Đang tải... (xem toàn văn)
Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc bởi điều kiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức không có điều kiện kèm theo này,chúng ta thường vận dụng các [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 2
Lượng giác
Quế võ, tháng năm 2009
Biến đổi lượng giác nội dung quan trọng trình học tập lượng giác Thành thạo phép biến đổi lượng giác hành trang tốt tạo cho bạn tự tin linh hoạt học tập phần khác chương trình lượng giác,
(2)các bạn thấy tinh thần phương pháp lượng giác vận dụng tốn bạn thấy tồn nét đặc trưng vẻ đẹp lượng giác
Để giúp bạn có tài liệu tương đối đầy đủ để học lượng giác,chúng tập hợp tài liệu để biên soạn chuyên đề này.Chúng tham khảo biên tập hệ thống tập đa dạng phong phú.Các tập biên soạn theo hướng Một số tập cung cấp lời giải Tất nhiên lời giải đưa cách giải hay Đối với bạn cần suy nghĩ theo hướng mở sau:
Giải thích phép biến đổi lập luận lời giải Tìm lời giải khác
Lí giải xem lại giải Tìm cách vận dụng tốn
Nêu tập tương tự
Một số tập không cung cấp lời giải.Những tập thuộc dạng bản, dễ tương tự, đề nghị bạn suy nghĩ tự giải
Chú ý: Đối với tốn có phần hướng dẫn kèm,các hướng dẫn có tính chất giúp bạn phát vấn đề cách trình bày
A TĨM TẮTGIÁO KHOA
I Đơn vị đo góc cung:
o
180 Độ:
(3)y x O Góc10 1801 góc bẹt
Radian: (rad)
1800 rad
Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung ) thơng dụng:
Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
Radian
6
4
3
2
3 2
4 3
6
5 2
II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghĩa:
Đường tròn lượng giác:
Số đo số cung lượng giác đặc biệt:
k C
A
k C
k A
2
D B,
k
,
2 2
D
2k
2 2
B
2k
III Định nghĩa hàm số lượng giác:
1 Đường tròn lượng giác:
A: điểm gốc
x
y
(tia gốc)
Z) (k )
,
(Ox Oy k
t (tia ngọn)
O
x y
O
C A
B
D
x
y
B
M
(điểm gốc)
t
O A
(điểm ngọn)
k2
AB
y
B '
u u
t
(4)Các toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2
x'Ox : trục cơsin ( trục hồnh ) y'Oy : trục sin ( trục tung )
t'At : trục tang u'Bu : trục cotang
2 Định nghĩa hàm số lượng giác:
a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
Gọi P, Q hình chiếu vng góc M x'Ox y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu
Ta định nghĩa:
cos sin tg cot
OP OQ AT
g BU
b Các tính chất :
Với ta có :
1 sin hay sin
1 cos hay cos
tg xác định k
cotg xác định k
c Tính tuần hoàn
sin( ) sin cos( ) cos
( ) cot ( ) cot
k k
tg k tg
g k g
(k Z)
IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt
y t
'
u
't
t
x u
'
y
'
x O
t
1
Q B
T
M
A P
U
Trục
cosin Trục tang
Trục sin Trục cotang
(5)- 3 -1 - /3
(Điểm gốc) t
t' y
y'
x x'
u u'
- 3 -1 - /3
1
1 -1
-1 -/2
5/6 3/4
2/3
-/6 -/4 -/3 -1/2
- /2 - /2
-1/2 - /2
- /2 1/2 /2 /2
3 /2 /2 1/2
A
/3 /4
/6
3 /3 3
B /2 3 /3 1 3
O
Góc Hslg
00 300 450
600 90
0 1200 1350 1500 1800 3600
6
4
3
2
3 2
4 3
6
5 2
sin 0
2
2
2
3
2
2
2
1 0 0
cos 1
2
2
2
1 0
2
2
2
-1
tg 0
3
3 kxđ -1
3
0
cotg kxđ 3 1
3
3
3
-1 kxđ kxđ
V Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt:
(6)1 Cung đối : vaø - (tổng 0) (Vd: 6 &
,…) 2 Cung bù : vaø - ( tổng ) (Vd:
5 &
,…)
3 Cung phụ : vaø
( tổng
) (Vd: &
,…)
4 Cung 2
: vaø
(Vd: &
,…) 5 Cung : vaø (Vd:
7 &
,…)
1 Cung đối nhau: Cung bù :
cos( ) cos sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
cos( ) cos sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
3 Cung phụ : Cung 2
cos( ) sin
sin( ) cos
( )
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
cos( ) sin
sin( ) cos
( )
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
5 Cung :
Đối cos Bù sin
(7)
cos( ) cos sin( ) sin
( ) cot ( ) cot
tg tg
g g
VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản:
2
cos sin
sin tg =
cos cos cotg =
sin
2
2
2
1
1 tg = cos
1 cotg =
sin
tg cotg =
Công thức cộng :
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos
tg +tg tg( + ) =
1
tg tg tg( ) =
1
tg tg tg tg
Công thức nhân đôi:
2
2
4
2
cos2 cos sin 2cos 2sin cos sin sin 2sin cos
2
2
tg tg
tg
Công thức nhân ba:
Hơn tang , cotang
4 cos 3 cos
cos3
(8)
3
3
cos3 4cos 3cos sin 3sin 4sin
Công thức hạ bậc:
cos cos ; 2 cos sin ; 2 cos
cos2 2
tg
6.Cơng thức tính sin ,cos ,tg theo t tg
2 2 1 ; 1 cos ; sin t t tg t t t t
Cơng thức biến đổi tích thành tổng :
cos cos cos( ) cos( )
2
sin sin cos( ) cos( )
2
sin cos sin( ) sin( )
2
Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos cos cos
2
cos cos 2sin sin
2
sin sin 2sin cos
2
sin sin cos sin
2 sin( ) cos cos sin( ) cos cos tg tg tg tg
Các công thức thường dùng khác:
4 sin sin
3
sin3
(9)
cos sin cos( ) sin( )
4
cos sin cos( ) sin( )
4
4 cos sin
cos
4 cos sin
cos
6
4
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Phần 1 Đẳng thức lượng giác không điều kiện 1: Đẳng thức với biến
Trong phần ta xét đẳng thức lượng giác mà biến không bị ràng buộc điều kiện nào.Khi chứng minh đẳng thức khơng có điều kiện kèm theo này,chúng ta thường vận dụng công thức lượng giác, đẳng thức lượng giác bản.Tuy nhiên số luợng công thức lượng giác nhiều nên bạn gặp khó khăn việc lựa chọn công thức cho hợp lí.Vì u cầu đặc biệt quan thực phép biến đổi bạn cần phảp có định hướng rõ ràng để tránh việc lúng túng lựa chon công thức
Các toán chứng minh đẳng thức
Khi gặp tốn dạng có thuận lợi kết có đề bài.Từ dẫn đến hướng để giải quyết:
Hướng 1: Biến đổi vế trái cho vế phải.Thông thường ta dựa vào vế phải,từ trái ta tìm cách phân tích,tách.ghép,biến đổi làm xuất biểu thức vế phải
Bài 1:
Chứng minh
sin x sin y x y
cotg( )
cos x cos y
Hướng dẫn:
Bởi
x y cos
x y
cotg
x y
2 sin
2
.Nên ta biến đổi vế trái cho tử thức mẫu thức xuất
hiện cos
x y
,sin
x y
.
Khi ta có:
x y x y
2cos sin
sin x sin y 2 2 x y
cotg
x y x y
cos x cos y 2sin sin
2
(10) Hướng 2:Biến đổi vế phải cho vế trái.Ta xuất phát từ VP tìm cách làm xuất biểu thức vế trái.Các bạn lấy ví dụ để thực theo hướng theo dõi ví dụ sau:
Bài 2:
Chứng minh rằng:
cos x sin x cos2x
cos x sin x sin 2x
Hướng dẫn:
2
2 2
cos x sin x cos x sin x
cos2x cos x sin x cos x sin x
1 sin 2x cos x sin x 2sinxcosx cos x sin x cos x sin x
Nhận xét:
Cũng nhân tử mẫu VT với cos x sin x để làm theo hướng thứ nhất.Nhưng thơng thường việc tách dễ việc thêm vào
Hướng thứ 3: biến đổi vế trái vế phải biểu thức trung gian
Bài 3: Chứng minh rằng:
n n
n n n
tg cos tg cos
(n Z )
1 cotg cos cotg cos
Ta có
n n
n
tg cos tg cos
tg
1 cotg cos 1 .cos
tg
(1)
n n n n
n n n
n n
tg cos tg cos
tg
1 cotg cos 1 .cos
tg
(2) Từ (1) (2) ta điều phải chứng minh
Bài 4: chứng minh:
4
6
sin cos
sin cos
x x
x x
Hướng dẫn:
Ta có sin4a c os4a1 2sin 2acos2a12sin2acos2a
6 2 2 2
2
sin os (sin os ) 3sin os (sin os )
3sin os
a c a a c a ac a a c a
ac a
Do
4 2
6 2
sin cos 2sin os
sin cos 3sin os
x x ac a
x x ac a
Bài 5: Chứng minh rằng: 4tan8 2tan16 tan32 cot32
(11)Ta có: (*) cot32 tan32 2tan16 4tan
Mà
2
cosa sin cos a-sin 2cos2a
cota-tana= 2cot2a
sina cosa sinacosa sin2a
a a
Do đó:
(*)
cot tan 2tan 4tan
32 32 16
2cot 2tan 4tan
16 16
4cot 4tan
8
8cot
(hiển nhiên đúng).
Bài 6: Chứng minh:
2 2 2
a/cos x+cos x cos x
3
1 1
b/ cotx - cot16x
sin2x sin4x sin8x sin16x
a/ Ta có:
2 2 2
cos x+cos x cos x
3
1 4
(1 cos2x) cos 2x+ cos - 2x
2 3
3 4
cos2x + cos 2x+ cos - 2x
2 3
3
cos2x + 2cos2xcos
2
3
cos2x + 2
2cos2x -1
2
2
b/ Ta có:
cosa cosb sin osa-sinacosb sin( )
cota - cotb =
sina sinb sin inb sin asinb
bc b a
as
(12)Do đó:
sin(2 )
cot cot (1)
sinxsin2x sin x x
x x
x
sin(4 )
cot cot (2)
sin sin sin
sin(8 )
cot cot8 (3)
sin sin8 sin8
sin(16 )
cot8 cot16 (4)
sin16 sin8 sin16
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
Lấy (1) + (20 + (3) + (4) ta được:
1 1
cotx - cot16x =
sin2x sin 4 x sin8x sin16x
Bài 7: Chứng minh:
4
6
8
1
/ sin os (3 os4x)
4
/ sin os x= (5 os4x)
8
/ sin os (35 28 os4x+cos8x)
64
a x c x c
b x c c
c x c x c
a/ Ta có: sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2xcos2x
2
1 sin
4
1 (1 os4x)
4
os4x 4
x c c
b/ Ta có: sin6x + cos6x = (sin2x + cos2x)(sin4x – sin2xcos2x + cos4x)
4
(sin os ) sin
4
x c x x
3 1
os4x os4x
4 4c c
(do kết câu a)
3
os4x+
8c
(13)2
2
1
(3 os4x) sin
16 16
1 1
(9 os4x+cos ) (1 os4x)
16
c x
c x c
2
9 1
os4x + (1 os8x) (1 os4x+cos )
16 32 32
9 1
os4x + os8x+ os4x - (1+cos8 )
16 32 16 64
35
os4x+ os8x
64 16 64
c c c x
c c c x
c c
Bài 8: Chứng minh: sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cos32x
Cách 1:
sin3x.sin3x + cos3x.cos3x =
3 3
4 6
4 6
2 2 2 2
2
(3sinx 4sin )sin (4 os osx) os
3sin 4sin os os
3(sin os ) 4(sin os )
3(sin os )(sin os ) 4(sin os )(sin sin os os )
3 os2x + 4cos2x(1-sin xcos x) =-3co
x c x c c x
x x c x c x
x c x x c x
x c x x c x x c x x xc x c x
c
2
2
2
1
s2x + 4cos2x(1 sin )
os2x(-3 + - sin 2x) =cos2x(1 - sin 2x) = cos
x c
x
Cách Cách 2:
sin3x.sin3x + cos3x.cos3x =
3
3
3sinx - sin3x 3cosx + cos3x
sin os3x
4
3
(sin sinx+cos3xcosx) ( os sin )
4
3
os(3x - x)+ os6x
4
1
= (3 os2x + cos3.2x)
os
x c
x c x x
c c
c
c x
(14)Bài 9: Chứng minh
2 2
2
2 2
1 cos (1 cos ) os sin
(1 ) cot cot cot
2sin sin sin sin
a a c b c
b c a
a a b c
HD
Ta có
*
2 2
2 2
2 2
2 2 2
os sin cot
cot cot cot cot
sin sin sin sin
cot (1 cot ) (1 cot ) cot cot (1)
c b c b
b c b c
b c c b
b c b b c
*
2
2
1 cos (1 cos ) cos (1 cos )
(1 ) (1 )
2sin sin 2sin os
1 cos cos cos 2cos
(1 ) cot (2)
2sin cos 2sin cos
a a a a
a a a c a
a a a a
a
a a a a
Lấy (1) + (2) ta điều phải chứng minh Các bạn làm thêm số sau:
Bài 10 Chứng minh rằng: a.sinxsin x sin x sin 3x
3
1
b.cosxcos x cos x cos3x
3
c.tg tg(3 ).tg(3 ) tg3
Bài 11 Chứng minh đẳng thức sau:
a
2
2
3
cotg cot g
2 8cos .cos
3
1 cot g
b
2
2
tg a tg 2a tga.tg3a
1 tg a.tg 2a
Bài 12 Chứng minh với x ta có: d
10 10 63 15
sin x cos x cos4x cos8x
128 32 128
e
6 15
cos x sin x cos2x cos6x
16 16
f
8
cos x sin x cos2x cos6x
8
(15)Các toán rút gọn biểu thức
Việc rút gọn biểu thức lượng giác khó tốn chứng minh khơng biết trước kết trình biến đổi.Thường kết phải dạng đơn giản chấp nhận.Với loại toán ta bắt buộc phải biến đổi từ biểu thức đề bài,nhưng nên để ý chút dạng biểu thức để việc định hướng trở nên đơn giản hơn.Chẳng hạn,dạng phân thức tìm cách làm xuất nhân tử chung tử mẫu để giản ước,dạng thức tìm cách đưa dạng bình phương biểu thức
Bài 1: Rút gọn biểu thức A=
2
1 cos (1 cos )
sinx sin
x x
x
Tính giá trị A
1
cos ,
2
x x
HD
2
2
2
2
3
1 cos sin 2cos os
( )
sinx sin
1 cos 2(1 cos ) sinx sin
2(1 os ) 2sin
sin sin sinx
x x x c x
A
x
x x
x
c x x
x x
Với
1
cos ,
2
x x
có
2 3
sin os sinx
4
x c x
(do sinx > 0)
Do
2 4
sinx 3
A
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:
2
sin2a +sin5a -sin3a A =
1+ cosa - 2sin 2a
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: a A sin3xsin x cos3xcos x
b
2
1 cos x (1 cos x)
B
sin x sin x
