SKKN sử dụng phương pháp đồng bậc để giải phương trình và hệ phương trình

MỤC LỤC Trang DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT PHẦN : MỞ ĐẦU Mục đích Đóng góp sang kiến PHẦN : NỘI DUNG Chương : Thực trạng vấn đề mà SKKN đề cập đến 1.Thực trạng việc dạy phương trình hệ phương trình trường THPT 2.Thực trạng việc học phương trình hệ phương trình trường THPT Chương 2: Những giải pháp 1.Giải phương trình cách biến đổi đưa dạng đồng bậc 2.Giải hệ phương trình cách biến đổi đưa dạng đồng bậc 11 2.1.Biến đổi hai phương trình hệ thành phương 11 trình đồng bậc 2.2.Kết hợp hai phương trình hệ biến đổi thành phương 14 trình đồng bậc 2.3.Biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình đồng bậc 18 nhờ phép đặt ẩn phụ 3.Sử dụng phương trình đồng bậc để sáng tạo phương trình hệ phương trình 24 Chương : Kiểm chứng giải pháp triển khai 26 PHẦN : KẾT LUẬN 27 PHẦN : PHỤ LỤC 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT CĐ Cao đẳng ĐH Đại học ĐK Điều kiện ĐC Đối chứng HS Học sinh HSG Học sinh giỏi TB Trung bình THPT Trung học phổ thông PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.Mục đích Qua phân tích phương pháp dạy học theo hướng rèn luyện kỹ giải tốn, phân tích thực trạng giảng dạy giáo viên, phân tích khó khăn sai lầm học sinh giải phương trrình hệ phương trình Ngồi thân tơi trình dạy học năm gần theo dõi đề thi ĐH, thi HSG cấp có phần ứng dụng phương pháp đồng bậc để giải phương trình hệ phương trình Quan trọng sách giáo khoa, tài liệu tham khảo thị trường chưa có nhiều chưa xếp thành hệ thống đầy đủ dạng tập sử dụng phương pháp đồng bậc để giải phương trình hệ phương trình Từ kinh nghiệm qua giảng dạy nghiên cứu mảng chuyên đề toán học THPT với lí nên tơi chọn tên sáng kiến là: “Sử dụng phương pháp đồng bậc để giải phương trình hệ phương trình” Đóng góp sáng kiến Góp phần vào việc bồi dưỡng, nâng cao chun mơn cho thân nói riêng, góp phần nâng cao kiến thức, nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng cho giáo viên học sinh việc ôn thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi, mảng toán sử dụng phương pháp đồng bậc để giải phương trình hệ phương trình PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1: Thực trạng vấn đề mà sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến Trong nhiều năm giảng dạy trường THPT Yên phong nhận thấy giáo viên học sinh nhiều hạn chế việc giải phương trình hệ phương trình Đặc biệt mảng kiến thức quan trọng để giúp học sinh ôn thi đại học thi học sinh giỏi 1.Thực trạng việc dạy giải phương trình hệ phương trình trường THPT Giáo viên dạy chủ yếu thơng qua hình thức dạy học chun đề ôn luyện đan xen vào tiết tự chọn, phụ đạo lớp Nội dung sáng kiến chưa có phần cụ thể sách giáo khoa THPT Giáo viên nhiều