, Mlaø ñieåm baát kyø naèm treân ñöôøng vuoâng goùc vôùi OC taïi C vaø thuoäc mieàn trong cuûa xOy , goïi MA, MB thöù töï laø khoaûng caùch töø M ñeán Ox, Oy. Tính ñoä daøi OC theo M[r]
(1)SỬ DỤNG CƠNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP QUAN HỆ
ĐỘ DAØI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG
A Một số kiến thức:
1 Công thức tính diện tích tam giác: S =
1
2 a.h (a – độ dài cạnh, h – độ dài đường cao tương ứng)
2 Moät số tính chất:
Hai tam giác có chung cạnh, có độ dài đường cao có diện tích Hai tam giác có diện tích
B Một số tốn: 1 Bài 1:
Cho ABC có AC = 6cm; AB = cm; đường cao AH; BK; CI Biết AH =
CI + BK
Tính BC Giải
Ta coù: BK =
ABC
2S
AC ; CI =
ABC
2S AB
BK + CI = SABC
1
AC AB
2AH =
1
2 BC AH
1
AC AB
BC
1
AC AB
=
BC = :
1
AC AB
= :
1
= 4,8 cm
Bài 2:
Cho ABC có độ dài cạnh a, b, c; độ dài đường cao tương ứng ha, hb,
hc Biết a + = b + hb = c + hc Chứng minh ABC tam giác K I
H C
(2)Giải
Gọi SABC = S
Ta xét a + = b + hb a – b = – hb =
2S 2S 1 a - b
- 2S - 2S
b a b a ab
a – b =
a - b 2S
ab (a – b)
2S -
ab
= ABC cân C vuông C (1)
Tương tự ta có: ABC cân A vng A (2); ABC cân B vuông
B (3)
Từ (1), (2) (3) suy ABC cân vuông ba đỉnh (Không xẩy vuông
tại ba đỉnh) ABC tam giác
Baøi 3:
Cho điểm O nằm tam giác ABC, tia AO, BO, Co cắt cạnh tam giác ABC theo thứ tự A’, B’, C’ Chứng minh rằng:
a)
OA' OB' OC'
AA' BB' CC' b)
OA OB OC
2 AA' BB' CC'
c) M =
OA OB OC
6
OA' OB' OC' Tìm vị trí O để tổng M có giá trị nhỏ nhất
d) N =
OA OB OC
OA' OB' OC' Tìm vị trí O để tích N có giá
trị nhỏ Giải
Gọi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB Ta coù:
3
OA'C OA'B
S S S
S OA
= =
OA' S S S
(1)
OA'C OA'B OA'C OA'B AA'C AA'B AA'C AA'B
S S S S S
OA'
= =
AA' S S S S S
(2)
Từ (1) (2) suy
2
S S
OA
AA' S
C' B'
A' O
C B
(3)Tương tự ta có S S OB OB' S ; S S OC OC' S ; S OB'
BB' S ;
3
S OC' CC' S
a)
3 S
S S
OA' OB' OC' S
1 AA' BB' CC' S S S S
b)
2 3
S S S S S S
OA OB OC 2S
2
AA' BB' CC' S S S S
c) M =
2 3 2 3
1 2 3
S S S S S S S S S S S S
OA OB OC
OA' OB' OC' S S S S S S S S S
p dụng Bđt Cô si ta coù
3
1 2
2 3
S S
S S S S
2 2
S S S S S S
Đẳng thức xẩy S1 = S2 = S3 O trọng tâm tam giác ABC d) N =
3
3
2
2 3
1 3
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
N2 =
2 2
2 3 2 3
2
1 3
S S S S S S 4S S 4S S 4S S
64
S S S S S S
N
Đẳng thức xẩy S1 = S2 = S3 O trọng tâm tam giác ABC
Baøi 4:
Cho tam giác ABC, đường caoAD, BE, CF; gọi A’, B’, C’ hình chiếu M
(nằm bên tam giác ABC) AD, BE, CF Chứng minh rằng: Khi M thay đổi vị trí tam giác ABC thì:
a) A’D + B’E + C’F khơng đổi b) AA’ + BB’ + CC’ không đổi Giải
Gọi h = AH chiều cao tam giác ABC h khơng đổi
Gọi khoảng cách từ M đến cạnh AB; BC; CA MP; MQ; MR A’D + B’E + C’F = MQ + MR + MP
(4)SBMC + SCMA + SBMA = SABC
BC.(MQ + MR + MP) = BC AH
MQ + MR + MP = AH A’D + B’E + C’F = AH = h
Vậy: A’D + B’E + C’F = AH = h không đổi
b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F) = (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h khơng đổi
Bài 5:
Cho tam giác ABC có BC trung bình cộng AC AB; Gọi I giao điểm phân giác, G trọng tâm tam giác Chứng minh: IG // BC
Giaûi
Gọi khoảng cách từ a, I, G đến BC AH, IK, GD
Vì I giap điểm ba đường phân giác nên khoảng cách từ I đến ba cạnh AB, BC, CA IK
Vì I nằm tam giác ABC nên:
SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1)
Maø BC =
AB + CA
2 AB + CA = BC (2)
Thay (2) vào (1) ta có: BC AH = IK 3BC IK =
1
3AH (a)
Vì G trọng tâm tam giác ABC nên: SBGC =
1
3 SABC BC GD =
1
3 BC AH GD =
1
3 AH (b)
Từ (a) (b) suy IK = GD hay khoảng cách từ I, G đến BC nên IG // BC
Bài tập nhà:
R
Q P
C' B'
A' M
F E
D C
B
A
M K
H
G I
D C
(5)1) Cho C điểm thuộc tia phân giác xOy = 60
, Mlà điểm nằm đường vng góc với OC C thuộc miền xOy, gọi MA, MB thứ tự khoảng cách từ M đến Ox, Oy Tính độ dài OC theo MA, MB
2) Cho M điểm nằm tam giác ABC A’, B’, C’ hình chiếu M cạnh BC, AC, AB Các đường thẳng vng góc với BC C, vng góc với CA A , vng góc với AB B cắt D, E, F Chứng minh rằng: a) Tam giác DEF tam giác