Tài liệu HSG toán 9 2010-2011 vòng 2

javascript:document.body.contentEditable='true'; document.designMode='on'; void 0 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 VÒNG II NĂM HỌC: 2010-2011 Môn Toán 9- (Thời gian làm bài:120 phút) Bài 1: (4 điểm) 1. Chứng minh: 223246 −−+ là một số nguyên. 2. Rút gọn biểu thức: A= 24 422 2 2 ++− −+ xx xx với x 2 ≥ Bài 2: (4 điểm) 1. Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3 Tìm trên đường thẳng (d) những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức : x 2 + y 2 - 2xy – 4 = 0 2. Cho hàm số: y = ax + b Biết ( ) .1000)2010();4()3();2(1 =≤≥ fffff Tính )2011(f . B i 3à : (5 điểm) 1. Cho x;y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 22 32 ; 2 1 yx xy P xy M + +== 2. Giải hệ phương trình:      =+ =+ xyy xyx 29 66 2 2 Bài 4: (5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm di dộng trên đường tròn ( M khác A và B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến BD và AC đến đường tròn tâm M. a) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và đường tròn tâm O. b) Tìm vị trí của M trên (O) để AC.BD đạt giá trị lớn nhất. c) Lấy N là điểm cố định trên đường tròn (O); Gọi I là trung điểm MN; P là hình chiếu của I trên MB; Khi M di chuyển trên (O) thì P chạy trên đường nào? Bài 5: (2 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên đường tròn lấy điểm B (B khác A và C). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại E. Chứng minh tam giác BED cân. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 VÒNG II ( dưới đây là hướng dẫn sơ lược cách giải đề thi, chưa được kiểm chứng – không phải hướng dẫn chấm ) Bài 1: (4 điểm) 1.Chứng minh: 223246 −−+ là một số nguyên. 2.Rút gọn biểu thức: A= 24 422 2 2 ++− −+ xx xx với x 2 ≥ Hướng dẫn: 1. .3)12()22()12()22(223246 22 =−−+=−−+=−−+ Do 3 là số nguyên nên ta có đpcm. 2.A= 2)2)(2( )22( 2)2)(2( )2)(2(2)2()2( 24 422 2 2 2 ++−+ −++ = ++−+ −++−++ = ++− −+ xxx xx xxx xxxx xx xx 2 1 )22(2 22 + = −+++ −++ = xxxx xx . Bài 2: (4 điểm) 1.Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3 Tìm trên đường thẳng (d) những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức : x 2 + y 2 - 2xy – 4 = 0 2.Cho hàm số: y = ax + b Biết ( ) .1000)2010();4()3();2(1 =≤≥ fffff Tính )2011(f . Hướng dẫn: 1. Ta giải hệ phương trình:    =−−+ += 042 32 22 xyyx xy . Thế 32 += xy v o à phương trình thứ hai ta được    −= = ⇒    −= −= ⇒=++⇔=++⇔=−+−++ 7 1 5 1 0)5)(1(05604)32(2)32( 222 y y x x xxxxxxxx Vậy ta có các điểm cần tìm là (-1;1) và (-5;-7). 2. Từ điều kiện ( ) )4()3();2(1 ffff ≤≥ ta thấy )(xf vừa nghịch biến vừa đồng biến do đó a = 0 và )(xf =b mà 1000)2010( = f suy ra b = 1000. Do đó )2011(f = b = 1000. B i 3à : (5 điểm) 1.Cho x;y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 22 32 ; 2 1 yx xy P xy M + +== 2.Giải hệ phương trình:      =+ =+ xyy xyx 29 66 2 2 Hướng dẫn: 1.