Đề thi HSG$ ĐÁP ÁN môn Toán 7 năm học 2001-2002

Tính mỗi cạnh của hình chữ nhật.. 0,5 đ Trong dãy số tự nhiên có thể tìm đợc 2002 số tự nhiên liên tiếp nhau mà không có số nào là số nguyên tố đợc hay không.. a Chứng minh trung tuyến A

PHòNG GD-ĐT lệ thuỷ đề kiểm tra môn toán lớp 7 Học sinh giỏi năm học 2001 2002– năm học 2001 – 2002 – năm học 2001 – 2002

(Thời gian làm bài 150 phút)

1 (2,75 đ) Tìm x biết:

a) 0,2x + 7,51 = - 4,29

b) ax ax 1 ( a > 0 )

2 (2,0 đ) Tỉ số hai cạnh của một hình chữ nhật là 0,6 Chu vi hình chữ nhật là

320m Tính mỗi cạnh của hình chữ nhật

3 (1,5 đ) So sánh m m và m m

4 (0,5 đ) Trong dãy số tự nhiên có thể tìm đợc 2002 số tự nhiên liên tiếp nhau mà

không có số nào là số nguyên tố đợc hay không

5 (3,25 đ) Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn.

a) Chứng minh trung tuyến AM nhỏ hơn nửa tổng hai cạnh AB và AC b) Chứng minh CAM BAM

c) Tia phân giác AD nằm giữa đờng cao AH và trung tuyến AM

PHòNG GD-ĐT lệ thuỷ hớng dẫn chấm môn toán lớp 7 Học sinh giỏi năm học 2001 2002– năm học 2001 – 2002 – năm học 2001 – 2002

1.

(2,75 đ)

a) (1,25 điểm) 0,2x + 7,51 = - 4,29 0,2 x = -4,29 – 7,51 0,25 = -11,8

x = -59

0,25 0,25 0,25 0,5

b(1,5 điểm)

Với a > 0 ta có | ax| = ( 0 0







+ TH1 : x0 ta có

(1) => ax = ax + 1

0x = 1 (vô lí)

+ TH 2: x < 0 ta có

(1) => -ax = ax + 1

-2ax = 1

x = 1

2a



0,5 0,5 0,5

2 (2,0 đ) Gọi x, y là kích thớc của hình chữ nhật ( x, y > 0)

Theo bài ra ta có: 3

5

x

y  ; x + y = (320 :2) = 160

y    áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

20

x y x y



=> x = 60; y = 100 (thoả mãn điều kiện)

Vậy kích thớc của hình chữ nhật là 60 và 100

0,25 0,5 0,25 0,5 0,5

3 (1,5 đ)

Ta có | m| = ( 0)

m m

m m









* TH1: Nếu m 0 ta có

|m| + m = 2m; m.|m| = m2

+ Khi m = 0 thì ta có 2m = 0 và m2 = 0

=> |m| + m = |m|.m

+ Khi m = 2 thì ta có 2m = 4 và m2 = 4

=> |m| + m = |m|.m

+ Khi 0 < m < 2 thì ta có 2m > m2

=> |m| + m > |m|.m

+ Khi m > 2 thì m2 > 2m

=> |m| + m < |m|.m

* TH 2: Nếu m < 0

Ta có |m| + m = -m + m = 0 và |m|.m =-m.m = -m2<0

=> |m| + m > |m|.m

Kết luận:

+ m = 0 hoặc m = 2 thì |m| + m = |m|.m

+ 0 < m < 2 thì |m| + m > |m|.m

+ m > 2 thì |m| + m < |m|.m

+ m < 0 thì |m| + m < |m|.m

4 (0,5 đ) Ta có thể tìm đợc dãy gồm 2002 số tự nhiên liên tiếp nhau

trong đó không có số nào là nguyên tố ( tức là dãy gồm 2002

số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số)

Ví dụ xét dãy số 2003! + 2 , 2003 ! + 3, , 2003 ! + 2003

(gồm 2002 số tự nhiên liên tiếp)

Trong đó các số trong dãy trên đều là hợp số

(3,25 đ) GT : ABC có ba góc nhọn (AB < AC), trung tuyến AM

KL: a)

2

AB AC

AM  

b) ABM CBM

c) Đờng phân giác tại góc đỉnh A nằm giữa đờng cao và

trung tuyến tơng ứng

M'

C B

A

Chứng minh :

a) Trên tia đối tia MA lấy điểm M sao cho AM = MM’

Ta có BMM’ = CMA (c.g.c)

=> BM’ = AC

Xét ABM’ ta thấy AB + BM’ > AM’ ( bất đẳng thức về

cạnh trong tam giác)

Mặt khác BM’ = AC; AM’ = 2AM

=>

2

AB AC

AM   ( điều phải chứng minh)

b) Xét ABM’ ta thấy BM’ > AB ( do AC > AB(gt) và

AC=BM’ theo chứng minh trên)

=> BAM  AM B' Mặt khác CAM  AM B'

=> BAM MAC (đpcm)

c) Theo chứng minh câu b) ta có BAM MAC và AD là phân

giác của góc BAC nên tia AD nằm giữa hai tia AM và AB

Mặt khác trong tam giác ABD có góc BAD là góc nhọn nên

đờng cao AH nằm giữa hai tia AD và AB

0,25

1,0

1,0 1,0

Vì AD, AH nằm cùng phía so với AM và MAD MAH  

=> Tia AD nằm giữa hai tia AM và AH

*L

u ý: +HS làm cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

+Điểm số toàn bài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất