TĨM TẮT LÝ THUYẾT
=
∧
= + +
⇔
=
⇔
⊥
=
=
⇔
=
∧
⇔
=
⇔
+ +
=
=
=
=
⇔
=
+ +
=
=
±
±
±
=
±
− +
− +
−
=
=
−
−
−
=
2 1
2 1 1 3
1 3 3 2
3 2
3 3 2 2 1 1
3 3 2 2 1 1
3 3 2 2 1
1
3 3
2 2
1 1
2 3 2 2 2
1
3 2 1
3 3 2 2 1 1
2 2
2
, ,
a
.
10
0 0
a
.
9
0
//
a
.
8
.
.
a
.
7
a
.
6
a
.
5
, ,
a
k.
.
4
, ,
.
3
.
2
) ,
, (
.
1
b b
a a b b
a a b b
a a
b
b a b a b a b
a
b
b
a b
a b
a b
a b k a
b
b a b a b
a
b
b a
b a
b a
b
a a
a
ka ka
ka
b a b a b a
b
a
z z y
y x
x AB
AB
z z y y x x
AB
A B A
B A
B
A B A B A B
c
b,
,
a
.
11 đồng phẳng ⇔(a∧b).c= 0
c
b,
,
a
.
12 khơng đồng phẳng ⇔(a∧b).c≠ 0
13 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
−
−
−
−
−
−
k
kz z k
ky y k
kx x
1
, 1
, 1
14 M là trung điểm AB
2
, 2
, 2
B A B A B
A x y y z z
x
M
15 G là trọng tâm tam giác ABC
, 3
, 3
, 3
C B A C B A C B
x
G
16 Véctơ đơn vị :
) 1 , 0 , 0 ( );
0 , 1 , 0 ( );
0
,
0
,
1
e
17 M(x, 0 , 0 ) ∈Ox;N( 0 ,y, 0 ) ∈Oy;K( 0 , 0 ,z) ∈Oz
18
Oxz z
x K Oyz z
y N Oxy
y
x
M( , , 0 ) ∈ ; ( 0 , , ) ∈ ; ( , 0 , ) ∈
3
2 2
2 1
2
1 2
1
a a a AC
AB
20 V ABCD (AB AC).AD
6
1
∧
=
/ / / / (AB AD).AA
CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔ [ → →
AC ,
AB ] ≠
0
• S∆ABC = 21 [AB→ , AC]→
• Đường cao AH =
BC
S∆ABC
2
• S hbh = [AB→ ,AC]→
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
• Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
• ABCD là hbh ⇔ AB=DC
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
• [ AB→, AC→ ] AD ≠ 0→
• V td = 61
→
→
→
AD AC]
, [AB Đường cao AH của tứ diện ABCD
AH S
3
1
BCD S
V
AH = 3
• Thể tích hình hộp :
V ABCD A B C D =
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mpα : ta có a d =nα
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
2 H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
Viết phương trình mpα qua M và vuông góc với (d): ta có nα =a d
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
Dạng 5 : Điểm đối xứng 1.Điểm M đối xứng với M qua mp / α
Tìm hình chiếu H của M trên mpα (dạng 4.1)
H là trung điểm của MM/
2.Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d:
Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
H là trung điểm của MM/
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1
Vectơ pháp tuyến của mp :α
n≠0 là véctơ pháp tuyến của α ⇔ n⊥α
MẶT PHẲNG
Trang 2-2
Cặp véctơ chỉ phương của mpα :
a b là cặp vtcp của α ⇔ a,b cùng // α
3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a, b: n = [a,b]
4 Pt mpα qua M(x o ; y o ; z o ) có vtpt n = (A;B;C)
A(x – x o ) + B(y – y o ) + C(z – z o ) = 0
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ;
C(0,0,c) : ax+yb+cz= 1
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7 Chùm mặt phẳng : giả sử α1∩α2 = d trong đó
(α1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(α2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :
m(A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + n(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0
8 Vị trí tương đối của hai mp (α1) và (α2) :
° α cắt β ⇔ A 1 : B 1 : C 1 ≠ A 2 : B 2 : C 2
°
2
1 2
1 2
1 2
1
//
D
D C
C B
B A
A = = ≠
⇔
β α
°
2
1 2
1 2
1 2
1
D
D C
C B
B A
A = = =
⇔
≡β α
ª α⊥β ⇔A1A2 +B1B2 +C1C2 = 0
9.KC từ M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) đến ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
o o o
C B A
D Cz By Ax
+ +
+ + +
=
) d(M, α
10.Góc gi ữa hai mặt phẳng :
2 1
2 1
.
