Một số công thức lượng giác - Chuyên đề đại số 10 - Hoc360.net

Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt.. Cá[r]

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí §3 MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Công thức cộng:

sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin

tan tan tan( )

1 tan tan tan tan tan( )

1 tan tan

a b a b b a

a b a b b a

a b a b a b

a b a b a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b 2 Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a) Công thức nhân đôi

sin 2 sin cos

2 2

cos cos sin cos 1 sin tan 2 tan2

1 tan

b) Công thức hạ bậc

2

2

2

1 cos sin

2 cos cos

2 cos tan

1 cos 3 Cơng thức biến đổi tích thành tổng

1

cos cos cos( ) cos( )

2

sin sin cos( ) cos( )

2

sin cos sin( ) sin( )

2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

4 Cơng thức biển đổi tổng thành tích cos cos cos cos

2

a b a b

a b tan tan sin( )

cos cos

a b

a b

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

cos cos sin sin

2

a b a b

a b

sin sin sin cos

2

a b a b

a b

sin sin cos sin

2

a b a b

a b

sin( ) tan tan

cos cos

a b

a b

a b

sin( ) cot cot

sin sin

a b

a b

a b

sin( ) cot cot

sin sin

b a

a b

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 DẠNG TỐN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC 1 Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu giá trị lượng giác góc khơng đặc biệt đưa giá trị lượng giác đặc biệt

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác sau: cos 795 , sin18 , tan0 , cot5

12 Lời giải

• Vì 7950 750 2.3600 300 450 2.3600 nên

0 0 0 2

cos 795 cos 75 cos 30 cos 45 sin 30 sin 45

2 2

• Vì 540 360 900nên sin 540 cos 360 Màcos 360 cos 2.180 sin 182

0 0 0 0

sin 54 sin 18 36 sin18 cos 36 sin 36 cos18

0 0 0 0

sin18 sin 18 sin18 cos 18 sin18 sin 18 sin18 sin 18

0

3 sin18 sin 18

Do 3 sin180 4 sin 183 1 2 sin 182 sin180 1 sin 182 2 sin180 1 0

sin18 sin180

0

sin18

2 Vì sin180 nên sin180

2

• tan7 tan tan3 tan4 3

12 1 3

1 tan tan

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

• cot5 cot tan

8 8

Ta lại có

2

2 tan tan tan

4

1 tan

suy

2

1 tan tan tan tan

8 8

tan

8 tan8

Do tan

8 nên tan8

Vậy cot5

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) A sin 22 30 ' cos 202 30 '0 b) sin4 cos

16

B

c)

2 sin sin

5 15

2 cos cos

5 15

C d) sin sin5 sin7

9 9

D

Lời giải

a) Cách 1: Ta có cos202 30'0 cos 1800 22 30'0 cos22 30'0 Do sin 22 30 ' cos 22 30 '0 1sin 450

2

A

Cách 2: sin 22 30 ' 202 30 '0 sin 22 30 ' 202 30 '0 sin 2250 sin 1800

2

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

0 0

1

sin 180 45 sin180 sin 45

2

b)

2

2

2 sin cos cos 2 cos

16 16

B

2

1 cos 6 2

4

1 cos cos cos 1

8 8 2

c)