thời gian để tìm tịi sở lý thuyết xây dựng hệ thống tập Giáo viên gặp khó khăn tìm tài liệu để mở rộng kiến thức ví dụ ứng dụng Giáo viên nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành hệ thống tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác học sinh Thời gian để giáo viên hướng dẫn chữa tập cho học sinh không nhiều Đối với giáo viên khơng chủ chốt tổ chun mơn có hội dạy đội tuyển dạy luyện thi Đại học việc phân loại tập, trình bày lời giải cịn hạn chế đơi lúc cịn mắc sai lầm Thực trạng việc học giải phương trình hệ phương trình trường THPT Học sinh thường có hứng thú với vấn đề giáo viên đặt lúc bắt đầu học Tuy nhiên, học đến định nghĩa xây dựng định lý, hệ học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu mơ hồ vận dụng làm tập Những học sinh trung bình chưa thể hiểu kỹ lý thuyết vận dụng vào tập Nhiều học sinh hiểu chưa kỹ khái niệm, định nghĩa ví dụ mẫu dẫn đến trình bày lời giải tốn chưa khoa học cịn mắc nhiều sai lầm Khả tìm tịi tự học đa số học sinh hạn chế học chưa có khả rút kinh nghiệm, hệ thống dạng tập Nhiều học sinh chưa biết nhiều phương pháp giải toán, kỹ kỹ xảo để xử lý dạng tập phức tạp Thời gian học phần lớp ít, thời gian khơng đủ để em tìm tịi, nghiên cứu Nội dung học tập lớp dừng lại việc dạy học nội dung bản, tập chủ yếu dạng toán đơn giản mà yêu cầu phần lại không đơn giản chút Chương 2: Những giải pháp Giải phương trình cách biến đổi đưa dạng đồng bậc Một số dạng phương trình mà ta đặt ẩn phụ đưa phương trình đồng bậc hai 1) α f ( x ) + β g ( x ) = γ f ( x ) g ( x ) 2) α f ( x ) + β g ( x ) = γ af ( x ) + bg ( x ) Các dạng phương trình biến đổi trở thành phương trình bậc hai: au + buv + cv = Ví dụ Giải phương trình 2( x + 2) = x + Nhận xét: Ta biến đổi phương trình ban đầu dạng 2( x + 2) = ( x + 1)( x − x + 1) u = x + Nếu đặt  ta phải phân tích v = x − x + x + = mv + nu = m( x − x + 1) + n( x + 1) m = m =  Đồng thức ta có hệ n − m = ⇔  m + n = n =  Như ta phân tích x + = ( x − x + 1) + ( x + 1) Giải: ĐK: x ≥ −1 Phương trình có dạng : 2( x + 2) = ( x + 1)( x − x + 1) u = x + Đặt  v = x − x + (u ≥ 0) u = x + ⇒ 2 (v > 0) v = x − x + Khi ta có phương trình: 2( x + 2) = ( x + 1)( x − x + 1) ⇔ 2( x − x + 1) + 2( x + 1) = ( x + 1)( x − x + 1) ⇔ 2u + 2v = 5uv Do x ≥ −1 ⇒ x − x + ≥ ⇒ v ≠ nên chia vế phương trình cho v ta phương trình u u 2 ÷ − + = v v t = u Đặt t = phương trình có dạng 2t − 5t + = ⇔  t = v  Với t = ⇔ u = 2v ⇔ x + = x − x + ⇔ x − x + = vô nghiệm Với t = ± 37 ⇔ 2u = v ⇔ x + = x − x + ⇔ x = 2 Vậy nghiệm phương trình x = ± 37 Ví dụ Giải phương trình x + x − = x − Giải: ĐK: x ≥ Phương trình có dạng : x + x − = ( x − 1)( x + x + 1) u = x − Đặt  v = x + x + (u ≥ 0) u = x − ⇒ 2 (v > 0) v = x + x + Khi ta có phương trình 3( x − 1) + 2( x + x + 