABC

nên AH = BH = CH

Vậy hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh sáu cạnh có đơi song song

b) Tính ACB = 40°

Do C'BH, HBA' cân nên B1B2 B3 B4

Suy C'BA'2A CB 160

Tương tự, C'AB'2ABC120 B'CA'2ACB 80

Do

 

'/ / '

' ' ' 160

'/ / '

AB BA

AB C A BC CB BC



  



Tương tự, AC B B CA ' ' ' 80 B CA' 2C A' B'120

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Đường cao tam giác

Đường cao tam giác đoạn vuông góc kẻ tà đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện

2 Tính chất ba đường cao tam giác

Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác

Trong hình vẽ AD, BE, CF đường cao, H trực tâm tam giác ABC

- Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác

- Trong tam giác, có hai bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực,đường cao) trùng tam giác tam giác cân

- Trong tam giác vuông, trực tâm tam giác đỉnh góc vng tam giác

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Xác định trực tâm tam giác

Phương pháp giải: Để xác định trực tâm tam giác, ta cần tìm giao

điểm hai đường cao tam giác

1A. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE CF cắt

nhau H

a) Chỉ đường cao tam giác HBC Từ trực tâm tam giác

b) Chỉ trực tâm tam giác HAB HAC

1B. Cho tam giác HBC có H > 90°, đường cao BD CE cắt A Tìm trực tâm tam giác ABC

2A Hãy giải thích trực tâm tam giác vng trùng với đỉnh góc

vng?

2B Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH trung tuyến AM.

Chứng minh trực tâm tam giác ABC, MAB MAC thẳng hàng

Dạng Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh hai đường thẳng vng góc

Phương pháp giải: Nếu H giao điểm hai đường cao kẻ từ B C tam

giác ABC AH BC.

3A Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, đường cao NQ, PR cắt S.

a) Chứng minh MS NP b) Cho MNP = 65° Tính SMR

3B Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE cắt I.

a) Chứng minh CI  AB

Cho ABC = 50° Tính AIE DIE,

4A Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Lấy điểm K thuộc

đoạn thẳng HC Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH D Chứng minh AK  CD.

4B Cho tam giác MNP vuông M Trên cạnh MN lấy điểm Q, kẻ QR 

NP (R  NP) Gọi O giao điểm đường thẳng PM RQ Chứng minh PQ ON.

5A Cho tam giác MNP vuông M (MP < MN) Trên cạnh MN lấy điểm

Q cho MQ = MP, tia đối tia MP lấy điểm R cho MR = MN Chứng minh:

5B Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác

A, B), tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AD Tia ED cắt BC F Chứng minh:

a) EF BC b) DF = BF; c) CD  BE. Dạng Đường cao tam giác cân

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Trong tam giác cân đường cao ứng

với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác

6A Cho tam giác ABC cân A, đường cao BE cắt đường trung tuyến AD

ở H Chứng minh CH  AB.

6B Cho tam giác MNP cân M, đường cao PQ cắt đường phân giác MS ở

K Chứng minh NK MP

7A Cho tam giác ABC cân A, đường cao BD, CE cắt H.

Chứng minh AH tia phân giác BAC

7B Cho tam giác DEF cân D, đường cao EM, FN cắt O.

Gọi I giao điểm DO với EF Chứng minh IE = IF

Dạng Sử dụng tính chất trực tâm để chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Nếu ba đường thẳng ba đường cao tam giác thì

chúng qua điểm

8A Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường phân giác BM Trên cạnh

BC lấy điểm D cho BD = BA a) Chứng minh BM AD.

b) Gọi H hình chiếu vng góc D AC,K hình chiếu vng góc A DM Chứng minh ba đường thẳng AK, BM, DH đồng quy

8B Cho tam giác ABC vuông B, kẻ đường phân giác AD Trên cạnh AC

lấy điểm E cho AB = AE a) Chứng minh DE  AC.

b) Gọi F hình chiêu vng góc C đường thẳng AD Chứng minh ba đường thẳng AB, ED, CF đồng quy

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

9 Trong câu sau, câu đúng?

Cho MNP không vuông, H trực tâm, đó:

a) M trực tâm tam giác HNP; b) N trực tâm tam giác MPH; c) P trực tâm tam giác MHN; d) M trực tâm tam giác MNP

