Phương pháp đồng bậc trong giải hệ phương trình

Các bài toán về hệ phương trình thường xuất hiện trong các kì thi Đại học, Cao đẳng.. Lê Xuân Thắng[r]

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC

Các tốn hệ phương trình thường xuất kì thi Đại học, Cao đẳng Để giúp bạn học sinh ôn tập tốt phần này, viết xin nêu phương pháp hiệu để giải lớp hệ phương trình phương pháp đồng bậc

Thí dụ 1: Giải hệ phương trình

   

2

2

2

4 5

x xy y x xy y

   

 

  

 

Giải: Lấy (1) nhân (2) nhân ta phương trình đồng bậc

 2  2 2    

5 26 30

2

x y

x xy y x xy y x xy y x y x y

x y  

               

 

Với x5y thay vào (1) ta có

2 2

18

2

y   y   y

tương ứng

5 2

x

Với

3

y x

thay vào (1) ta có y2  4 y2 tương ứng x3.

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm    

5 2 2

; ; ; ; 3;2 ; 3;

2 2

   

   

   

   

   

Thí dụ 2: Giải hệ phương trình  

2

3

30 (1) 35

x y y x x y

  

 

 

 

Phương trình phương trình đối xứng loại nhiên giải theo phương pháp đồng bậc

Giải: Lấy (1) nhân (2) nhân ta phương trình đồng bậc

 2   3 2      

7 6 7 3

2

x y

x y y x x y x x y y x y x y x y x y x y

x y 

   

              

    

Với x ythay vào (2) suy vô nghiệm.

Với

3

x y

thay vào (2) ta có y3  8 y2suy x3.

Với

2

x y

thay vào (2) ta có y327 y3suy x2.

Thí dụ 3: Giải hệ phương trình

    2

3

2

2 2

y x

x y y x

  

 

  

 

Giải: Từ (1) (2) ta phương trình đồng bậc

     

 

3 2 2 2

2

2 2 2 5

3

x y y x y x x x y xy y x y x xy y

x y

x xy y

             

   

  



Với xy thay vào (1) ta y2  1 y1.

Ta có

2

2 3 5 11 0

2

x  xy y x y  y 

  Rõ ràng x y 0 nghiệm hệ

phương trình Vậy (3) vơ nghiệm

Vậy hệ cho có nghiệm 1;1 ,  1; 1 

Thí dụ 4: Giải hệ phương trình

   

2

5

x y x y y

x y

    

 

 

 

Giải: Điều kiện phương trình x y 0

Phương trình (1) hệ phương trình đồng bậc

 

2 2

2 2

2

2

2 2x+2

2

2

0

5

5

y x

x y x y y x y y x y y x

x y y x

y x y x

y y xy

y x

 

 

            

  

  

 

 

    

  

   

 

Với y0 thay vào (2) ta suy x9 (loại)

Với 5y 4x0 thay vào (2) ta có

4

1

5

x  x  y

(thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có nghiệm

4 1;

5

 

 

 .

Thí dụ 5: Giải hệ phương trình

2

5 3

3 31

7

x xy y x y x y

   



 



 



Giải: Điều kiện phương trình x y  

     

2

2

5

5 3

3

3 3 1

31

7 31

7

x xy y x xy y

x y

x y x y

x y

       

 



  

   

  



 5  2  3 4  

21 x y 31 x xy y x y 10x 31x y31x y 31xy 10y 0 .

Rõ ràng x y 0 khơng phải nghiệm hệ phương trình Đặt x ty thay vào (3) ta được:

 

  

5 5

4

4

10 31 31 31 10 10 31 31 31 10

1

1 10 21 10 21 10

10 21 10 21 10

y t t t t t t t t

t

t t t t t

t t t t

          

  

        

    



Với t  1 t 1 hay x y x y 0 (loại).

Với 10t421t310t221 10 3t    Vì t0 khơng phải nghiệm phương trình (3) chia hai vế phương trình cho t2 ta được:

2

1

10 t 21 t 10

t t

   

    

   

    ,

Đặt

2 2

2

1 1

2; u 2

u t u t t u

t t t

          

Khi (3) trở thành

2

10 21 10

5

u

u u

u 

 

    

  

Với

5

u

ta có

2

2

1

2 1

2

2

t

t t t

t t

  

      

  

Với t2 ta có x2y vào (1) ta có 3y2  3 y2  1 y1 tương ứng x2.

Với

1

t

ta có y2x vào (1) ta có 3x2 3 x2 1 x 1

     tương ứng y2.

Vậy hệ cho có bốn nghiệm 1; , 1;2 , 2; , 2;1         

Thí dụ 6: Giải hệ phương trình

3

2

7

2

x y y

x y xy y

  

 

  

 

Giải:

   

   

3

3

2

7

2 9 2

y x y x y y

x y xy y y x y

  

  

 



 

  

  

 

Từ hệ suy x.y 0;  xy, y 0 .

Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn Lấy hai phương trình thu chia cho ta thu phương trình đồng bậc:

 

 

3

3 3 3

8

4

7

y x y y x y





 Đặt x ty

ta phương trình:

 

   

3

3 3

8

1 7

t t

 

 Từ phương trình suy t1.

Xét

     

3

8

1

; t 1

t f t

t 

  



         

 

     

 

     

 

2 7

2 3 3

8

2

3

8

9 1 1 1 9 8

f'

1

1

0

1

t t t t t t t t t t

t

t t

t t t t

t t

         

 

 

   

   



Vậy f(t) đồng biến với t1 Nhận thấy t2 nghiệm (3) Vậy t2 nghiệm

duy Với t2 ta có x2y vào (1) ta y4  1 y1 (vì y0) suy x2.

Vậy hệ có nghiệm 2;1

Bài tập tự làm

Giải hệ phương trình sau Bài 1:

3

4

1

4

x y xy x y x y

   

 

  



 .

Bài 2:  

3

2

8

3

x x y y

x y

   

 

  



 .

Bài 3:

2

1

x y xy

x y

   

 

   

 

Bài 4:

3 6 9 4 0

2

x x y xy y x y x y

    

 

   

 

Bài 5:

4 6

1

x y x y

  

 

 

 

Bài 6:

5

9 4

1

x y

x y x y

  

 

  

 

Bài 7:

  

  

2 2

13 25

x y x y x y x y

   

 

  

 

Bài 8:

2

2 2

x xy y 3(x y)

x xy y 7(x y)

    

 

   

 

Lê Xuân Thắng