1 2

2 2 cos sin

sin sin 2 5 15 2 5 15 cos

5 15 cot 3

2 2

cos cos sin sin sin

5 15 15 15

C

d) sin sin7 sin5 sin4 cos sin5 sin4 sin5

9 9 9 9

D

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) 0

0

1

cos 290 3 sin 250

A b) B tan200 tan250

c) C tan 90 tan270 tan 630 tan 810 d) sin2 sin22 sin sin2

9 9

D Lời giải

a) Ta có cos2900 cos 1800 900 200 cos 900 200 sin200

0 0 0 0

sin250 sin 180 90 20 sin 90 20 cos20

0

0

0 0 0

3

cos 20 sin 20

1 sin 20 sin 20 2 2

4

sin 20 3 cos 20 3 sin 20 cos 20 3.2.sin 20 cos 20 C

0 0 0

0

sin 60 cos 20 cos 60 sin 20 sin 40 4

3

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

b) Cách 1: Ta có

0 0 0

0 0

sin20 sin25 sin20 cos20 sin25 cos25

1

cos20 cos25 cos20 cos25

B

0 0 0 0

0

sin 20 cos 45 cos 20 sin 45 sin 25 cos 45 cos 25 sin 45

2

cos 20 cos 25

0

0

sin 65 sin 70

2

cos 20 cos 25 Cách 2: Ta có

0

0 0

0

tan 20 tan 25 tan 45 tan 20 50

1 tan 20 tan 25 Suy

0

0 0

0

tan 20 tan 25

1 tan 20 tan 25 tan 20 tan 25 1 tan 20 tan 25

0

1 tan20 tan25 Vậy B

c) C tan 90 tan 810 tan270 tan 630

0 0 0 0

0 0

sin cos 81 sin 81 cos sin 27 cos 63 sin 63 cos 27 cos cos 81 cos 27 cos 63

0

0 0 0 0

2 sin 54 sin18

1 2

cos sin cos 27 sin 27 sin18 sin 54 sin18 sin 54

0

0

4 cos 36 sin18 sin18 sin 54 d)

2

2 22 2

sin sin sin sin sin sin sin sin

9 9 9 9

D

2

2

1 1

2 sin cos cos cos cos cos

6 18 18 2

1 cos 1 1 3

9 cos

2 2

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

• sin cos 1sin 3cos sin( )

2

x x x x x

• sin cos 3sin 1cos sin( )

2

x x x x x

• sin cos sin cos sin( )

4

2

x x x x x

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) sin cos cos cos

32 32 16

A b) B sin10 sin 30 sin 50 sin 70o o o o

c) cos cos3

5

C d) cos2 cos2 cos23

7 7

D Lời giải

a) sin cos cos cos 1sin cos cos 1sin cos 1sin

2 32 32 16 16 16 8 8 16

A

b) Ta có 1cos 20 cos 40 cos 800

o

B

0 0

16 sin 20 B sin 20 cos 20 cos 40 cos 80o

0

0 0

4 sin 40 cos 40 cos 80 sin 80 cos 80 sin160

o

Suy

0

sin160 16 16 sin 20

B

c) Ta có cos cos2 5

C Vì sin

5 nên

2 2

2 sin sin cos cos sin cos sin

5 C 5 5 5

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

c)

2

1 cos cos cos 3 1 2 4 6

7 7 cos cos cos

2 2 2 7

D

Xét cos2 cos4 cos6

7 7

T , sin

7 nên

2

2 sin sin cos sin cos sin cos

7 7 7 7

3 5

sin sin sin sin sin sin

7 7 7

sin T

Suy

2

T

Vậy 1

2 2

D

Ví dụ 5: Cho , thoả mãn sin sin 2

6 cos cos

2 Tính cos

sin

Lời giải

• Ta có sin sin sin2 sin2 sin sin

2 (1)

2

6

cos cos cos cos cos cos

2 (2)

Cộng vế với vế (1) (2) ta

2 2

sin sin cos cos sin sin cos cos 2 sin sin cos cos 2 cos

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

• Từ giả thiết ta có sin sin cos cos 2 sin cos sin cos sin cos sin cos

2

1

sin sin sin

2

Mặt khác sin sin 2 sin cos (Do cos )

Suy sin

2 3 Bài tập rèn luyện

Bài 6.26: Tính giá trị lượng giác sau sin , sin , cot11

8 16 12

Bài 6.27: Tính giá trị biểu thức sau:

a) A sin 45 cos12 cos 30 0 sin 540 sin 360 b) B cot230 cot220

c) cos cos5 cos7

9 9

C d)

2 sin sin

5 20

2 cos sin

5 20

D

Bài 6.28: Tính:

a) Tính giá trị lượng giác góc

12 b)

4

cos sin 24 24 c) cos 360 cos 720 d) sin10 sin 50 sin 700 0 Bài 6.29: Tính giá trị biểu thức sau:

a) A cos 732 cos 472 cos 73 cos 470 b) B sin sin 42 sin 66 sin 780 0 c) cos cos4 cos5

7 7

C d) 0 sin 700 sin10

D

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Tính cos , cos sin

Bài 6.31: Tính giá trị biểu thức sau:

a) sin sin7 sin13 sin19 sin25 30 30 30 30 30 A

b) cos24o cos 48o cos 84o cos12o c) cos cos2 cos3

7 7

Bài 6.32: Tính giá trị biểu thức sau:

a) cos cos4 cos5

7 7

A

b) B cos10 cos 50 cos 700 0

c) C sin sin 42 sin 66 sin 78o o o o

d) cos2 cos4 cos8 cos16 cos32

31 31 31 31 31

E

e) F sin sin15 sin 25 sin 75 sin 85o o o o o

Bài 6.33: Tính A tan10 tan2 10 tan 450 Bài 6.34: Tính A cos cos cos cos 999 với

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

1 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho cos

5

x , với

4 x Tính sin , cos , sinx x x , cos 2x Lời giải

Vì

4 x nên sinx 0, cosx Áp dụng cơng thức hạ bậc, ta có :