10 Cho tam giác MNO có ba góc nhọn Gọi K, P chân đường cao kẻ từ M N Gọi S giao điểm MK NP

a) Chứng minh OS  MN b) Cho MNO = 70 Tính OSK

11 Cho tam giác ABC cân A, kẻ đường cao CD Đường trung trực BC cắt CD M

a) Chứng minh BM  AC.

b) Tính BMD biết ABC = 70°

13 Cho tam giác ABC có BC cạnh lớn Gọi I giao điểm đường phân giác góc B góc C Trên cạnh BC lấy điểm D, E cho CD = CA, BE = BA

a) Chứng minh BI AE CI  AD.

b) Gọi M giao điểm BI AD, N giao điểm CI AE Chứng minh AI  MN

14 Cho tam giác AMN cân A Đường trung trực d AM cắt đường thẳng MN P Gọi D hình chiếu vng góc M AP E trung điểm MN Chứng minh ba đường thẳng d,MD, AE đồng quy

15* Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Gọi M, N lần lượt

là trung điểm HB, HA Chứng minh AM vng góc với CN

HƯỚNG DẪN 1A. Học sinh tự làm

1B. Học sinh tự làm

2A. Học sinh tự làm

2B. Học sinh tự làm

Các trực tâm nằm đường cao AH

3A. Chú ý S trực tâm MNP, từ đó

MS NP.

b) Gọi H giao điểm MS với NP Chú ý MHN vng, từ tính SMR 25

3B. a) Chú ý I trực tâm ABC.

b) Tính AIE5 ,0 DIE 130

4A Chú ý AB AC, từ DK AC.

Bởi K trực tâm ADC, suy ra

AK CD

4B. Chú ý Q trực tâm PNO

5A. a) Gọi S giao điểm PQ NR Tính SPR SRP 45,

từ PQ  NR

b) Từ kết ý a, ta có Q trực tâm PNR => RQ  NP.

5B a) Chú ý FEC FCE   45 BDF vuông cân.

6A. Chú ý AD đường cao ABC, từ

H trực tâm

ABC suy CH AB

6B. Tương tự 6A, chứng minh K trực tâm MNP

7A. Chú ý H trực tâm ABC, từ AH vừa đường cao vừa đường phân giác

7B. Tương tự 7A, chứng minh AI đường trung tuyến ABC, từ IE = IF

8A. Chú ý tam giác ABD cân B nên BM đường phân giác đường Cao, từ BM AD.

b) Chú ý AK, BM, DH ba đường cao AMD.

8B. a) Chứng minh được

ABD = AED(c.g.c)

Từ AED = 90° => DE AC.

b) Chú ý AB, ED, CF

ba đường cao ADC. 9. Học sinh tự làm

10. a) Tương tự 3A.

b) OS cắt MN Q, ý ONQ vng, từ OSK = 70° 11. Tương tự 6A, chứng minh M trực tâm ABC.

Tính BAC = 180° - 140° - 40° => ABM = 90° - 40° = 50° Suy BMD = 40°

12. Chú ý AM đường cao, từ dùng Định lý Pytago tính AM = 12 cm

13. a) Tam giác ABE cân B có BI phân giác nên đường cao, từ BI  AE

Tương tự CI  AD

b) Từ kết ý a, chứng minh I trực tâm AMN, từ AI  MN 14. Ta có tam giác AMN cân A,

AE MN.

AMP, chúng đồng quy.

Chú ý: Điểm P M N chứng minh khơng thay đổi

15. Dùng tính chất đường trung bình cho

AHB ta có:

MN // AB => MN  AC

Chứng minh N trực tâm

AMC, từ dẫn đến AM  CN

ƠN TẬP CHUN ĐỀ 3 I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Xem phẩn Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài 9.

II BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1A. Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = AB Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = AC So sánh:

a) ADC AEB; b) AD AE

1B Cho tam giác ABC có góc A tù, AB < AC Trên cạnh BC lấy M N

sao cho BN = BA, CM = CA a) So sánh AMC ANB b) So sánh AM AN

c) Cho biết ABC40 , ACB30.Tính ba góc AMN.

