Đề thi học sinh giỏi môn toán 7 năm học 2015 2016 trường chu mạnh chinh

tr−êng thcs chu m¹nh Trinh §Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng n¨m häc 2015 - 2016 M«n: To¸n Ngµy thi: 12 th¸ng 05 n¨m 2016 Thêi gian lµm bµi: 120 Câu 1: (2.5 ñiểm) 10  131313 131313 131313 131313  x − 70 :  + + +  = −5 11  151515 353535 636363 999999  a) Tìm x biết b) Chứng minh a + 5b chia hết cho với a; b ∈ Z 10a + b chia hết cho Câu 2: (2.0 ñiểm) a) Cho x y y z 2x + y + 4z = = Tính giá trị biểu thức A = (giả thiết A có 3x + y + z nghĩa) 15 24 2499 + + + Chứng tỏ B số 16 25 2500 b) Cho B = + + nguyên Câu 3: (2.0 ñiểm) a) Cho hàm số f (x) xác ñịnh với x ∈ R Biết với x ≠ ta ñều có f (x) + 2.f   = x Tính f (2) x b) Cho hai ña thức : f ( x) = ( x − 1)( x + 3) g ( x) = x3 − ax + bx − Xác ñịnh hệ số a, b ña thức g(x) biết nghiệm ña thức f(x) nghiệm ña thức g(x) Câu 4: (2.5 ñiểm) a) Cho tam giác ABC, gọi D trung ñiểm cạnh BC Chứng minh AD < AB + AC b) Tam giác HIK có HIK = HKI = 360 Trên tia phân giác HIK lấy ñiểm N cho IKN = 120 Hãy so sánh ñộ dài KN KH Câu 5: (1.0 ñiểm) Cho biểu thức: C = ( x − 1) + x − 2x+3 Với giá trị x biểu thức C có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ ñó - Hết * Ghi chú: Học sinh không ñược sử dụng máy tính cầm tay tr−êng thcs chu m¹nh Trinh Câu H−íng dÉn chÊm §Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng n¨m häc 2015 - 2016 M«n: To¸n Ngµy thi: 12 th¸ng 05 n¨m 2016 -Nội dung trình bày 10  131313 131313 131313 131313  x − 70 :  + + +  = −5 11  151515 353535 636363 999999  780  13 13 13 13  x − :  + + +  = −5 11  15 35 63 99  780 13  2 2  x − :   + + +  = −5 11   3.5 5.7 7.9 9.11   Thang ñiểm a) Ta có 780 13  1 1 1 1   x − :  − + − + − + −  = −5 11   5 7 9 11   780 13  1   x − :  −  = −5 11   11   780  13  x − :   = −5 11  33  x − 45 = −5 x = 60 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy x=60 0,25 b) Ta thấy 5(10a + b) − (a + b) = 50a + 5b − a − 5b = 49a ⋮ mà a + 5b ⋮ ⇒ 5(10a + b)⋮ (*) Do (5;7)=1 nên từ (*) suy 10a + b⋮ (ñpcm) 0,25 0,25 0,5 a) Ta có x y x y y z y z x y z = ⇒ = ; = ⇒ = ⇒ = = 15 20 20 24 15 20 24 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có x y z 2x + y + 4z 3x + y + 5z = = = = 15 20 24 30 + 60 + 96 45 + 80 + 120 x + y + z 30 + 60 + 96 186 ⇒ A= = = x + y + z 45 + 80 + 120 245 ⇒ 0,25 0,5 b) Ta có 15 24 2499 + + + + + 16 25 2500 1 1 = − + − + − + − + + − 16 25 2500  1 1 = + + + + + −  + + + + +  2500   16 25 49 SH B= 0,25 1 1 + + + + + 2 50 1 1 1 1 Ta thấy + + + + < + + + + = 1− + + + + = − = > = 2 50 2.3 3.4 4.5 50.51 51 102 147 ⇒ < C < ⇒ 48 < B < 49 ⇒ B số nguyên (ñpcm) 1 a) Do với x ≠ ta ñều có f (x) + 2.f   = x nên x 1 + Tại x=2 ta có: f (2 ) + f   = (1) 2 1 1 1 (2) + Tại x = ta có f   + f ( ) = ⇒ f   + f (2) = 2 2 −7 −7 Trừ vế với vế (2) cho (1) ta có f ( ) = ⇒ f (2) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 b) Nghiệm ña thức f ( x) = ( x − 1)( x + 3) x = x = -3 Vì x = x = -3 nghiệm ña thức g ( x) = x3 − ax + bx − Nên b – a = (1) 3a + b = -10 (2) Từ (1) (2) suy a = -3, b = -1 a) Trên tia ñối tia DA lấy ñiểm E cho DA=DE Ta có ∆ABD = ∆ECD(c.g.c) ⇒ AB = CE Tam giác ACE có AE < CE + CA (BĐT tam giác) ⇔ AE < AB + AC (Do AB=CE) ⇔ 2.AD < AB + AC (Do AE=2AD) ⇔ AD < AB + AC (ñpcm) 0, 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Trên tia IH lấy ñiểm M cho IM=IK Dễ thấy IH