Áp dụng BĐT Cauchy ta có 2 1 2 )( 2 2 = + ≤ yx xy , suy ra .2 2 1 ≥= xy M Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0,5. Ta có 142 )( 12 2 2 4 .3 2 1 ) 1 2 1 (3 32 2222222 =+ + =+ ++ ≥+ + += + += yxyxxy xy yx xy yx xy P . Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0,5. 2.      =−+ =−+ ⇔      =+ =+ 029 066 29 66 2 2 2 2 xyy xyx xyy xyx Cộng theo vế 2 phương trình trên ta được .30)3(09)(6)(02966 2222 =−⇒=−−⇔=+−−−⇔=−++−+ yxyxyxyxxyyxyx Thế vào phương trình đầu tiên và giải, ta được các nghiệm là ))}12(3;23());12(3;23{();( +−−−= yx Bài 4: (5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm di dộng trên đường tròn ( M khác A và B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến BD và AC đến đường tròn tâm M. a)Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và đường tròn tâm O. b)Tìm vị trí của M trên (O) để AC.BD đạt giá trị lớn nhất. c)Lấy N là điểm cố định trên đường tròn (O); Gọi I là trung điểm MN; P là hình chiếu của I trên MB; Khi M di chuyển trên (O) thì P chạy trên đường nào? Hướng dẫn: Q a) Đầu tiên ta chứng minh ba điểm C,M,D thẳng hàng ( tự chứng minh). Nhận xét CABD là hình thang có AC // BD và OM là đường trung bình. Suy ra MO vuông góc với CD, suy ra CD là tiếp tuyến của (O) tại M. b) Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC=AH, BD=BD hay AC.BD=AH.BH mà AH.BH 44 )( 22 ABBHAH = + ≤ nên GTLN của AC.BD là 4 2 AB , đạt được khi AH=BH hay AC=BD. Khi AC=BD, BDMACM ∠=∠ ,CM=MD suy ra ) ( cgcBDMACM ∆=∆ , suy ra AM=BM hay M là điểm chính giữa cung AB. c)Gọi E là trung điểm NB, F là trung điểm OE. Ta sẽ chứng minh điểm P luôn nằm trên đường tròn tâm F bán kính FN. Hạ NQ vuông góc với MB, Q thuộc MB. Ta có ).(~ 2 ;90 0 ggNQMNEONBM NOB NOENQMNEO ∆∆⇒∠= ∠ =∠=∠=∠ mà F,P lần lượt là trung điểm OE, MQ. Do đó MNOPNFMNPONFNPMNFO ∠=∠⇒∠=∠⇒∆∆ ~ mà ) (~ cgcONMFNP NM NP NO NF ∆∆⇒= mà ON=OM do đó FN=FP hay P luôn nằm trên đường tròn tâm F bán kính FN ( cố định). Bài 5: (2 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên đường tròn lấy điểm B (B khác A và C). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại E. Chứng minh tam giác BED cân. Hướng dẫn: Gọi F là giao điểm của CD với (O), H là trực tâm tam giác ACD. I là trung điểm BD. K là giao điểm EH và AD. Ta có ED ⊥ DC, AH ⊥ DC suy ra ED // AH; EA ⊥ AC, DH ⊥ AC suy ra EA // DH. Do đó EDHA là hình bình hành.Suy ra K là trung điểm EH và AD. mà AB=BI=ID, suy ra K là trung điểm BI suy ra EIHB là hình bình hành, suy ra EI//BH, bởi vậy EI ⊥ BD mà I là trung điểm BD nên tam giác EBD cân tại E (đpcm). . 2. A= 2) 2) (2( )22 ( 2) 2) (2( )2) (2( 2 )2( )2( 24 422 2 2 2 ++−+ −++ = ++−+ −++−++ = ++− −+ xxx xx xxx xxxx xx xx 2 1 )22 (2 22 + = −+++ −++ = xxxx xx . Bài 2: (4. nguyên. 2. Rút gọn biểu thức: A= 24 422 2 2 ++− −+ xx xx với x 2 ≥ Hướng dẫn: 1. .3) 12( )22 () 12( )22 (22 324 6 22 =−−+=−−+=−−+ Do 3 là số nguyên nên ta có đpcm. 2. A=