c C sin3xcos x cos3xsin x
d D cos3x.cos x sin3xsin x
e
2
E cos(x ) sin x(1 cotgx) cos x(1 tgx) (x k )
4
(16)f
2
4sin(4x )
2
F 3 3
cotg (2x ) tg (2x )
2
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến:
Dạng tập trước kết cuối ta hồn tồn kiểm tra kết thơng qua suy luận đơn giản là:Vì biểu thức khơng phụ thuộc vào biến nên với giá trị biến biểu thức không thay đổi,do ta cần thay giá trị biến kiểm tra kết biểu thức:
Bài 1: Chứng minh biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a
2 2 2 2
A cos ( x) cos ( x) cos ( x) cos ( x) 2sin x
3 3
b
2 2 2
B cos x cos ( x) cos ( x)
3
c
2 2 2
C sin x sin ( x) sin ( x)
3
Hướng dẫn:
a/
2 2 2 2
A cos ( x) cos ( x) cos ( x) cos ( x) 2sin x
3 3
2 4
2A=1+cos 1+cos 1+cos 1+cos 2 1-cos2x
3 x x x x
2 4
2A=2+ cos +cos cos +cos +2cos2x
3 3
4
2A=2+2cos2xcos 2cos2xcos 2cos2x
3
A=1-cos2x-cos2x+2cos2x A=1
x x x x
Nhận xét:
Có thể kiểm tra kết quả,bằng cách thay giá trị x vào biểu thức ban đầu Với
2 2 22
0 A = cos cos cos cos
3 3
x
Việc sử dụng công thức hạ bậc để thực phép biến đổi dễ dàng Nguyên tắc chung để chứng minh tổng không phụ thuộc vào biến ta biến đổi
(17)Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:
a) A2 osc 4x sin4 xsin2xcos2x3sin2x
b)
2 c otx t anx c otx
B
HD
a) Ta có:
4 2
4 2 2
4 4
2 os sin sin os 3sin
2 os (1 os ) (1 os ) os 3(1 os )
2 os (1 os os ) os os 3 os
2
A c x x xc x x
c x c x c x c x c x
c x c x c x c x c x c x
b) Với điều kiện sin cosx x0, tanx1 Ta có:
2 cotx
t anx c otx 1
1
2 t anx tanx
1
t anx 1 t anx cotx t anx
2 (1 t anx) t anx 1 t anx t anx-1
B
Bài 3: Chứng minh biể thức sau không phụ thuộc vào biến x: a A cos (x a) cos x 2cosa cosxcos(a x)
b B cos (x a) sin (x b) 2cos(x a)sin(x b)sin(a b)
Bài 4: Chứng minh giá trị biểu thức sau số:
a
2
2
x 3x
cotg cotg
2
A x 3x
cos cosx(1 cotg )
2
b B sin x(1 sin x) cos x(1 cos x) 5sin xcos x 2 c C sin x cos x 6sin xcos x 2sin xcos x 1 4 2
(18)Tìm điều kiện tham số để biểu thức không phụ thuộc vào biến
Biến đổi f(x, m) dạng f(x, m) A(m).B(x) + C(m) lập luận A(m)=0.
Bài Tìm m cho:
6 4
f(x) = sin x + cos x + m(sin x + cos x) + (m +1)sin 2x
không phụ thuộc vào x
Hướng dẫn:
Sử dụng kết câu a b 1.5 ta có:
2 2
3
f(x) = 1- sin 2x + m 1- sin 2x + (m +1)sin 2x
4
2
2
m
f(x) = m +1- sin 2x + m +1
2
m
f (x) sin 2x (m 1)
2
f(x) không phụ thuộc vào x
m 1
0 m =
-2
Các tập lại làm tương tự
Bài Tìm m cho biểu thức sau không phụ thuộc vào x a f (x) cos x cos(x 2m) cos(x 4m) cos(x 6m)
b
2 x
f (x) m(2msin x 1) 4(m 1)sinx.sin 2(m 1)cos x 2sin x
2
Bài Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a f (x) m(sin x cos x) (2m 1)(cos x sin x) cos2x 48 b f (x) cos2x msin x 3cos x 1
c f (x) sin x sin(x m) sin(x 2m) sin(x 3m) sin(x 4m)
Bài Tìm m để biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x a f (x) m(sin x cos x) 4(2sin x cos x) n sin x b
6 4
f (x) m(sin x cos x) n(sin x cos x) sin 2x
2
(19)Phần đơn giản,đề nghị bạn tự giải
Bài Biến đổi biểu thức sau thành tích
a A sin a sin b sin(a b) d.D cos x cos y sin(x y) b B sin(a b) sin(b c) sin(c a) e E sin x sin 2x sin 3x
c C sinx cos x f F cos x cos 2x cos3x
Bài Chứng minh A 2(1 sinx)(1 cos x) bình phưong hồn tồn (Chứng minh A có dạng (a sin x bcos x c) 2)
2 Đẳng thức với số cụ thể Tính giá trị biểu thức
Trong phần trước xét biểu thức chứa biến dạng tập nó.Phần tiếp tục tìm hiểu biểu thức số cụ thể,sẽ có nhiều khó khăn
A.Tính trực tiếp giá trị biểu thức nhờ vận dụng công thức biến đổi phù hợp
Trong phần bạn cần biến đổi, ghép cặp hợp lí nhằm tạo tính chất đặc biệt Để làm điều bạn phải vào góc đề xét mối quan hệ góc
Bài Tính tổng đơn giản nhờ ghép cặp triệt tiêu a
2
A cos cos cos cos
5 5
Hướng dẫn:
Nhận thấy góc
2
, , ,
5 5
,các cặp
4
, , ,
5 5
có tổng .Nên ta biến đổi A sau:
4
A cos cos cos cos
5 5
3
2cos cos 2cos cos
2 10 10
Bài 2: Chứng minh
4 43
sin sin sin sin
16 16 16 16
A
Hướng dẫn:
Ta có
sin os
16 16
5
sin os
16 16
c
c
(20)Mặt khác
4
sin os sin
2
c
Do
4 4
4 4
2
2
2
7
sin sin sin sin
16 16 16 16
3
(sin os ) (sin os )
16 16 16 16
1
(1 sin ) (1 sin )
2 8
1
2 (sin sin )
2 8
1
2 (sin os ) ( sin os )
2 8 8
1
2
A
c c
c do c
B.Tính tổng, tích biểu thức có quy luật cách nhân thêm lượng phù hợp
Thơng thường tổng tích hàm số lượng giác góc mà góc liên
tiếp cách khoảng không đổi(chẳng hạn
3
, ,
7 7
cách
2
)hoặc tỉ lệ với theo tỉ số định.Biểu thức cần nhân thêm thường tạo số hạng giống nhau,nhưng trái dấu để giản ước hết
Bài 1: Chứng minh 16sin10 sin 30 sin 50 sin 700 0 1
Hướng dẫn:
Ta có
0
0 0 0
0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
os10
(16sin10 os10 )sin 30 sin 50 sin 70 os10 os10
1
(8sin 20 )( ) os40 os20
os10
1
(4sin 20 os20 ) os40 (2sin 40 ) os40
os10 os10
1 os10
sin 80
os10 os10
Ac
A c
c c
c c
c
c c c
c c
c
c c
(21)Bài 2: Chứng minh 16sin100sin300sin500sin700 = 1
Ta có A =
0
0 0 0
0
Acos10
(sin10 cos10 )sin30 sin50 sin70 cos10 cos10
1 0 0 0
A= 0(8sin20 )( )cos40 cos20
2 cos10
1 0 0 0
A= 0(4sin 20 cos20 ).cos40
cos10
1 0 0
A= 0(2sin40 )cos40
cos10
0
1 0 cos10
A= 0sin80 0
cos10 cos10
Bài 3 Tính tổng sau:
4 4
6 6
3
a A cos cos cos
7 7
2
b B cos cos cos cos
5 5
3
c C sin sin sin sin
16 16 16 16
3
d D cos cos cos cos
16 16 16 16
13 23
e E sin sin sin sin
5 5
5
f F cos cos cos
9 9
Hướng dẫn:
a.Nhân vế với 2sin
ta được:
3
2sin A 2cos sin 2cos sin 2cos sin
7 7 7 7
2
sin sin sin sin sin
7 7 7
6
sin sin
7
(22)Chia vế cho sin
thu
1 A
2
Nhận xét
Đối với biểu thức tổng,thường tạo hiệu hàm sin hàm cosin để giản ước dần số hạng giống
Nếu số hạng có dạng lũy thừa nên hạ bậc để dễ biến đổi
Bài 4 Tính tổng sau:
0 0
b.B sin10 sin 50 sin 70
2
c.C cos cos cos cos cos cos cos
15 15 15 15 15 15 15
d.D sin5 sin15 sin 25 sin85
Hướng dẫn:
b/Ta có:B sin10 sin50 sin 70 cos80 cos40 cos20
Nhân vế B với 8sin 20 ta được:
8sin20 B=8cos80 cos40 cos20 sin 20 4cos80 cos40 sin 40
2cos80 sin80 sin160 sin 20
Từ suy B
8
0 0
5
6 9
D sin sin15 sin 25 sin85
sin sin85 sin 35 sin 55 sin 45
cos80 cos60 cos40 cos20
2 cos80 cos40 cos20 sin 20 sin160
sin 20 sin 20
2 2
Nhận xét:
Đối với biểu thức dạng tích ta thường đưa dạng tích hàm số lượng giác góc,mà góc sau gấp đơi(hoặc nửa) góc trước
Sử dụng cơng thức góc nhân đơi
Bài 5 Chứng minh
8 12 18
cos cos cos cos sin
35 35 35 5
Bài 6 Chứng minh
2 2
1 1
8
2
sin sin sin
7 7
(23)Bài 8 Chứng minh
a tg200 tg400 3tg20 tg400
b
2 3
cos cos cos cos cos cos
7 7 7
Bài 9 Chứng minh rằng:
0
0 0
0
0 0 0
0
0 0
0
0 0 0
8cos20
a tg30 tg40 tg50 tg60 e cos cos
5
3
sin sin12
b sin 47 sin 61 cos79 cos65 cos7 f
sin 48 sin 81
c cos20 2sin 55 sin 65 g 2sin 70
2sin10
d tg9 tg27 tg63 tg81 h sin 33 cos63
cos30
Bài 10 Chứng minh rằng:
0 0
0 0 0 0 0
a tg20 tg40 tg60 tg80
( 1)(4 10 )
b tg1 tg19 tg21 tg39 tg41 tg59 tg61 tg79 tg81
4
Bài 11 Tính tổng:
2
A tg tg tg
12 12 12
C Hệ thức Viet ứng dụng để tính giá trị biểu thức
Chúng ta quen thuộc với định lí Viet ứng dụng tốn phương trình bậc 2,hay biểu thức nghiệm đối xứng.Trong phần bạn tiếp tục thấy vẻ đẹp tính ứng dụng rộng rãi tính giá trị biểu thức lượng giác
Bài 1 Chứng minh rằng:
2 2
5
a.cos cos cos
9 9
5 7
b.cos cos cos cos cos cos
9 9 9
3 c.sin 20 sin 40 sin80
8
1 1
d
2
sin sin sin
7 7
(24)a.Nhận thấy
5
, ,
9 9
nghiệm phương trình
1 cos3x=
2,suy
5
cos ,cos ,cos
9 9
nghiệm phương trình
3
4t 3t
2
Áp dụng định lí Viet ta điều phải chứng minh:
d.Nhận thấy:
2
, ,
7 7
nghiệm phương trình sin 42 xsin 32 x(*)
Đặt tsin2x,và đưa phương trình(*) dạng 64t3112t256t 0 (**) Theo nhận xét phương trình(**) có nghiệm là:
2 2
1
2
t sin , t sin , t sin
7 7
Do đó:
1 2 3
2 2 1 3
56
t t t t t t
1 1 64 8
2 t t t
sin sin sin
7 7 64
Bài 2 Chứng minh rằng:
3
3 cos2 cos4 cos8
7 7
Bài Tính giá trị biểu thức
9 17 17
P cos cos cos cos cos cos
12 12 12 12 12 12
Bài 4 a/Chứng minh tg 20 ,tg 40 , tg 802 2 0là nghiệm phương trình
3
x 33x 27x 0
b/Tính tổng sau:A tg 20 tg 406 tg 806
c/Đặt 2
1 1
M
cos 20 cos 60 cos 80
Chứgn minh rằng:
36 2 M 32 3
D.Tính tổng tích hữu hạn
Các tốn tính tổng tích hữu hạn thường có tính quy luật điều quan trọng ta phải tìm quy luật ấy.Trong đây,có số câu coi gợi ý để làm câu tiếp theo.Một số toán đề cho dạng chứng minh,nó trở thành mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên,sẽ thuận lợi việc sử dụng phương pháp quy nạp
Bài 1 a Chứng minh:
1 x
cot g cot gx
sinx
b Rút gọn:
n n
1 1
S (2 k )
sin sin 2 sin
(25)Bài 2 Cho
3 n
n n
S sin 3sin sin
3 3
a Chứng minh
3
sin x (3sin x sin 3x)
b Tính tổng Sn
c Tương tự tính
3 n
2 n
P cos 3cos cos
3 3
Bài
a Chứng minh tg x.tg2x tg2x 2tgx2
b áp dụng tính
2 n
n 2 n n
S tg tg 2tg tg tg tg
2
2 2
Bài 4
Tính S cos cos3 cos(2n 1) ( k )
Bài
a Chứng minh
sin 2x cos x
2sinx
b Tính Sn cos cos2 22 cos2n
Bài Tính tổng sau:
a
3 17
A cos cos cos cos
19 19 19 19
b
2 20
B cos cos cos cos
21 21 21 21
c
2 (n 1)
C sin sin sin sin
n n n n
d
3 (2n 1)
D cos cos cos cos
n n n n
Bài 7 Rút gọn:
2 2 n
2 n
1 1
a A
4cos cos cos
2 2
1 1
b B
cos x.cos2x cos 2x.cos3x cos nx.cos(n 1)x
(26)n n
n n
2
a a a a a sin a
a A cos cos cos cos cos (a 32k )
a
2 16 32 32sin
32
1 1 tg2 x
b B 1
x
cosx cos2x cos2 x tg
2 2cos2 x c (2cosx 1)(2cos2x 1) (2cos2 x 1)
2cosx
a b a
d cos cos cos c
2 2
n n n
n n
b a b cos a cos b
os cos cos
a b
2 2 2 cos cos
2
Bài 9 Chứng minh đẳng thức sau:
3
a cos cos cos
11 11 11
2 10
b cos cos cos
11 11 11
1 1
c cot ga cot g16a
sin 2a sin 4a sin 8a sin16a
Bài 10 Chứng minh rằng:
n n
n n
a 2 2sin
2
b 2 2
sin
(HD:Pp quy nạp)
Bài 11 Rút gọn: S 2 2cos A
Phần 2: Đẳng thức lượng giác có điều kiện
Bài 1: Cho ABC. Chứng minh rằng:
A B B C C A
tan tan tan tan tan tan
2 2 2
Ta có:
A+B C
2 2
Vậy:
A+B C
tan cot
(27)A B
tan tan 1
2
A B C
1-tan tan tan
2 2
A B C A B
tan tan tan tan tan
2 2 2
A B B C C A
tan tan tan tan tan tan
2 2 2
Bài 2: (CĐMGTW3 năm 2006)
Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c Giả sử a + c = 2b Chứng minh rằng: cot cot 2cot
A C B
Giải:
Ta có a + c = 2b sinA +sinC = 2sinB => 2sin os 4sin os
A C A C B B
c c
os 2sin os os sin
2 2 2
2
2sin sin sin
2 2 sin sin sin
2 2
A C B A C A C B
c c c
A C B
B A C
2 os sin
2 2cot cot cot
2 2
sin sin sin
2 2
B A C
c B A A
B A C
Cách 2
Có
( )
( ) tan cot
2
A S p p a A
r p a
p S
a + c =2b => p – a + p – c = 2(p – b )
( ) ( ) ( )
cot cot 2cot
2 2
p p a p p c p p b A C B
s s s
Bài 3: (CĐSP Vĩnh Phúc năm 2005)
Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện sin sin2 2sin
A C B
(*) Chứng minh rằng:
1 tan tan tan tan
2 2
A B B C
Giải:
Từ (*) sin sin2 os 2 os2 os 2sin sin2
A C A C A C A C
c c c
(28)2 3sin sin os os tan tan
2 2 2
A C A C A C
c c
Mà với tam giác ta có: tan 2tan tan2 tan tan tan
A B B C C A
2 tan tan tan tan
2 2 3
B C A B
Bài 4
Cho ABC Chứng minh rằng:
A B C
sin sin sin
2 2 2
B C C A A B
cos cos cos cos cos cos
2 2 2
+ + =
Hướng dẫn:
A B C B C C A A B
sin sin sin cos cos cos
2 2 2
B C C A A B B C C A A B
cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
+ + +
+ + = + +
B C B C C A C A A B A B
cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2 2
B C C A A B
cos cos cos cos cos cos
2 2 2
- -
-= + +
B C C A A B
3 tg tg tg tg tg tg
2 2 2
ổ ửữ
ỗ
= - ỗỗố + + ÷÷÷
ø.
Mặt khác:
B C
tg tg
A B C 2 2 B C C A A B
cotg tg tg tg tg tg tg tg
2 A B C 2 2 2
tg tg tg
2 2
+ +
= Þ = Þ + + =
-Vậy
A B C
sin sin sin
2 2 2
B C C A A B
cos cos cos cos cos cos
2 2 2
+ + =
Bài 5: (ĐH khối A 2004)
(29)Giải: Cách 1:
2
2
os2 2 cos 2 cos
2 os 2.2 os os
2
2 os sin os
2
M c A B C
B C B C
c A c c
A B C
c A c
Do sin 0, os
A B C
c
nên
2
2 os sin
A
M c A
Mặt khác tam giác ABC không tù nên cos A0, osc 2Acos A
Suy
2
2
2 os sin 2(1 2sin ) sin
2 2
4sin sin 2( sin 1)
2 2
A A A
M c A
A A A
Vậy M 0
Theo giả thiết: M =
2 0 os cos 90 os 45 sin 2
c A A
A B C c B C A
Cách 2: Từ đề ta có cos2A2 2( osB+ cos ) 0c C
2
1 2sin os os sin 2 sin os (*)
2 2
B C B C A B C
A c c A c
Vì tam giác ABC không tù nên
A
sin
2
sin 2sin os sin
2 2
2 os
2
A
A A A
A c A c
Như vế trái (*)
2
2sin 2 sin os
2 2
A A B C
c
2
( sin os ) sin
2 2
A B C B C
c
Vậy từ (*) ta có: sin os
A B C
c
sin
B C Suy sin 2 A
2
B C
Vậy A90 ,0 B C 450
Cách (Ước lượng + phép tính đạo hàm)
(30)2 2
4
4
2 os sin os 2(1 2sin ) sin
2 2
8sin 8sin sin
2 2
2
8 2, sin (0; ]
2
A B C A A
M c A c
A A A
A
t t t t
Đặt
4 2
( ) 8 2, (0; ]
2
f t t t t t
3
'( ) 32 16 ''( ) 96 16
16
''( )
96
f t t t
f t t
f t t
Sự biến thiên f’(t)
- 0 +
f'( 6 6 )
2 2 6
6 0
f'(t) f''(t)
t
Ta có
6 16
m inf '( ) '( )
6
t f
Vậy
2 '( ) 0, (0; ]
2
f t t
Suy f(t) đồng biến (0; ]
2
( ) ( )
2
f t f
Vậy M 0
Dấu đẳng thức xảy
0
os
90
2 45
sin
2
B C c
A
A B C
(31)Nhận xét: Cách phức tạp, rườm rà cách khơng sử dụng ước lượng
2
os cos
c A A A khơng tù ( tới hàm bậc sin A t
)
Cách 4: (Ứng dụng tích vơ hướng véc tơ)
Từ điểm O thuộc ABC vẽ véc tơ
đơn vị e e e1, ,2
theo thứ tự vng góc với cạnh BC, AC, AB hướng ABC,
1
e e e
Ta có (2 e1 2e2 )e3
2 2
1 3
4e 2e 2e e e e e e e
e2 e3 e1 B A O Để ý
1, os 1, cos
e e C c e e C
Tương tự có 3
os , cos
os , cos
c e e B
c e e A
Ta 2 cos C cosB 4cosA
2cosA 2 cosB 2 cosC 2cosA 2 cosB 2 cosC
Theo giả thiết A
nên cos2AcosA
Suy cos2A2 osc 2A 1 2cosA1
Bởi từ (1) kéo theo cos2A2 cosB2 cosC3
Dấu đẳng thức xảy
2
1
os cos
2 2
c A A
e e e
2 3
0
0
0
cos 90
2 (2 ) 4
90
90 90
1
cos 45
2 cos
2
A A
e e e e e
A
A A
B B C
B
Bài Cho
cos(x y)
cos(x y)
Tính tgx.tgy
(32)Bài Tính sin x cos x4 biết sin2x =
Bài 9 Cho sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính tga tgb
Bài 10 Cho
3 sin a cos a
5
Tính sin2a
Bài 11 a Cho (1 a cos x)(1 a cos y) a (a 0;1)
Chứng minh:
2
2
x
tg 1 a
2 (x (2k 1) ; y k2 )
y a tg
2
b.Cho
4
sin cos
a b a b
(a,b>0).
Chứngminh:
8
3 3
sin s
a b a b
co
Bài 12 Cho x = cos2a(0 a ) Tính giá trị biểu thức:
1 (1 )
2
x x
y
x
Bài 13 Chứng minh có a c 2b
sin a sin b sin c
tgb cosa cosb cos c
Bài 14 Chứng minh ta có msin(a +b) = cos(a – b) với a b k
và m 1
1
1 sin sin
A
m a m b
không phụ thuộc a,b.