2A Cho tam giác ABC, trung tuyến AM trọng tâm G Trên tia đối của

b) Gọi N trung điểm AF Chứng minh ba điểm E, G, N thẳng hàng

c) Gọi H trung điểm GA, I trung điểm GE Chứng minh IH // MN IH = MN

2B Cho tam giác ABC, trung tuyên AM Trên tia đối tia MA lấy D sao

cho MD = MA

a) Chứng minh AB // CD AB = CD

b) Gọi E F trung điểm AC BD AF cắt BC I, DE cắt BC K Chứng minh I trọng tâm tam giác ABD, K trọng tâm tam giác ACD

c) Chứng minh BI = IK = KC d) Chứng minh E, M, F thẳng hàng

3A Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BC lấy M cho BM = BA.

Trên tia đối tia CB lấy N cho CN = CA Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua N kẻ đường thẳng song song với AC, chúng cắt P

a) Chứng minh MA tia phân giác PMB, NA tia phân giác

PNC.

b) Chứng minh PA tia phân giác MNP

c) Gọi D trung điểm AM, E trung điểm AN, đường thẳng BD, CE cắt Q Chứng minh QM = QN

d) Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng

3B Cho tam giác ABC, đường phân giác góc B đường phân giác của

C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC E, F

a) Chứng BEI, CFI tam giác cân b) Chứng minh BE + CF = EF

c) Gọi M trung điểm IB, N trung điểm IC, đường thẳng EM, FN cắt O Chứng minh OB = OC

d) Chứng minh ba điểm A, I, O thẳng hàng

4A Cho tam giác ABC cân A ( A < 90°), đường phân giác AD Kẻ đường cao BE, gọi H giao điểm BE AD

a) Chứng minh CH  AB

b) Gọi F giao điểm CH AB Chứng minh AD trung trực EF

c) Kẻ EI HC, FJ  HB với IHC, J HB Chứng minh đường thẳng EI, FJ,AD qua điểm, kí hiệu điểm O

d) Chứng minh AC - AF > OF - OC

4B. Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D Kẻ DE vng góc với BC E

a) Chứng minh DA = DE

c) Kẻ CK vng góc với BD K, đường thẳng CK, BA cắt F Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng

d) Chứng minh BC - BA > DC - DA

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. Cho tam giác ABC có AB < AC, đường trung tuyến AM Trên tia đối

của tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Chứng minh AB = CD, AB // CD

b) So sánh MAB MAC c) So sánh AMB AMC

6 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy E cho AE = 2AB Trên tia đối tia BC lấy D cho BD = BC

a) Chứng minh A trọng tâm CDE.

b) Gọi F trung điểm DE Chứng minh ba điểm C, A, F thẳng hàng

c) Chứng minh BE + CF >

3 2 EC.

7 Cho tam giác ABC, đường phân giác B C cắt I Kẻ ID AB, IE  AC với D AB, E  AC.

a) Chứng minh ADE cân A.

b) Chúng minh AI trung trực DE c) Biết BAC = 60° Tính số đo BIC

8 Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE

a) Chứng minh ADE cân A

b) Chứng minh AM tia phân giác DAE

c) Kẻ BH AD, CKAE với H  AD, K  AE Chứng minh

 

DBH ECK

d) Gọi N giao điểm HB KC Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng

9 Cho tam giác ABC cân A (A < 90°), kẻ đường phân giác AD Trên tia đối tia DC lấy điểm M cho MD = AD

a.) Chứng minh DAM vuông cân D.

b) Kẻ BN vng góc với AM N, đường thẳng BN AD cắt O Chứng minh OM AB

c) Chứng minh OB = OC d) Chứng minh AM // OC

10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH đường phân giác BD cắt I Tia phân giác HAC cắt cạnh BC E

a) Chứng minh BAE cân B b) Chứng minh I trực tâm ABE, c) Chứng minh EI //AC

11 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M cho BA = BM

a) Chứng minh AM tia phân giác HAC

b) Gọi K hình chiếu vng góc M AC Chứng minh AM trung trực HK

c) Gọi I hình chiếu vng góc C tia AM Chứng minh AH, KM, CI đồng quy

d) Chứng minh AB + AC < AH + BC

12* Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ đường cao AD Vẽ

điểm M cho AB trung trực DM, vẽ điểm N cho AC trung trực DN

a) Chứng minh AMN cân A

b) Đường thẳng MN cắt AB, AC F, E Chứng minh DA tia phân giác EDF

c) Chứng minh EB tia phân giác DEF d) Chứng minh BE AC.

e) Chứng minh AD, BE, CF đồng quy

HƯỚNG DẪN 1A. a) Chú ý tam giác BAD,

CAE cân, từ ta có

  , 

2

ABC ACB

ADC AEB

Lại có AB < AC => ABCACB => ADC AEB

b) Dùng kết ý a, ADCAEB=>AD < AE.

