sinA+sinB+sinC cos cos cos... Chứng minh rằng tam giác ABC nhọn T >2.. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có : là nửa chu vi.. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.. Thì tam giác A
Trang 1Vấn đề 1 : Hệ Thức Lượng Cơ Bản
Kiến thức cơ bản
Hệ quả 1 :
1 tan
cot tan cot 1
1 cot
tan
a
a
a
a
= ⇔
Hệ quả 2 : 1 tan2 12
cos
a
a
1 cot2 12
sin
a
a
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA 1
CUNG
1 Tính sina , tana, cota biết cosa = 4
5 và 0
0< <a 90
Đs : sin 3, tan 4,cot 3
2 Tính cosa, tana, cota biết sin 12
13
a= − và 3
2
π < <
Đs : cos 5 , tan 12,cot 5
3 Tính cosa, sina, cota biết tana= − 2 và
0
90 a 0
− < <
3
4 Tính sina, cosa, tana biết cota=3và
180 < <a 270
Đs :sin 1 ,cos 3 10,t 10
10
a= − a= − ana=
5 Cho tana−cota =1 ,0< <a 900 Tính sinx, cosx, tanx, cotx
Đs :
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN
6 .tính cot 2 tan
tan 3cot
E
−
=
+ biết
3 sin
5
a= và
90 < <a 180
57
E= −
7 Tính sin 3cos
cos 2sin
F
−
=
+ biết tana= −3 Đs: 6
5
F =
8 Tính
2cos sin cos sin
G
=
cota=2
7
G = −
9 Tính 2sin 3cos
sin cos
H
−
=
+ biết tana=2
Đs : 1
3
H =
Đơn giản các biểu thức sau :
10.M = −(1 sin2x)cot2x+ −1 cot2x
Đs :M =sin2x
11
2 2cos 1 sin cos
a N
−
=
+
Đs :N =cosa−sina
12
2
1 2sin sin cos
a P
−
=
−
Đs :P= −sina−cosa
cos a+sin a=1
Trang 213.Q = sin2a(1 cot+ a) +cos a2 (1 t+ ana)
Đs :Q = sina+cosa
Chứng minh các đẳng thức lượng giác
sau :
14.3 sin( 4a cos a+ 4 ) (−2 sin6a cos a+ 6 ) =1
sina−cosa =cos a 1 t− ana +sin a 1 cot− a
16.tan2a−sin2a=tan sin2a 2a
17.cot2a cos a− 2 =cot 2a cos a2
+
+
19 1 cos 1 cos 2cot 0
π + − − = < <
Chứng minh rằng các biểu thức sau
độc lập với a.
20
3 sin3
sin cos cos sin
cos a a
+
+
Đs :A=1
21.B=2 sin( 6a cos a+ 6 ) (−3 sin4a cos a+ 4 )
Đs :B= −1
22.C =3 sin( 8a cos a− 8 ) (+4 cos a6 −2sin6a) +6sin4a
Đs:C =1
23.D=4 sin( 4a+cos4a) −cos4a
Đs : D=3
24.E=8 cos( 8a−sin8a) −cos6a−7cos2a
VẤN ĐỀ 2 – GÓC CUNG LIÊN KẾT.
25.tan10 tan 20 tan 70 tan800 0 0 0 =1
26.cos200 +cos40 os1600 c 0 +cos1800 = −1
27.tan 500 +tan 750 =tan 2300 +tan 2550
28.cos200 +cos400 =sin1100 +sin1300
29.sin 250 +sin 650 =sin1550 +sin1150
30.sin 750 +sin 650 +cos1650 +cos2050 =0
31
0 0
sin168 sin192
cot12 2 sin 78
Tính giá trị biểu thức :
32
0
sin( 234 ) os216
tan 36 sin144 os126
c A
c
=
− ĐS:A=1
0
cot 44 tan 226 os406
ot17 ot73 os316
c
c
+
Đs :B=1
34 C = cot 5 cot10 cot80 cot850 0 0 0
Đs :C=1
35 D= cos10 cos20 cos30 cos190 cos200 cos2100+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0
Đs :D=0 36
sin 5
E
π π
=
Đs : E=1
Đơn giản biểu thức sau :
37
F= π α+ −c π − +α π α− + π −α
S: F = −2sinα
38 os( 5 ) sin 3 tan cot 3
G c= α π− + − + −π α π +α π −α
ĐS: G =1
39 cot( 2 os) 3 os( 6 ) 2sin( )
2
H= α π− c α − π +c α π− − α π−
÷
ĐS: H =2sinα
VẤN ĐỀ 3 : CÔNG THỨC CỘNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN
c a b+ = a b− a b
c a b− =c a b+ a b
sin(a b+ = ) sin cosa b c a+ os sinb
sin(a b− = ) sin cosa b c a− os sinb
1 tan tan
a b
a b
+ + =
−
1 tan tan
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả : Biến đổi biểu thức
E a= x b+ x về dạng tích số
i Giả sử a2 +b2 > 0 ( và a và
Trang 3b không đồng thời triệt tiêu)
Ta có :
2 2
2 2
2 2
cos sin
cos os sin sin os( )
E a x b x
a b x c x
a b c x
ϕ
Áp dụng kết quả trên ta có :
4
a+ a= c a−π
4
a− a= c a+π
4
a+ a= a+π
4
a− a= a−π
Rút gọn các biểu thức sau :
40.A c= os54 os40c 0 −cos36 os860c 0
ĐS : A cos= 580
41.B=sin 56 sin 40 0 −sin 34 sin860 0
2
B= −
42
tan 64 tan176
1 tan 64 tan 356
−
43.D=sin( 17 ) os( 13 ) sin( 13 ) os( 17 )a− 0 c a+ 0 − a+ 0 c a− 0
2
D= −
E= π +αc π −α
ĐS : E cos a= 2
45 os( ) sin sin
sin( ) sin cos
F
+ +
=
− −
ĐS : F = −cotb
46
5
5
G
+ − +
=
ĐS : G= − 3
sin( ) sin( )
a b
+
ĐS : H =cotb
48 sin cos
sin cos
K
+
=
−
4
K = − a+π
Chứng minh rằng :
49.cot( ) cot cot 1
cot cot
a b
± =
±
m
50 tan(a b+ −) tana−tanb=tan tan tan(a b a b+ )
a b
52.sin (2 a b+ −) sin2a−sin2b= 2sin sin os(a b c a b+ )
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
53.A c= os (2 a x− +) cos2x−2cos cos os(a x c a x− )
ĐS : A=sin2a
54
os 2cos cos os( ) os ( )
B c= x− a x c a x+ +c a x+
ĐS: B=sin2a
55.CMR với mọi tam giác không vuông ta đều
có : tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C
56.CMR với mọi tam giác ABC ta đều có : tan tan tan tan tan tan 1
57.Cho tam giác ABC thỏa mãn :
2
tanA+2 tanB=tanA.tan B
Chứng minh rằng tam giác ABC cân
Trang 4VẤN ĐỀ 4 : CÔNG THỨC NHÂN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Công thức nhân đôi
sin 2a= 2sin cosa a
2 2
1 2sin
a
−
2
2 tan tan 2
1 tan
a a
a
=
−
Hệ quả
2
a
t = , ta có :
2 2 2
2
2 sin
1 1 cos
1 2 tan
1
t a t t a t t a t
= +
−
= +
=
−
Công thức nhân 3
3 3
3 3
tan 3
1 3tan
a
a
−
=
−
58.Tính sin 2 , os2 , tan 2a c a a biết
a=− v π < <a π
a= cos a = − a= −
59.Tính tan 2 ,cos 4 à 0
a a= v −π < <a
tan 2
119
a=
Tính giá trị biểu thức sau:
60 sin os os os
A= π c π c π c π
16
A=
61 sin os os os
B= π c π c π c π
16
B=
62.C =2cos 752 0 −1
2
C = −
63.D= −1 2sin 752 0
2
D= −
64.E=(cos150−sin150)(cos150 +sin150)
2
E=
65.F =(cos750 −sin 750)(cos750 +sin 750)
2
F = −
66
2
7 tan 8
1 tan
8
G
π π
=
−
2
G = − 67
2 0 0
1 cot 105 cot 75
H = −
Chứng minh rằng :
68.cos sin3 sin cos3 sin 4
4
a
69
1
− 70
2
1 1 2sin tan 2
os2 1 sin 2
a a
−
−
71.cos sin cos sin 2 tan 2 cos sin cos sin
a
a
73.sin 2 2sin tan2
+
Trang 574.1 sin 2sin2
2 4
a
75.sin3a=4sin sin(60a 0 +a).sin(600 −a)
76.cos3a=4 os os(60c a c 0 +a c) os(600 −a)
77.tan3a=tan tan(60a 0 +a).tan(600 −a)
Tính các biểu thức sau :
3 2cos
a M
a
=
− nếu tan2 2
a =
ĐS : 4
21
M =
79 tan 2 sin 2
tan 2 cos 2
N
+
=
− nếu
2 tan
15
a=
35101
N = −
80 2sin 2 os2
tan 2 cos 2
a c a P
−
=
1 tan
a = −
ĐS: 287
551
P= −
VẤN ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI TÍCH
THÀNH TỔNG
1
2
a b= c a b+ +c a b−
1
2
a b= − c a b+ −c a b−
1
2
a c b= a b+ + a b−
1
2
c a b= a b+ − a b−
Biến đổi các biểu thức sau thành tổng :
81 sin(a b+ ).sin(a b− )
2cos a 2cos b
82 sina.sin2a.sin3a ĐS: 1sin 6 1sin 4 1sin 2
83 cos cos cosa b c
ĐS:
cos a b c cos a b c cos b c a cos c a b
Chứng minh các đẳng thức sau:
84.
