Cách giải các hệ phương trình thường gặp trong vật lý

Những điểm thuộc mặt phẳng vuông góc với trục đối xứng rẽ thì có điện thế bằng nhau (các cạnh có điện trở bàng nhau), chập các điểm đó lại. Những điểm nằm trên trục ta có thể tách ra.. d[r]

Phần Phụ lục

1 Cách giải hệ phương trình thường gặp vật lý 1.1.Dạng 1: Giải hệ

x + y = a (1)

y + z =b (2)

x + z = c (3)

Cách giải Hệ phương trình dạng (1)

Thơng thường học sinh dùng phương pháp giải toán Thực chất dùng phương pháp giải dễ dàng toán Nhưng gặp dạng ta dùng cách giải đặc biệt sau giải tốn nhanh

Cộng vế phương trình ta phương trình mới: x + y + z = 12 ( a +b + c) (4)

Trừ vế phương trình cho phương trình cịn lại ta tìm giá trị:

(4) (1)  z

(4) (2)  x

(4) (3)  y

1.2.Dạng 2: Giải hệ

z (y + x ) / ( x + y +z ) = a (1)

y ( x+ z) / ( x + y +z ) = b (2)

x (y + z ) / ( x + y +z ) = c (3)

Cách giải Hệ phương trình dạng (2)

Đối với tốn dạng dùng phương pháp gặp nhiều khó khăn đơi tốn khơng tìm đáp số, dùng cách giải tốn giải nhanh hiệu tốt

Cộng vế phương trình ta phương trình: ( xy + yz + xz )/ ( x +y +z ) = 12 (a + b +c ) (4)

xz / ( x +y +z )= 12 (a + b +c ) –b = B zy / ( x +y +z )= 12 (a + b +c ) –c = C

Chia phương trình vừa tìm cho ta phương trình sau:

y/z = A/B x/y = B/C

Rút ẩn theo ẩn (ở rút ẩn khác theo ẩn y) thay vào phương trình ta phương trình ẩn số Giải phương trình ẩn tìm ẩn đó, suy ẩn cịn lại

z = y.B/A x = y.B/C

2 Các ví dụ minh họa giải pháp mới.

Ví dụ 1: Cho hộp đen vẽ Với dụng cụ vôn kế, ampe kế, nguồn điện, dây nối khoá K Bằng thực nghiệm xác định điện trở hộp

Hình

Hướng dẫn cách giải:

Mắc nguồn điện vào chốt 2, vôn kế vào chốt 2, ampe kế nối tiếp vào chốt để đo cường độ dòng điện hiệu điện hai đầu R1 R2 mắc nối

tiếp U1 I1 Kết đưa ra:

R1 + R2 = U1/I1 (1)

Tương tự cho chốt lại ; R1 + R3 = U3/I3 (2)

R3 + R2 = U2/I2 (3)

R1 R2

R3

3

Sau bước học sinh vận dụng cách giải hệ phương trình dạng (1) tìm được: R1 ; R2 ; R3

Ví dụ 2: Cho mạch điện hình vẽ Biết điện trở đoạn mạch 8 Nếu thay đổi vị trí R1

R2 ta điện trở đoạn mạch

16, thay đổi vị trí R1 R3 ta

được điện trở đoạn mạch 10

Tính điện trở

Hình

Hướng dẫn cách giải:

Đặt : x = R1 , y = R2 , z = R3

Căn toán ta có:

x (y + z ) / ( x + y +z ) = (1)

y ( x+ z) / ( x + y +z ) = 16 (2)

z (y + x ) / ( x + y +z ) = 10 (3)

Sau bước học sinh vận dụng cách giải hệ phương trình dạng (2) tìm được: R1 ; R2 ; R3

Ví dụ 3: Cho mạch điện gồm biến trở Rx mắc nối tiếp với điện trở

R0 vào nguồn điện có hiệu điện

khơng đổi U Tìm giá trị Rx để cơng

suất tiêu thụ lớn nhất? Hình

Hướng dẫn cách giải:

Cách 1: Dùng phép biến đổi

Nguyên tắc chung khảo sát đại lượng theo giá trị biến đổi, tốt nhất nên hình thành biểu thức đại lượng khảo sát theo giá trị biến đổi để giải

- Hình thành cơng thức tổng qt tính cơng suất tiêu thụ đoạn mạch biến trở

Px = I2Rx =

U2.Rx (Rx+R)

2 (1)

R2 R1 R3

R0

Xuất phát từ công thức (1), nhân tử mẫu với 4R ta có:

Px= U

2

4R

4 RRx (R+Rx)2

Vì ( R U

4

) không thay đổi nên Px{

4 RRX (R+Rx)2 }

Thì bước lập luận nhìn chốt tốn chủ yếu chổ Ta có : RRX

(R+Rx)2 =

(Rx+R)

2

−(Rx− R)

2

(Rx+R)

2 =1−

(Rx− R)

2

(Rx+R)

2

Vì ( Rx - R)2 0, ( Rx + R)2 nên thương ( Rx - R)2/ ( Rx + R)2 

(dấu "=" xảy Rx = R)

Do đó: 1−(Rx− R)

2

(Rx+R)

2≤0 Suy Px (U2/4R)

Dựa theo biểu thức Px đạt giá trị lớn (U2/4R)

Khi đó: ( Rx - R)2 = 0, tức Rx = R

*Kết luận:

Công suất tiêu thụ biến trở Rx đạt giá trị lớn Px= (U2/4R) R x

= R

Cách 2: Dùng bất đẳng thức để giải

Cũng từ cơng thức (1) ta có: Px =

U2.Rx (Rx+R)

2 =

U2.Rx

(

Rx2+2 RRx+R

2

)

Chia tử mẫu cho Rx ta được:

Px= U

2

(

Rx+2R+R

2

Rx

)

Vì U, R số không đổi nên Px đạt cực đại tổng Rx+R

2

Rx đạt cực tiểu

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số không âm: Rx R

2

Rx ta có: Rx+R

2

Rx

√

Rx.R

2

Rx = 2R

Dấu “=” xảy Rx = R

2

Rx

Khi cơng suất cực đại Rx Px = (U2/4R) Cách 3: Giải theo phương trình bậc hai với ẩn Px

Tư cơng thức tính cơng suất Rx : Px =

U2.Rx (Rx+R)

2

Suy ra: Px ( Rx+ R)2 = U2Rx

↔ Px.(Rx )2 -( 2PxR – U2)Rx + Px R2 =

Vì cơng suất Rx ln có, nên ln tồn Rx, nghĩa phương trình bậc

hai theo Rx ln có nghiệm, hay 

 (2Px R – U2)2 – 4.Px.PxR2

 Px  (U2/4R)

Px đạt cực đại P(x)max= (U2/4R) Thay vào biểu thức ta Rx= R Ví dụ 4: Phải dùng điện trở loại r = 5 để hình thành mạch

điện có điển trở 3 ; 6 ; 7 Hướng dẫn cách giải: Ta áp dụng tính chất:

- Mạch nối tiếp: Rtđ > Rthành phần

- Mạch song song : Rtđ < Rthành phần

*Trường hợp Rtđ = 3

Do Rtđ < r , nên mạch gồm r // R1 cho:

r.R1 r+R1

=3 ⇒ R1 = 7,5

Do R1 > r ⇒ r nt R2 R2 = 2,5 

Do R2 < r ⇒ r//R3 R3 = r = 

Vậy phải mắc mạch điện với điện trở r sau:

Hình

* Các trường hợp khác làm tương tự

Hình Hình 10

Hình 11 Hình 12

Hướng dẫn cách giải:

Các điểm nối với dây dẫn có điện nhau, chập điểm lại ta có sơ đồ tương đương Dựa vào sơ đồ tương đương ta dễ dàng tính điện trở tương đương đoạn mạch

Ví dụ 6: Cho mạch điện hình vẽ, cạnh có điện trở r (ví dụ AB, AC, BC,…) Tính điện trở tương đương khi:

a) Dịng điện vào nút A nút B b) Dòng điện vào nút C nút D

c) Dòng điện vào nút A nút O Hình 13

*Đây mạch đối xứng, phương pháp giải mạch điện là:

a Xác định trục đối xứng mạch điện nằm mặt phẳng mặt đối xứng mạch điện nằm không gian

+ Trục hay mặt đối xứng rẽ đường thẳng hay mặt phẳng qua nút vào nút dòng điện phân chia mạch điện thành nửa đối xứng

+ Trục hay mặt đối xứng trước sau đường trung trực hay mặt trung trực nối điểm vào điểm dịng điện (Khơng phải thiết mạch điện có hai trục đối xứng trên)

b Dựa vào đối xứng đoạn mạch xác định đối xứng cường độ dòng điện

A B

C D

G E

c Những điểm thuộc mặt phẳng vng góc với trục đối xứng rẽ có điện (các cạnh có điện trở bàng nhau), chập điểm lại Những điểm nằm trục ta tách

d Những điểm nằm trục đối xứng trước sau ta chập lại tách Với toán ta xác định trục đối xứng dựa vào quy tắc chập điểm hay tách điểm vẽ lại sơ đồ mạch điện tính điện trở tương đương

a) Tính RAB = ?

Ta chọn AB trục đối xứng rẽ

Đặt điện trở r có số thứ tự hình vẽ

Hình 14 Hình 15

Khi đoạn CD EG, AC AE, BD BG, OC OE, OD CG đối xứng qua AB Do điểm C E, D G có điện nên ta chập C với E, D với G

Điểm O nằm trục nên tách O ta có sơ đồ tương đương (Hình 15) Hoặc vẽ sơ đồ tương đương hình 16

Hình 16

Dựa vào mạch điện tương đương 15 16 ta tính RAB = 4r/5

b) Tính RCD= ?

Lúc mạch chọn trục đối xứng trước sau hk

Từ sơ đồ tương đương ta tính được: RCD = 11r/20

Hình 17

Hình 18

c) RAO = ?

Hình 19 Hình 20

Tương tự ta chọn trục đối xứng rẽ mạch đường AB Ta chập E với C, D với G, ta có sơ đồ tương đương (Hình 20):

Ta tính RAO = 9r/20

Ví dụ 7: Cho mạch điện hình vẽ Biết UAB = 21V không đổi, R1 = Ω

Biến trở có điện trở tồn phần RMN= 4,5 Ω Đèn có điện trở Rđ =4,5 Ω

Ampe kế, khóa K dây nối có điện trở không đáng kể Khi K mở, xác định giá trị phần điện trở RMC biến trở để độ sáng đèn yếu nhất?

Hình 22

Gọi RMC = x → RCN = RMN - x

Khi K mở, mạch điện gồm: R1 nt x nt [R2 // (RCN nt Đ)]

Tính điện trở tồn mạch: Rm = − x

2

+6x+81 13,5− x

Cường độ dòng điện mạch chính: I=U

Rm=

21(13,5− x)

− x2+6x+81

Áp dụng cơng thức chia dịng tính cường độ dòng điện qua đèn:

Iđ=I R2

R2+(RMN− x+Rđ)= 94,5

− x2+6x+81 (*)

Dựa vào (*) ta thấy: Iđ nhỏ (-x2 + 6x + 81) lớn

Ta có: (-x2 + 6x + 81) = 90 - (x- 3)2 90

Dấu "=" xảy ⇔ x = Khi Iđ = 94,5/90 = 1,05A

Ví dụ 8: Bốn điện trở giống hệt ghép nối tiếp vào nguồn hiệu điện không đổi UMN = 120V Dùng vôn kế V mắc vào M C, 80V

Vậy lấy vơn kế mắc vào điểm A B số V bao nhiêu?

Hình 23

Hướng dẫn cách giải:

Hình 24 Hình 25

Gọi RV điện trở vơn kế

Theo hình 24, áp dụng cơng thức chia cho đoạn mạch nối tiếp ta được:

UMC

UMN= RMC

RMN=

3 RRV 3R+RV

3 RRV 3R+RV+R

⇔80

120=

3 RRV

Theo hình 2, ta có: RAB=RRV

R+RV

=6 7R

Do đó: UAB

UMN= RAB RMN=

6 R

7 R+3R =2

9

Suy UAB = 2/9.120 = 80/3 (V) Ví dụ 9 : Cho mạch điện hình vẽ, ampe kế giống hệt Các điện trở r Biết A2 1A, A3 0,5A Hỏi A1 bao nhiêu?

Hình 26

Hướng dẫn cách giải:

Nhận xét: Các ampe kế có điện trở đáng kể, RA= A1 làm đoản

mạch Do trước hết ta phải tìm RA

Áp dụng cho đoạn mạch song song ta có:

I2 I3

=RA+2r

RA

=

0,5=2 ⇒ RA = 2r

Để có I1 ta so sánh với I4 thông qua mạch song song, mạch A1

phần cịn lại"

RPQ= 2r 4r 2r+4r=

4

3r , RMPQN=

4 3r+r=

7 3r

⇒ I1

I4

= 3r 2r=

7 6⇒I1=

7 6I4=

7

6(I2+I3)=

7 4A

Ví dụ 10: Có ampe kế, vơn kế giống điện trở gồm hai loại mà giá trị chúng gấp lần mắc với hình 1a Số máy đo 1V, 10V 20mA

Hình 27 Hình 28

Hướng dẫn cách giải:

a) Do vơn kế V2 có số khác khơng nên mạch cầu AB mạch

cầu cân Do đó, gọi giá trị loại điện trở R giá trị loại điện trở 4R điện trở mắc vào mạch hình 28 (nếu đổi chỗ điện rở R 4R cho mạch trở thành cầu cân bằng.)

Nếu V1 1V điện trở Vôn kế là: RV= UV1

IA

=

0,02=50Ω

⇒ IV2=UV2

RV

=10

50=0,2A > IA = 0,02A Điều vơ lí

Vậy vơn kế V1 10V, V2 1V

Điện trở vôn kế là: RV=UV1

IA

=10

0,02=500Ω

Dòng điện qua V2 : IV2=

UV2 RV

=

500=0,002A

Ta có: UAB = I1.R + I3.4R = I2.4R + I4.R → I1 - I4 = (I2 - I3) (1)

Mặt khác: I1 + I2 = I3 + I4 = I → I1 - I4 = (I3 - I2) (2)

Từ (1) (2) suy ra: I1 = I4 I2 = I3

b) Dựa vào sơ đồ mạch điện hình 1b ta thấy I1 > I3, dịng qua V2 có

chiều tư C đến D

+ Tại nút C ta có : I1 = I3 + IV2 → I1 = I2 + 0,002 (Vì I3 = I2) (3)

+ Mặt khác: Tại nút A có: IA = I1 + I2 = 0,02 (4)

Từ (3) (4) ta tìm được: I1 = 0,011A, I2 = 0,009A

Ví dụ 11: Cho mạch điện hình vẽ: R1= 1, R2= 1, R3= 2, R4=

3, R5= 1 Hiệu điện không

đổi ln trì U=10V Tính cường độ dịng điện qua điện trở điện trở toàn mạch

Hình 31

Hướng dẫn cách giải:

Cách 1: Thông thường học sinh gặp phải dạng toán hay đưa phương trình ẩn số I1, I2, I3, I4, I5 Tuy nhiên qua cách giải học sinh phải

vất vả để giải phương trình bật ẩn số dùng kĩ thuật thay dần để chuyển phương trình ẩn Việc giải có nhiều khéo léo, khơng dẫn đến đường vịng

Giả sử dịng I5 có chiều từ CD

Hình 32

Sử dụng hệ phương trình: U 1+U2 = U

U 3+U4 = U

U 1+U5 = U3*

I1 = I5 + I2

I3 = I4 - I5

Thay số ta hệ phương trình sau: I 1R1+I2R2 = U I1+ I2 = 10

I 3R3+I4R4 = U 2I3 + 3I4 = 10

I 1R1+I5R5 = I3R3  I 1+I5 = 2I3

I1 = I5 + I2 I1 = I5 + I2

I3 = I4 - I5 I3 = I4 - I5

A

+ - B

C

D

R1 R2

Giải ta I1 = 4,8A - I2 = 5,2A – I3 = 2,2A - I4 = 1,8A - I5 = 0,4A

Cường độ dòng điện qua mạch I = 7A R =10/7  1,4 Ω

Cách 2: Giải theo ẩn số U1 U3

Cũng sử dụng phương trình ta chuyển ẩn U1 U3

Giải hệ phương trình ẩn số tìm : U1 = 4,8V; U3 = 4,4V

Suy : U2 = 5,2V; U4 = 5,4V; U5 = 0,4V Từ tìm cường độ dịng

điện điện trở tương đương toàn mạch

Cách 3: Biến đổi tương đương, chuyển đổi từ mạch tam giác mạch

Hình 33

Thuận tiện phương án ta tính điện trở toàn mạch cách dễ dàng R13 = ( R1R3) / ( R1 + R5 +R3)

R15 = ( R1R5) / ( R1 + R5 +R3)

R35 = ( R5R3) / ( R1 + R5 +R3)

Điện trở đoạn mạch MB: RMB =

( R15+ R2)( R+ R4)

( R15+ R+ R35+R4)

Trở mạch ban đầu, tìm U1 U  I1 ; I3  I5

Cách 4: Chọn mốc điện VB = ẩn số tìm VC VD Việc giải

roán cần sử dụng phương trình nút C nút D Giải tìm VC VD I1, I2,I3, I4,I5 theo cách tính

Tóm lại cách giải cách giải có ưu điểm định nó, cách giải học sinh dễ dàng tiếp thu giải tốn nhanh

Ví dụ 12: (Bài tốn bản)

Trong bóng mắc hình

Đ

Đ

Đ A

vẽ, bóng có điện trở R Cho biết cơng suất bóng thứ tư P4=1W

Tìm cơng suất bóng cịn lại

Hình 34

Hướng dẫn cách giải:

Nếu giải theo cách thơng thường tốn dài hơn, dùng công thức (2), (3) mục 2.2.5, tốn trở nên đơn giản gọn

+ Ta thấy Đ4 nt Đ5 nên: P4 P5

=R5

R5

=R

R=1 → P4=P5=1 W +Mặt khác R45 //R3 nên:

P45 P3

= R3

R45

= R

R+R=

2 → P3=2P45=2(P4+P5)=4

W

+ Lại có: R2 nt R345 nên: P2 P345

= R2

R345

= R 2R

3 =3

2 → P2=3

2P345=9 W + Cuối cùng: R1 // R2345 nên: P1

P2345= R2345

R1 =

5R

3

R =

5

3→ P1=

5

3P2345=25 W

Ví dụ 13: (Tìm cơng suất cực đại, cực tiểu biến trở)

Cho mạch điện hình vẽ R0= 12 , đèn Đ có ghi 6V-3W Hiệu điện U

= 15V khơng đổi

a) Tìm vị trí chạy để đèn sáng bình thường

b) Điều chỉnh chạy phía A đèn sáng nào?

c) Tìm vị trí chạy để cường độ dòng điện qua biến trở cực đại

Hướng dẫn cách giải:

+ Sử dụng phương trình nút C ta có: C I = Ix + Iđ

Rx = 6 Hình 35

+ Tìm I , suy Iđ= 15( x +2)/ (-x2 + 12 + 144)

+ Tìm cường độ dịng điện: Ix =180/{180 – (x- 6)} Suy x = 6 Ví dụ 14: Dùng bếp điện để đun nước Nếu nối bếp với U1 = 120V thời

gian nước sôi t1 = 10 phút Nếu nối bếp với U2 = 80V thời gian nước sơi t2

Đ Đ Đ B

- B A+

= 20 phút Hỏi nối bếp với U3 = 60V nước sôi sau thời gian t3 bao lâu?

Cho biết nhiệt lượng hao phí tỉ lệ với thời gian đun nước

Hướng dẫn cách giải:Gọi Q nhiệt lượng cần để nước sôi, k hệ số tỉ lệ ứng với trường hợp

Ta có: U1

R t1−Q=kt1 (1);

U2

R t2−Q=kt2 (2);

U3

R t3−Q=kt3 (3)

Từ (1) (2) ⇒ kR=U1

2

t1− U2

t t1−t2

(4)

Từ (2) (3) ⇒ kR=U2

2t

2− U32t

t2−t3 (5)

Từ (4) (5) ⇒ t3=30,76 phút

Ví dụ 15: Một nguồn điện có hiệu điện U = 32V dùng để thắp sáng cho bóng đèn loại 2,5V -1,25W Dây nối từ bóng đèn đến nguồn có điện trở Rd =1 Ω

a) Tìm cơng suất lớn bóng

b) Tìm cách mắc đèn để chúng hoạt động bình thường Trong cách mắc đó, cách mắc lợi nhất?

Hướng dẫn cách giải:

a) Gọi cường độ dịng điện qua mạch I Cơng suất mạch là: Pm = U.I = 32 I

Công suất tỏa nhiệt dây dẫn: Pd = I2.Rd = I2

Ta có: Pm = Pđ + Pd → Pđ = Pm - Pd = 32 I - I2 = I (32 - I)

Suy ra: Pđ max ⇔ 32 - I = I → I = 16A

Khi đó: Pđ max = 16(32 - 16) = 256W

b) Giả sử nhánh gồm có n đèn mắc nối tiêp đèn gồm m nhánh mắc song song với

→ Số lượng bóng đèn mắc vào mạch là: m.n

Công suất bóng: Pbđ = 1,25.mn

Cường độ dịng điện định mức mối bóng đèn: Iđm=Pđm

U =

1,25

Cường độ dòng điện qua mạch chính: Im = 0,5m (A)

Cơng suất tồn mạch: Pm = U.Im = 32 0,5m = 16m

Công suất tỏa nhiệt dây dẫn: 0,5m¿

Pd=Im2 Rd=¿

Ta có: Pm = Pbđ + Pd ⇔ 16m = 1,25mn + (0,5m)2

⇔ m + 5n = 64 (*), với n số nguyên dương Nếu m > → m = 64 - 5n > → n < 64/5

→ n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Ta có bảng cách lắp bóng đèn sau:

n 10 11 12

m 59 54 49 44 39 34 29 24 19 14