n n
n n
= ) , cos(αβ
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp: →
AB, →
AC °
]
) (
→
→
=[AB ,AC n
vtpt
qua
C hay B hay A
α
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
= AB vtpt
AB điểm trung M qua
n
α
°
)
( AB
⊥ (d) nên vtpt = a d Vì
M qua
α
α
°
β α β
α
α qua Vì M // nên vtpt n n
=
Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
Mpα chứa (d) nên a d =aα
Mpα song song (d/) nên a d/ =bα
■ Vtpt n=[a d,a d/]
■ Mpα qua M,N nên MN =aα
■ Mpα⊥ mpβ nên nβ =bα
°
] , [
β
α
n n
vtpt
N) (hay M qua
■ Mpα chứa d nên a d =aα
■ Mpα đi qua M ∈(d)và A nên AM =bα //
Trang 3] ,
n
vtpt
A
qua
→
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua
M(x o ;y o ;z o ) có vtcp a= (a 1 ;a 2 ;a 3 )
Rt;
ta
zz
ta
yy
ta
xx
(d)
3
o
2
o
1
o
∈
+=
+=
+=
:
2.Phương trình chính tắc của (d)
(d) xax ya2yo za-3z
1
3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp α 1 và α 2
= + + +
= + +
+
0 D z B x A
0 D z B
xA (d)
2 2 2 2
1 1 1 1
C y
C
y
Véctơ chỉ phương = 2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1
B A
B A A C
A C C B
C B a
4.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :
(d) qua M có vtcp ad ; (d’) qua N có vtcp a d /
=0
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp ad ; (d’) qua N có vtcp a d /
Kc t
ừ đ iểm đến đ ường thẳng :
d
d
a
AM a d A
d( , ) =[ ; ]
Kc giữa 2 đ ường thẳng : ( ; ) [ [; ; ]. ]
/
/
/
d d
d d
a a
MN a
a d
d
6.Góc : (d) có vtcp a ; d ∆ ’ có vtcp a d / ; ( α ) có vtpt n
Góc gi ữa 2 đường thẳng :
/ /
.
'
d d
d d
a a
a a
=
) d cos(d,
Góc gi ữa đ ường và m ặt :
n a
n a
d
d
.
= ) sin(d,α
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B
= AB a Vtcp
hayB quaA
d
d
) ( )
(
∆
=
∆ ) nên vtcp a d a (
//
(d) Vì
qua
A
d )
(
α
d
a vtcp nên ) ( (d) Vì
qua
=
⊥
A
d)
(
Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα
( ) ( ) ( )
=
⇒
=
⇒
⊥
=
⇒
⊃
∈
]
; [
) ( ) (
) (
α β
β α
β
α β
β β
n a n
b n
a a d
d quaM
d
d
ª
) (
) ( ) ( /
β
α
d
] d
a , d
a [ a vtcp
qua
1 2
)
=
A
d
+ Tìm a d = [ad1, ad2]
+ Mpα chứa d1 , (d) ; mpβ chứa d2 , (d)
⇒ d = α∩β
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0
Trang 4-với mpα = (A,d1) ; mpβ = (A,d2)
với mpα1 chứa d1 // ∆ ; mpα2 chứa d2 // ∆
với mpα qua A, ⊥ d1 ; B = d2 ∩α
với mpα chứa d1 ,⊥(P) ; mpβ chứa d2 , ⊥ (P)
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Ph ương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R
S(I, R) : (x a) (2 y b) (2 z c)2 R 2
=
− +
− +
S(I, R) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2)
( với a 2 + b 2 + c 2 − d > 0)
• Tâm I(a ; b ; c) và R = a 2 + b 2 + c 2 − d
2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho (S) : (x a) (2 y b) (2 z c)2 R 2
=
− +
− +
− và α : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến
mpα :
d > R : (S) ∩α = φ
d = R : α tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, α:
tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mpα )
Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mpα : ta có a d =nα
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt
( ) ( ) ( )
= + + + α
=
− +
− +
0 D Cz By Ax :
R c z b y a x :
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính r = R 2 − d 2 (I, α )
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mpα)
Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và
vuông góc mpα : ta có a d =nα
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
+
=
+
=
+
=
ta z z
ta y y
ta x
x d
3 o
2 o
1 o
: (1) và
(S) : (x − a) (2 + y − b) (2 + z − c)2 = R 2 (2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª S(I, R) : (x − a) (2 + y − b) (2 + z − c)2 = R 2(1)
Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
Tâm I là trung điểm AB
Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mpα
2 2 2
.
) (
C B A
D I z C I y B
S
+ +
+ + +
=
= d(I, ) A.xI R
I tâm cầu mặt Pt
α
Dạng 4: Mặt cầu tâm I và tiếp xúc (∆ )
) d(I, R
I tâm
∆
=
)
(S
Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2)
0 d 2cz 2by 2ax z y x : R)
∈ mc(S) ⇒hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)
S(I, R) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2) A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α) Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
MẶT CẦU
Trang 5Tiếp diện α của mc(S) tại A : α qua A, →
= IA n vtpt
Dạng 8: Mặt phẳng α tiếp xúc (S) và ⊥ ∆
+ Viết pt mpα vuông góc ∆ : n=a∆ = (A,B,C)
+ Mpα : Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D từ pt d(I , α ) = R
Dạng 9: Mặt phẳng α tiếp xúc (S) và // 2 đt a,b :
R d(I,
từ
0 Cz
By Ax
:
pt
] b , a [
n
D
D
⇒
=
= +
+ +
=
α α
Dạng 10: Mpα chứa ∆ và tiếp xúc mc(S ) :
n m, ) d(I,
R
chứa mp chùm
thuộc
⇒
=
∆ α
α