Bài 15
a Cho cos() k cos( ) Chứng minh rằng:
1 k
tg tg (k 1)
1 k
b Cho cos( 2 ) k cos( ). Chứng minh rằng:
1 k
tg( ).tg (k 1)
1 k
Bài 16 Cho
a sin(x ) A cos(x )
;
b sin(x ) B cos(x )
Chứng minh:
aA bB
cos( )
aB bA
Bài 17 Cho tg a tg b tg b tg c tg c tg a2 2.tg a tg btg c2 2 1 Chứng minh rằng: sin2asin2bsin2c 1
Bài 18 Chứng minh ta có:
1
( 1; 0)
1
y y
tg x y y
y y
(33)Bài 19 Cho sinx + cosx = a Tính sinn xcosnx theo a với n = 1, 2, , 7
Bài 20 Cho
sin y n.
sin(2x y) m Tính
tgx tgy A
tgx(1 tgx.tgy)
Bài 21 Chứng minh a b k
(tga + 1)(tgb + 1) =
Bài 22 Chứng minh tam giác ABC có a + c = 2b
0
1
cosB B 60
2
Bài 23 Chứng minh tam giác ABC có
0
a
1 1
A 120
b c l
Bài 25 Chứng minh có tga = 2tgb sin(a + b) = 3sin(a - b)
Bài 26 Tìm mối liên hệ a, b, c cho:
2 2
2
a sin a sin b sin c 2sin a sin bsin c b tg(a b)sin c cosc
c sin(a b) sin a sin b
Bài 27 Cho tg, tg nghiệm phương trình: ax2 bx c 0
Tính theo a, b, c giá trị biểu thức:
A a sin (2 )bsin( )cos( )ccos2( )
Bài 28 Cho
2
2
r 1 2r cos B r
1 2r cos A r r
Chứng minh:
2 A B r
tg tg
2 r
Bài 29 Cho ba số a, b, c đơi khác góc , A, B,Cthoả
mãn:
a b c
tg( A) tg( B) tg( C)
Chứng minh:
2 2
a b b c c a
sin (A B) sin (B C) sin (C A)
a b b c c a
Bài 30 Cho biết cos cos cos 0 Chứng minh:
1
cos cos cos (cos3 cos3 cos3 )
12
Bài 31 Cho a b hai góc nhọn Chứng minh rằng:
2
sin a sin b sin(a b) a b
(34)Bài 32 Cho
sin x sin 3x sin 5x
a b c Chứng minh:
a c b a
b a
Bài 33 Cho tg (a + b) = 3tga Chứng minh: sin(2a 2b) sin 2a 2sin 2b
Bài 34 Chứng minh :
a b b c c a
sin a sin b sin c sin(a b c) 4sin( )sin( )sin( )
2 2
Bài 35 Chứng minh rằng:
tg(x y) tg(y z) tg(z x) tg(x y).tg(y z).tg(z x)
Bài 36 Cho biết tg , tg1 2, tg3là ba nghiệm phương trình
x ax bx c 0
và tg , tg , tg1 2 3 ba nghiệm phương trình x3cx2bx a 0 .
Chứng minh:
1 2 3 1 2 3
tg( ) tg( ) tg( ) tg( ).tg( ).tg( )
MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Như ta thấy phép biến đổi lượng giác thật linh hoạt, mềm dẻo Vì mà ta đưa số toán Đại số dạng lượng giác để khai thác phép biến đổi đó, tốn trở nên đơn giản Chẳng hạn kì thi tuyển sinh Đại học năm 2008 vừa qua đề thi khối B có áp dụng phương pháp này:
Bài 1: (ĐH khối B 2008)
Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x2y2 1 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức
2
2
2( )
1 2
x xy
P
xy y
.
Giải:
Từ giả thiết x2y2 1 ta đặt x = sint, y = cost, t[0;2 ] Khi
2
2
2(sin 6sin cos ) os2 6sin os2 6sin 2sin cos os sin os2 sin os2
t t t c t t c t t
P
t t c t t c t t c t
(2 sin os2 ) os2 6sin ( 6)sin ( 1) os2
P t c t c t t P t P c t P
(1)
(35)2 2
12 36 1 4
3 18
P P P P P P
P P P
Vậy giá trị nhỏ P -6 giá trị lớn P
Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:
a) y = 2sin8x + cos42x
b) y4sinx cosx
Hướng dẫn:
a) Ta có
4
1 os2
2( ) os
2
c x
y c x
Đặt t = cos2x với 1 t Khi
4
1 (1 )
y t t
3 3
1
' (1 ) , ' (1 )
2
y t t y t t t t t
Ta có
1
(1) 1; ( 1) 3; ( ) 27
y y y
Do R R
1 max 3;
27
x x
y y
b) Do điều kiện sinx 0,cos x0 nên miền xác định [ , ],
2
Dk k k Z
Đặt t cos , 0x t 1 t4 cos2x 1 sin2 x s inx 1 t4
Vậy
8
4
1 ,
' 0, [0;1)
2 (1 )
y t t t
t
y t
t
Nên y giảm (0; 1)
Vậy maxx D (0) 1, minx D (1)
y y y y
Cách khác:
4sin cos 4sin 1
y x x x
Dấu “=” chẳng hạn x = Suy maxy =
4sin cos cos 1
y x x x
(36)Bài 3: Cho hàm số y sin4 x c os4x sin x cosm x Tìm m để y xác định với x,
Hướng dẫn:
Xét
4
2 2 2
2
( ) sin os sin x cos
(sin os ) sin 2sin os
1 sin sin 2
f x x c x m x
x c x m x xc x
x m x
Đặt t = sin2x với t [ 1;1]
Y xác định với x
2
[ 1;1]
( ) 0, R
1 0, [ 1;1]
2
( ) 2 0, [ 1;1]
max ( ) ax{ ( 1); (1)} max{ 1; 1}
1
1
2
1 2
2
t
f x
t mt t
g t t mt t
g t m g g
m m
m
m m