Đề HSG toán 7 năm 16-17

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AC và F là trung điểm của AC.. Đường thẳng qua H và song song với AD cắt AB kéo dài tại M.[r]

(1)

PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN LỚP 7

Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề Bài (2,0 điểm): Thực phép tính:

a) A =

2 2017

3 3

81 81 81 81

4 2020

     

 

         

 

       

b) B = 2 2

1 1 1 1

2017 2016 2015 2

       

   

       

      

Bài (2,0 điểm):

a) Tìm số hữu tỉ x biết:

4

9 1296

2 x

 

 

 

  .

b) Cho số x, y, z thỏa mãn 3 4;

x z

 2y 3z

  3x1y0 Tính giá trị biểu thức A x6y2z24

c) Tính giá trị biểu thức P = x + y + z, biết:

19 19 19 5 2015

19

x y z

x y  y z z x   y z z x x y     

Bài (1,5 điểm):

a) Tìm tất số tự nhiên a, b cho: 2016a 1 b 2017  b 2017

b) Tìm tất số nguyên dương n cho 2n2023 số phương. Bài (1,0 điểm): ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3 2 2 3 4 2 2017 2 289

P x y  y z   x  y z 

Bài (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vng A Vẽ phía ngồi tam giác ABC các tam giác ABE ACD

a) Chứng minh BD = CE;

b) Chứng minh CDE tam giác cân

c) Giả sử ACB 300, kẻ AH vng góc với BC H Gọi K hình chiếu vng góc H AC F trung điểm AC Đường thẳng qua H song song với AD cắt AB kéo dài M Chứng minh HF//AD M, K, D thẳng hàng

Bài (0,5 điểm):

Cho tập hợp A 1, 2,3, , 2016 Chứng minh số 1009 phần tử tập hợp A tồn hai phần tử a b, cho a b 2.

……… Hết ………

Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Giáo viên coi giao lưu khơng giải thích thêm

(2)

Họ tên học sinh………SBD………

PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN LỚP 7

Câu Ý Nội dung Điểm

1

a Vì

6

3

81

9   nên 0,5

2 2017

3 3

81 81 81 81

4 2020

A            

       

0,5

b

2 2

1 1 1 1

6.2018 4.2016 1.3

1 1 1 1

2017 2016 2015 2

201 2015.2017 201

2017 2016 2015 2

B             

                     0,5 6.2015.2014 8.2017.2016 7.2016.2015 7.2016.2015 2018 2018

7

201 201

201 4034

     0,5 2 a 4

7 9 1296 9 6

7 2 x x x x                            0,25 18 19 18 x x x x                     Vậy 19 ; 18 18 x   

 

0,25

b ;

3

x z

 2y 3z

  3x1y0

Từ 3 y z y z

y z   

 

  

Mà 3

x z



nên 3 x y z

 

 Lại có: 3x1y 0 3x y 3

0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

3 3

1

3 9

x y z x x y 

     

 

0,25

Suy ra: x = -3; y = 6; z = -4

Thay x = -3; y = 6; z = -4vào biểu thức A, ta được:

(3)

 4 25

3 6.6 24

A       

c

Ta có:

x y z 19 19 19 19 19z 19 19x 19 19y

x y y z z x x y y z z x

 

     

 

     

      0,25

19 19.3 19

5

5 5

57

z x y z x y

x y y z z x x y y z z x

   

       

   

   

     

Khi đó:

  57 19 57 403 460

5

19 19 19 2015

19 x y z

x y y z z x

 

        

 

  

  

0,25

Hay   2015

460 19

x y z   

Vậy

19 1748 460

2015 403 x y z    

0,25

3 a

Nhận xét:  

0 2017

2 2017

2017 2017

2017

khi b khi b

b b

b

 

 

 



  



Do b số tự nhiên nên b 2017 b 2017 số chẵn

0,25 Kết hợp với giả thiết 2016a  1 b 2017 b 2017 suy ra:

2016a

 số chẵn

Nếu a ≠ 2016a 1 số lẻ ( loại)

0,25 Khi a = 0, ta có 20160 1 b 2017  b 2017

2017 2017

b b

   

  

 

Vậy a0;b2017b N 

0,25

b

Nếu n  1 2n2023 2025 45  2là số phương suy n 1 thỏa

mãn 0,25

Nếu n  1 4n suy 2n 2023 chia cho dư (1). 0,25 Mặt khác số nguyên dương k k2 chia cho dư (2)

Từ (1), (2) ta 2n2023 không số phương n 1. Vậy n 1

0,25

4 a Vì

3x 2y2 0; 3 y 4z2 0; x2  y2z2  289 0 x y z, , 0,25 3 2 2 3 4 2 2017 2 289 2017

P x y  y z   x  y z   0,25

Dấu đẳng thức xảy khi:

3x 2y2 0; 3 y 4z2 0 x2  y2 z2  289 0

Suy : 3x 2y 0; 3y 4z 0x2  y2 z2  289 0

(4)

2 2

3 2

2 3

8 12 9 64 144 81

3 4

4 3

x y

x y z x y z

y z



  

 

     



   

 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có :

2 2 2 289

1

64 144 81 289 289

x y z x  y z

    

Mà x, y, z dấu nên 8; 12; 9

x y z x8;y12;z 9

Vậy giá trị nhỏ biểu thức P=2017 đạt khi 8; 12; 9

x y z x8;y12;z 9

0,25

4

F K

H

M

D

E

C B

A

a

Ta có:

  

 

0 0

DAB BAC DAC 90 60 150

DAB CAE

CAE BAC EAB 90 60 150

     



 



    



 0,25

Xét ABD AEC có: AB = AE (gt)

 

DAB CAE (cmt) AD = AC (gt) Do đó: ABD = AEC (c – g – c)

0,5

 BD = CE (Hai cạnh tương ứng)

0,25

b Ta có: BAC DAC EAB DAE 360     0 Từ suy ra: DAE 150  0,25 Xét DAE CAE có:

DA = CA (GT)

 

DAE CAE (=1500)

AE: Cạnh chung

(5)

Do đó: DAE = CAE (c – g – c)  DE = CE (Hai cạnh tương ứng)

Suy ra: CDE tam giác cân E 0,25

c

Vì F trung điểm AC nên DFAC Ta có

 AC

CAH 60 , AH

 

nên AHF tam giác suy

 

AFH CAD 60  nên HF//AD Lại có MH//AD

0,5 Do MH//AD nên ba điểm M, H, F thẳng hàng

Mặt khác HKAC, AK = KF

Mà AMF = FDA (g.c.g) AM = DF Từ AMK = FDK(c.g.c), dẫn đến AKM DKF  Do DKM DKF FKM AKM FKM AKF 180       Vậy ba điểm D, K, M thẳng hàng

0,5

6

Chia tập hợp A thành 1008 cặp sau:

1,3 , 2, , 5,7 , 6,8 , , 2013, 2015 , 2014, 2016           0,25 Khi 1009 phần tử chọn phải có hai phần tử thuộc vào

một cặp, giả sử hai phần tử a b, Khi a b 2. 0,25 Chú ý: - Học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa.

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	135,29 KB