ĐỀ HSG TOÁN 7 NĂM HỌC 2015 2016

PHÒNG GD&ĐT TÂN LẠC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 MƠN: TỐN LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm) : Thực phép tính 10 5 3     0,9 11 23  13 A  a/ 26 13 13 403     0,  11 23 91 10 12 10 2   25 49 b/ B    125.7   59.143  155    Bài (5 điểm) : a/ Chứng minh rằng: 3n   2n  3n  2n chia hết cho 10 với số nguyên dương n b/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  2014  x  2015  x  2016  x c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 25  y   x  2015  Bài (4 điểm) : x  16 y  25 z  49   x3   29 Tính: x – 2y + 3z 16 25 3 b/ Cho f ( x)  ax  x x   g ( x)  x  x  bx  1  c  a, b, c a/ Cho   số Xác định a, b, c để f(x) = g(x) Bài (5 điểm) : Cho tam giác ABC có (AB < AC) Gọi M trung điểm BC Từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc BAC N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh : a/ BE = CF b/ AE  AB  AC Bài (2 điểm) : Cho tam giác ABC có góc B 450, góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính góc ADB -Hết (Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm) HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Bài Bài Điểm 4điểm � 1 � 3 3 5� 31    �     0,9 11 23 � 13 10 � 13   1 � 1 �  0,    13 � 31    � 91 10 � 11 23 � 13 10 � 1 � �1 � 5� 31    � �   � 11 23 � �5 13 10 � �   � 1 � 1  13 � 31    � � 11 23 � 13 10 10 5   11 23  A 26 13 13 403    11 23 155  a/  b/ B 5 3 13 13 12  46.92  3 510.7  255.492   125.7   59.143 212.34   1 510.7     12    1 59.73   23   6  10 21       3.4  84.35 6  212.35  212.34 510.73  510.7  212.36  212.35 59.73  59.73.23 1,0đ 5điểm 0,5đ 0,5đ   10 3n  n 1 M 10 Vậy 3n   2n   3n  2n chia hết cho 10 với số nguyên dương n Vì 2015  x �0 nên : A  2014  x  2015  x  2016  x �2014  x  2016  x Dấu “ =” xảy x = 2015 (1) Ta có : 2014  x  2016  x  x  2014  2016  x �x  2014  2016  x  Dấu “=” xảy (x – 2014)(2016 – x) ≥ 0, suy : 2014 ≤ x ≤ 2016 (2) Từ (1) (2) suy A ≥ Dấu “=” xảy x = 2015 Vậy A nhỏ x = 2015 c/ 0,5đ 0,5đ  3n.10  2n.5  3n.10  n 1.10 b/ 1,0đ 0,5đ Bài a/ Ta có : 3n   2n  3n  n  3n.9  2n.4  3n  2n  0,5đ Ta có : 25 – y2 ≤ 25 =>  x  2015  ≤ 25 =>  x  2015  < 0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ Do x nguyên nên  x  2015  số phương Có trường hợp xảy : TH :  x  2015   � x  2015 , y = y = -5 0,5đ TH :  x  2015  x  2015  x  2016 � � 1� � �� x  2015  1 � x  2014 � Với x = 2016 x = 2014 y2 = 17 (loại) Vậy x = 2015, y = x = 2015, y = -5 Bài a/ Ta có : x3   29 � x3  32 � x  � x  0,5đ 0,5đ 4điểm 0,5đ Thay vào tỷ lệ thức ta : b/  16 y  25 z  49 y  25 z  49   �  2 16 25 16 25 � y  7, z  Vậy x – 2y + 3z = – 2.(-7) + 3.1 = 19 3 3 Ta có : f(x) = ax  x  x  1   ax  x  x    a   x  x  3 g(x) = x  x  bx  1  c   x  4bx  x  c  Do f(x) = g(x) nên chọn x 0; 1; -1 ta được: f(0) = g(0) � = c – � c = 11 � g ( x)  x  4bx  x  f(1) = g(1) � a + – + = – 4b – + � a + 4b = -3 (1) f(-1) = g(-1) � -a – + + = -1 - 4b + + � - a + 4b = 3(2) Từ (1) (2) suy ra: b = 0; a = -3 Vậy a = -3 , b = ; c = 11 Bài 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5điểm A F B C M D N E a/ b/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt EF D � � Xét  MBD  MCF có : DBM (so le trong)  FCM �  CMF � MB = MC (giả thiết) ; BMD (đối đỉnh) Do đó:  MBD =  MCF (c.g.c) suy BD = CF (1) Mặt khác :  AEF có AN vừa đường cao, vừa đường phân giác nên �  MFA � �  MFA � � E � cân A, suy E Mà BDE (đồng vị) nên BDE Do đó:  BDE cân B, suy BD = BE (2) Từ (1) (2) suy : BE = CF (đpcm) Tam giác AEF cân A suy AE = AF Ta có: 2AE = AE + AF = (AB + BD) + (AC – CF) = (AB + AC) + (BD – CF) = AB + AC (do BE = CF) AB  AC Vậy AE  (đpcm) Bài �  15o � B �1  30o Trên CA lấy điểm E cho EBA �� �  300 ,  CBE cân C � CB = CE A1  EBA Ta có : E Gọi F trung điểm CD � CB = CE = CF = FD �  60o nên tam giác Tam giác CEF cân C, lại có C�1  1800  BCA Như : CB = CE = CF = FD = EF �1  E � mà D �1  E �3  F �  60o ( CEF đều) � D �1  30o Suy D   0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2điểm 0,5đ 0,5đ �  180o  C � D �  900 Xét tam giác CDE ta có: CED (1) 1 �1  B �1 => EB = ED, � � Ta có : D => EA = EB => ED = ED (2) A1  EBA �  45o Từ (1) (2) => Tam giác EDA vuông cân E => D 0,5đ � D �  30o  45o  75o ADB  D Vậy � 0,5đ B 150 1200 C 1 E F A D Chú ý: - Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ sai khơng chấm điểm - Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tối đa  ... x  2015  ≤ 25 =>  x  2015  < 0,5đ 0 ,75 đ 0 ,75 đ 0,5đ Do x nguyên nên  x  2015  số phương Có trường hợp xảy : TH :  x  2015   � x  2015 , y = y = -5 0,5đ TH :  x  2015  x  2015. .. nguyên dương n Vì 2015  x �0 nên : A  2014  x  2015  x  2016  x �2014  x  2016  x Dấu “ =” xảy x = 2015 (1) Ta có : 2014  x  2016  x  x  2014  2016  x �x  2014  2016  x  Dấu... 510 .7  255.492   125 .7   59.143 212.34   1 510 .7     12    1 59 .73   23   6  10 21       3.4  84.35 6  212.35  212.34 510 .73  510 .7  212.36  212.35 59 .73  59 .73 .23