Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015 2016) megabook

100 H PHNG TRèNH HAY TH NG G P 2015 -2016 x 12 y y(12 x ) 12 (1) Bi Gii h phng trỡnh: (x, y R) x 8x y (2) y 12 y 12 iu kin : 12 x x Gii Cỏch 1: t a 12 y , a y 12 a PT (1) xa (12 a )(12 x ) 12 122 12x 12a x 2a 12 xa xa 12 12 12x 12a x 2a 122 2.12.xa x 2a xa 12 12x 2.12xa 12a xa 12 (x a )2 Ta cú (x a)2 = x = 12 y (*) Th (*) vo (2) c : (12 y ) 12 y 12 y y (4 y ) 12 y y (3 y ) 12 y 12 y y (3 y ) 12 y y 12 y 2(3 y ) y y 0(voõ nghieọm) 12 y 12 y y x Vy y http://megabook.vn/ (H A 2014) Cỏch 2: Ta cú x 12 y (12 x )y x Du = xy 12 y x 12 x 12 y y 12 12 y y x y (12 y )(12 x ) (3) Khi ú (1) tng ng vi (3) x x x x 2y 144 12x 12y x 2y 12y 144 12x y 12 x (4) (3) Th (4) vo (2) ta cú (2) x 8x 10 x x 8x 10 x x 8x 10 x x x 3x x x 3x (10 x ) 10 x x2 0 10 x 2(x 3) x x 3x 10 x x 2(x 3) (voõ nghieọm vỡ x 0) x 3x 10 x x 3y x Vy y Cỏch 3: t a x ; 12 x ;b a b 12 12 y ; y (1) a b 2a.b a b x 12 y (2) x 8x 10 x x x 3x x x 10 x x y x 3x 10 x x t f x x 3x 10 x x http://megabook.vn/ f ' x x phng trỡnh vụ nghim Vy nghim ca hpt trờn: (3;3) (1 y ) x y x (x y 1) y (H B 2014) Bi Gii h phng trỡnh: 2y 3x 6y x 2y 4x 5y Gii y iu kin: x 2y 4x 5y Phng trỡnh th nht vit li thnh (1 y ) x y (1 y ) (x y 1) (x y 1) y y (1 y )(x y 1) y (x y 1) x y y x y TH1 : y thay xung (2) ta cú 3x x 4x x 3(TM ) TH2 : x y thay xung (2) ta cú 2y 3y y y 2y 3y y 2(y y 1) (y y ) (y y 1) y y y x (TM ) 5 ; ) 2 y(x 2x 2) x (y 6) Bi Gii h phng trỡnh: (y 1)(x 2x 7) (x 1)(y 1) Vy h ó cho cú nghim : (x ; y ) (3;1),( Gii K: x , y R a x , ta cú h tr thnh: b y t 2 b(a 1) (a 1)(b 6) (a 1)(b 6) b(a 1) (*) (b 1)(a 6) a(b 1) (b 1)(a 6) a(b 1)(**) Tr v theo v hai phng trỡnh ri thu gn ta cú: a b (a b)(a b 2ab 7) a b 2ab http://megabook.vn/ Trng hp 1: a b thay vo phng trỡnh (*) ta cú: a (a 1)(a 6) a(a 1) a 5a a x h cú nghim (x; y) l: x Trng hp 2: a b 2ab 2 Tr v theo v hai phng trỡnh (*) v (**) ri rỳt gn ta cú: a b a b 2ab 2 Vy ta cú h phng trỡnh: a b a a a a õy l h i xng loi I, gii h ta cú cỏc nghim: ; ; ; b b b b T ú ta cú cỏc nghim (x; y) l: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2) Kt lun: H phng trỡnh cú nghim l: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2) x 12x y 6y 16 Bi Gii h phng trỡnh: 2 4x x 4y y Gii K: x 2;2 , y 0; Ta cú PT (1) (x 2)3 6(x 2) y 6y Xột hm s f (t ) t 6t, t 0; ta cú f '(t ) 3t 12t 3t(t 4) 0, t 0; f (t ) nghch bin trờn 0; M phng trỡnh (1) cú dng: f ( x 2) f ( y) y x thay vo phng trỡnh (2) ta cú: 4x x x t ú ta cú y = Kt lun: H phng trỡnh cú nghim (0; 2) x y Bi Gii h phng trỡnh: x 4x y 9x 8y 52 4xy Gii ĐK: y x y HPT x 4x y 4xy 4x 13x 8y 52 http://megabook.vn/ x y x (x y 1)2 13x 8y 52 x y x 2y 13 x y y 5y x y y y 11y 24 x y x y y y y x Kt lun: H phng trỡnh cú nghim: y y 2x y x Bi Gii h phng trỡnh: xy xy x y K: x 0; y 0; xy 1 y 2x , ta c: y x xy y x y x y x y x thay vo x2 x y KL: h pt cú nghim: S 1;1 x y 3 x y2 x y xy xy xy Bi Gii h phng trỡnh: 5x y 5x y K: x ; y t u x y, u 0; v xy , v ú u u u 2u 3u v uv 2v v 2 v v uv u 2v 2 http://megabook.vn/ x y xy x y 5x x 3x x y thay vo , ta c: 5x 5x 3x x 5x x x 1x x y 1 VN vỡ x 2x 5x KL: nghim ca h pt l: S 1;1 x y x x 1 x 2x 11 3y y y x y y2 Bi Gii h phng trỡnh: x x y y2 K: y x y x y x y y x x x y 1x y H 2 x y 2 x x 4y y x x y y KL: S 1;2 4x 3xy 7y x 5xy 6y 3x 2xy y Bi Gii h phng trỡnh: 3x 10xy 34y 47 2 3x 2xy y K: 4x 3xy 7y Chuyn v nhõn liờn hp phng trỡnh , ta c: x 5xy 6y 4x 3xy 7y 3x 2xy y x y n x 6y x y Vi x y thay vo , ta c: x x y y 47 x 82 Vi x 6y thay vo , ta c: 82y 47 y 47 x 82 47 47 47 47 KL: S 1;1, 1; 1, ; ;6 ; 82 82 82 82 http://megabook.vn/ 47 82 47 82 n x 3xy x y Bi 10 Gii h phng trỡnh: x 9y x y 5x x 3y 3x 3xy H 2 x 3y 3x 2y 5x x y 2 Thay vo , ta c: x 9y 15y y x y x x KL: S 0; 0;1; VN x 2 y 4xy 13 Bi 11 Gii h phng trỡnh: x xy 2y 2 x y x y x y2 x y K: x y x 2y x 4xy 4y 4x 8y H x y x 2y x y x y x 2y Ta cú PT x 2y x 2y x 2y l Vi x 2y thay vo , ta c: 3y y 3y 9y 6y 13y y x tha KL: S 1; x x 2y x 2y Bi 12 Gii h phng trỡnh: x 3y x 2y K: x 2y Ta cú x 3y thay vo ta c: 5y 5y 5y y x tha http://megabook.vn/ KL: S 3;1; 3;1 x2 y y 2 x y Bi 13 Gii h phng trỡnh: x 4y x x K: y x2 y a x 1, a t: , ta c: b y 1, b x x 1 x y b a b a 4ab 5a 2b Nhõn chộo hai phng trỡnh gii h ng cp ta c nghim: S 10;2; 10;2 20y 3y 3xy x y Bi 14 Gii h phng trỡnh: 2 x y 3y 20y y 3y x 3y H x y 3y Th vo , ta c phng trỡnh thun nht bc KL: S ; ; ; 2 5 x 3y x 3y Bi 15 Gii h phng trỡnh: 2y 2x y 3x K: y 3y x 3y x y l Ta cú PT x 3y 3y x y xy x y Vi x y thay vo , ta c: y x 2y y 3y y 6y 11y 8y y l y x http://megabook.vn/ KL: S 1;1; 2;2 2 x y 2x 2y x y Bi 16 Gii h phng trỡnh: y x x y2 xy 3y 4x K: x y Ta cú PT x y 2 x x 2y y x y 2 x y x y 2 2 x y x y Vi x y thay vo , ta c: x y Vi x y thay vo , ta c: y x KL: S 1;1; 1; 10x 5y 2xy 38x 6y 41 Bi 17 Gii h phng trỡnh: x xy 6y y x x xy 6y K: y x Ta cú PT 10x 2x y 19 5y 6y 41 Tớnh 'x 49 y y thay vo c x tha h phng trỡnh KL: S 2;1 x y x 2y xy 2xy x y Bi 18 Gii h phng trỡnh: x y x 2x y K: x y y x Ta cú PT x y 1x y x y 2 x y x y x y y x thay vo , ta c: x 2x x x y x y2 x y x y vỡ x y thay vo h khụng tha KL: S 1; 0; 0; http://megabook.vn/ y 8x 3 y y Bi 19 Gii h phng trỡnh: 2 2 3 y y 12x y 4x 1 x K: 2 a y a 3a 2a 3b b t: , ta cú: a b b thay vo , ta c: a 3a a 2b b 4x , b b b b2 b b b 3b b b a 4x x Khi ú ta cú: y2 y KL: S ;1 ; ; ; ;1 ; ; 3x 24y 2y x 9x 18y 11 Bi 20 Gii h phng trỡnh: 2y x x 6y K: y Ta cú PT x 2y 3x 6x 2y 9x 12y 18y Vi x 2y thay vo , ta c: 2x x 4x x 2 x (4x 1) 4x 2x (2x 1) 3 x 1y KL: S 1; x y x y xy xy x y xy Bi 21 Gii h phng trỡnh: 1 x y y x K: x 0; y Ta cú PT y x xy x y xy x y x 2y xy thay vo ta c: xy xy xy xy xy xy http://megabook.vn/ x y y Bi 69 Gii h phng trỡnh x y 2xy y y x y H phng trỡnh Gii y x y T h suy x y 0; x y, y Ly phng trỡnh (1) ly tha ba, phng trỡnh (2) ly tha bn Ly hai phng trỡnh thu c chia cho ta thu c phng trỡnh ng bc: t x ty t 3 8 t t t t t t 73 y x y 73 94 T phng trỡnh ny suy t ; t t 3 9t t t t Xột f t f' t t ta c phng trỡnh: y3 x y3 9t t t t 9t 9t 8t t t Vy f(t) ng bin vi mi t Nhn thy t l nghim ca (3) Vy t l nghim nht Vi t ta cú x 2y th vo (1) ta c y y (vỡ y ) suy x Vy h cú nghim l 2;1 Bi 70 Gii h phng trỡnh 1 K: x , y 2 Tr v hai pt ta c y x xy x y x 1 y x y 1 y x 1 x y (1) (2) 1 y x y x xy x y TH y x y x th vo (1) ta c x y x 1 xy y x http://megabook.vn/ x t t x , t ta c t t 2 t t t x v y t 4t t t 2t 1 TH TH ny vụ nghim K xy x y 1 xy y x Vy h cú nghim nht (1; 1) x 2y y Bi 71 Gii h phng trỡnh: 3x 3y y x iu kin: x y Quy ng ri th vo , ta c: 3x 3y 3xy 5xy 2x x 2y 2y 2y y x 2y 2y 2y x 2y x xy y x 2y thay vo , ta c: 4y 2y 2y y x KL: S 2;1 2 y y 2x xy x y Bi 72 Gii h phng trỡnh: 8xy 2y 4x (2x y )2 Gii VP (1) 1 xy VT (1) y y 2x 2 2y 2y 4x (3) T (2) v (3) suy ra: 8xy 2y 2y 2y 4x 4x (2x y )2 8xy 2y 8x (2x y )2 4xy y 4x (2x y )2 (2x y )2 y 4xy 4x (y 2x )2 (4) VT (4) 0,VP (4) Do ú: http://megabook.vn/ x y y 2x y 2x x (4) y 2x y y y x y Th li ch cú: (x ; y ) ( ; 1) tha 2 Vy h ó cho cú nghim nht (x ; y ) ( ; 1) Bi 73 Gii h phng trỡnh y x y 1x x x2 2 x y y Gii x y( x x ) y y T PT (1) ta cú: x y x2 x y T (2) & (3) x y x x ta cú: y y y x y y y y Thay vo gii ta cú nghim 0; 2x 2y 2x y 2xy Bi 74 Gii h phng trỡnh: 3y 8x 2y x Gii Ta cú (1) 2x y 2x 1y K: (2x + 1)(y + 1) 2x y M x > Ta cú PT (1) 2x y 2x y 2x y y 2x http://megabook.vn/ Thay vo (2): 6x 8x 4x 6x 6x 2x 2x (3) Hm s f(t) = t3 + t ng bin trờn R (3) 6x 2x 4x 3x Nhn xột: x >1 khụng l nghim ca phng trỡnh Xột x 1: t x = cos vi cos 2 k (k Z ) k Do Vy h cú nghim: cos ;2 cos 9 x y x y 2 Bi 75 Gii h phng trỡnh: x y x y x x y ln 64 32 y Gii Theo BT Cauchy ta cú x y 4 x y 1.1.1 x y x y 4 Du bng xy x y (*) T ú kt hp vi iu kin: x x , y y x 9x 7x y4 9y 7y ln x ln y 64 32 64 32 x4 9x 7x Xột hm s f(x) = ln x ( vi x < ) 64 32 x 9x 14 x 48 x 9x ' f x 16 16 x 16(x 3) PT th hai ca h x 3x 9x 13x x x x ( vỡ x < 3) 16(x 3) 16(x 3) Suy hm s nghch bin trờn (-2; 3), vy f(x) = f(y) x y ( **) T (*), (**) cú x = y = http://megabook.vn/ y y2 2 x y x xy y ln Bi 76 Gii h phng trỡnh: x x x 5y 3xy Gii y y2 x x T x y x xy y ln x 2x ln x x y 2y ln y y Xột f t t 2t ln t t f ' t 3t t 2 t2 t2 t 2 29 t 1 26 29 t2 t 27 t2 t2 t2 t 27 26 29 26 29 29 t 27 3 3 Suy f ' t t hm s ng bin v liờn tc trờn R Ta cú t M (1) f x f y x y Thay vo phng trỡnh cũn li ca h ta cú x 3x t x u u suy u 3u (3) Xột g u u 3u vi u g ' u 3u cú g ' u u Ta cú bng bin thiờn ca hm s: u g(u) g(u) + -1 0 - - + -1 33 + Cn c vo BBT phng trỡnh (3) cú nghim nht thuc (0; 2) t u cos vi 0; 2 Khi ú (3) tr thnh: cos3= = x cos 9 http://megabook.vn/ Vy h cú nghim cos ; cos 9 ; cos ; cos 9 2x y 2x y Bi 77 Gii h phng trỡnh: x y Gii x y x y 2 Ta cú: x y2 x y 2 x y x y 2 2 2 Theo BT Cauchy ta cú: 2x y 2y x 2x y x y 24 PT du = xy T ú ta cú x = y = Vy h cú nghim nht (1; 1) x 8y 2xy(1 2y ) Bi 78 Gii h phng trỡnh: y x 4x Gii ĐK: từ PT (2) ,suy x> Ta cú PT (1) x (x 2y ) 4y (2y x ) (x 2y )(x 4y ) x 2y ( x+4y2> ) Thay vào phương trình (2) có x 4x x 2x (*) Ap dụng bất dẳng thức Cauchy tacó x2 x2 x x 2x 4 x2 ( 2x ) x 4x 2 3 (x 4) 2x x (x 4x ) 2x 4 x 4x Dấu đẳng thức xảy x = Hệ phương trình có nghiệm (2,1) (Chú ý :Cách khác : Bình phương vế pt (*) (x 2)2 (x x 4) ) xy 4y x (x 2) Bi 79 Gii h phng trỡnh: (x, y R) x y 2y x (1) x y x x y Gii Vi x thay vo pt (2) ta c y 10 10 Vi x y th vo pt (2) ta c y y 2y (*) Ta cú y y 2y (y y 1) 2y 5(2y 1) 2y Do ú pt (*) vụ nghim KL: Nghim ca h x , y 10 10 http://megabook.vn/ x 8x y 2y Bi 80 Gii h phng trỡnh: x 3(y 1) Gii x y 2(4x y )(1) Ta cú PT (1) 2 3 x 3y 6(2) x x y 12xy2 x x 3y x 4y Thay c trng hp x vo H cú cỏc nghim l: 6 6 ; ),(4 ; ) 13 13 13 13 x y 3xy 2y x Bi 81 Gii h phng trỡnh: 2 x y 2x y 3;1 , 3; , (4 Gii x y x , phng trỡnh (1) x y x 2y y x 2y Vi x 2y x x x 2y Ta cú : y 2y x Khi ú: x 2y khụng tha h y Vi x y y x thay vo phng trỡnh (2) iu kin: Ta cú PT (2) x x x iu kin: x Ta cú (2) x x x2 1x 2x x 3x x y x (*) 3x 2x x Xột phng trỡnh (*), t f (x ) 2x 3x 2 Ta cú: f ' (x ) 0; x 3;2 2 2x 2x 3x 3x Mt khỏc f (x ) liờn tc trờn 3;2 , suy f (x ) ng bin trờn 3;2 Ta cú: f (2) , suy (*) cú nghim nht x y Kt hp iu kin, h cú hai nghim 1; 1, 2;2 http://megabook.vn/ x 1x 3(y y )(1 x 2) x x Bi 82 Gii h phng trỡnh: 2y 2y x Gii K: x Ta cú 3(y y )(1 x 2) x x 3(y y )(1 x 2) (x x 1) 2y 2y x 2(y y ) x a b 3ab b b 2a a y y t ta c a 11 , b 2a b 10a 21a 11 b x 10 x 2, y Vi a=b=1 suy h cú hai nghim l : Vỡ b x b khụng x 2, y tha Vy h ch cú nghim nh trờn 2x 2y 2x 1y Bi 83 Gii h phng trỡnh: , vi x v x , y R 3y 8x 2y Gii iu kin: (2x 1)(y 1) , Phng trỡnh (1) 2x y 2x 1y T gi thit x ta cú 2x y t a 2x 1, b y ta cú (1) tr thnh: a 2b ab a b a b ab b a b a 2b a 2b 0(l ) Vi a b ta cú: 2x y y 2x thay vo phng trỡnh (2) ta cú: 6x 8x 4x 6x 6x 2x 2x , (*) Xột hm s f (t ) t t ta cú f '(t ) 3t 0, t R hm s f (t ) ng bin trờn R Do ú PT (*) 6x 2x 8x 6x x (n ) Vi x y 2(x 1)(4x 4x 1) x (l ) 5x y 4xy 3y x y Bi 84 Gii h phng trỡnh: 2 xy y x y Gii T (2) ta cú : xy 1x y xy x y 2 Vi xy = 1; t (1) suy : y 2y y Vy h cú nghim (x;y)=(1;1),(-1;-1) Vi : x y 3y x y 4xy 2x 2y x y http://megabook.vn/ 6y 4xy 2x 2y x y xy 2y x xy x 2y Xột : xy = ó gii trờn 10 10 10 10 ; ; , 5 5 10 10 10 10 Vy h cú nghim : (x;y)=(1;1),(-1;-1), ; ; , 5 5 x y 6y Bi 85 Gii h phng trỡnh: x y 2x 2y y x 12y Vi : x = 2y , thay vo x y x ; y Gii iu kin : y 0; y Khi ú : x 2y y 6y 2y x 4y 9y ;x y y Thay vo (2) , ta cú : x 4y x 2y y 6y 2y 12y x 2x y y y x y y 2 y x y y y y x 2y 2y x 4xy Bi 86 Gii h phng trỡnh: x x xy y y 19y y Gii iu kin : x 0, y Chia hai v phng trỡnh (1) cho xy , thờm vo hai v ca phng trỡnh 1 x x x y (2) v nhúm chuyn v dng tớch 1 x x x y u v 1 u v t : u x ; v uv x x y n y bi toỏn tr thnh n gin 2xy x2 y x x 2x Bi 87 Gii h phng trỡnh: 2xy y x y y 2y Gii Cng hai v phng trỡnh ca h v vi v ta cú : 2xy x 2x 2xy y 2y x y Ta cú : x = y = l mt nghim ca h http://megabook.vn/ Ta cú : x 2x x VT xy xy 2xy Khi ú : VP x y 2xy Cho nờn du bng ch xy : x = y = Vy h cú hai nghim : (x; y)=(0;0); (1;1) x x x y Bi 88 Gii h phng trỡnh: y y y x Gii D thy : x = y = hoc x = y = -1 l nghim ca h Xột : x > Ta cú: y x x x x x x x x x x x y x Ta cú: x y y y y y y y y y y y x y Vy h vụ nghim Tng t y>0 h cng vụ nghim Xột : x < -1 x y Ta cú : 1+ x x x x x x x x y x Tng t y ta cú x y H cng vụ nghim Xột trng hp x H cng vụ nghim Kt lun : H cú nghim : x; y 0;0 ; 1; )2 (1) 3x (1 x y Bi 89 Gii h phng trỡnh: ) (2) 7y (1 x y Gii K x 0, y D thy x = hoc y = khụng thừa h Vi x > 0, y > ta cú : 2 x y 1 3x 3x 7y ( nhõn v vi v) 1 x y 3x 7y 2 x y 7y 3x 7y x y 21xy (7y 24x )(x y ) 24x 38xy 7y y 6x (vỡ x, y dng) 1 1 Thay vo phng trỡnh (1) ta c 7x 3 x x 21 T ú d dng suy x v y x 3xy 49 (1) Bi 90 Gii h phng trỡnh: x 8xy y 8y 17x (2) Gii Vi h ny, c hai n v hai phng trỡnh u khú cú th rỳt n ny theo n Tuy nhiờn, nu rỳt y t (2) v th vo (1) thỡ ta c mt phng trỡnh m n y ch cú bc 1: x 3x (x 8xy 8y 17x ) 49 24xy(x 1) 2x 2x 49x 49 (3) Nu x=0 thỡ (1) vụ lớ Nu x=-1 thỡ h tr thnh y 16 y Nu x & x thỡ t (3) suy y 2x 49x 49 Th tr li phng trỡnh (2) ta c 24x http://megabook.vn/ 2x 49x 49 2x 49x 49 2x 49x 49 x 8x 17x 24x 24x 3x 2 x 2x 49x 49 49 192x (2x 49x 49)2 49.192x 24x x 196x 196x 2205x 