1) = ( x − 1)( x + x + 1) ⇔ 3u − 7uv + 2v = Do x ≥ ⇒ x + x + ≥ ⇒ v ≠ nên chia vế phương trình cho v ta phương trình u u 3 ÷ − + = v v t = u Đặt t = phương trình có dạng 2t − 5t + = ⇔  t = v  Với t = ⇔ u = 2v ⇔ x − = x + x + ⇔ x − 3x + = vô nghiệm Với t = ⇔ 3u = v ⇔ x − = x + x + ⇔ x = ± Vậy nghiệm phương trình là: x = ± Ví dụ Giải phương trình sau x − 14 x + − x − x − 20 = x + Giải: ĐK: x ≥ Chuyển vế bình phương vế phương trình ta x − x + = ( x − x − 5)( x + 4) u = x + Đặt  v = x − x − (u ≥ 0) u = x + ⇒ 2 (v ≥ 0) v = x − x − Khi ta có phương trình: 3( x + 4) + 2( x − x − 5) = ( x − x − 5)( x + 4) ⇔ 3u − 5uv + 2v = Do x = không nghiệm phương trình suy x > ⇒ x − x − > ⇒ v ≠ nên chia vế phương trình cho v ta phương trình u u 3 ÷ − + = v v t = u Đặt t = phương trình có dạng 3t − 5t + = ⇔  t = v   + 61 x = 2 Với t = ⇔ u = v ⇔ x + = x − x − ⇔   − 61 x =   25 + x=  2 Với t = ⇔ 3u = 2v ⇔ x + = x − x − ⇔   25 − x =  Vậy nghiệm phương trình x = Ví dụ Giải phương trình sau ĐK: x ≥ 10 1096 1096 ( L) + 61 25 + 1096 ;x = 2 x + x + x − = 3x + x + Giải: ( L)   , m ÷ Vậy nghiệm hệ phương trình là: (1,1);(−1, −1);  ± 7   x + xy + y + x + y − = (1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  2 (2) 2 x = y + y + Giải:  x + x ( y + 1) + ( y + 1) = Biến đổi hệ phương trình dạng:  2 2 x − ( y + 1) = a + b + ab = a = x Đặt  Từ ta có hệ phương trình:  2 b = y + 2a − b = (*) (**) 2 2 2 Ta có a + b + ab = 3.1 = ( 2a − b ) ⇔ 5a − ab − 4b = Ta thấy b = nghiệm hệ phương trình Xét b ≠ ta chia hai vế phương trình cho b ta thu a a 5 ÷ − − = b b t = a 5t − t − = ⇔  t= t = − b  Đặt ta có phương trình Với t = ⇔ a = ⇔ a = b vào phương trình (**) hệ ta có phương b trình 28 a = ⇒ b =  x = 1; y = a2 = ⇔  ⇔  a = −1 ⇒ b = −1  x = −1; y = −2 a 4 Với t = − ⇔ = − ⇔ a = − b vào phương trình (**) hệ ta có b 5 phương trình  b = ⇒ a = − 7b = 25 ⇔  b = − ⇒ a =  4  x=− ;y =  7 ⇔ x = ; y = −  7 −1 −   ; −1 m ÷ Vậy nghiệm hệ phương trình là: (1,0);(−1, −2);  ± 7   x + y + x + y + = (1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  (2)  x + xy + y + x + = Giải: ( x + 1) + ( y + ) = Biến đổi hệ phương trình dạng:  ( x + 1) − ( x + 1) ( y + ) = a = x + Đặt  Từ ta có hệ phương trình: b = y + a + 2b =  a + ab = 3 Ta có a + 2b = = = ( a + ab ) ⇔ a + 3ab − 4b = 2 Ta thấy b = khơng phải nghiệm hệ phương trình Xét b ≠ ta chia hai vế phương trình cho b ta thu 29 (*) (**) a a  ÷ + − = b b t = a t + t − = ⇔ t = −4 t=  Đặt b ta có phương trình Với t = ⇔ a = ⇔ a = b vào phương trình (**) hệ ta có phương b trình a = ⇒ b =  x = 0; y = −1 a2 = ⇔  ⇔  a = −1 ⇒ b = −1  x = −2; y = −3 Với t = −4 ⇔ a = −4 ⇔ a = −4b vào phương trình (**) hệ ta có b phương trình  b = ⇒ a = − 6b = ⇔  b = − ⇒ a =  4  x=− − 1; y =  6 ⇔  x = − 1; y = −  6 −2 −   − 1; m − ÷ Vậy nghiệm hệ phương trình là: (0, −1);(−2, −3);  ± 6   2 x y + x + x = Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  2 2 x y − x y + xy = Giải: 30 2 x y + ( x + 1) = Biến đổi hệ phương trình dạng:  2 2 xy ( x + 1) − x y = a = xy Đặt  Từ ta có hệ phương trình: b = x +  2a + b =  2ab − a = (*) (**) 2 2 Ta có 2a + b = 3.1 = ( 2ab − a ) ⇔ 5a − 6ab + b = Ta thấy b = khơng phải nghiệm hệ phương trình Xét b ≠ ta chia hai vế phương trình cho b ta thu a a 5 ÷ − + = b b t = a 5t − 6t + = ⇔  t= t = b  Đặt ta có phương trình Với t = ⇔ a = ⇔ a = b vào phương trình (*) hệ ta có phương b trình  x + = ( L )  x = −2  xy = a = ⇒ b =    a2 = ⇔  ⇔ ⇔ y=  a = −1 ⇒ b = −1   x + = −1      xy = −1 Với t = a b ⇔ = ⇔ a = vào phương trình (*) hệ ta có phương b 5 trình 31  a = ⇒ b =  3 9a = ⇔  a = − ⇒ b = −  3   x +1 = x=−     3 a= ⇒b= ⇒ ⇔ 3  y = − xy =     x + = − x = −   3 a=− ⇒b=− ⇒ ⇔ 3  y = xy = −     1    5  5    Vậy nghiệm hệ phương trình là:  −2; ÷;  − ; − ÷;  − ; ÷ 3   1  y ( x + 1)  x + + ÷ = y   Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  2 ( x + 1) = y ( x + 1) +  y Giải: ĐK: y ≠ a = x +  Từ ta có hệ phương trình: Đặt  b = y  Ta có a  b ( a + b ) = (*)   b ( 2a − b ) = (**)  a a b ( a + b ) = 2.1 = ( 2a − b ) ⇔ a + a 2b - 4ab + 2b3 = b a Ta thấy b = khơng phải nghiệm hệ phương trình 32 Xét b ≠ ta chia hai vế phương trình cho b3 ta thu a a a  ÷ +  ÷ − + = b b b t = a t + t − t + = ⇔  t= t = −1 ± b ta có phương trình Đặt Với t = ⇔ a = ⇔ a = b vào phương trình (**) hệ ta có b a = ⇒ b = ⇒ x = 0, y = Với t = −1 + ⇔ (**) hệ ta có b = ) 3+ 3 ⇒a= ⇒x= , y = − 3 3 −3 Với t = −1 + ⇔ (**) hệ ta có b = ( a = −1 + ⇔ a = −1 + b vào phương trình b ( ) a = −1 + ⇔ a = −1 + b vào phương trình b 3− 3 ⇒a= ⇒x=− , y = −2 − 3 −2 −   − 1, ±2 − ÷ Vậy nghiệm hệ phương trình là: (0,1);  ±   4 x + y − x − y + = Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  2 2 x + y + xy − x − y + = Giải: 33 ( x − 1) + ( y − 1) = Ta biến đổi dạng  2 ( x − 1) + ( x − 1) ( y − 1) + ( y − 1) = a = x − Đặt  Từ ta có hệ phương trình: b = y − a + 4b = (*)  2 a + 4ab + 2b = 1.(**) a =  a = ⇒ x = 1, y = ⇔ Với b = ta có hệ phương trình  a =  a = −1 ⇒ x = 0, y =  Xét b ≠ ta có a + 4b = a + 4ab + 2b ⇔ b − 4ab = ⇔ b = 4a Với t = ⇔ a = ⇔ a = b vào phương trình (**) hệ ta có b a = ⇒ b = ⇒ x = 0, y = Với b = 4a vào phương trình (**) hệ ta có 4 11  a = ⇒ b = ⇒ x = , y =  7 7  a = − ⇒ b = − ⇒ x = , y =  7 7  11   3  Vậy nghiệm hệ phương trình là: (0,1); ( 1,1) ;  , ÷;  , ÷ 7  7 7 Bài tập luyện tập  x3 + y = x 1)  3 2 x − y = x x  y + =2  x y 2)   x + y =   x + y − xy =  x2 + y2 = 4)  5)  3 x + y − xy =   x + y + xy = x + y 34  x3 + y = x y 3)  2 y + x = 3xy Sử dụng phương trình đồng bậc để sáng tạo phương trình hệ phương trình Nhận xét: Xuất phát từ phương trình đồng bậc ta tạo vơ số phương trình, hệ phương trình khác cách đổi biến ta giải chúng cách biến đổi đưa phương trình đồng bậc Độ khó phương trình, hệ phương trình phụ thuộc vào độ phức tạp phương trình đồng bậc ta lấy làm sở biến mà ta thay Xuất phát từ phương trình đồng bậc hai: a − 3ab + 2b = (*) a = x + − x 1) Ta  vào phương trình (*) ta phương trình b = x +  11x + x + − (8 x − 3) x + = (1) a = x − 2) Từ phương trình (*) suy ra: a = (3a − 2b)b Ta  vào phương b = x − trình ta phương trình x − = − x + (3x − 18) x − (2) a = 3x − − a2 − 3a + 2b = Ta  3) Từ phương trình (*) suy ra: vào b b = x + − phương trình ta phương trình 3x − − x − + x + = 3x − − (3) x + −1 35 a = x + y 4) Ta  vào phương trình (*) ta phương trình b = x + y + xy − x − y + = Sau ta kết hợp với phương trình f ( x, y ) = ta có hệ phương trình chẳng hạn hệ phương trình  y + xy − x − y + =   x − y + x + y + = (4) a = x + y 5) Ta  vào phương trình (*) ta phương trình b = y + 2 y + 10 y + x − 3( y + 2) x + y = Sau ta kết hợp với phương trình f ( x, y ) = ta có hệ phương trình chẳng hạn hệ phương trình  y + 10 y + x − 3( y + 2) x + y =   x − + y − 3x + y = (5) a = x + y 6) Ta  vào phương trình (*) ta phương trình b = x − y + x − y + − ( x + y )(2 x − y + 1) = Sau ta kết hợp với phương trình f ( x, y ) = ta có hệ phương trình chẳng hạn hệ phương trình: 36 5 x − y + − ( x + y )(2 x − y + 1) = =   x + y − − x + y = (6) Chương 3: Kiểm chứng giải pháp triển khai Sáng kiến áp dụng dựa vào quy trình dạy học theo hướng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh phần “Sử dụng phương pháp đồng bậc để giải phương trình hệ phương trình” Áp dụng sáng kiến thực song song lớp áp dụng lớp đối chứng - Đánh giá kết áp dụng sáng kiến - Thời gian thực hiện: Từ ngày 25/11/2014 đến ngày 8/12/2014 - Chúng chọn lớp áp dụng 10A1 sĩ số học sinh 47 lớp đối chứng 10A2 sĩ số học sinh 48 Lớp 10A1 lớp 10A2 lớp mà em học sinh hai lớp hầu hết có lực học giỏi nhà trường định hướng mũi nhọn thi ĐH thi HSG Sáng kiến thực áp dụng khoảng thời gian tuần học Dựa vào nhận xét, ý kiến đóng góp giáo viên học sinh tham gia áp dụng sáng kiến, dựa vào kết kiểm tra học sinh Các đề kiểm tra tiến hành thời gian 90 phút sử dụng để đánh giá kết thực nghiệm sư phạm Đánh giá kết sang kiến 37 Trong thời gian áp dụng sáng kiến, tác giả kiểm tra 90 phút Các lớp đối chứng lớp áp dụng sáng kiến làm chung đề kết sau: Bảng 1: Tần số tần suất kiểm tra Lớp áp dụng 10A1 Lớp đối chứng 10A2 Tần số Tần suất Tần số Tần suất (n = 47) (%) (n = 48) (%) 0.0 2.1 2.1 8.3 8.5 8.3 4 8.5 14.6 5 10.6 10 20.8 14.8 18.7 17.0 12.5 14.8 10.4 14.8 2.1 10 8.5 2.1 Kém 10.6 18.7 Yếu 19.1 16 33.3 Trung bình 12 25.5 19 39.5 Khá 15 32.0 11 22.9 Giỏi 11 23.4 12.5 Điểm Điểm trung 6.6 bình 38 5.3 