1B. a) Chú ý tam giác BAN, CAM cân, từ 

 90

2

ACB AMC  

 90 

2

ABC ANC   

Mà AB < AC =>ABC ACB AMCANB b) Dùng kết ý a, AMCANB =>AM < AN. c) ABN 40 ANB70  ACM 30  AMC  75

Vậy MAN  35

2A a) Ta có ME = NF nên AM là

đường trung tuyến AEE,

tâm AEF

b) EN đường trung tuyến

AEF nên EN qua G,

E,G,N thẳng hàng c) Ta có GH = GM =

GA GI = GN=

GE

Từ ta chứng minh được:

GMN= GHI ( c-g-c) => IH = MN, IH //MN 2B. a) Chứng minh AMB = DMC (c-g-c)

=>AB = CD, AB//CD

b) Chú ý AF, BM đường trung tuyến ABD

và DE, CM đường trung tuyến ACD => ĐPCM.

c) Dùng kết ý b, ta có BI =

2

3MB =

3MC = CK

Lại có IK = MI + MK =

1

3MB +

3MC =

3MB=> ĐPCM.

d) ME đường trung bình ABC => EM //AB MF đường trung bình BDA => EM //AB Vậy E, M, F thẳng hàng

3A. a) Chứng minh được:

  

  

AMB BAM AMP ANC CAN ANP

  

 

 



Từ MA tia phân giác PMB, NA tia phân giác PNC.

b) Xét PMN, dùng kết câu a,

ta có PA tia phân giác MPN c) Chú ý tam giác ABM cân B,

tam giác ACN cân C, BD CE trung trực AM AN=> QM = QA = QN

d) Gọi Ax tia đối tia AP, chứng minh

   

xAB MPA NPA xAC   => PA phân giác BAC.

Xét ABC, ý BD, CE đường phân giác đỉnh B, C => AQ phân giác BAC Từ ba điểm P,A,Q thẳng hàng

3B Ta có EIB IBC EBI   và

  

FIC ICB FCI  Từ BEI,CFI là

EF = IE + IF = BE + CF

c) Chú ý EM, FN trung trực IB, IC, từ OB = OI = OC c) Xét AEF, ý EO, BO

d) đường phân giác

e) đỉnh E, F => AO phân giác BAC Mà AI phân giác BAC A, I, O thẳng hàng

4A. a) Chứng minh H trực tâm

ABC => CH AB

b) Ta có AEB = AFC (ch - gn) Từ suy AE = AF

Do AEF cân, ý AD phân giác

A => AD trung trực đoạn thẳng EF. c) Chú ý EI , FJ, AD ba đường cao

EHF.

d) Chú ý: AF = AE, FO = OE Vậy AC - AF = EC > OF - OC

4B a) Chú ý BAD = BED (ch - gn) Từ DA = DE

b) Vì BA = BE, DA = DE nên BD trung trực AE

c) Chứng minh D trực tâm

FBC, từ FD  BC, lại có

DE  BC => E, D, F thẳng hàng d) Chứng minh được:

BC - BA = EC > DC - DE = DC - DA

5. a) Chứng minh

AMB = DMC (c-g-c).

Từ suy AB = CD, AB // CD b) Chú ý MAB MDC 

CD = AB < AC

Từ ta có MAB MDC MAC   .

c) Dùng kết ý a, ý B C  AMB AMC 6. a) Chú ý BE đường trung tuyến

CED AE = 2AB, từ A

là trọng tâm CDE

b) Ta có CF đường trung tuyến CDE => C, A, F thẳng hàng.

c) Chứng minh BE + CF =

3

2 (AE + AC) > 2EC. 7. a) Chứng minh AI tia

phân giác BAC, từ ta có:

=> AD = AE => ĐPCM

b) Ta có ADE cân A có AI phân giác DAE => AI trung trực DE

c) Ta có  

 