4606x 2401 196x 2205x 2401 196x 196 2205x 2205 196x 196x 2401 Phng trỡnh cui cựng vụ nghim, chng t h ch cú hai nghim (-1;4) v (-1;-4) x xy y 10 y (1) Bi 91 Gii h phng trỡnh: 4x y (2) Gii K: x Nu y = thỡ t phng trỡnh (1) ta suy x = 0, th vo phng trỡnh (2) ta thy khụng tha món, vy y khỏc t x = ky ta c (1) tr thnh : k 5y ky y 10 y k k y y (3) Xột hm s f (t ) t t trờn , ta cú f '(t ) 5t t Do ú f(t) l hm s ng bin trờn , vy (3) f (k ) f (y ) k y x y Th vo (2) ta c 4x x 5x 13 4x 37x 40 36 4x 37x 40 23 5x 23 5x x 5x 23 x 41 16x 148x 160 25x 230x 529 9x 378x 369 Suy x = v ú y x 2x y 2y Bi 92 Gii h phng trỡnh: x y 3 Gii x 2x x y 2y iu kin: x y y M: x 2x (x 1) x 2x y 2y (y 1)2 y 2y x 2x y 2y Vy (1) cú nghim x = y = tha (2) x 2y 2x 2y 5y Bi 93 Gii h phng trỡnh: y x y 2xy x x 2xy y y Gii K: x y 0; y x y http://megabook.vn/ T (2) : y x y y y 2xy x x y y y y y x y x y x y 2 Xột hm s : t t f '(t ) f (t ) t t t (Vỡ : t t t2 1 t 2t t t t vi mi t>0 ) t Nh vy h cú nghim ch xy : y x y hay x = 2y Thay vo (1) : 2y y 2y 2y 5y 4y 10y 5y 2 y 4y 2y y vỡ : 4y 2y vụ nghim Vy h cú nghim : (x; y) = (4; 2) 2x 8y y x Bi 94 Gii h phng trỡnh: x y x y 2 2 Gii iu kin : x , y x Ta cú PT (1) 2.2 y x 2.2 y Xột hm s : f (t ) 2.t 3t t f '(t ) 8t Chng t f(t) luụn ng bin Do vy phng trỡnh (1) cú nghim ch : x y x 4y 5y Thay vo (2) : 5y Xột hm s : f(t)= 2 t4 3 t f '(t ) 4t 2 Suy t = l nghim nht 2 x 4y y x ; y ; 5y 5 x Nhn xột : f(1) = + x x y y Bi 95 Gii h phng trỡnh: 27x x 8y Gii Ta cú PT (1) x x 2y * 2y Hm s f t t t ng bin trờn R nờn x 2y Th vo PT (2) ta cú: http://megabook.vn/ (2) 27x x 4x 3x x 4x x x x 4x x 4x 3 Li xột : g t t t , ng bin trờn R nờn: x x 4x 3x x x 13 2y y 2x x x Bi 96 Gii h phng trỡnh: 2y y x (x, y ) Gii iu kin: x 1; y Ta cú PT (1) 2y y x 2x x x 2y y 2(1 x ) x x Xột hm s f (t ) 2t t, ta cú f '(t ) 6t 0, t f (t ) ng bin trờn Vy y (1) f (y ) f ( x ) y x y x Th vo (2) ta c 2x x x (3) Xột hm s g(x ) 2x x x 4, liờn tc trờn [-4;1], ta cú g '(x ) x (4;1) g(x ) nghch bin trờn [-4;1] Li cú 2x x x g(3) nờn x l nghim nht ca phng trỡnh (3) x Vi x suy y Vy h cú nghim nht y x (y 1)(x y 1) 3x 4x 1(1) Bi 97 Gii h phng trỡnh: xy x x (2) Gii Nhn xột x = khụng tha phng trỡnh (2) nờn ta cú th suy y x2 (3) x Thay (3) vo (1) ta c x2 x2 x2 (x ) 3x 4x (x 1)(x 1)(2x 1) (x 1)(3x 1) x x http://megabook.vn/ x 2 (x 1)(2x 2x 4x ) 2x (x 1) (x 2) x x Loi nghim x = 0, vy phng trỡnh cú hai nghim: 1; , 2; 2x y y 2x x Bi 98 Gii h phng trỡnh: x y x Gii 2x y x y x y x 2x y yx x Ta cú h x y x x y x 12 Trng hp 1: y = x , thay vo (2) : x x x 2x t x 2t 2x t 2; t x 2 x x x x2 x x 2 Trng hp 2: 2x y yx x y yx 2x x y x 2x x 3x 8x x R y f (, y ) 2x y yx x x, y Phng trỡnh vụ nghim Do ú h cú hai nghim : (x;y)= 3; , 3; Chỳ ý: Ta cũn cú cỏch gii khỏc Phng trỡnh (1) x = v y = khụng l nghim khụng tha (2) y y Chia v phng trỡnh (1) cho x 2x x x x Xột hm s : f t 2t t f ' t 3t t R Chng t hm s f(t) ng bin phng trỡnh cú nghim thỡ ch xy : y x y x n õy ta gii nh phn trờn x x x y y Bi 99 Gii h phng trỡnh: x 6x 2xy 4xy 6x Gii x x y y (nhõn liờn hp) Ta cú h x 6x 2xy 4xy 6x Xột hm s : f (t ) t t f '(t ) t t2 t2 t t2 Chng t hm s ng bin f x f y ch xy x y (*) http://megabook.vn/ t t t2 t R Thay vo phng trỡnh (2) : 2x 6x 3x 2x 6x 2x x x 2x 6x 3x x 1; y 2x 6x 9x 7x 6x x x 2x 6x 2x 2x 6x 4x 2x 6x x 25 x 6x 2x 4x 6x 2x 6x x 2 Trng hp : Trng hp : 11 11 11 11 ;y ; Vy h cú hai nghim : (x; y) = (1;-1),( ) 2 2 8x 2x y 4y Bi 100 Gii h phng trỡnh: 4x 8x 2y y 2y x Gii iu kin : x Ta cú PT (1) 8x 2x y 4y * t t 2x 2x t 8x 2x t t 4t t 4t t Do ú (*) : 4t t 4y y Xột hm s : f(u) = 4u u f ' u 12u 0u R Chng t hm s ng bin Do ú phng trỡnh cú nghim : f(t) = f(y) 2x y 2x y 1(**) Thay vo (2) : y y 2y y 2y y 2y y 2y y y 2y y y y y 3y y y 1y 2y y y y x ; y 1;1 ; , y Vy : x ; y 2x y 2x y x x y y y y x ; y 1; , x ; y ; 2 2x y x 2x y x Ht http://megabook.vn/ [...]... hệ đã cho có bốn nghiệm là 1; 2, 1;2, 2; 1, 2;1 http:/ /megabook. vn/ 4  3 x y  y  7 Bài 69 Giải hệ phương trình  2 x y  2xy 2  y 3  9    y x  y Hệ phương trình   3 Giải   7 1 3 y x  y   9 2   Từ hệ suy ra x y  0; x  y, y  0 2 Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình. .. với t  [0;  ] sau đó thế vào phương trình (3) là ra kết quả  2 1 x  y2   5 Bài 37 Giải hệ phương trình:   2 57  y(3x  1) 4x  3x  25   (1) (2) Giải ĐK: x , y  R Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có: 25x 2  25y 2  5  Hệ phương trình   2 200x  150x  114  50y(3x  1) Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta có: 225x 2  25y 2  25 ... trình thứ nhất, được y=1 do đó x  1 3 Với 3 xy  2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại) Với 3 xy  4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó x   2 3 3  3 x  y  4x  2y Bài 29 Giải hệ phương trình sau:  2 2 x  3y  4 Giải 3 3 Phương trình (1)  2(x  y )  4(2 x y) Từ phương trình (2) thay 4  x 2  3y 2 vào phương trình trên và rút gọn ta được: y  0  2 2 3 x y  6xy ... y 2  1 Khi đó hệ phương trình tương đương  3 3 2  2 2x  y  1  3 x  2y 3  y  2x  2x 2  y 2  Th 1: y  0   x  2y  y  2x 2  2 2x  y  1  3 5x  2x 2y  2xy 2  y 3  0 ( 3 )    2 2x  1 Hệ phương trình tương đương  3 ( vô lí ) 5x  0   Vậy cặp ( x , 0) không là nghiệm của hệ TH2 : Chia hai vế ( 3 ) cho y 3 ta có hệ phương trình tương