2 cos

sin sin

2 10 10

x

x x

2 cos 1

cos cos

2 10 10

x

x x

Theo cơng thức cộng, ta có

3 1 3

sin sin cos cos sin

3 3 10 10 2 10

x x x

4 2

cos cos sin cos sin

4 4 2 10 10 10

x x x

Ví dụ 2: Cho cos 6sin2 với

2 Tính tan Lời giải

Ta có cos sin2 cos 22 cos

2

2 cos cos 2 cos cos 2 cos

2(Vì cos2 0)

Ta có tan 22 12 tan 22 12

cos cos

Vì

2 nên sin2 Mặt khác cos2 tan2

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Ví dụ 3: Cho 12 12 12 12

tan cot sin cos Tính cos

Lời giải

Ta có 12 12 12 12

tan cot sin cos

2

2

2 2

2

4 2

2

2 2 2

2

2

sin cos

7

cos sin

sin sin cos cos

7 sin cos

sin cos sin cos

sin cos sin cos sin cos

2 sin cos sin cos sin 16 cos

7 cos

9 Vậy cos

9

Ví dụ 4: Cho sin cos cot

2 với Tính

2013 tan

2

Lời giải

Ta có

2

sin tan

2

sin sin cos cos

2 2

cos tan

2

2

2 2

2

sin tan

2

cos cos sin cos

2 2

cos tan

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Do

2

2

2 tan tan 1

2

sin cos cot

2

tan tan tan

2 2

2

2

tan tan tan tan tan tan tan

2 2 2 2

tan tan tan

2 2

Vì 0

2 tan2 nên tan2 cot2

Ta có tan 2013 tan 2006 cot

2 2

Vậy tan 2013

2

Lưu ý: Ta biểu diễn sin , cos , tan , cot qua tan

t sau:

2

2 2

2

sin , cos , tan , cot

2

1 1

t t t t

t

t t t với làm biểu thức có nghĩa

Ví dụ 5: Cho sin 1, tan tan

3

Tính sin cos sin sin

8 12 12

A

Lời giải

Ta có sin sin cos cos sin

3 (1)

tan tan sin cos sin cos (2) Từ (1) (2) ta

2 2

2 2

1 1

cos sin cos sin sin sin

3 9

2 4

sin cos sin cos sin sin

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

2

2

2

2

4 2

1

1 sin sin 1 1

9 1 sin sin

1

sin sin

3

2 1

sin sin sin sin

3 3

Do sin2 sin2

3

Ta có sin cos sin sin cos 2

8 2 2

1 sin2 1 2.2 2

2 2 12

5 1

sin cos sin sin cos

12 12 2 2

1 sin2 1 2.1 3

2 2 12

Do 2

12 12

A

2 Bài tập luyện tập Bài 6.35: Cho cos

5

x (với

4 x ) Tính sin , cos , tanx x x Bài 6.36: Tính giá trị biểu thức lượng giác, biết:

a) sin(a b), cos(a b), tan(a b) sin a , tan

17 b 12 a, b góc nhọn

b) cos sin 12 3,

3 khi 13

c) tan sin 3,

3 khi

Bài 6.37: Cho cos cos cos Tính 2 2 2 2

2 sin cos sin cos

A

Bài 6.38: a) Cho tan m

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

b) Cho cos cos

m

n Tính B tan tan

c) Cho tan m tan n Tính tan Bài 6.39: Cho sin cos

2 Tính

2 2015 tan

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

 DẠNG TOÁN 3:CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN 1 Phương pháp giải

Để chứng minh đẳng thức lượng giác ta có cách biển đổi: vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lương trung gian Trong trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt công thức lượng giác

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng để từ liên tưởng đến kiến thức có để xuất đại lượng vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp vế đơn giản

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh với góc lượng giác làm cho biểu thức xác định a) sin4 cos4 cos

4

b) sin6 cos6 3cos 8 c) sin cot (2 )