sin sin(a b c− +) sin sin(b c a− +) sin sin(c a b− =) 0
85 os(a+b).sin(a-b)+cos(c b c+ ).sin(b c c c a− +) os( + ).sin(c a− =) 0
a− − c + =
87.Cho tam giác ABC có
4
A= B C CMR c= A c+ B c+ C =
VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI TỔNG
THÀNH TÍCH
KIẾN THỨC CƠ BẢN
a b a b
a b a b
a− b= − + −
a b a b
a+ b= + c −
a b a b
a− b= c + −
Hệ quả :
4
a+ a= c a−π
4
a− a= c a+π
4
a+ b= a+π
4
a− b= a−π
Trang 6( )
sin
cos cos
a b
a b
+
( )
sin
cos cos
a b
a b
−
( )
sin
sin sin
a b
a b
+
( )
sin
sin sin
a b
a b
−
Biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :
88.sin 700 −sin 200 +sin500
ĐS:4.sin 25 0cos35 0cos100
89.cos440 −cos220 −2 os79c 0
ĐS:
0
0 2 57 4sin11
2
cos
−
90 sinx+sin 2x+sin 3x
4cos sin
91.1 cos+ x c+ os2x
cosx.cos +π cos −π
Đơn giản các biểu thức sau:
A
ĐS : 2.cot
2 sin
b a A
b
+
=
1 3sin 2cos
x c x B
=
B= x π π+
Chứng minh rằng :
94.cos850 +cos350 −cos250 =0
95.cos1300 +cos1100 −cos100 =0
VẤN ĐỀ 7 : CÁC BIẾN ĐỔI VỀ GÓC
TRONG TAM GIÁC
A, B , C là 3 góc trong 1 tam giác , ta có :
A B C+ + = π vậy :
A B+ = − π C(bù) A B+ = − π C ( phụ) sin(A B+ ) sin = C
c A B+ = −c C sin 2 os 2
c
+ =
A B+ = C
Bất đẳng thức côsi
Cho a ,b >0 ta luôn có a b+ ≥ 2 a b hay
2
.
2
a b
a b +
Tổng quát : a a1 , , , 2 a n ≥ 0 ta luôn có
Bất đẳng thức BOUNHIACOSKY
a +b c +d ≥ a c b d+ hay
(a c b d + ) ≤ (a2 +b2) (c2 +d2)
Định lí hàm số sin
2
R
A= B = C =
Định lí hàm số cosin
2 cos cos
2
b c a A
bc
= + −
+ −
Cho tam giác ABC biến đổi các biểu thức sau
về dạng tích :
96 sinA+sinB+sinC
cos cos cos
Trang 797 sin 2A+sin 2B+sin 2C
ĐS:4.sin sin sinA B C
98 cot cot cot
ĐS:cot cot cot
A , B , C là 3 góc của 1 tam giác Chứng minh
rằng :
99 cos cos cos 1 4sin sin sin
A+ B+ C = +
100
cos2A+cos2B+cos 2C= − −1 4cos cos cosA B C
101
c A c+ B c+ C = − A B C
102
sin A+sin B+sin C = +2 2cos cos cosA B C
103 tanA+ tanB+tanC=t anA.tan tanB C
104 tan cot cot cot cot tan 1
105.sin 5 sin 5 sin 5 4 os5 os5 os5
106.sin 6A+ sin 6B+ sin 6C = 4sin 3 sin 3 sin 3A B C
107 Chứng tỏ rằng nếu tam giác ABC có
t anA tan 2cot
2
C B
+ = thì tam giác ABC là 1
tam giác cân
108 Cho tam giác ABC , đặt
T = A+ B+ C Chứng minh
rằng tam giác ABC nhọn T >2
109 Hãy nhận dạng tam giác ABC biết :
c A c+ B c+ C =
110 Cho tam giác ABC có các cạnh và các góc thỏa mãn hệ thức : 1 cos 2 2 2
− Chứng minh tam giác ABC cân
111 Số đo 3 góc của tam giác ABC lập thành 1 cấp số cộng và thỏa mãn hệ thức :
sin sin sin
2
A+ B+ C= + Tính các góc
A, B , C
112 Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi và chỉ khi : cosa B b− cosA a= sinA b− sinB
113 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có :
là nửa chu vi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) Thì tam giác ABC là tam giác đều
114 Giả sử tam giác ABC thỏa mãn điều kiện :
2 cosa A b+ cosB c+ cosC = + +a b c Thì tam giác ABC là tam giác đều