đương http:/ /megabook. vn/ 2x... 7 3  13 3  Vậy hệ có nghiệm x ; y    ;  ,  ;   8 8   8 8    2  2  x  y x  y  1  25 y  1 Bài 41 Giải hệ phương trình:  2 x  xy  2y 2  x  8y  9   Giải Hệ phương trình tương đương    x 2  y 2 x  y  1  25 y  1   x 2  y 2  x y  1  y  12  10 y  1  0   http:/ /megabook. vn/ Nhận xét y  1  0 không là nghiệm hệ phương trình    x 2 ... (*) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  2;0  ,  1; 3 x  y  x 2  y 2  12 Bài 63 Giải hệ phương trình  x, y   y x 2  y 2  12   Giải Điều kiện: | x |  | y | u  x 2  y 2 ; u  0 1 u2  Đặt  ; x  y không thỏa hệ nên xét x  y ta có y  v   v  x  y  2  v Hệ phương trình đã cho có dạng: u  v  12  u  u2   v    12  2  v Đến đây sử dụng phương pháp... (tmđk)  1 x 2 vậy hệ pt có nghiệm là   1 y  2 3 3 3  27x y  7y  8 Bài 28 Giải hệ phương trình sau:  2 9x y  y 2  6x   Giải Nhận xét y  0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được (3xy )3  7(3xy )2  14(3xy )  8  0 http:/ /megabook. vn/ Từ đó tìm được hoặc 3 xy  1 hoặc 3 xy  2 hoặc 3 xy  4 Với 3 xy  1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1... Giải hệ phương trình:  2 x  2 y  1  x  1 Giải y  0 Với x  0 thay vào hệ phương trình ta có  ( mâu thuẫn ) y  3  4 3 y  y  y  3 Chia hai vế phương trình ( 1) cho x ta có 2     2x  x 3  f    f x   x  x x  Xét hàm số f t   t 3  2t có f ' t   3t 2  2  0 sauy ra hàm số f t  đơn điệu tăng Từ đó suy ra x  2 y  x  x 2  y y  0 Thay vào phương trình. .. phuong trình hai ta có   x 2  x 2  2x  1  3x  3 x  1  1  0  x  1 1 y  2 2 Với y  1  x thay vào phương trình hai ta có   x 2  x 2  2x  1  3x  3 1  x   1  0 x  3 1 y  4 4 2x 2 4x  1  2y 2 2y  1  y  32 Bài 52 Giải hệ phương trình:  2 x  y 2  x  y  1  2 Giải 1 0 2 Phương trình có nghiệm khi   1  4y 2  4y  2  3  4y  4y 2  0 Xét phương trình. .. luận : Hệ phương trình có nghiệm S  1;1, 1; 1  1 9 x 2  y 2  6xy   0 2  x  y  8 Bài 40 Giải hệ phương trình:  1 5   0 2y  x y 4   Giải Điều kiện: x  y  0 Hệ phương trình biến đổi tương đương 2 2  1 9  0 2 x  y   x  y   2  x  y  8  1 5  0 x  y   x  y   x y 4  a  x  y  Đặt  1 b  x  y   x y  2 9 2a  b 2  2   0  8 Ta có hệ tương ... vào phương trình (2) có x 4x x 2x (*) Ap dụng bất dẳng thức Cauchy tacó x2 x2 x x 2x 4 x2 ( 2x ) x 4x 2 3 (x 4) 2x x (x 4x ) 2x 4 x 4x Dấu đẳng thức xảy x = Hệ phương trình. .. Tr v theo v hai phng trỡnh ri thu gn ta cú: a b (a b)(a b 2ab 7) a b 2ab http:/ /megabook. vn/ Trng hp 1: a b thay vo phng trỡnh (*) ta cú: a (a 1)(a 6) a(a 1) a 5a ... x 4x y 9x 8y 52 4xy Gii ĐK: y x y HPT x 4x y 4xy 4x 13x 8y 52 http:/ /megabook. vn/ x y x (x y 1)2 13x 8y 52 x y x 2y 13 x y y 5y x