1 sin

Lời giải

a) Ta có sin4 cos4 sin2 cos2 2 sin2 cos2 1sin 22 cos cos

1

4 4

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

3

6 2 2 2 2 2

3

2 2 2

sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos

3 3

sin cos sin cos sin cos sin 1 cos

4

5 cos 8

c) Ta có

2

2

2 2

sin cos sin sin cos sin cos

1 sin sin cos sin cos sin cos

2

2

2

2

2 cos cos

4

cot

4 sin

2 sin 4

4 Ví dụ 2: Cho ,

2 Chứng minh rằng: a) cos cos sin

2

b) cos cos tan

2 cos cos

Lời giải

a) Do nên sin 0, sin

2

Đẳng thức tương đương với

2

2

2

1 cos cos sin

2

2 cos cos cos

2

1 cos sin

2 2

1 cos sin sin cos 1(luôn đúng) ĐPCM

b)

2

1 cos cos

1 cos cos cos cos

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

2 1 sin

2 cos cos 1 cos

2 cos cos cos

Vì nên sin

2

2

2

sin cos sin cos sin cos

1 sin 2 2 2 2 2

cos

cos sin sin cos cos sin

2 2 2

VT

2 sin

sin cos 2 4

2 tan

2 cos sin cos

2 2

VP ĐPCM

Ví dụ 3: Chứng minh

a) sin( ).sin( ) sin2 sin2 b) cot cot

2 với sin sin sin , b k2

c) sin sin cos tan cos sin sin

Lời giải

a) Ta có sin( ).sin( ) cos cos 2

1 sin2 sin2 sin2 sin2

b) Từ giả thiết ta có sin cos sin cos

2 2

Do sin

2

k suy cos cos

2

cos cos sin sin cos cos sin sin

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

2 sin sin cos cos 2 2 cot cot

2 ĐPCM

c) Ta có

1

sin sin sin sin sin 2

2

1 cos cos

cos cos cos

2 VT

2 sin cos

tan

2 cos cos VP ĐPCM

Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x

a) cos2 cos2 cos2

3

A

b) cos cos cos cos

3

B Lời giải

a) Ta có: cos2 cos2 cos2

3

A

cos2 cos cos

2 3

cos2 cos4 cos2

2

b) Vì cos sin

6

3

cos sin

4 nên

cos cos sin sin

3 4

B

cos cos cos

3 4

1 2

cos cos sin sin

3 4 2 2

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

a) cos cos cos

sin sin sin

a a a

A

a a a

+ +

=

+ + b)

cos cos 3 cot cot a a B a a    + +  −          = −

c) C=cosa+cos(a+ +b) cos(a+2 ) cos(b + + a+nb) (nN)

Lời giải

a) ( )

(cossin cos 3sin ) 2sin 22 cos 2 cos cos2sin cos cos 22sin 2 cos 22sin ((coscos 11)) cot

a a a a a a a a

A a

a a a a a a a a

+ + + +

= = = =

+ + + +

b) Ta có cos cos 2cos cos cos

3 3

a  a  a  a

 + +  − = =

   

   

sin

cos sin cos cos sin sin

cos 2 2 2 2

cot cot

2 sin sin sin sin sin sin sin sin sin

2 2

a

a a a a a

a a

a a

a

a a a a

a a a a a

 − 

−   −

− = − = = = = −

Suy cos sin cos sin

1 2

sin

a a

B a a

a

= = − = −

−

c) Ta có sin sin cos sin cos( ) sin cos( ) sin cos( )

2 2 2

b b b b b

C = a+ a+ +b a+ b + + a+nb

( ) ( )

3

sin sin sin sin sin sin

2 2 2

2

sin sin

2

b b b b b b

a a a a a a

n b n b

a a             =  + +  − +  + + − − +  + + − −              + −     + +  + + − −     

(2 1) ( )

sin sin 2sin cos

2 2

n b

b nb

a  + a n b a

 − + + = +  −              Suy ( )

sin cos

2 sin

2

nb

n b a

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Ví dụ 6: Cho sin(a b+ )=2 cos(a b− ) Chứng minh biểu thức 1

2 sin 2 sin

M

a b

= +

− − không

phụ thuộc vào a b, Lời giải

Ta có ( )

( )( ) ( ( ) )

4 sin sin sin sin

2 sin 2 sin sin sin sin sin

a b a b

M

a b a b a b

− + − +

= =

− − − + +

Ta có sin 2a+sin 2b=2sin(a b+ ) (cos a b− )

Mà sin(a b+ )=2 cos(a b− ) sin2(a b+ )=4 cos2(a b− ) nên

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

cos cos 2sin cos

2 sin cos 10 cos

a b a b a b a b

a b a b a b

 

+ − − = − + − − − 

 

= −  + + − = − −

Suy ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

4 cos 4 cos

1 3 3cos 3

4 8cos 10 cos

2

a b a b

M

a b

a b a b

− − − −

= = =

− −

 

− − −  − − 

Ví dụ 7: Chứng minh

a) sin 3 sin sin3 sin sin sin

3

b) sin3 sin3 2 1sin3 sin sin

3 3

n n

n n

Lời giải

a) Ta có sin sin sin cos cos2 sin

2

2

3

2 sin cos cos sin

2 sin sin sin sin sin sin (1)

Mặt khác sin sin sin sin cos2 cos

3 3

2

3

1

2 sin cos 2 sin sin

2

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Từ (1) (2) suy ĐPCM

b) Theo câu a) ta có sin 3 sin sin3 sin3 sin sin

Do 3

2

3 sin sin sin sin

3 sin sin

3

3 3

sin , sin , , sin

3 4

n n

n

Suy 1

3 sin sin sin sin

3 sin sin

3

3 3 3 3

4 4

n n

n

VT

sin

sin 3

3 sin sin

4 4

n

n n

n VP ĐPCM

Lưu ý: Hoàn toàn tương tự ta chứng minh cos 3 4 cos3 3 cos

,

3

sin 3 sin sin , hai công thức gọi công thức nhân ba 3 Các tập luyện tập

Bài 6.40: Chứng minh a) sin4 1cos 1cos

8

b) sin4 sin4 sin45 sin47

16 16 16 16

Bài 6.41: Cho sin sin ,

2

x x y x y k Chứng minh tan sin

cos y x y

y Bài 6.42: Chứng minh hệ thức sau:

a) cos3 sin sin3 cos sin

b) tan tan sin( )

cos( ) cos( ) x y

x y

x y x y

c)

2

2

tan tan tan tan

1 tan tan

x x

x x

x x

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

a) 2

4sin sin cos

4

x

A= x+ x+  − 

  với

3

 x

b) B=4 cos4x+cos 22 x−4 cos2 xcos 2x

c) 2

cos cos cos

3

C= x+  +x+  −x

   

Bài 6.44: Đơn giản biểu thức sau:

a) cos cos

sin sin

A  

 

− +

=

− b)

1 1

cos

2 2

B= − +  (0 )

c) cos cos cos cos

sin sin sin sin

a a a a

C

a a a a

− + −

=

+ + + d)

cos cos

6 cos cos a a D a a    − −  +          = −

Bài 6.45: Chứng minh hệ thức sau:

a) Nếu tana tan(a b) sinb sin cos(a a b) b) Nếu tana tan(a b) sinb sin(2a b)

c) Nếu tan(a b) tanb cos(a )b cosa d) Nếu 3sin(a b+ )=cos(a b− ) 8sin2(a b+ )=cos cos 2a b

Bài 6.46: Chứng minh sin sin2 sin4 cos cos5 cos7

9 9 18 18 18

   =    =

Bài 6.47: Chứng minh

a)cos sin 2 sin x x

x

b) cos cos 2 cos sin

2 2

2 sin

n n

n

x x x x

x

Bài 6.48: Chứng minh rằng: a) cot cot

sin

x

x

x

b) 1 1 cot cot2 (2 )

sin sin sin 2

n n

n k

Bài 6.49: Chứng minh a) tanx cotx cot2x

b) tan 12 tan 2 tan cot cot 2 2 2n 2n 2n 2n

a a a a

a Bài 6.50: Chứng minh ,

6 k

x k Z tan tan tan

tan 3

x

x x

x Áp dụng tính A tan tan 54 tan 66o o o

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Bài 6.51: Cho n số nguyên dương Chứng minh

0

0 0 0

1 1

cot1 cot

sin1 sin sin sin sin(n 1) sinn n

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

 DẠNG TỐN 4: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết

- Sử dụng tính chất dấu giá trị lượng giác góc

- Sử dụng kết sin 1, cos với số thực 2 Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Chứng minh với

2

a) cot2 cos b) cot cot2 Lời giải

a) Bất đẳng thức tương đương với

2

2

2

2

1

2 cos 1 sin

sin sin

1

sin sin sin

sin

2

sin (đúng) ĐPCM b) Bất đẳng thức tương đương với

cos sin cos cos sin cos sin sin sin sin cos (*)

Vì sin

cos

2 nên

2 2

(*) 2cos sin2 cos sin

1 sin (đúng) ĐPCM Ví dụ 2: Cho

2 Chứng minh

1

sin cos

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Lời giải

Ta có sin cos sin cos 1

2 cos sin sin cos

Vì

2 nên sin cos Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có

1

sin cos sin cos

4 sin cos sin cos

Suy sin cos

2 cos sin ĐPCM

Ví dụ 3: Chứng minh với

2 2

2 cos2 sin sin cos2

2

Lời giải

Bất đẳng thức tương đương với

2 2

2 cos2 cos cos2 sin 2 sin

2

2

4 cos cos sin sin sin

2 2

4 cos 2 sin sin sin

4

16 sin sin sin sin Đặt sin t, 0 t

Bất đẳng thức trở thành t8 t2 1 t t4 1 t8 t5 t2 t 1 0

(*)

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

+ Nếu t 2: (*) t t5 t t 1 t t5 0,t t Vậy bất đẳng thức (*) suy ĐPCM

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức sau:

a) A sinx cosx b) B sin4x cos4x Lời giải

a) Ta có A2 sinx cosx sin2x cos2x sin cosx x sin2x Vì sin 2x nên A2 sin 2x 1 suy A Khi

4

x A 2,

4

x A

Do maxA minA b) Ta có

2 2 2

1 cos2 cos2 cos2 cos 2 cos2 cos

2 4

x x x x x x

B

2

2 cos 2 cos cos

4 4

x x

x Vì cos 4x nên 1.cos

2 4 x suy

1

1 B Vậy maxB cos 4x

2

B cos 4x

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức A 2 sinx cos 2x Lời giải

Ta có A 2 sinx sin2x sin2x sinx Đặt t sin ,x t biểu thức trở thành A 2t2 2t Xét hàm số y 2t2 2t 1 với t 1

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí t

1

2

y 5 1

1

Từ bảng biến thiên suy maxA t hay sinx 1

min

2

A

2

t hay sin

x

3 Bài tập luyện tập Bài 6.53: Cho

2

x 

  Chứng minh tanx+cotx2

Bài 6.54: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức B cos 2x sin2x Bài 6.55: Chứng minh cos (sinx x + sin2x+2)

Bài 6.56: Tìm giá trị lớn biểu thức P 2sinx sin2x

Bài 6.57: Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức sin sin sin

2 2

A B C

P

 DẠNG TOÁN 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin sin sin cos cos cos

2 2

A B C

A B C

b) sin2A sin2B sin2C 2(1 cos cos cos )A B C c) sin2A sin2B sin2C 4sin sin sinA B C Lời giải

a) sin cos sin cos

2 2

A B A B C C

VT

Mặt khác tam giác ABC ta có A B C

2 2

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Suy sin cos , sin cos

2 2

A B C C A B

Vậy cos cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2

C A B A B C C A B A B

VT

cos cos cos

2 2

C A B

VP ĐPCM

b) cos cos cos2 cos cos cos2

2 2

A B A B

VT C C

2

2 cos A B cos A B cos C

Vì A B C cos A B cosC nên

2 cos cos cos cos cos cos cos

VT C A B C A B C A B A B

cos cos cosC A B 2(1 cos cos cos )A B C VP ĐPCM c) VT sin A B cos A B sin cosC C

Vì A B C cosC cos A B , sin A B sinC nên

2 sin cos sin cos sin cos cos

VT C A B C A B C A B A B

2 sin C sin sinA B sin sin sinA B C VP ĐPCM Ví dụ 2: Chứng minh tam giác ABC khơng vng ta có: a) tanA tanB tanC tan tan tanA B C

b) cot cotA B cot cotB C cot cotC A Lời giải

a) Đẳng thức tương đương với tanA tanB tan tan tanA B C tanC tanA tanB tanC tan tanA B *

Do tam giác ABC không vuông nên

2

A B

cos sin sin sin sin cos cos

tan tan 1

cos cos cos cos cos cos

A B

A B A B A B

A B

A B A B A B

Suy * tan tan tan tan tan tan tan tan

tan tan 1 tan tan

A B A B

C C A B C

A B A B

Đẳng thức cuối A B C ĐPCM

b) Vì A B C cot A B cotC

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

1

1 tan tan cot cot cot cot

cot

tan tan tan 1 cot cot

cot cot

A B A B A B

A B

A B A B A B

A B

Suy cot cot cot cot cot cot cot cot

cot cot A B

C A B C A B

A B

Hay cot cotA B cot cotB C cot cotC A ĐPCM Ví dụ 3: Chứng minh tam giác ABC ta có:

a) cos cos cos

2

A B C

b) sin sin sin 3

3

A B C

c) tan tan tanA B C 3 với ABC tam giác nhọn Lời giải

a) Ta có cos cos cos cos cos cos

2

A B A B

A B C C

Vì

2 2

A B C

nên cos sin

2

A B C

Mặt khác cos 1 2 sin2

2 C

C

2

cos cos cos sin cos sin sin sin cos

2 2 2 2

C A B C C C A B

A B C

2 1 2

2 sin sin cos cos cos

2 2 2

C C A B A B A B

2

2

1

2 sin cos cos

2 2 2

C A B A B

Vì cos cos2

2

A B A B

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

cos cos cos

2

A B C ĐPCM

b) Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Nếu x , y sin sin sin

2

x y x y

Thật vậy, sin

2

x y x y

cos

2

x y

nên

sin sin

sin cos sin

2 2

x y x y x y x y

Áp dụng bổ đề ta có: sin sin sin

2

A B A B

,

sin sin

3 sin

2

C C

Suy

sin sin

sin sin 3 3 3

sin sin sin sin

2 2 2 2

C C C

A B A B A B

Do sin sin sin sin

A B C hay sin sin sin 3

3

A B C ĐPCM

c) Vì ABC tam giác nhọn nên tanA 0, tanB 0, tanC

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tanA tanB tanC 3 tan tan tan3 A B C

Theo ví dụ ta có tanA tanB tanC tan tan tanA B C nên

2

3 3

tan tan tanA B C tan tan tanA B C tan tan tanA B C tan tan tanA B C

2

3 tan tan tanA B C 3 tan tan tanA B C 3 3

ĐPCM Ví dụ 4: Chứng minh tam giác ABC ta có:

a) sin sin sin cos cos cos

2 2

A B C

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

b) cos cos cos sin sin sin

2 2

A B C

A B C

c) tan tan tan cot cot cot

2 2

A B C

A B C Với tam giác ABC không vuông

Lời giải

a) Vì sin cos

2

A B C

cos

2

A B

nên

sin sin sin cos cos

2 2

A B A B C

A B

Hồn tồn tương tự ta có sin sin cos , sin sin cos

2

A B

B C C A

Công vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta sin sin sin cos cos cos

2 2

A B C

A B C ĐPCM

b) +TH1: Nếu tam giác ABC tù: khơng tính tổng qt giả sử ,

2 2

A B C suy

cosA 0, cosB 0, cosC

cos cos cosA B C Mà sin sin sin

2 2

A B C

bất đẳng thức

+ TH2: Nếu tam giác ABC nhọn: cos cos cos cos

A B A B A B

Vì cos A B cosC cos A B nên cos cos 1 cos sin2

2

C

A B C

Chứng minh tương tự ta có cos cos sin2 , cos cos sin2

2

A B

B C C A

Do vế không âm nên nhân vế với vế bất đẳng thức ta

2 2

cos cos cos cos cos cos sin sin sin

2 2

C A B

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

cos cos cos sin sin sin

2 2

A B C

A B C ĐPCM

c) Ta có tan tan sin sin

cos cos cos cos

A B A B

A B

A B A B A B

Mà sin A B sin , cosC A B cosC nên

2

4 sin cos

2 sin sin 2 2

tan tan cot

cos cos cos

2 sin C C

C C C

A B

C A B C C

Tương tự ta có tan tan cot , tan tan cot

2

A B

B C C A

Công vế với vế rút gọn ta

tan tan tan cot cot cot

2 2

A B C

A B C ĐPCM

Nhận xét:

+ Để chứng minh x y z a b c ta chứng minh x y 2a (hoặc , 2b c) xây dựng bất đẳng thức tương tự Cộng vế với vế suy đpcm

+ Để chứng minh xyz abc với x y z a b c, , , , , không âm ta chứng minh xy a2(hoặc b c2, 2) xây dựng bất đẳng thức tương tự nhân vế với vế suy đpcm

Ví dụ 5: Chứng minh tam giác ABC ta có:

a) sin sin sin 3

2

A B C

b)

3

1 1

1 1

sinA sinB sinC

Lời giải

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

sin sin sin sin 2.2 sin cos sin

2 2

A B A B A B

A B A B

Tương tự ta có sin sin sin1

3

C C

Công vế với vế ta sin sin sin sin sin sin1

3 2

A B

A B C C

Mà sin sin1 sin sin sin

2 2

A B A B

C C

Suy sin sin sin sin sin

3

A B C

Hay sin sin sin sin 3

3

A B C ĐPCM

b) Ta có 1 1 1 1

sinA sinB sinA sinB sin sinA B Áp dụng bất đẳng thức 1

x y x y với x y, dương ta có

1 4

sinA sinB sinA sinB 2 sin sinA B sin sinA B Do

2

1 1

1 1

sinA sinB sin sinA B sin sinA B sin sinA B Mặt khác

2

1

sin sin cos cos cos cos

2

cos

sin

2

A B A B A B A B A B

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Nên

2

1 1

1 1

sin sin

sin

A B A B (1)

Tương tự ta có

2

1 1

1 1

sin

sin sin

3

C

C

(2)

Nhân vế với vế (1) (2) ta

2

1 1 1

1 1

sin sin sin

sin sin sin

3 2

A B C A B

C

Ta lại có

2 2

1 1

1 1

1 1

sin sin sin sin

2 2 3

A B A B

C C

Suy

4

1 1 1

1 1

sin sin sin

sin sin

3

A B C

Hay

3

3

1 1

1 1

sin sin sin 3

sin

A B C ĐPCM

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

• Để chứng minh

3

f A f B f C f Ta chứng minh

2 A B f A f B f

khi

3

C

f C f f từ suy

3

2

3 2

C A B

f A f B f C f f f f

Do

3 f A f B f C f

• Để chứng minh

3

f A f B f C f Ta chứng minh

2 A B f A f B f

khi

3

C

f C f f từ suy

2

3 2

C A B

f A f B f C f f f f

Do

3 f A f B f C f

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn cos cos( ) cos cos

2

A B C

B C A

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Lời giải

Từ giả thiết ta có

2

cos cos cos cos

2 2

A B C B C A

2 cos cos cos cos cos cos

2 2 2

A B C B C A A B C

cos cos cos cos

2 2

A B C A B C

(1)

Vì cos

2 2

A A

, cos

2 2

B C B C

cos sin

2 2 2

B C A A B C

nên (1) cos cos

2

A B C

2 sin cos sin sin

2

B C B C

B C

Áp dụng bất đẳng thức

2

2

2

x y

x y suy

2

2 sin sin

sin sin

2

B C

B C

Do đócos 2 cos 2 2 2 sin2 sin2 2 2.1 1

2

y z y z ĐPCM

Ví dụ 7: Chứng minh tam giác ABC ta ln có 3

sin cos sin cos sin cos

2 2 2

A B B C C A

Lời giải

Do A B C, , bình đẳng nên khơng tính tổng quát giả sử

2 2

A B C

A B C

Suy sin sin sin 0, cos cos cos

2 2 2

A B C A B C

sin sin cos cos

2 2

A B B C

sin cos sin cos sin cos sin cos

2 2 2 2

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

sin cos sin cos sin cos sin cos

2 2 2 2

A B B C A C B B

Do sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos

2 2 2 2 2 2

A B B C C A A C C A B B

Mà sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos

2 2 2 2 2 2 2

A C C A B B A C B B B B B

(1)

Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:

2 3

cos cos cos

2 4 2

B B B

, sin2 cos2 sin2 cos2 sin cos

2 2 2

B B B B B B

Suy cos2 3 sin2 cos2 cos sin cos

2 2 2

B B B B B B

Hay cos sin cos 3 sin2 cos2

2 2 2 2

B B B B B

3 cos sin cos

2 2

B B B

(2)

Từ (1) (2) ta có sin cos sin cos sin cos 3

2 2 2

A B B C C A

ĐPCM

2 Bài tập luyện tập

Bài 6.58: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) sinC sin cosA B sin cosB A

b) sin tan tan ( , 90 )0

cos cos C

A B A B

A B

c) cot cos cot cos ( 90 )

sin cos sin cos

o

C B

B C A

B A C A

d) cos cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin

2 2 2 2 2 2

A B C A B C A B C A B C

e) sin2 sin2 sin2 sin sin sin

2 2 2

A B C A B C

Bài 6.59: Cho tam giácABC Chứng minh:

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí b) tan2A tan2B tan2C 9, ABC nhọn

c) tan6A tan6B tan6C 81, ABC nhọn d) tan2 tan2 tan2

2 2

A B C

e) tan tan tan

2 2

A B C

Bài 6.70: Chứng minh tam giác ABC ta có cos cos cosA B C sin sin sinA B C

Bài 6.71: Cho ABC Chứng minh sin sin sin cos cos cos

2 2

A B C

A B C

Bài 6.72: Cho ABC Chứng minh x2 2(cosB cos )C x 2cosA x Đẳng thức xảy ?

Bài 6.73: Cho ABC nhọn Chứng minh bất đẳng thức sau:

2

(tan tan ) tan A

oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/