60

ABC ACB IBC ICB    

từ BIC= 120°

8. a) Chứng minh MD = ME AM  BC => ADE cân A

(AM vừa đường cao vừa đường trung tuyến) b) Dùng kết ý a, ta có AM tia phân giác DAE

c) Chú ý HDB KEC  => ĐPCM. d) Dùng kết ý c, chứng minh NB = NC, ý AB = AC nên AN trung trực BC, từ ba điểm A, M, N thẳng hàng

9. a) Chứng minh AD  BC,

mà DM = DA nên DAM vuông

cân D

b) Chứng minh B trực tâm

AOM, từ OM AB.

c) Ta có AD trung trực BC, từ suy OB = OC

d) Tính OBC MBN  = 45°.

Từ BOC = 90° => OC ON => AM //OC. 10. a) Chú ý HAE EAC  , từ

chứng minh BAE BEA  nên BAE cân B

b) Dùng kết ý a, với ý BI phân giác ABE suy BI AE

Từ I trực tâm ABE.

c) Dùng kết ý b, ta có IE AB

=> IE //AC

d) ACB 40 HAC90   40 50 IAE IEA  25

Suy AIE = 180° - 50° = 130°

11. a) Chú ý BAM BMA.

Từ CAM HAM nên AM tia phân giác HAC

được AH = AK, MH = MK Do AM trung trực HK c) Chú ý AH, KM, CI ba đường cao MAC.

d) Chú ý AH = AK, AB = BM, từ ta có:

AC - AH = CK < CM = BC - BA => AB + AC < AH + BC

12. a) Vẽ DH  AB lấy

HM = HD Suy AB trung trực DM Thực tương tự với N

Dùng tính chất đường trung trực, ta có:

AM = AD = AN

Từ ta có AMN cân A b) Chứng minh được:

  , 

ADE ANE ADF AMF

Mặt khác dùng kết ý a, ta có AMEANF Từ DA phân giác EDF

c) Do DB  DA nên DB đường phân giác đỉnh D  DEF Vậy B cách hai cạnh DF ED

Do FB phân giác đỉnh F DFE nên B cách FE DF

Suy B cách FE DE, EB phân giác DEF

d) Chú ý EB, EC đường phân giác phân giác đỉnh E DEF, từ BE AC.

e) Tương tự ý d, ta có CF  AB, AD, BE,CF ba đường cao

ABC, từ chúng đồng quy

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ 3 Thời gian làm cho đề 45 phút

ĐỀ SỐ l PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ cáỉ đứng trước câu trả lời đúng;

Câu Độ dài hai cạnh tam giác cm 10 cm Trong số đo sau đây, số đo sau độ dài cạnh thứ ba tam giác đó?

A cm B cm C cm D cm

Câu Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Gọi G điểm nằm A D cho

2

AG

AD  . Tia BG cắt AC E, tia CG cắt AB tại F Khẳng định sau sai?

A

BG

EG  B E trung điểm cạnh AC C

2

FG

CG  D F trung điểm cạnh AB

Câu Cho tam giác ABC có A B C   Hai đường phân giác góc A

và góc C cắt O Khi số đo BOC bằng:

A 85° B 90° C 135° D 150°

Câu Tam giác ABC có góc A tù, B C  Trong khẳng định sau,

khẳng định đúng?

A BC >AC >AB B AC >AB >BC

Câu Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH đường xiên AB,AC đến đường thẳng d (H, B, C thuộc d) Biết HB < HC Hãy chọn khẳng định khẳng định sau:

A AB > AC B AB < AC

C AB = AC D AH > AB

Câu Cho góc xOy có số đo 60° Điểm M nằm góc cách Ox, Oy khoảng cm Khi đoạn thẳng OM bằng:

A cm B cm C cm D cm

Câu Trên đường trung trực đoạn thẳng AB, lấy hai điểm phân biệt M,N Khi khẳng định sau đúng?

A AMN BMN B AMN = BMN.

C MAN MBN . D MNA MNB  .

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông A Gọi P, Q, K trung điểm ba cạnh AB, AC, BC Gọi O giao điểm ba đường phân giác ABC Khỉ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là:

A O B P C Q D R

PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Bài (2,5 điểm) Cho ABC cân A có AD đường phân giác.

a) Chứng minh ABD = ACD.

b) Gọi G trọng tâm ABC Chứng ba điểm A, D, G thẳng hàng

c) Tính DG biết AB = 13 cm, BC = 10 cm

Bài (3,5 điểm) Cho ABC Gọi E, F trung điểm AB,AC

Trên tia đối tia FB lấy P cho PF = BF Trên tia đối tia EC lấy điểm Q cho QE = CE

a) Chứng minh A trung điểm PQ b) Chứng minh BQ // AC CP // AB

c) Gọi R giao điểm hai đường thẳng PC QB Chứng minh chu vi PQR hai lần chu vi ABC.

d) Chứng minh AR, BP,CQ đồng quy điểm

HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Câu D Câu B Câu C Câu C Câu C Câu B Câu A Câu D

PHẦN II TỰ LUẬN

Bài a) ABD = ACD (c.g.c).

b) ABD = ACD => BD = CD nên AD đường trưng tuyến Do G trọng tâm nên G  AD Vậy A, D, G thẳng hàng

c) Ta có: BD =

1

2 BC =

Do tam giác ABC cân A nên trung tuyến AD đồng thời đường cao, ABD vng D

Theo định lí pytago: AB2 = AD2 + BD2 => AD = 12 cm.

Vì G trọng tâm ABC nên DG =

3AD =

3 12 = cm. Bài a) AEQ = BEC (c.g.c), suy

ra: AQ = BC AQ// BC Tương tự, ta có: AP = BC AP//BC

Từ suy AP = AQ A, P, Q thẳng hàng

Vậy A trung điểm PQ

b) BEQ = ABC (c.g.c) => BDE ACE => BQ // AC

Tương tự ta có: CP // AB

c) Chứng minh APC = CBA (g.c.g).

Chứng minh APC = BCR (g.c.g) .

Từ đó, suy AB = CP = CR nên PK = 2AB Tương tự, ta có QR = AC

Từ câu a), suy PQ = 2BC

Vậy chu vi PQR hai lần chu vi ABC

d) PQR có RA, PB, QC đường trung tuyến nên AR, BP, CQ

đồng quy

ĐỀ SỐ 2 PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Câu (1,0 điểm) Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng

định sai?

A Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù cạnh lớn B Trong tam giác, cạnh đối diện với góc nhọn cạnh nhỏ C Trong tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhọn D Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc tù

Cân (1,0 điểm) Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:

a) Tam giác DEF có D 40 , E60thì:

A DF < EF < DE B EF < DF < DE C DE < EF < DF C EF < DE < DF b) Trực tâm tam giác thường là:

A Giao điểm đường trung tuyến tam giác B Giao điểm đường trưng trực tam giác C Giao điểm đường cao tam giác

D Giao điểm đường phân giác tam giác

PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Cho tam giác ABC vuông B, BC < BA Lấy điểm E cho B trung điểm CE

a) Chứng minh AB tia phân giác góc CAE

b) Vẽ CM vng góc với AE M, CM cắt AB H Vẽ HN vng góc với CA N Chứng minh MAN cân MN song song với CE.

c) So sánh HM HC

d) Tìm điều kiện ABC để CMN cân N HƯỚNG DẪN

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM) Câu 1.

Câu 2.

a) B b) C

PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

HS tự ghi giả thiết, kết luận a) Chứng minh được:

ABC = ABE (c.g.c).

Suy CAB EAB  .

Vậy AB tia phân giác CAE b) Chứng minh được:

AHM = AHN (ch- gn).

Suy AM = AN Do AMN cân A.

Mà AB phân giác EAC nên AB MN,

Khi MN song song với CE (cùng vng góc vói I) c) Do AHM = AHN nên HN = HM

Mặt khác, tam giác vng CNH có HC > HN Do HC > HM

d) CMN cân N NCM NMC

Mà MN // CE nên NMC MCE   (so le trong).

Suy NCM MCE

Chứng minh CME = CMA (g.c.g) Suy CE = CA Như CA = CE = AE nên ACE tam giác đều.

BCA = 60°.

Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện BCA = 60° CMN cân N.

Chứng minh lại:

Khi ABC có BCA = 60° CMN vừa đường cao, vừa phân giác ECA nên HCN CMN = 30° Suy CMN cân N