PHẦN 3: KẾT LUẬN Kết luận Với kết đạt sáng kiến khẳng định tính khả thi, hiệu đề tài góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng Sáng kiến nhằm cung cấp tới thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo phương pháp giải phương trình hệ phương trình Với kĩ thuật biến đổi đưa phương trình, hệ phương trình phương trình bậc hai, bậc ba đồng bậc quen thuộc giúp học sinh dễ hiểu, dễ tiếp thu dễ vận dụng vào giải phương trình, hệ phương trình Từ hình thành cho em kĩ giúp cho em có nhìn sâu sắc phương pháp giải phương trình, hệ phương trình Kết thực nghiệm cho thấy học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo tiết học, phần lớn em làm tập phức tạp giải số phương trình, hệ phương trình có đề thi tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp đề thi học sinh giỏi 39 Bài viết tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận lời góp ý, bổ sung q thầy giáo bạn đọc để nội dung đề tài hồn thiện áp dụng rộng rãi trường THPT Kiến nghị cấp quản lí - Đưa biện pháp thúc đẩy việc đổi PPDH, việc sử dụng PPDH tích cực hóa hoạt động người học trình giảng dạy phương án đề xuất đề tài - Tiếp tục đẩy mạnh phong trào tự học, tự bồi dưỡng giáo viên - Tiếp tục đạo kiểm tra, đánh giá việc thực chuyên đề tổ - Tăng số tiết học tự chọn, phụ đạo cho mơn Tốn để học sinh có đủ thời gian ôn tập chuyên sâu nội dung môn học - Mạnh dạn mở giao lưu liên trường để giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp Yên Phong, tháng 11 năm 2015 Tác giả 40 Nguyễn Duy Tình 41 PHẦN : PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) Đại số 10, Nhà xuất Giáo Dục 2003 Vũ Tuấn (Chủ biên) Bài tập Đại số 10, Nhà xuất bẩn Giáo Dục 2001 Võ Đại Mau Toán nâng cao Đại số 10, Nhà xuất tuổi trẻ.2002 Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên) Hệ phương trình phương trình chứa thức, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 2009 Phan Huy Khải Toán nâng cao đại số 10, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 2005 Tạp Trí Tốn học tuổi trẻ, Nhà xuất bẩn Giáo Dục 2009 Đề thi Đại học, Cao đẳng, Bộ giáo dục đào tạo Đề thi học sinh giỏi, Các tỉnh thành phố 42 ... 3xy 3 Sử dụng phương trình đồng bậc để sáng tạo phương trình hệ phương trình Nhận xét: Xuất phát từ phương trình đồng bậc ta tạo vơ số phương trình, hệ phương trình khác cách đổi biến ta giải. .. học sinh tài liệu tham khảo phương pháp giải phương trình hệ phương trình Với kĩ thuật biến đổi đưa phương trình, hệ phương trình phương trình bậc hai, bậc ba đồng bậc quen thuộc giúp học sinh... khai Sáng kiến áp dụng dựa vào quy trình dạy học theo hướng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh phần ? ?Sử dụng phương pháp đồng bậc để giải phương trình hệ phương trình? ?? Áp dụng sáng kiến thực