+Điểm số toàn bài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
Trang 1PHòNG GD lệ thuỷ đề kiểm tra môn toán lớp 7
Học sinh giỏi – năm học 2005 – 2006
(Thời gian làm bài 150 phút)
1 (1,5 đ) Hãy so sánh:
a) (1,0 đ) 1
2
n n
+ + và 3
n
n+ (n∈Ơ*).
b) (0,5 đ) 23 3 và 32 2 .
2 (2,0 đ) Tìm x biết :3 1 2
5 2
x + =
3 (1,0 đ) Cho a và b là hai số hữu tỉ chứng minh a b = a b.
4 (1,5 đ) Chứng tỏ rằng đa thức f x( ) =x2 + +x 1 không có nghiệm
5 (1,0 đ) Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của BC Chứng minh rằng:
2
AB AC
AD< + .
6 (2,5 đ) Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC Gọi M và N lần lợt là trung
điểm của AB và AC Kẻ NH vuông góc với CM tại H Kẻ HE vuông góc với AB tại E Chứng minh rằng tam giác ABH cân
7 (0,5 đ) Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n sao cho 3n tận cùng bằng 001
PHòNG GD lệ thuỷ hớng dẫn chấm môn toán lớp 7
Học sinh giỏi – năm học 2005 – 2006
1.(1,5 đ)
3
n n
+ + làm trung gian ta có:
+ > +
1
n+ > n
+ + do đó ta có
1
n+ >n
1,0
Trang 2b)Ta so sánh hai số mũ:
3
Từ đó 23 23 > 22 10 = 22.2 9 = 42 9 > 32 9 = 32 32 .
Suy ra 23 23 > 32 32 .
0,25 0,25
2 (2,0 đ)
3 1
5 2
3 3 :
5 2
3 3 9
2 5 10
x x x x
+ =
= −
=
= ì =
0,75 0,75 0,5
3 (1,0 đ) Xét các trờng hợp:
0; 0
a≥ b≥ : a b =ab a; =a b, = ⇒ ì =b a b ab (Đúng)
0; 0
a≥ b≤ : (Lập luận tơng tự)
0; 0
a≤ b≥ :
0; 0
a≤ b≤ :
1,0
4 (1,5 đ) Xét x≥ 0: Ta có x2 + ≥ ⇒x 0 x2 + + >x 1 0.
Xét -1 < x < 0 Ta có x + 1 > 0; x2 > ⇒ 0 x2 + + >x 1 0.
Xét x≤ − 1: Ta có
Nếu x = -1 thì x2 + + = >x 1 1 0;
Nếu x < -1 thì x2 + > ⇒x 0 x2 + + >x 1 0.
Vậy trong mọi trờng hợp đều có x2 + + ≠x 1 0, chứng
tỏ đa thức f x( ) =x2 + +x 1 không có nghiệm
0,5 0,5
0,5
5 (1,0 đ) Ghi GT, KL, hình vẽ đúng:
e a
Trên tia đối tia DA lấy điểm E sao cho AD = DE
Ta có ∆ABD = ∆ECD (c.g.c) ⇒ AB = CE
Trong ∆ACE có AE < CE + CA
AE < AB + CA
2
AB AC
AD< +
0,25
0,75
6 (2,5 đ) Ghi GT, KL, hình vẽ đúng:
Trang 31 1
1
n q
h
c a
m e k b
Từ A kẻ AK ⊥MC tại K, từ A kẻ AQ ⊥HN tại Q
∆MAK = ∆NCH (c.h – g.n) ⇒AK = HC (1).
Và ∆BAK = ∆ACH (c – g - c) ⇒ ãBKA AHC= ã .
Lại có ∆AQN = ∆CHN (c.h – g.n) ⇒ AQ = CH
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AK = AQ ⇒ AH là phân giác
ãKHQ ⇒ ãAHQ= 45 0⇒ ã 0
135
135
BKA= ⇒
ã 135 0
BKH = .
Do đó ∆BAK = ∆BHK (c – g - c) ⇒ BA = BH hay
∆ABH cân tại B
0,5
0,75 0,75
0,5
7 (0,5 đ) Trong phép chia cho 1000 có 1000 số d là 0; 1; 2;…;
999
Ta xét 1001 số là 3; 3 ;3 ; ;3 2 3 1001 thì tồn taịi hai số có
cùng số d trong phép chia cho 1000
Gọi hai số đó là 3k và 3l với 1 ≤ ≤ ≤k l 1001
Ta có 3l−3 1000kM , do đó 3k l k+ − −3 1000kM hay
3 3k l k− − 1 1000 M mà (3 ,1000k ) = 1 suy ra 3l k− −1 1000M
tức là 3l k− có tận cùng bằng 001
0,25
0,25
*Lu ý: +HS làm cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
+Điểm số toàn bài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất