Công thức lợng giác GV: Giang Xuân Chiêm Một số công thức lợng giác I. Tóm tắt lý thuyết: 1. Công thức cộng: sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb tan(a-b)= tan tan 1 tan .tan + tan(a+b)= tan tan 1 tan .tan + 4. Công thức biến đổi tích thành tổng: cosa.cosb = 1 2 [cos(a b )+ cos(a+b)] sina.sinb = 1 2 [cos(a b ) cos(a+b)] sina.cosb = 1 2 [sin(a b )+ sin(a+b)] 2. Công thức nhân đôi: sin2a=2sina.cosa cos2a= cos 2 a-sin 2 a cos2a= 2cos 2 a-1 cos2a= 1-2sin 2 a tan2a= 2 2 tan 1 tan a a 3. Công thức hạ bậc: sin 2 a= 1 cos 2 2 a cos 2 a= 1 cos2 2 a + tan 2 a= 1 cos 2 1 cos 2 a a + 5. Công thức biến đổi tổng thành tích: cosa+cosb=2cos 2 a b + cos 2 a b cosa-cosb=2sin 2 a b + sin 2 a b sina+sinb=2sin 2 a b + cos 2 a b sina-sinb=2cos 2 a b + sin 2 a b tana+tanb= ( ) sin cos .cos a b a b + tana-tanb= ( ) sin cos .cos a b a b II. Bài tập: A. Dùng công thức cộng: B i 1. Tính giá trị lợng giác của các cung: a) 15 o b) 7 12 B i 2. a) Biết sinx= 3 5 và 2 x < < . Tính tan 3 x + ữ b) Biết sina= 4 5 và 0 0 <a<90 0 , sinb= 8 17 và 90 0 <a<180 0 . Tính cos(a+b) và sin(a-b) c) Cho hai góc nhọn a và b với tana= 1 1 , tan 2 3 b = . Tính a+b. d) Biết tan 4 a m + = ữ với m-1. Tính tana. B i 3. Chứng minh rằng: a) sin(a+b).sin(a-b)=sin 2 a-sin 2 b=cos 2 b-cos 2 a b) cos(a+b).cos(a-b)=cos 2 a-sin 2 b=cos 2 b-sin 2 a B i 4. a) Cho a-b 3 = . Tính (cosa+cosb) 2 +(sina+sinb) 2 ; (cosa+sinb) 2 +(cosb-sina) 2 b) Cho 1 1 cos ;cos 3 4 a b= = . Tính cos(a+b).cos(a-b) Bài 5. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: a) tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC (với điều kiện ABC không phải tam giác vuông) b) tan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C A C + + = TRờng THPT Nguyễn Trãi - Thái Bình -1- C«ng thøc lîng gi¸c GV: Giang Xu©n Chiªm B. C«ng thøc nh©n ®«i: Bµi 6. Chøng minh r»ng: a) 2 cot tan sin 2 x x x + = b) cot x-tanx=2cot2x c) sin 2 tan 1 cos 2 x x x = + d) 1 cos 2 sin 2 tan 1 cos 2 sin 2 x x x x x − + = + + e) 1 cos 2 1 cos 4 . cot cos 2 sin 4 x x x x x + + = Bµi 7. TÝnh cos2a, sin2a, tan2a. BiÕt: a) 3 cos 7 a = − vµ 3 2 a π π < < b) tana=-3 Bµi 8. Cho sin2a= 4 5 − vµ 3 4 a π π < < . TÝnh sina, cosa. Bµi 9. TÝnh : a) A= sin .cos .cos 16 16 8 π π π b) B=sin10 0 .sin50 0 .sin70 0 Bµi 10. Chøng minh r»ng: a) cos4x=8cos 4 x-8cos 2 x+1 b) sin 4 x+cos 4 x= 1 3 cos 4 4 4 x + c) sin 6 x+cos 6 x= 3 5 cos 4 8 8 x + d) cos3a=4cos 3 a-3cosa e) sin3a=3sina-4sin 3 a f) tan3a= 2 2 tan (3 tan ) 1 3 tan a a a − − C. C«ng thøc biÕn ®æi: Bµi 11. BiÕn ®æi thµnh tæng: a) A= sinx.sin2x.sin3x b) B=4.sin3x.sin2x.cosx c) C= cos .cos .cos 2 4 4 x x x π π + − ÷ ÷ d) D= 4cos(a-b).cos(b-c).cos(c-a) Bµi 12. BiÕn ®æi thµnh tÝch: a) A= 1+cosx+cos2x+cos3x b) B=sina+sinb+sin(a-b) c) C= sinx+sin3x+sin5x+sin7x d) D=1+sinx-cos2x Bµi 13. Chøng minh: a) cos5x.cos3x+sin7x.sinx=cos2x.cos4x b) sin5x-2sinx(cos2x+cos4x)=sinx c) sinx.sin 3 x π − ÷ . sin 3 x π + ÷ = 1 4 sin3x d) 2 2 3 sin sin sin .sin 3 3 4 x x x x π π + − + − = ÷ ÷ e) 2 sin 2 sin 5 sin 3 2sin 1 cos 2sin 2 x x x x x x + − = + − f) 4cosx.sin2x.sin3x=1+cos2x-cos4x-cos6x Bµi 14. Chøng minh r»ng trong tam gi¸c ABC, ta cã: a) sinA+sinB+sinC=4 cos .cos .cos 2 2 2 A B C b) cosA+ cosB+ cosC= 1 4sin .sin .sin 2 2 2 A B C + c) sin2A+ sin2B+ sin2C=4sinA.sinB.sinC d) cos 2 A+cos 2 B+cos 2 C=1-2cosA.cosB.cosC TRêng THPT NguyÔn Tr·i - Th¸i B×nh -2-